专题1.1 集合（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)集合的概念
(2)集合间的基本关系
(3)集合的基本运算
高考真题
考点
2023 年
2024 年
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统计
集合
新课标I 卷：第1 题，5
分
新课标Ⅱ卷：第2 题，5
分
新课标I 卷：第1 题，5
分
全国一卷：第2 题，5
分
全国二卷：第3 题，5
分
北京卷：第1 题，4 分
天津卷：第1 题，5 分
命题规律
分析
1、集合
集合是高考数学中的必考考点和热点问题，新高考对集合的考查相对稳
定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大。高考中常见以一元一次、一
元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运
算，偶尔涉及集合的符号辨识；一般出现在高考的单选题的前3 题中，高考
中一般只考1 题，以基础题为主。
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知识点1
集合的概念
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
知识点2
集合间的基本关系
1．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A 都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
知识点3
集合的基本运算
1．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A 且属于B 的所有元素组
成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A 或属于B 的元素组成的
集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U 中不属于A 的元素组成
的集合称为集合A 相对于集合
U 的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
2．集合的运算性质
(1) A
A
A
，A
，A
B
B
A
．
(2) A
A
A
，A
A
，A
B
B
A
．
(3)
(
)
U
A
C A
，
(
)
U
A
C A
U
，
(
)
U
U
C
C A
A
．
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【常用结论】
(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2
1
n 个，非空子集有2
1
n 个，非空真子集
有2
2
n
个．
(2)空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．
(3)
U
U
A
B
A
B
A
A
B
B
C B
C A
．
(4)
(
)
(
)
(
)
U
U
U
C
A
B
C A
C B
,
(
)
(
)
(
)
U
U
U
C
A
B
C A
C B
．
【题型1
元素与集合的关系】
【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素�∈0,1,2,3 ，且�∉0,1,3 ，则�的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解题思路】根据元素与集合的属于、不属于关系，从�的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确
定�的值.
【解答过程】由�∈{0,1,2,3}，可知a 的可能取值为0,1,2,3；
再由�∉{0,1,3}，可排除取值0、1、3；
因此�的取值只能为2.
故选：C.
【变式1-1】（2026·河南·模拟预测）已知集合�=
2�+ 1|�∈�，则（
）
A．2 + 1 ∉�
B．2 ∈�
C．1 ∈�
D．1 −
2 ∈�
【答案】C
【解题思路】根据�= 1，�= 0 时的情况判断AC；分别令2�+ 1 =
2，2�+ 1 = 1 −
2求解对应的�，
并结合�∈�判断BD.
【解答过程】对于A 选项，当�= 1 时，2�+ 1 =
2 + 1 ∈�，故A 错误；
对于B 选项，令2�+ 1 =
2，解得�=
2−1
2 = 1 −
2
2 ∉�，故2 ∉�，即B 错误；
对于C 选项，当�= 0 时，2�+ 1 = 1 ∈�，故C 正确；
对于D 选项，令2�+ 1 = 1 −
2，解得�=−1 ∉�，故1 −
2 ∉�，即D 错误；
故选：C.
【变式1-2】（2026·辽宁·二模）设集合�= �|2�−1 > �.若2 ∈�，则�的取值范围是（
）
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A．�≤3
B．�≥3
C．�< 3
D．�> 3
【答案】C
【解题思路】根据元素与集合的关系，求�的取值范围.
【解答过程】因为2 ∈�，所以2 × 2 −1 > �，所以�< 3.
故选：C.
【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合1,2, �, 4 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则
实数�=（
）
A．−4
B．−3
C．−2
D．−1
【答案】B
【解题思路】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可.
【解答过程】根据集合中元素的互异性可得：�≠1，�≠2 且�≠4.
当集合�> 4 时，集合1,2, �, 4 的最大元素为�；当集合�< 4 时，集合1,2, �, 4 的最大元素为4；
根据题意可得：集合1,2, �, 4 的所有元素之和为7 + �.
且
�> 4
7 + �= �或
�< 4
7 + �= 4 ，
解得：�=−3.
故选：B.
【题型2
集合中元素的个数问题】
【例2】（2025·宁夏银川·一模）已知集合�= 0,1,2 ，则集合�=
�, �∣�≤�, �∈�, �∈�中元素的个数是
（
）
A．1
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【解题思路】根据题意，采用列举法表示集合�即可求解.
【解答过程】由题，可得�=
0,0 , 0,1 , 0,2 , 1,1 , 1,2 , 2,2
，
所以集合�含有6 个元素.
故选：C.
【变式2-1】（2026·四川乐山·三模）已知集合�= −1,0,1 , �= 1,2 , �= �∣�= �+ �, �∈�, �∈�，则集
合�的元素个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
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【答案】C
【解题思路】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可.
