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2025 年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）
数学试卷评析
本套数学试卷紧扣《普通高中数学课程标准》和高考试题命制的总体要求，融合了
《高考评价体系》中对于数学核心素养、关键能力和学科思维的延续性考查思想。全卷结
构稳定，题型包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题，贴近近年来全国卷的常规
命题样式。整卷共包含8 道单选题、3 道多选题、3 道填空题、5 道解答题，分值分布合理，
总分设置与往年一致，同时展现出鲜明的“稳中有新”的特点。试卷在知识覆盖方面横跨
代数、几何、三角、向量、概率统计等多个板块，也兼顾了学生对数形结合、逻辑推理和
实践应用能力的考查。
从题型和题量上看，选择题共8 小题（每题5 分），多选题3 小题（每题6 分），填
空题3 小题（每题5 分），解答题5 小题（合计77 分），整份试卷采用经典的四大题型
组合，区分度较为明显。其中，第一部分（选择题、多选题）偏重基础概念和常见题型，
第二部分（填空题、解答题）更加侧重综合运用与高阶思维，能较好体现分层选拔的功能。
整体难度设置平稳，其中对学生知识迁移、思维灵活度的要求略有提升，意在考核学生在
陌生情境中解决问题的能力。
本卷考查知识点包括复数运算、集合与补集、三角函数与图像性质、双曲线与离心率
计算、正三棱柱中的空间向量及几何关系、抛物线焦点与准线、椭圆标准方程、概率与统
计推断、数列通项与求和、导数与切线、立体几何中平面与直线的垂直平行关系等。其中，
概率统计题（如独立性检验的应用）与解析几何题（如抛物线、椭圆）紧扣高中阶段重要
知识。三个多选题的设置，在一定程度上提升了思考的综合性，防止学生只会机械套用公
式，对相关概念的本质理解有更高要求。
1
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试卷紧密围绕数学学科核心素养，如“数学抽象”“逻辑推理”“数学建模”“直观
想象”等展开命题。例如第6 题以帆船比赛中“真风”“视风”向量的合成和分解考查学
生建模与几何直观的能力；统计与概率部分则注重对实际应用的考量，契合课程标准对大
数据背景下数据分析与推断能力的要求。类似的情境化问题能够帮助学生认识到数学与现
实生活的密切联系，实现学科素养的综合提升。
从难度分布和基础性要求看，本卷兼顾了不同地区教学进度和学生整体认知水平：基
础题部分如集合、复杂度不高的三角与数列题，有助于中等程度学生稳步得分；而空间向
量综合、解析几何综合及概率统计推断等题，是对拔尖学生提出更高层次的挑战。此种差
异化设置，既能让大多数学生在基础层面完成稳固考查，也能区分出具备较强探究和综合
处理能力的高水平学生。
全卷不仅要求学生掌握常规知识与方法，而且还需在综合题中灵活应用几何思想、向
量方法及导数概念。教学过程中，教师应在巩固基础算法与公式的同时，鼓励学生从多角
度、多模型理解与分析问题，锻炼抽象思维与推理能力。
试题多次出现新颖应用场景，如运用独立性检验判断超声波检查结果等真实背景问题，
引导学生关注社会实际。这种命题方式对一线教学提出了更高要求：要注重引导学生开展
数学探究活动，读懂题目情境，抓住本质结构，将数学手段自如地应用于现实问题。
综上所述，2025 年全国一卷数学试卷在题型布局与分值配比方面延续了近年高考命
题的稳健风格，同时以适度的创新和探究型试题贯穿考查全过程。对各地区而言，该套试
卷具有良好的示范与参考价值：既可帮助教师在复习策略与授课节奏上加强对高阶能力与
2
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素养导向的落实，也能引导学生主动提升综合运用和创新思维水平，为后续应考与终身学
习奠定坚实的知识与素养基础。
1.题型数量和分值分布未发生明显变化
与前一年相比，单选、 多选、填空与解答四大题型的数量和分值分布仍保持一致，
