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7-3 导数
函数的极值、最值
与
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
7-3 导数与函数的极值、最值.............................................................................................................................1
一、主干知识..................................................................................................................................................... 1
考点1：极值的定义：............................................................................................................................ 2
考点2：极值的性质：............................................................................................................................ 2
考点3：判别f（x0）是极大、极小值的方法：...........................................................................2
考点4：求函数f（x）的极值的步骤：...........................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型..................................................................................................................................................... 3
题型一 利用导数求函数的极值问题.................................................................................................4
命题点1 根据函数图象判断极值.............................................................................................4
命题点2 求已知函数的极值...................................................................................................... 4
命题点3 已知极值(点)求参数.................................................................................................5
题型二 利用导数求函数最值............................................................................................................... 5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6
1
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、
知
一
主干
识
考点1：极值的
：
定义
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f
（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f
（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0是极小值点．
考点2：极值的
：
性质
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值
的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
考点3：判别f（x0）
极大、极小值的
：
是
方法
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，
并且如果f′（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′
（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
考点4：求函数f（x）的极值的
：
步骤
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方
程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在
这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
2
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【
用
常
结论总结】
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也
就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没
有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必
有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续
且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值
点，也可能不是极值点．
3
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、分
题
二
类
型
题
型一利用导数求函数的极值问题
题点
命
1 根据函数图象判断极值
【例题精析1】
如图为定义在R 上的函数
的图象，则关于它的导函数
的说法错误的是（ ）
A．
存在对称轴
B．
的单调递减区间为
C．
在
上单调递增
D．
存在极大值
【例题精析2】
（2023·上海松江·校考模拟预测）设a、b、c、d
，若函数
的部分图像如
图所示，则下列结论正确的是（ ）
4
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例题精析3】
（2023 春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）已知函数
的大
致图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练1】
（多选）函数
的定义域为R，它的导函数
的部分图象如图所示，则下面结论
正确的是（ ）
5
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A．在
上函数
为增函数
B．在
上函数
为增函数
C．在
上函数
有极大值
D．
是函数
在区间
上的极小值点
【对点精练2】
（多选）（2023·全国·高三专题练习）如果函数
的导函数
的图象如图所示，
则以下关于函数
的判断正确的是（ ）
A．在区间
内单调递减
B．在区间
内单调递增
C．
是极小值点
D．
是极大值点
【对点精练3】
（2021 秋·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期末）已知定义在
上的函数
，其导函数
的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
①
；②函数
在
处取得极小值，在
处取得极大值；
③函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值；④函数
的最小值为
.
A．③
B．①②
C．③④
D．④
【对点精练4】
已知函数
，则函数
的图象可能是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
题点
命
2 求已知函数的极值
【例题精析4】
（2023·广西·统考模拟预测）函数
在
处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【例题精析5】
（2023·四川成都·统考二模）函数
的极大值为______．
【例题精析6】
（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数
成等比数列，且函数
，当
时取到极大值，则
等于______.
7
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【对点精练5】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的极值点为1，且
，则
的极小值为（ ）
A．
B．
C．b
D．4
【对点精练6】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，
，
，则
（ ）
A．无极值
B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值
D．有极小值，无极大值
【对点精练7】
（2022·山东济南·统考模拟预测）若
是函数
的极值点．则
的极小值为（ ）
A．-3
B．
C．
D．0
【对点精练8】
函数
在
___处取得极小值，且极小值为___.
题点
命
3 已知极值(点)求参数
【例题精析7】
（2023·吉林延边·统考二模）若函数
在
处有极小值，则的值为______．
【例题精析8】
（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数
，若
函数
在
上有极值，则实数a 的取值范围为___．
【例题精析9】
（2022·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数
在
处取得极值，则
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在
上的极小值为______．
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
【对点精练9】
（2022 秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数
，若
时，
取得极值0，则
___________.
【对点精练10】
（2022 秋·辽宁葫芦岛·高三兴城市高级中学校考期末）已知函数
的最小值
为
，函数
的零点与极小值点相同，则
___________.
【对点精练11】
（2023·全国·高三专题练习）若函数
在区间
内有极小值，则
的取值
范围为________．
【对点精练12】
（2023 春·山东聊城·高二校考阶段练习）函数
既有极大值，又
有极小值，则
的取值范围是_________．
题
型二利用导数求函数最值
【例题精析10】
（北京·高考真题）已知函数
(1)求
的单调减区间；
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(2)若
在区间
上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【例题精析11】
（2021·北京·统考高考真题）已知函数
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
在
处取得极值，求
的单调区间，以及其最大值与最小值．
【例题精析12】
（海南·高考真题）设函数
(1)讨论
的单调性；
(2)求
在区间
的最大值和最小值．
(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单
调性，从而得到函数f(x)的最值．
【对点精练13】
（湖南·高考真题）已知函数
，其中
，e 为自然对数的底数．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
在区间
上的最大值．
【对点精练14】
（2021·全国·高考真题）设函数
，其中
.