【解答过程】由题意知，�∈{ −1,0,1}，�∈{1,2}，
当�∈{ −1,0,1}，�= 1 时，�+ �∈{0,1,2}，
当�∈{ −1,0,1}，�= 2 时，�+ �∈{1,2,3}，
所以�= {0,1,2,3}，
所以集合�中的元素个数为4.
故选：C.
【变式2-2】（2026·福建宁德·二模）已知集合�= �∣1 ≤�≤3 ，集合�= −1,0,1,2,3,4 ，则�∩�中元素的
个数为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【解题思路】根据交集的定义求出集合�∩�即可.
【解答过程】因为集合�= �∣1 ≤�≤3 ，集合�= −1,0,1,2,3,4 ，
所以�∩�= 1,2,3 ，所以�∩�中元素的个数为3.
故选：C.
【变式2-3】（2024·四川乐山·三模）已知集合�=
�, ��2 + �2 ≤10 , �∈N∗, �∈N∗，则集合A 的元素个
数为（
）
A．9
B．8
C．6
D．5
【答案】C
【解题思路】利用列举法表示集合A 即可得出元素个数.
【解答过程】�= (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1) ，共6 个元素.
故选：C.
【题型3
求集合的子集（真子集）的个数】
【例3】（2026·四川成都·模拟预测）若�= 0, −1,1 ，则A 的真子集个数为（
）
A．3
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【解题思路】根据真子集的定义求解即可.
【解答过程】因为集合�= 0, −1,1 ，所以�的真子集有∅, 0 , −1 , 1 , 0, −1 , 0,1 , −1,1 共7 个.
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故选：C.
【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足0 ⊆�−1, 0, 1 的集合�的个数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】A
【解题思路】用列举法写出满足条件的集合�，即可得答案.
【解答过程】解：由题意可得�= {0}, {0, −1}, {0,1}，共3 个.
故选：A.
【变式3-2】（2026·湖北襄阳·二模）已知集合�= {�∈�|
1
2 < 2�< 8} ，�⫋�则符合条件的集合B 的个数为
（
）
A．2
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解题思路】利用列举法表示出集合�，再根据给定条件即可求出集合�的可能情况.
【解答过程】集合�= �∈�
1
2 < 2�< 8
= �∈�|2−1 < 2�< 23 = {�∈�| −1 < �< 3}，�∈�，
所以�可能的取值为0,1,2，即集合�= 0,1,2 ，�是�的真子集，有23 −1 = 7 个，故C 正确．
故选：C.
【变式3-3】（2026·贵州六盘水·一模）集合�= �∈�
12
�∈�的子集的个数为（
）
A．64
B．16
C．6
D．4
【答案】A
【解题思路】确定集合�，根据集合中元素的个数确定子集的个数.
【解答过程】由题意�∈�且
12
�∈�，�的值可以为：1,2,3,4,6,12，所以�= 1,2,3,4,6,12 有6 个元素.
故集合�的子集有：26 = 64 个.
故选：A.
【题型4
判断集合间的关系】
【例4】（2026·山东青岛·三模）若集合�= ��=
�
2 , �∈Z ，�= ��=
�
4 , �∈Z ，则（
）
A．�⊆�
B．�⊆�
C．�= �
D．�∩�= ∅
【答案】A
【解题思路】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系.
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【解答过程】因为集合�= ��=
�
2 , �∈Z = ��=
2�
4 , �∈Z ,�= ��=
�
4 , �∈Z ，
则�⊆�.
故选：A.
【变式4-1】（2026·浙江杭州·模拟预测）设全集�= Z，集合�= ��= 3�−1, �∈Z , �= ��= 6�−1, �∈
Z ，则（
）
A．�⊆�
B．�⊆�
C．�= �
D．�∩�= �
【答案】B
【解题思路】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果.
【解答过程】因为集合�= ��= 3�−1, �∈Z ，
�= ��= 6�−1, �∈Z
= ��= 3 × 2�−1, �∈Z ，故�⊆�，
故选：B.
【变式4-2】（2025·河北唐山·模拟预测）已知集合�= ��2 > 1 ，�= {��<−1 或�> 1}，则（
）
A．�= �
B．0∈�
C．�∩�= ∅
D．�∪�= R
【答案】A
【解题思路】先化简集合�，然后根据选项验证即可.
【解答过程】因为�2 > 1，所以�<−1 或�> 1，显然�= �，其余选项均不正确.
故选：A.
【变式4-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合�= ��= 2�+ 1, �∈�，�= ��= �+ 2, �∈�，则（
）
A．�⊆�
B．�⊆�
C．�= �
D．�∩�= ∅
【答案】A
【解题思路】集合A 为所有奇数组成的集合，集合B 为所有整数组成的集合，故A 是B 的子集.