但命题更加灵活，注重多知识点的交叉考查。
①选择题（单选）
本卷包含共计8道单选题，每题5分，合计40 分，考查范围涵盖复数运算、集合、三角函数、数
列、解析几何等常规知识点。
②选择题（多选）
本卷设置3道多选题，每题6分，合计18分，更侧重对立体几何、解析几何与函数综合等内容的区
分考查，要求考生在空间想象、函数性质判断等方面具有较强的综合分析能力。
③填空题
共有3小题，每题5分，合计15 分，题目考查等比数列、概率统计与函数应用，考查计算与分析
的准确度。
④解答题
共5小题，总分77分。解答题多融合了统计、立体几何综合、数列综合、圆锥曲线、导数应用与三
角函数综合等，既考查运算求解，又要求逻辑推断和思维严谨。
2.情境设置更加贴近实际
例如帆船比赛中的“风力等级”综合题，突出了对物理背景和现实情境的理解要求；
在概率统计、数列及三角函数等题目中，也出现了更贴近生活的素材，凸显学科融合和应
用价值。
3.考查深度与知识融合度提升
多选题与解答题进一步融合向量、数列、三角、解析几何、概率统计等内容，尤以极
坐标思维、空间想象力以及函数综合分析为重点，要求学生在灵活运用多个章节知识的同
时，突出推理论证能力。
4.思维与能力要求更高
虽然题型形式上延续了传统结构，但整体命题更注重高阶思维能力（如构造、转化、
综合证明），对考生的严谨推理、过程表达以及创新思考都提出了更高要求。
3
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以下根据本试卷所含的各类题型及在试卷中所占比重，先对整体结构进行说明，然后
通过表格方式呈现每个题目的分值、题型、考查内容、难易分析，最后对全卷的总体难度
进行评估，并列举不同层级难度的题目特点。
（一）整体结构
选择题（单选）：共 8 小题，每小题 5 分，合计40 分。
选择题（多选）：共 3 小题，每小题 6 分，合计18 分。
填空题：共 3 小题，每小题 5 分，合计15 分。
解答题：共 5 小题，合计 77 分。
全卷总分 = 40+18+15+77=150 分。
（二）分值、考查内容与难易分析表
下表按题号顺序依次列出各题分值、题型、主要考查内容，以及对其难易程度的简要评定。
题号
分值
题型
考查内容
难易分
析
1
5
单选
复数运算（求虚部）
易
2
5
单选
集合与补集
易
3
5
单选
双曲线离心率
中
4
5
单选
三角函数对称中心（正切函数）
易
5
5
单选
周期函数与偶函数
易
6
5
单选
向量运算与风力等级
中
7
5
单选
圆与直线距离
中
8
5
单选
指数方程与大小比较
中
9
6
多选
立体几何（正三棱柱）
中
10
6
多选
抛物线焦点与准线
中
11
6
多选
三角形面积、三角函数
中
12
5
填空
导数与切线问题
中
13
5
填空
等比数列公比求解
易
14
5
填空
概率与期望（古典概型、期望计算）
中
15
13
解答
独立性检验（列联表、统计推断）
中
4
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题号
分值
题型
考查内容
难易分
析
16
15
解答
数列性质（等差数列）及相关函数
中
17
15
解答
立体几何（四棱锥、球心位置、线面关系）
较难
18
17
解答
椭圆、离心率、轨迹方程
较难
19
17
解答
三角函数不等式、导数综合
较难
（三）总体难度评估
o 容易题：往往涉及基础知识的直接应用，计算量小或思路清晰，考查对概念和公式的熟
练掌握，如求复数虚部、集合运算及简单三角函数特性等。
o 中等题：需要一定的分析与推理，综合运用多种知识点，如圆与直线距离的讨论、概率
与期望的计算、立体几何的平行与垂直判定等，稍具技巧性但整体难度仍可控。
o 难题：常在综合性较强的解答题中出现，融合多模块知识点（如椭圆、球面、三角函数
不等式与导数等），不仅需要深入理解数学原理，还要求对步骤和方法进行灵活变通与运
用。
从整体来看，本卷题目覆盖面广，考查了代数、几何、三角、解析几何、概率统计等
多领域知识，题型结构层次分明，易、中、难比例合理，既适合基础扎实的考生稳步得分，
