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易混易错2 分类讨论不全面或分类标准不当（小题狂练）
一．单选题.
【直线斜率分类不全 原创】
1．已知抛物线
的焦点为
，过点
且与抛物线
有唯一公共点的直线有
（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【易错指导】在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去
x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为
一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和
不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情
形．
【参数分类标准不当 2024 福建泉州五中检测】
2．已知方程
，其中
．现有四位同学
对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【易错指导】明确分类标准，以0，1，
作为分界线，若不能准确分类，问题
就难了.
【参数分类标准不当 2024 浙江杭州师大附中模拟】
3．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】对进行分类讨论，从而确定的范围.
【忽视对公比是否为1 的讨论而致误 原创】
4．已知等比数列
，首项为
，公比为
，前
项和为
，若数列
是等比数列，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】在利用等比数列的前项和公式时，若其公比不确定，则应对公
比分
和
两种情况进行讨论.在解题时首先讨论公比
这一特殊情况，
再在
的情况下，应用等比数列的前项和公式对式子进行整理变形，再进
行研究.
【选法分类不全 原创】
5．多个平台公布了“2023 年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12
个流行语，包括“i 人/e 人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪
价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，
理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台
公布的“2023 年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12 个流行语中选择4
个不同的流行语，则至多包含2 个“最热流行语”的选法共有（ ）
A．482 种
B．462 种
C．392 种
D．270 种
【易错指导】根据题目要求，可分为不包含“最热流行语”、包含1 个“最热
流行语”、包含2 个“最热流行语”三种，按照不同分类逐类求解，再相加即
可．也可从反面考虑，方法二中先求从12 个流行语中任选4 个的不同选法，再
减去不符合题意的，即包含3 个和包含4 个“最热流行语”的选法，注意不重、
不漏
【二次项系数讨论不全致误 2024 上云南昆明期中】
6．若不等式
的解集为R，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】对于二次项含有字母的一元二次不等式（方程或函数），要注意
讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次项系数不为0 时，才能
利用三个“二次”的关系进行求解.
【忽视公式
的适用条件忘记讨论
致误】
7．已知数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】本题易忽视公式
的适用条件
而导致错误.利用此公
式求得
后，一定要验证
时是否满足所求出的
，若不满足，则要用分段
形式来表示.
【忽视导数的极值的条件讨论不全 2025 上·湖北·阶段练习】
8．若
在
处取得极大值
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【易错指导】求出
，由题意可得出
，解出、的值，再结合题
意进行检验，即可得解.
【忘记边角关系忽视讨论 2025 上河南洛阳期末】
9．在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【易错指导】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，容易忽略对解
的个数的讨论而出错.两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函
数在在区间
内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此
时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数.
【求直线方程忘记讨论截距为零 2025 上江西期末】
10．经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A．
或
B．
或
或
C．
或
D．
或
或
【易错指导】求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0 的情况从而漏解，要注
意 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而
“距离”是一个非负数．
【动点位置分类不全 原创】
11．已知点
为平面直角坐标系
内的圆
上的动点，定点
，现将坐
标平面沿
轴折成
的二面角，使点
翻折至
，则
两点间距离的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】分别讨论两点位于同一半平面和两个半平面中两种情况
二．多选题.
【焦点的位置讨论不全致误 2024 上江苏连云港期中】
12．已知抛物线
的焦点在直线
上，则抛物线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可.
【分类讨论不全致误】
13．已知
，
，若
，则实数
可能取的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】已知集合间的包含关系或运算求参数时要注意讨论
两
种情况.
【平面上点的位置关系讨论不全面致误 2024 河北邢台阶段练习】
14．在空间直角坐标系
中，若
四点可以构成一个
平行四边形，则
的坐标可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D
点坐标，即得答案.
【平面向量的位置关系讨论不全面致误】
15．若平面向量
两两夹角相等，
为单位向量，
，则
A．1
B．2
C．3
D．4
【易错指导】由平面向量
两两夹角相等可知，夹角为
或
.分两种情况
对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果.