【解答过程】�= ��= 2�+ 1, �∈�
= ⋯−3, −1,1,3,5⋯，
�= ��= �+ 2, �∈�
= ⋯−3, −2, −1,0,1,2⋯，
集合A 为所有奇数组成的集合，集合B 为所有整数组成的集合，故A 是B 的子集.
故选：A.
【题型5
与集合间的关系有关的含参问题】
【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合�= 1,2 ，�= {�|��−2 = 0}，若�⊆�，则由实数�组成
的集合为（
）
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A．0,1
B．0,2
C．1,2
D．0,1,2
【答案】D
【解题思路】根据题意，分�= 0 和�≠0，两种情况讨论，结合�⊆�，列出方程，即可求解.
【解答过程】当�= 0 时，方程��−2 = 0 无解，即�= ∅，满足�⊆�；
当�≠0 时，由方程��−2 = 0，解得�=
2
�，即�=
2
�，
因为�⊆�，可得
2
�= 1 或
2
�= 2，解得�= 2 或�= 1，
所以由实数�组成的集合为0,1,2 .
故选：D.
【变式5-1】（2026·河南·二模）已知集合�= ��≤�，�= ��−2 < 0 ，若�⊆�，则实数�的取值范
围是（
）
A．0,2
B．0,2
C．−∞, 2
D．−∞, 2
【答案】C
【解题思路】根据题意，分�< 0、�≥0，结合�⊆�进行求解．
【解答过程】当�< 0 时，�= ∅，符合�⊆�；
当�≥0 时，�= �−�≤�≤�，�= ��< 2 ，又�⊆�，
∴0 ≤�< 2，
综上，�∈−∞, 2 ．
故选：C.
【变式5-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合�= −1,0 ，�= ��2 + ��+ �= 0 ，若�= �，则��=
（
）
A．2
B．1
C．0
D．−1
【答案】B
【解题思路】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得�= 1, �= 0，进而可得所求
值.
【解答过程】已知�= �，�= −1,0 ，所以一元二次方程�2 + ��+ �= 0 的两个根就是−1 和0.
设一元二次方程�2 + ��+ �= 0 的两根为�1, �2
，则：�1 + �2 =−�，�1�2 = �，
所以−1 + 0 =−�, −1 × 0 = �，即�= 1, �= 0，因此��= 1.
故选：B.
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【变式5-3】（2026·广东广州·模拟预测）已知集合�= 3,4 , �= ��< �< 2�，若�⊆�，则�的取值范围
是（
）
A．−2,3
B．−3,2
C．0,2
D．2,3
【答案】D
【解题思路】由子集的定义，解不等式可得结果.
【解答过程】由�⊆�，可得�< 3
2�> 4 ，解得2 < �< 3.
故选：D.
【题型6
集合的交、并、补集运算】
【例6】（2026·河北雄安·三模）已知集合�= ��−3 ≤0 ，�= ��> 1 ，则�∩�=（
）
A．−1, + ∞
B．0,3
C．1,3
D．−1, + ∞
【答案】C
【解题思路】借助交集定义即可得.
【解答过程】�= ��−3 ≤0
= ��≤3 ，又�= ��> 1 ，
则�∩�= 1,3 .
故选：C.
【变式6-1】（2026·甘肃白银·三模）已知集合�= 0,1 ，�= 1,2,3 ，则�∪�=（
）
A．1
B．0,1,2
C．0,2,3
D．0,1,2,3
【答案】D
【解题思路】由并集的概念求解即可.
【解答过程】由题意得�∪�= 0,1,2,3 .
故选：D.
【变式6-2】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知集合�= −1,0,1,2,3 ，�= 1,3,5 ，则�∩�中元素的个数为
（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解题思路】利用交集的运算法则直接运算出�∩�，即得答案.
【解答过程】由题意得：�∩�= {1,3}，
则�∩�中元素的个数为2，
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故选：C.
【变式6-3】（2026·天津河西·三模）已知集合�= 1,2,3,4,5 ，�= 1,3,4 ，�= 1,3,5 ，则∁��∪�=（
）
A．2
B．1,3
C．2,4,5
D．1,3,4,5
【答案】A
【解题思路】根据题意，利用集合交集和补集的定义与运算，即可求解.
【解答过程】由集合�= 1,3,4 ，�= 1,3,5 ，可得�∪�= 1,3,4,5 ，
又由集合�= 1,2,3,4,5 ，所以∁��∪�= 2 .
故选：A.
【题型7
与集合的运算有关的含参问题】
【例7】（2025·全国·模拟预测）集合�= 1, �2, −3 ，集合�= {0,9}，若�∩�= {9}，则�=（
）
A．3
B．−3
C．±3
D．9
【答案】C
【解题思路】由题知9 ∈�，则�2 = 9，然后解方程检验即可．
【解答过程】∵�∩�= 9 , ∴9 ∈�，
则�2 = 9，解得�=± 3，
当�=± 3 时，�= {1,9, −3}, �= {0,9}，�∩�= {9}，符合题意；
∴�=± 3．
故选：C．
【变式7-1】（2026·陕西西安·三模）已知集合�= 2,5,6 ，�= 2, �−2 ，若�∪�= �，则a 的取值集合是
（
）
A．8
B．7,8
C．4,7,8
D．7
【答案】B
【解题思路】根据题意，得到�⊆�，列出关系式，即可求解.