也给优秀学生提供了难度较高的思维挑战。
结合本套试卷的特点，从知识梳理、题型方法、心理调适和命题趋势四个方面，为同
学们提供后续复习与备考建议。请同学们根据自身实际，合理规划复习进程。
1.复数与集合：
复数虚部、实部运算常见失误在于未准确区分实部和虚部；运算时要严格按照代数形式（即z =a+bi
）来分拆。
集合部分要熟悉补集、并集、交集等基本概念，特别关注全集界定与补集运算的异同。
2.解析几何与三角函数：
双曲线、椭圆、抛物线三大曲线公式与焦点性质须熟记，尤其要掌握离心率与焦点弦相关关系。
三角函数部分要重点关注周期、对称性以及正切函数的对称中心。对于y =a tan x +b类问题，判定
“对称中心”应利用tan( x)在π周期内的性质，并结合函数平移做快速确定。
3.立体几何与空间向量：
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正三棱柱、四棱锥类空间题常考查“线面垂直”“线面平行”或“面面垂直”判定，建议熟记：
1)若一条直线同时垂直于平面内两条相交直线，则该直线垂直于此平面。
2)若两个平面中各有相交直线，两直线互相垂直，且其中一对对应直线平行，则可判定面面垂直。
向量法是快速精准处理空间问题的抓手，要擅于设立坐标系后，灵活运用点、向量坐标表达来判定垂
直或平行。
4.数列、函数与不等式：
等比数列求和时，一定要区分首项a1、公比q的正负及大小关系，善用求和公式Sn=a1 q
n−1
q−1 。有时题
目会设置陷阱，如q =1或q<0，需仔细检验。
三角不等式与函数最值的题型易考“存在性”或“恒成立”问题，可结合单位圆或图象理解，或借助
导数判断函数增减性。若题目涉及cos x和sin x的特殊方程，注意在[0,2π ]或其他周期区间内寻找特
殊解点。
1.选择题排错技巧：
对易混选项先代入检验或画简单草图，结合关键点（如函数零点、极值点）判断。对集合、复数、三
角恒等式类试题，代入特殊数值（如0, π
2 ,π等）能快速排除错误答案。
若遇到公式型选项且时间紧，可考虑极值、端点值或简单代数验证法，先保证在会做的题上不丢分。
2.解答题规范化：
书写要“先分析、再公式、后结论”，逻辑严密。尤其几何证明题，先写已知，再借助辅助线或设坐
标，最后明确结论。
图象变换类题目要清晰标明平移、伸缩或旋转关系；三角或数列题中出现的中间步骤，如“由tan x周
期判断对称中心”或“由a1q
n推导通项公式”，应简明扼要但不可省略关键推导。
3.专题突破建议：
三角函数、解析几何与不等式综合：可多做综合类大题，重点练习参数法、辅助变量法以及几何图象
法。
立体几何与向量：注意正确建立坐标系，迅速把几何量分解成坐标表达。对于场景复杂的四棱锥、三
棱柱等题型，常见思路是“找基准面 + 定方向向量 + 垂直（或平行）判定”。
1.贴近实际应用场景： 题目常结合向量或函数模型解释物理、航海等背景，要求既能建模又能抽象运
算。例如“帆船赛事”风速合成的向量题，已成为近年热点。
2.综合考查探究能力： 后续复习要在“多知识点交汇”的综合大题上多下功夫，比如“三角数列、几
何不等式”或“函数单调性与向量正交”联动。
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3.参数与极值思想： 命题惯于利用参数隐藏在题中的“最值”或“存在性”考点，如“a取何值使不
等式存在解”“b最小值”。训练时要熟练运用导数、三角恒等式或几何方法进行求解。
同学们在后续复习中，应针对上述知识与题型特点构建整体复习规划：先梳理基本概
念、公式和定理，专项强化薄弱部分，再进行跨模块的综合提升。与此同时，不断调整心
态、优化答题技巧，力求在有限复习时间内，实现最大化提升。祝各位在后续的考试准备
中顺利进步！
2025 年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正
确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.