（1）讨论
的单调性；
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（2）若
的图象与
轴没有公共点，求a 的取值范围.
【对点精练15】
（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的最小值；
(2)判断函数
的零点个数，并证明.
【对点精练16】
（2024 秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数
，
(1)求
、
的值；
(2)求
在
上的最值．
、分
三
层训练：
知
课堂
识巩固
11
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1．（2023•禅城区模拟）已知函数
有唯一零点，则
A．
B．
C．
D．2
2．（2023•石嘴山一模）若函数
有两个不同的极值点，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
3．（2023•翠屏区校级模拟）若函数
在
处有极大值，则实数
的值为
A．1
B．
或
C．
D．
4．（2023•宜春模拟）若函数
有两个极值点
，
，且
，则
的取值范围
为
A．
B．
C．
D．
5．（2023•梅河口市校级一模）已知函数
有两个大于1 的零点，则
的取值范围可以是
A．
，
B．
C．
D．
，
6 ．（2023• 湖北模拟）已知定义域为
的函数
满足
，
（1 ）
，
，若
，则
的极值情况是
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极小值，也无极大值
7．（2023•梅河口市校级模拟）若函数
有两个极值点
，
，且
，
12
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则
A．
B．
C．
D．
8．（2023•广陵区校级模拟）已知正方形
的中心在坐标原点，四个顶点都在函数
的图
象上．若正方形
唯一确定，则实数
的值为
A．
B．
C．
D．
9．（2023•长沙模拟）已知函数
，若不等式
的解集中恰有两个不同的正整数
解，则实数
的取值范围
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．（2023•遵义模拟）已知函数
在
处取得极值0，则
A．
B．0
C．1
D．2
11．（2023•河南三模）已知函数
在
处取得极大值4，则
A．8
B．
C．2
D．
12．（2023•阜新模拟）已知函数
，则
的极大值为
A．
B．1
C．27
D．
13．（2023•广西模拟）函数
在区间
上存在极值点，则整数
的值为
A．
，0
B．
，
C．
，
D．
，0
14．（2023•雁塔区校级模拟）已知函数
有两个零点
，
，且存在唯一的整数
，
，则实数
的取值范围为
13
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A．
B．
C．
D．
15．（2023•平罗县校级模拟）若函数
在
上存在两个零点，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
16．（2023•阿勒泰地区三模）函数
的极值点是
A．0
B．1
C．
D．
17．（2023•湖北二模）设函数
恰有两个极值点，则实数的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
，
D．
，
，
18．（2023•全国）已知函数
在
处取得极小值1，则
A．
B．0
C．1
D．2
19．（2023•重庆模拟）已知函数
有三个零点，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
20．（2023•商洛三模）若函数
无极值，则
的取值范围为
A．
，
B．
C．
，
，
D．
，
，
21．（2023•青羊区校级模拟）函数
，定义域为
，
有唯一极值点，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
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22．（2023•成都模拟）已知函数
有三个零点
，
，
，其中
，则
的取
值范围是
A．
B．
C．
D．
23．（2023•广西模拟）函数
在
处取得极小值，则极小值为
A．1
B．2
C．
D．
24．（2023•南宁模拟）已知
在
处取得极大值，则
的值为
A．2
B．
C．
D．
25．（2023•江西二模）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，
，
（1）
（1），则
A．无极值
B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值
D．有极小值，无极大值
26．（2023•大庆三模）函数
，则方程
解的个数为
A．0
B．1
C．2
D．3
27．（2023•上饶二模）已知函数
有3 个不同的零点分别为
，
，
，且
，
，
成等比数列，则实数
的值为
A．11
B．12
C．13
D．14
28．（2023•南宁二模）已知函数
的极值点为1，且
（2）
，则
的极小值为
A．
B．
C．
D．4
29．（2023•汉滨区校级模拟）函数
在
内有极值，则实数
的取值范围是
15
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A．
B．
C．
D．
，
30．（2023•贵州模拟）已知函数
在
处取得极小值，则实数
的取值范围为
A．
，
B．
C．
，
D．
31．（2023•贵州模拟）已知函数
在
处取得极小值，则实数
的取值范围为
A．
B．
，
C．
D．
，
32．（2023•成都模拟）已知函数
有两个极值点，则的取值范围为
A．
，
B．
C．
D．
16