【解答过程】因为�∪�= �，所以�⊆�，
结合集合元素的互异性，可得�−2 = 5 或�−2 = 6，
解得�= 7 或�= 8．
故选：B．
【变式7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）若集合�= {�| −1 ≤�≤5}，�= {�|��≤�3}，且�∩�= {�|2 ≤�≤
5}，则�=（
）
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A．2
B．−
2
C．±
2
D．2或0
【答案】B
【解题思路】对集合B 进行分类讨论，再根据两集合的交集判断可得.
【解答过程】由集合�= {�|��≤�3}，分三类情况：
①当�= 0 时，�= {�|��≤�3} = R，则�∩�= �，显然不满足�∩�= {�|2 ≤�≤5}.
②当�> 0，则�= {�|�≤�2}，如图，也不满足�∩�= �2 ≤�≤5 .
③当�< 0，则�= {�|�≥�2}，由�∩�= �2 ≤�≤5 ，得�2 = 2，即�=−
2.如图：
故选：B.
【变式7-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合�= �∈�| �−2
�−3 ≤0}, �= {�|��−2 = 0 ,若�∪
�= �，则a 的取值构成的集合为（
）
A．0
B．0,1
C．1,
2
3
D．0,1,
2
3
【答案】D
【解题思路】通过�= 0 和�≠0 两类情况讨论即可.
【解答过程】由题得�= 2,3 ，因为�∪�= �，所以�⊆�.
当�= 0 时，�= ∅，满足�⊆�；
当�≠0 时，�=
2
�，因为�⊆�，所以
2
�= 2 或
2
�= 3，解得�=1 或�=
2
3，
综上�的取值构成的集合为0,1,
2
3 .
故选：D.
【题型8
集合中的新定义问题】
【例8】（2026·上海闵行·一模）已知�= 0,1 , �= 1,2 ，若�−�= {�|�∈�，且�∉�}，则�−�=（
）
A．{2}
B．{1}
C．{0}
D．{0,1,2}
【答案】C
【解题思路】根据题中�−�的定义求解即可.
【解答过程】�−�= ��∈�且�∉�，因为�= 0,1 , �= 1,2 ，
对于0 ∈�, 0 ∉�，所以0 ∈�−�；对于1 ∈�, 1 ∈�，所以1 ∉�−�；
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则�−�= 0 ，
故选：C.
【变式8-1】（2026·辽宁·三模）定义集合运算：�⊗�= ��= ��, �∈�, �∈�，设集合�= 0,1 ，�= 2,3 ，
则集合�⊗�的所有元素之和为（
）
A．0
B．2
C．3
D．5
【答案】D
【解题思路】根据定义先求�⊗�，进而求解.
【解答过程】由题意得：�⊗�= 0,2,3 ，
所以0 + 2 + 3 = 5.
故选：D.
【变式8-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）设�、�为两个实数集，定义集合�+ �= {�+ ��∈�, �∈�}，若
�= {0,1,2}, �= {1,2}，则�+ �的子集个数为（
）
A．15
B．16
C．31
D．32
【答案】B
【解题思路】由集合新定义确定�+ �，即可求解.
【解答过程】由题意�+ �= 1,2,3,4 ，
所以�+ �的子集个数为24 = 16，
故选：B.
【变式8-3】（2026·河南开封·二模）定义集合�−�= �|�∈�且�∉�，已知集合�= 1, �，�= 2, �，
若�−�= 1 ，则下列一定成立的是（
）
A．�= 2
B．�≠1
C．�∩�= 2
D．�−�= 2
【答案】B
【解题思路】由集合新定义确定�−�，得到�∈�，�≠1, �≠2，即可求解.
【解答过程】因为集合�−�= ��∈�且�∉�，集合�= 1, �，集合�= 2, �，�−�= 1 ，
所以1 ∈�且1 ∉�，�∈�，�≠1, �≠2，
选项A：因为�∈�，所以�= 2 或者�= �（且满足集合元素的互异性）；
选项B：因为1 ∉�且�= 2, �，所以�≠1 一定成立；
选项C：当�= �= 3 时，集合�= 1,3 ，集合�= 2,3 ，�∩�= 3 ，C 错误；
选项D：当�= 2，�= 3 时，集合�= 1,2 ，集合�= 2,3 ，�−�= 3 ，D 错误.
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故选：B.