的虚部为（ ）
A．
B． 0
C． 1
D． 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为
，所以其虚部为1，
故选：C．
2. 设全集
，集合
，则
中元素个数为（ ）
A． 0
B． 3
C． 5
D． 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为
，所以
，
中的元素个数为
，
故选：C．
3. 若双曲线C 的虚轴长为实轴长的
倍，则C 的离心率为（ ）
A．
B． 2
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】由题可知双曲线中
的关系，结合
和离心率公式求解
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【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为
，
由题知，
，
于是
，则
，
即
.
故选：D
4. 若点
是函数
的图象的一个对称中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，
即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，
即
.
故选：B
5. 设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为
的范围中求解.
8
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【详解】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量
与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某
帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小
相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级
风速大小m/s
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风
A． 轻风
B． 微风
C． 和风
D． 劲风
【答案】A
【解析】
【分析】结合题目条件和图
写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的
向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：
，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速
向量方向相反，
设真风风速对应的向量为
，船行风速对应的向量为
，
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∴
，船行风速：
，
∴
，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A．
7. 若圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅有2 个，则r 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆心
到直线
的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为
，
到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：
，
故由图可知，
当
时，
圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
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当则
的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B．
8. 若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】法一：设
，对
讨论赋值求出
，即可得出大小
关系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图
象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
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二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
【答案】BD
【解析】
【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的
判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判
断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】法一：对于A，在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，则
又
，
所以
，
则
不成立，故A 错误；
对于B，因为在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，
又
平面
，
所以
平面
，故B 正确；
对于D，因为在正三棱柱
中，
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又
平面
平面
，所以
平面
，故D 正确；
对于C，因为在正三棱柱
中，
，
假设
，则
，这与
矛盾，
所以
不成立，故C 错误；
故选：BD．
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为
，高为，
则
，
对于A，
，
则
，
则
不成立，故A 错误；
对于BD，
，
设平面
的法向量为
，
则
，得
，令
，则
，
所以
，
，
则
平面
，
平面
，故BD 正确；
对于C，
，
则
，显然
不成立，故C 错误；
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故选：BD．
10. 设抛物线
的焦点为F，过F 的直线交C 于A、B，过F 且垂直于
的直线交
于E，过点A 作准线l 的垂线，垂足为D，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，先判断得直线
为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，
利用三角形相似证得
，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法
（法二），联立直线
与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似
证得
，
，结合焦半径公式可判断D．
【详解】法一：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
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所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，易知直线
的斜率不为
，
设直线
的方程为
，
，
联立
，得
，
易知
，则
，
又
，
，
所以
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
又
，
，
所以
，
则
，故D 正确.
故选：ACD．
法二：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
15
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则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，当直线
的斜率不存在时，
；
当直线
的斜率存在时，设直线
方程为
，
联立
，消去
，得
，
易知
，则
，
所以
，
综上，
，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
16
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所以
，则
，即
，
同理
，
当直线
的斜率不存在时，
，
；
所以
，即
；
当直线
的斜率存在时，
，
，
所以
，
则
；
综上，
，故D 正确.
故选：ACD．
11. 已知
的面积为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】对
由二倍角公式先可推知A 选项正确，方法一分情况比较
和
的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在
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法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用
算出
取值，
最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】
，由二倍角公式，
，
整理可得，
，A 选项正确；
由诱导公式，
，
展开可得
，
即
，
下证
.
方法一：分类讨论
若
，则
可知等式成立；
若
，即
，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，
，同理
，
又
，于是
，
与条件不符，则
不成立；
若
，类似可推导出
，则
不成立.
综上讨论可知，
，即
.
方法二：边角转化
时，由
，则
，
于是
，
由正弦定理，
，
由余弦定理可知，
，则
，
若
，则
，注意到
，则
，
18
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于是
（两者同负会有两个钝角，不成立），于是
，
结合
，而
都是锐角，则
，
于是
，这和
相矛盾，
故
不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由
，结合正弦定理可得，
，由射影定理可得
，于是
，
则
，可同方法一种讨论的角度，推出
，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知
同时为
或者异号，即
，展开可得，
，
即
，结合和差化积，
，由上述分
析，
，则
，则
，则
，即
，
于是
，可知
.