16．用数字
组成无重复数字的四位数，则（ ）
A．可组成360 个四位数
B．可组成120 个四位偶数
C．可组成108 个是5 的倍数的四位数
D．可组成270 个比 1325 大的四位数
【易错指导】逐一分析各个选项的限制条件，利用特殊位置法、排列数和两个
计数原理列式计算即可，分类时要做到标准明确、不重不漏.
【共线向量讨论不全面致误 2025 上云南期末】
17．设
，
是互相垂直的单位向量，
，
，下列选项正确的
是（ ）
A．若点C 在线段AB 上，则
B．若
，则
C．当
时，与
共线的单位向量是
D．当
时，
在
上的投影向量为
【易错指导】共线向量的定义指出方向相同或相反的非零向量称为共线向量，
并规定零向量与任意向量共线，本题容易忽略方向相反的情况而造成漏解.
【分类讨论标准不明确致误 2024 安徽池州二模】
18．已知圆
和两点
为圆
所在平面内的动点，记
以
为直径的圆为圆
，以
为直径的圆为圆
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆
与圆
内切，则圆
与圆
内切
B．若圆
与圆
外切，则圆
与圆
外切
C．若
，且圆
与圆
内切，则点
的轨迹为椭圆
D．若
，且圆
与圆
外切，则点
的轨迹为双曲线
【易错指导】应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线
定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的
常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；
二抛物线则要满足定点不在定直线上.
三．填空题.
【忽略圆锥曲线焦点位置讨论不全致误】
19．写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 .
①实轴长为4；②渐近线方程为
【易错指导】本题容易忽略对椭圆焦点位置的讨论而漏解.由于建系的方案不同，
三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x，y 轴两种情况，
二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定
位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求
或
的值．
【忽视递推公式满足的条件忘记讨论致误】
20．已知数列
，
为
的前n 项和，
，
，则
.
【易错指导】在由递推公式
求通项公式时，要注意
这个
条件是对数列中的所有项都满足递推公式，一旦出现
此时
这个条件是对数列中从第二项开始满足递推公式，在求通项公式的时候一
定要进行辨别.
【忘记讨论截距为0 致误】
21．过点
，在
轴上的截距和在
轴上的截距相等的直线方程为 ．
【易错指导】在设直线的截距式方程时，要注意截距式方程的形式的限制条件，
尤其是要注意直线过原点的特殊情况.
【忘记讨论直线斜率是否存在 2025 上宁夏吴忠期中】
22．已知圆
，直线过点
且与圆
相切，则直线的方程为
．
【易错指导】在求过某点的圆的切线方程时，要注意讨论该点和圆的位置关系
确定切线的条数以免漏解.
【对
取值的讨论而致误】
23．在等差数列
中，
，
与
互为相反数，
为
的前n 项和，
，
则
的最小值是 ．
【易错指导】分清楚取何值时
或
，当
的各项都为非负数时，
的前项和等于
的前项和，当
的各项都为非正数时，
的前
项和等于
的前项和的相反数，当
的某些项是正的，某些项是负的时，
要对进行分类讨论，转化成
的前项和求解.
【参数取值情况分类不全 原创】
24．设函数
的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意
，都有
，则称
为D 上的“m 型增函数”，已知函数
是定义在R 上的奇函
数，且当
时，
．若
为R 上的“20 型增函数”，则实数a 的取
值范围是 ．
【敲黑板】若对的分类标准不合适，就易出现逻辑混乱，下面再求解就难了
为
上的“20 型增函数”，
在
上恒成立．
①当
时，由
的图象（如图1）向左平移20 个单位长度得
的图象，显然
的图象在
图象的上方，满足
．
②当
时，由
的图象（如图2）向左平移20 个单位长度得到
的图象，要
保证
的图象在
图象的上方，需满足
，可得
．
综上可知，实数
的取值范围是
．
【会分类】函数解析式中含有绝时值，注意对a 的值进行分类讨论
1.试题特点分析：分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也
是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方
法，引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的；
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给
出的；
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论；
④某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等
2.解题方法阐述：进行分类讨论时，我们要遵循的原则是分类的对象是确定的，
标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论，其中
最重要的一条是“不漏不重”.
3.解题经验分享：第一、确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围. 第二、确
定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重、分类互斥(没有重复).第
三、对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果.第四，进行归纳小结，
综合得出结论.