一、单选题
1．（2025·河北沧州·一模）已知集合�= �∣�+ 2 ≤2 ，�= −4, −2,1,2,5 ，则�∩�=（
）
A．−4, −2,1,2
B．−2,1,2
C．1,2
D．−2,1
【答案】B
【解题思路】根据集合交集的概念及运算法则计算即可.
【解答过程】由题意知�= �∣�+ 2 ≤2 = �−2 ≤�≤2 .
又�= −4, −2,1,2,5 ，
所以�∩�= −2,1,2 .
故选：B.
2．（25-26 高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合�= �−2, �2 + 4�, 12 ，且−3 ∈�，则�等于（
）
A．−1
B．−3
C．3
D．−3 或−1
【答案】B
【解题思路】分别令�−2 =−3 和�2 + 4�=−3，求得a 值，根据集合的互异性，分析即可得答案.
【解答过程】因为−3 ∈�，当�−2 =−3，即�=−1 时，
集合�= −3, −3,12 ，不满足互异性，不符合题意，
当�2 + 4�=−3 时，解得�=−3 或�=−1（舍），
当�=−3 时，集合�= −5, −3,12 ，满足题意.
故选：B.
3．（2025·辽宁·三模）已知集合�= 1,2 , �= �2 −�2∣�, �∈�，则下列判断错误的是（
）
A．1 ∈�
B．0 ∈�
C．3 ∈�
D．−3 ∈�
【答案】A
【解题思路】根据题意，求出集合�，利用元素与集合的关系判断.
【解答过程】依题意可得�= −3,0,3 ，所以−3 ∈�, 0 ∈�, 3 ∈�, 1 ∉�.
故选：A.
4．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合�= 1,3, �2 , �= 3, �+ 2 ，且�⊆�，则实数�=（
）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
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【解题思路】根据题意可对�+ 2 = 1 和�+ 2 = �2分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果.
【解答过程】由�⊆�可知�+ 2 = 1 或�+ 2 = �2；
当�+ 2 = 1 时，即�=−1，此时�2 = 1，不能满足题意；
当�+ 2 = �2时，解得�= 2 或�=−1（舍），
�= 2 时，�= 1,3,4 , �= 3,4 ，满足题意，
故�= 2.
故选：D.
5．（2025·广东江门·模拟预测）设�, �∈�, �= 1, −�, �= −1, �，若�= �，则�+ �=（
）
A．−2
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解题思路】根据已知集合及相等关系确定参数值，即可得.
【解答过程】由题设，�= �⇒
−�=−1
�= 1
⇒�= �= 1，则�+ �= 2.
故选：D.
6．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合�= �2 + 1, �, �= 1,2,3 ，若�∩�= 1 ，则�=（
）
A．0
B．1
C．2
D．0 或1
【答案】A
【解题思路】由�∩�= 1 知集合�中必有元素1，分两种情况讨论即可．
【解答过程】∵�∩�= 1 ，∴集合�中必有元素1．
①当�2 + 1 = 1 时，�= 0．
集合�= {1,0}，�∩�= 1 ，满足条件．
②当�= 1 时：�2 + 1 = 12 + 1 = 2，集合�= {2,1}，那么�∩�= {1,2}，不满足�∩�= {1}，∴�= 1 舍去．
综上，�= 0，
故选：A．
7．（2025·广东·模拟预测）已知集合�= 2,4, �, �= �, 2�，若�⊆�，则�=（
）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解题思路】利用集合之间的关系，得出2�= 2 或2�= 4，求解后，需要留意元素的互异性即可．
【解答过程】由于�= {�, 2�}，故�≠2�, ∴�≠0，
由�⊆�知2�= 2 或2�= 4，
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即�= 1 或�= 2，
注意到2 ∈�，故由元素互异性知�≠2，故�= 1，
故选：C．
8．（2025·江苏·模拟预测）已知集合�= ��2 ≤2 , �= 0,1,2,3 ，则�∩�中元素的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解题思路】根据交集的运算，可得答案.
【解答过程】由�= ��2 ≤2
= �−
2 ≤�≤
2 ，则�∩�= 0,1 .
故选：B.
二、多选题
9．（2025·江西·模拟预测）已知集合�= ���≤6 ，�= 2,3 ，下列结论正确的是（
）
A．若�= 0，则�= �
B．若�= 0，则�= ∅
C．若�⊆�，则�≤2
D．若�⊆�，则�可以取3
【答案】AC
【解题思路】把�= 0 代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【解答过程】对于AB，若�= 0，则任意实数�均满足0 ⋅�≤6，因此�= �，A 正确，B 错误；
对于CD，由�⊆�，得2�≤6
3�≤6 ，解得�≤2，C 正确，D 错误.
故选：AC.