由
，由
，则
，即
，
则
，同理
，由上述推导，
，则
，
不妨设
，则
，即
，
由两角和差的正弦公式可知
，C 选项正确
19
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由两角和的正切公式可得，
，
设
，则
，
由
，则
，则
，
于是
，B 选项正确，由勾股定理可知，
，D 选项错误.
故选：ABC
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.
12. 若直线
是曲线
的切线，则
_________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：
利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点
与
的方程组，解之即可得解.
【详解】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线
切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
20
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则
，解得
.
故答案为：
.
13. 若一个等比数列
各项均为正数，且前4 项和为4，前8 项和为68，则该等比数列的公比为
_________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前
项和
的定义，得到关于
的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前
项和性质得到关于
的方程，
解之即可得解.
【详解】法一：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
当
时，
，即
，则
，显然不成立，舍去；
当
时，则
，
两式相除得
，即
，
则
，所以
，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：
.
法二：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
所以
，
，
21
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所以
，则
，所以
，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
因为
，
又
，
所以
，所以
，
所以该等比数列公比为
.
故答案为：
.
14. 一个箱子里有5 个相同的球，分别以1~5 标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次
的球的个数X，则数学期望
_________.
【答案】
##
【解析】
【分析】法一：根据题意得到
的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得
的分
布列，从而求得
；法二，根据题意假设随机变量
，利用对立事件与独立事件的概率公式求得
，进而利用数学期望的性质求得
.
【详解】法一：依题意，
的可能取值为1、2、3，
总的选取可能数为
，
其中
：三次抽取同一球，选择球的编号有5 种方式，
故
，
：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有5 种方式，选取出现一次的球有4 种方式，
其中选取出现一次球的位置有3 种可能，故事件
的可能情况有
种，
故
，
22
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：三种不同球被取出，
由排列数可知事件
的可能情有况
种，
故
，
所以
.
故答案为：
.
法二：依题意，假设随机变量
，其中
：
其中
，则
，
由于球的对称性，易知所有
相等，
则由期望的线性性质，得
，
由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为
，
由于抽取独立，三次均未取出球的概率为
，
因此球至少被取出一次的概率为：
，
故
，
所以
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000 人，得到如
下列联表：
超声波检查结果
正常
不正常
合计
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组别
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P 的估计值；
（2）根据小概率值
的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附
，
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）
（2）有关
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）根据独立性检验的基本思想,求出
,然后与小概率值
对应的临界值
比较,即可
判断.
【小问1 详解】
根据表格可知，检查结果不正常的
人中有
人患病，所以
的估计值为
；
【小问2 详解】
零假设为
：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，
，
根据小概率值
独立性检验，我们推断
不成立，即认为超声波检查结果与患该病有
关，该推断犯错误的概率不超过
.
16. 设数列
满足
，
（1）证明：
为等差数列；
24
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（2）设
，求
．
【答案】（1）证明见解析； （2）
【解析】
【分析】（1）根据题目所给条件
化简，即可证明结论；
（2）先求出
的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以
，作差并利用等比数列前
项和
得出导函数表达式，即可得出结论.
【小问1 详解】
由题意证明如下，
，
在数列
中，
，
，
∴
，即
，
∴
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
【小问2 详解】
由题意及（1）得，
，
在数列
中，首项为3，公差为1，
∴
，即
，
在
中，
，
∴
，
当
且
时，
∴
，
25
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∴
∴
.
17. 如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
．
（i）证明：
在平面
上；
（ⅱ）求直线
与直线
所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）
.
【解析】
【分析】（1）通过证明
，
，得出
平面
，即可证明面面垂直；
（2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设
在同一球面
上，在平
面
中，得出点
坐标，进而得出点
在空间中的坐标，计算出
，即可
证明结论；
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法二：作出
的边
和
的垂直平分线，找到三角形的外心
，求出
，求出出外心
到
，
，
，
的距离相等，得出外心
即为
，
，
，
所在球的球心，即可证明结论；
（ii）法一：写出直线
和
的方向向量，即可求出余弦值.