10．（2025·河南·三模）已知全集�= ��< 4, �∈�，集合�= −1,2, �2 ，�= −1,1,2, �，�= −3, −
1,2,3 ，若�⊆�，则（
）
A．�的取值有3 个
B．�∩�= −1,2
C．�∪�= −3, −1,0,1,2,3
D．∁��∩∁��所有子集的个数为4
【答案】BCD
【解题思路】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出�的值，可判断A 选项；利用交集的定义可
判断B 选项；利用并集的定义可判断C 选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D 选项.
【解答过程】对于A 选项，因为�= −1,2, �2 ，�= −1,1,2, �，且�⊆�，
则�2 = 1 或�2 = �，且�≠± 1，�≠2，解得�= 0，故�的取值只有1 个，故A 错误；
对于B 选项，�= −1,2,0 ，�= −3, −1,2,3 ，所以�∩�= −1,2 ，故B 正确；
对于C 选项，�= −1,1,2,0 ，�∪�= −3, −1,0,1,2,3 ，故C 正确；
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对于D 选项，�= ��< 4, �∈�
= �−4 < �< 4, �∈�
= −3, −2, −1,0,1,2,3 ，
所以∁��= −3, −2,1,3 ，∁��= −2,0,1 ，则∁��∩∁��= −2,1 ，
其∁��∩∁��的子集的个数为22 = 4，故D 正确．
故选：BCD.
11．
（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M 具有如下性质：①若�, �∈�，则
�
�∈�；②若�, �∈�，则�+ �∈�.
下列说法中正确的有（
）
A．−1 ∈�.
B．2025 ∈�.
C．若�, �∈�，则��∈�.
D．若�, �∈�，则�−�∈�.
【答案】BC
【解题思路】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.
【解答过程】对于A，若−1 ∈�，令�= �=−1，则
�
�= 1 ∈�, �+ �=−2 ∈�，令�=−1, �= 1，则
�
�=−1 ∈
�, �+ �= 0 ∈�，令�= 1, �= 0，不存在
�
�，即�≠0，矛盾，所以−1 ∉�，故A 错误，
对于B，由于集合�非空，取任意元素�∈�，根据性质①，得
�
�= 1 ∈�，再根据性质②，得1 + 1 = 2 ∈�，
进而1 + 2 = 3 ∈�, ⋯, 2024 ∈�, 2025 ∈�，故B 正确，
对于C，因为1 ∈�, �∈�，所以
1
�∈�，因为�∈�,
1
�∈�，所以
�
1
�
= ��∈�，故C 正确，
对于D，若�= 1, �= 2，则�−�=−1 ∉�，故D 错误，
故选：BC.
三、填空题
12．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合�= 1, �−1 , �+ 2 ，且2 ∈�，则实数�的值为__________．
【答案】3
【解题思路】因为2 ∈�，则�−1 = 2 或�+ 2 = 2，由此可解出�，再代入集合�验证，需要满足集合的互
异性，由此可得答案.
【解答过程】因为2 ∈�，所以分为以下两种情况：
①�−1 = 2 ⇒�= 3 或−1，当�= 3 时，集合�= 1,2,5 满足题意；
当�=−1 时，集合�= 1,2,1 ，违反了集合的互异性，故舍去；
②�+ 2 = 2 ⇒�= 0，此时集合�= 1,1,2 ，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，�= 3.
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故答案为：3.
13．（2025·上海嘉定·一模）已知集合�= −2,2 ，�= −3, −1 ∪1, + ∞，则�∪�= __________．
【答案】−3, + ∞
【解题思路】根据题意结合集合的并集运算求解即可,
【解答过程】因为集合�= −2,2 ，�= −3, −1 ∪1, + ∞，
所以�∪�= −2,2 ∪−3, −1 ∪1, + ∞= −3, + ∞.
故答案为：−3, + ∞.
14．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合�= 1,3,5,7 ，集合�= 1,2,3,4,5,6,7 ，若集合�满足�⫋�⊆�，
则这样的集合�共有__________个.
【答案】7
【解题思路】结合子集和真子集的概念求解即可.
【解答过程】由�⫋�⊆�，则集合�中一定有元素1,3,5,7，
且至少含有2,4,6 其中一个元素，
则这样的集合�共有23 −1 = 7 个.
故答案为：7.
四、解答题
15．（2025 高一上·安徽六安·专题练习）已知集合�= ���2 + 2�+ 1 = 0, �∈R, �∈R ．
(1)若1 ∈�，求�的值；
(2)若集合�至多有两个子集，求�的取值范围．
【答案】(1)�=−3
(2) �|�= 0 或�≥1
【解题思路】（1）由1 ∈�，代入得�+ 2 + 1 = 0，再求解即可；
（2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二
次项系数分和两种情况进行分别求解即可．
【解答过程】（1）由于1 ∈�，所以�= 1 是��2 + 2�+ 1 = 0 的实数根，
故�+ 2 + 1 = 0，故�=−3；
（2）由已知可得�中最多有一个元素，故�中可能无任何元素，或者只有一个元素，
当�= 0 时只有一个元素，
当�≠0 时，方程��2 + 2�+ 1 = 0 为一元二次方程，Δ = 4 −4�< 0，即�> 1 时，�为空集；
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Δ = 0，即�= 1 时，方程有两个相等的根，�中有一个元素，
�中最多有一个元素，�|�= 0 或�≥1 ．
16．（25-26 高三上·江西·阶段检测）已知集合�= ���= 1 ，�= ��2 −��+ �= 0 .
(1)若�= 2，且�⊆�，求�的值；
(2)当�2 ≥4��≠0 时，若�⊆�，求�，�的值.
【答案】(1)�=
3
4
(2)�=±
2, �=
1
2
【解题思路】（1）先求出集合�=
1
2 ，再根据�⊆�得出
1
2 ∈�即可求解；
（2）先根据�⊆�及�=
1
�，�≠ϕ得出集合�=
1
�，再列式计算求参.
【解答过程】（1）当�= 2 时，�= �2�= 1 =
1
2 ，又因为�⊆�，
所以
1
2 ∈�= ��2 −2�+ �= 0 ，所以
1
4 −1 + �= 0，所以�=
3
4；
（2）当�2 ≥4��≠0 时，�≠∅，
因为�⊆�，�= ���= 1 =
1
�，
所以�= ��2 −��+ �= 0 只有一个元素且�=
1
�，
所以
�2 = 4�
1
�2 −1 + �= 0 ，所以
�=±
2
�=
1
2
.
17．（25-26 高一上·辽宁大连·期中）已知集合�= �
5�
2�−3 ≤1 ，集合�= ��−1 ≤�≤2�+ 1 ．
(1)若�= 2，求�∩�和∁R�∪�．
(2)若�∩�= �，求实数�的取值范围．
【答案】(1)�∩�= �1 ≤�<
3
2 ，∁R�∪�= ��<−1 或�≥1
(2) ��<−2 或0 ≤�<
1
4
【解题思路】（1）解分式不等式求得集合�，进而求得�，可求�∩�和∁R�∪�．
（2）由题意可得�⊆�，分�= ∅与�≠∅讨论，列出不等式，计算可求得实数�的取值范围.
【解答过程】（1）由
5�
2�−3 ≤1，得
5�
2�−3 −
2�−3
2�−3 ≤0，所以
3�+3
2�−3 ≤0，所以
�+1
2�−3 ≤0
所以
�+ 1
2�−3 ≤0
2�−3 ≠0
，解得−1 ≤�<
3
2，
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所以�= �−1 ≤�<
3
2 ，所以∁R�= ��<−1 或�≥
3
2 ，
当�= 2 时，�= �1 ≤�≤5 ，
所以�∩�= �1 ≤�<
3
2 ，∁R�∪�= ��<−1 或�≥1 ；
（2）由�∩�= �，则�⊆�，由（1）可知�= �−1 ≤�<
3
2
若�= ∅，则�−1 > 2�+ 1，解得�<−2，满足�⊆�；
若�≠∅，由�⊆�，得
�−1 ≤2�+ 1
�−1 ≥−1
2�+ 1 <
3
2
，解得
�≥−2
�≥0
�<
1
4
，即0 ≤�<
1
4，
综上所述：实数�的取值范围为��<−2 或0 ≤�<
1
4 ．
18．
（2025·湖北武汉·二模）已知集合�= ��= �+
3�, �∈�, �∈�，集合B 满足�= ��∈�且
1
�∈�．
(1)判断2 +
3，3 −
3，0，7 + 4 3中的哪些元素属于B；
(2)证明：若�∈�，�∈�，则��∈�；
(3)证明：若�= �+
3�∈�, �∈�, �∈�，则�2 −3�2 = 1．
【答案】(1)2 +
3 ∈�，7 + 4 3 ∈�
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解题思路】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于�即可；
（2）先证明若�∈�，�∈�，则��∈�，即可得到
1
��∈�，从而得证；
（3）依题意可得
1
�=
�
�2−3�2 +
−�
�2−3�2
3 ∈�，从而求出�2 −3�2 =± 1，再说明�2 −3�2 ≠−1 即可.
【解答过程】（1）因为
1
2+ 3 = 2 −
3 ∈�，所以2 +
3 ∈�；
因为
1
3−3 =
3+ 3
3−3
3+ 3 =
3+ 3
6
∉�，所以3 −
3 ∉�；
因为0 没有倒数，所以0 ∉�；
因为
1
7+4 3 =
7−4 3
7+4 3
7−4 3 = 7 −4 3 ∈�，所以7 + 4 3 ∈�；
综上可得2 +
3 ∈�，7 + 4 3 ∈�.