法二：求出
的长，过点
作
的平行线，交
的延长线为
，连接
，
，利用勾股定
理求出
的长，进而得出
的长，在
中由余弦定理求出
，即可求出直线
与直线
所成角的余弦值.
【小问1 详解】
由题意证明如下，
在四棱锥
中，
⊥平面
，
，
平面
，
平面
，
∴
，
，
∵
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面
.
【小问2 详解】
（i）由题意及（1）证明如下，
法一：
在四棱锥
中，
，
，
，
∥
，
，
，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴
，
若
，
，
，
在同一个球面上，
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则
，
在平面
中，
∴
，
∴线段
中点坐标
，
直线
的斜率：
，
直线
的垂直平分线
斜率：
，
∴直线
的方程：
，
即
，
当
时，
，解得：
，
∴
在立体几何中，
，
28
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∵
解得：
，
∴点
在平面
上.
法二：
∵
，
，
，
在同一个球面上，
∴球心到四个点的距离相等
在
中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出
和
的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
，
，
，
∴
，
∴点
是
的外心，
在Rt
中，
，
，
由勾股定理得，
29
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∴
，
∴点
即为点
，
，
，
所在球的球心
，
此时点
在线段
上，
平面
，
∴点
在平面
上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线
与直线
所成角为
，
∴
.
法2：
由几何知识得，
，
，
∥
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
30
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，
过点
作
的平行线，交
的延长线为
，连接
，
，
则
，直线
与直线
所成角即为
中
或其补角.
∵
平面
，
平面
，
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
，
在Rt
中，
，由勾股定理得，
，
在
中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直线
与直线
所成角的余弦值为：
.
18. 设椭圆
的离心率为
，下顶点为A，右顶点为B，
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足
．
31
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（i）设
，求点
的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，
是椭圆上的动点，直线OR 的斜率为直线
的斜率的3 倍，求
的最
大值．
【答案】（1）
（2）(ⅰ)
(ⅱ)
【解析】
【分析】（1）根据题意列出
的关系式,解方程求出
,即可得到椭圆的标准方程；
（2）(ⅰ)设
,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；
(ⅱ) 根据斜率关系可得到点
的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直
接运算即可解出.
【小问1 详解】
由题可知,
，所以
，解得
，
故椭圆C 的标准方程为
；
【小问2 详解】
(ⅰ)设
，易知
，
法一：所以
，故
，且
．
因为
，
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以点
的坐标为
.
法二：设
，则
，所以
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，
，故
点
的坐标为
.
(ⅱ)因为
,
,由
,可得
,化简得
,即
,
所以点
在以
为圆心,
为半径的圆上（除去两个点）,
为
到圆心
的距离加上半径,
法一：设
,所以
,当且仅当
时取等号,
所以
.
33
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法二：设
，则
，
，当且仅当
时取等号,
故
.
19. （1）设函数
,求
在
的最大值；
（2）给定
，设a 为实数，证明：存在
，使得
；
（3）若存在
使得对任意x，都有
，求b 的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或
者利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑
时
的范围，对于
时，可利用（2）中的结论结合特值法求得
，
从而可得
的最小值；或者先根据函数解析特征得
，再结合特值法可得
，结合（1）的
结果可得
的最小值.
【详解】（1）法1：
，
因为
，故
，故
，
当
时，
即
，
当
时，
即
，
故
在
上
增函数，在
为减函数，
故
在
上的最大值为
.
34
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法2：我们有
.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
故
在
上的最大值为
，在
上的最大值也是
.
（2）法1：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
则
且
，此时
无解，
矛盾，故无解；故存在
，使得
，
法2：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
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则对每个
，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为的闭区间
上必有一整数
，该整数
不满足条件，
矛盾.
故存在
，使得
成立.
（3）法1：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
当
时，
，
此时
，
令
，则
，
而
，
，故
，
当
，在（2）中取
，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，
使得等号成立.
综上，
.
法2：设
.
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①一方面，若存在
，使得
对任意
恒成立，则对这样的
，同样
有
.
所以
对任意
恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
假设
，则
，
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可
能都在直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由（1）中已经证明
，
知存在
，使得
.
37
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从而
满足题目要求.
综合上述两个方面，可知
的最小值是
.
38