（2）先证明：若�∈�，�∈�，则��∈�；
设�= �+
3�，�= �+
3�，�, �, �, �为整数，
所以��= �+
3�
�+
3�= ��+ 3��+ ��+ ��
3，
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由于��+ 3��，��+ ��都是整数，所以��∈�，
当�∈�，�∈�时，
1
�∈�，
1
�∈�，所以
1
�⋅
1
�=
1
��∈�，所以��∈�；
（3）因为�= �+
3�∈�, �∈�, �∈�，
所以
1
�=
1
�+ 3�=
�−3�
�+ 3�
�−3�=
�
�2−3�2 +
−�
�2−3�2
3 ∈�，
因为�∈�, �∈�，所以
�
�2−3�2，
−�
�2−3�2都是有理数，
所以
�
�2−3�2，
−�
�2−3�2都是整数，
所以
�
�2−3�2
2
−3
−�
�2−3�2
2
=
�2−3�2
�2−3�2 2 =
1
�2−3�2为整数，
所以�2 −3�2 =± 1，
假如�2 −3�2 =−1，则�2 + 1 = 3�2，则�2 + 1 应为3 的倍数，
设�为整数，若�= 3�，则�2 + 1 = 9�2 + 1 不是3 的倍数；
若�= 3�+ 1，则�2 + 1 = 9�2 + 6�+ 2 = 3 3�2 + 2�+ 2 不是3 的倍数；
若�= 3�+ 2，则�2 + 1 = 9�2 + 12�+ 5 = 3 3�2 + 4�+ 1 + 2 不是3 的倍数；
所以�2 −3�2 ≠−1，即�2 −3�2 = 1.
19．（2025·湖北·模拟预测）已知集合�= 1,2, ⋯, �，�∈�∗，�、�是�的非空子集.记集合�+ �=
�+ �
除以�的余数�∈�, �∈�.若正整数�满足：存在非空集合�、�，使得�+ �两两的交集为空集，且�∪�∪
�+ �= 0,1,2, ⋯, �−1 ，则称�为“好的”.
(1)设�= 1 ，�= 2,4 ，当�= 5 时，求�+ �，并直接判断�= 5 是否为“好的”；
(2)证明：�= 8 是“好的”，�= 16 是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【答案】(1)�+ �= 0,3 ，�= 5 是“好的”
(2)证明见解析
(3)除1、2、4 外的正整数
【解题思路】（1）根据题中定义可求出集合�+ �，并由此作出判断；
（2）当�= 8 时，取集合�= 1,2 ，�= 3,6 ；当�= 16 时，取集合�= 1,2,9,10 ，�= 3,6,11,14 ，结合
题中定义验证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数�是“好的”，则2�也是“好的”，再证：�≥3 为奇数是“好的”，�= 4 不是“好的”，
同理易知�= 1，2 不是“好的”，由此可得出结论.
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【解答过程】（1）当�= 5 时，由题中定义可得�+ �= 0,3 ，且�∪�∪�+ �= 0,1,2,3,4 ，故�= 5 是
“好的”.
（2）�= 8 时，取�= 1,2 ，�= 3,6 ，则�+ �的值为4、7、5、8，除以8 的余数为4，7，5，0.
所以�+ �= 4,5,7,0 ，此时�∪�∪�+ �= 0,1,2,3,4,5,6,7 ，合乎题意；
�= 16 时，取�= 1,2,9,10 ，�= 3,6,11,14 ，
�+ �的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16 的余数为4，7，12，15，5，8，
13，0.
所以�+ �= 4,5,7,8,12,13,15,0 ，则�∪�∪�+ �= 0,1,2,3,4, ⋯, 15 ，满足条件.
故�= 8 是“好的”，�= 16 是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数�是“好的”，则2�也是“好的”.（*）
事实上，若正整数�是“好的”，
设�= �1, �2, ⋯, ��，�= �1, �2, ⋯, ��，�+ �= �1, �2, ⋯, ��，此时集合�、�满足�时条件.
2�时，考虑�= �1, �2, ⋯, ��, �1 + �, �2 + �, ⋯, ��+ �，�= �1, �2, ⋯, ��, �1 + �, �2 + �, ⋯, ��+ �，
则�+ �= �1, �2, ⋯, ��, �1 + �, �2 + �, ⋯, ��+ �也满足条件，（*）得证.
②再证：�≥3 为奇数是“好的”.（**）
事实上，取�= 1 ，�= 2,4,6, ⋯, �−1 ，则�+ �= 3,5,7, ⋯, �−2,0 满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4 外的正整数均为“好的”.
③再证：�= 4 不是“好的”.
对集合�，记�为�中元素个数，由条件，�+ �+ �+ �= �.
若�= �= 1，则�+ �= 1，矛盾.
若�≥2 或�≥2，则�+ �≥2，则�+ �+ �+ �≥5，矛盾.
于是�= 4 不是“好的”.
同理易知�= 1，2 不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4 外的正整数.
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