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8.2 平面向量的数量积及应用
1
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2
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3
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考点一 投影及投影向量
【例1-1】（2024·全国·二模）已知向量
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，
在
上的投影向量为：
.故选：A
【例1-2】（2024·江苏南京·模拟预测）向量
在向量
上的投影为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，即
，
又
，则
，即
，
所以
，则
.
故选：
．
【一隅三反】
1．（2024·河南驻马店·二模）已知向量
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
4
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则
在
方向上的投影向量为：
.
故选：C
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系
中，
，点
在直线
上，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，设点
，则
，
则
在
上的投影向量为
.
故选：C
3．（2024·江苏苏州·三模）已知
，且
在
方向上的投影向量为单位向量，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．6
【答案】B
【解析】由题意可得
，所以
，即
，
所以
①，
因为
，所以
，即
，
所以
②，
①
②可得
，即
又
在
方向上的投影向量为单位向量，
5
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则
，即
，解得
，
则
，代入②中可得
，解得
.
故选：B
考点二 数量积公式简单应用
【例2-1】（2024·山西太原·一模）在
中，
，
，
，设点
为
的中点，
在
上，且
，则
（ ）
A．16
B．12
C．8
D．
【答案】A
【解析】因为在
中，
，
，
，以
为原点，建立如图坐标系，
则
，
，C (0,6)，
，设E (0,b)，则
，
，
由题意可知
.即
，即
，所以
.
所以
，
.所以
.
故选：A.
【例2-2】（2024·四川资阳·二模）已知向量
，
的夹角为150°，且
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.
6
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【详解】因为
，
所以
.
故选：D
【例2-3】（2024·山西太原·二模）已知
，
，
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
，
所以
，则
，即
，
解得
，
设
与
的夹角为
，则
，又
，
所以
，即
与
的夹角为
.
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量
为单位向量，
且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为向量
均为单位向量，即
，且
，
，
则
，两边平方可得
，
即
，所以
，
又
，所以
与
的夹角为
．
故选：C．
7
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2．（2024·河南周口·模拟预测）已知
中，
，
，AD 为BC 上的高，垂足为
，点
为
AB 上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，
由题意可知，
，
，
，故
，
因为
，
所以
，
则
.
故选：A.
3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知
、
均为单位向量，且
，则
与
的夹角大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，即
.
，
则
，
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因为
，所以
与
的夹角大小为
.
故选：C
4．（2024·江苏·三模）已知过抛物线
的焦点
的直线与
相交于
两点，
轴上一点
满足
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】
设
，
，
，
联立方程组得到
，消
可得
，
解得
，因为
，所以
，
而
，
而
，
解得
，此时
，
，
，故D 正确.
故选：
.
9
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考点三 取值范围
【例3-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形
中
，若
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】由
可得
，
因x∈R，故
时，
，即
的最小值为
.
故选：B．
【例3-2】（2024·安徽·模拟预测）已知
是圆O：
的直径，M，N 是圆O 上两点，且
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．-2
C．-4
D．
【答案】C
【解析】设
的中点为C，∵
，
，
则
，
∵C 为
的中点，∴
，
设向量
与
的夹角为
，
∴
，
又
，∴
的最小值为
.
故选：C.
10
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【一隅三反】
1（2024·湖北武汉·模拟预测）已知
是边长为
的正三角形，点
是
所在平面内的一点，且满足
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】C
【解析】法一：设
的重心为
，则
，
点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
又
，
的最小值是
.
法二：以
所在直线为
轴，以
中垂线为
轴建立直角坐标系，
则
，
设
，即
，
化简得
，
点
的轨迹方程为
，
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设圆心为
，
，由圆的性质可知当
过圆心时
最小，
又
，故
得最小值为
.
故选：C.
2．（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C 在圆
上运动，且
，若点
的坐标为
，则
的最大值为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】C
【解析】因为
，所以
为直径且过原点，
的中点为原点
，
所以由平行四边形法则可得：
，
所以
，
所以当
共线且方向相同时模长最长，即当
运动到
时，
取得最大值为
.
故选：C.
3．（2024·江西鹰潭·三模）（多选）已知向量
，
，
，则（ ）
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A．若
，则
B．在
方向上的投影向量为
C．存在
，使得
在
方向上投影向量的模为1
D．
的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，若
，则
，
则
，即
，所以
，故 A 正确；
对于B，在
方向上的投影向量为
，故B 错误；
对于C，
在
方向上的投影向量的模为
，
若
，则
，
即
，其中
，
，
所以
，
所以存在
，使得
在
方向上的投影向量的模为1，故C 正确.
对于D，
,
因为
所以
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
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考点四 奔驰定理
【例4-1】（23-24 高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非
常优美的结论.它的具体内容是：已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
.若
为
的垂心，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图，延长
交
于点
，延长
交
于点
，延长
交
于点
.
由
为
的垂心，
，且
，
得
，所以
，
又
，则
，同理可得
，所以
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
，
，
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所以
，
所以
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（23-24 陕西咸阳·阶段练习）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一
个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：
已知
是
内一点，
的面积分别为
，且
，
则以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
为
的重心
C．若
为
的内心，则
D．若
为
的外心，则
【答案】BCD
【解析】对于A 项，由
可得：
，
而由
可得：
，
因
两两互不共线，则必有
，
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则易得：
，故A 项错误；
对于B 项，由
可得
①，
如图，不妨取
的中点
，连接
，则有
，
代入①式，化简得
，
即
三点共线，且点
是
的靠近点
的三等分点，
同理可知点
也是另两边上的中线的对应三等分点，
故点
是
的重心，故B 项正确；
对于C 项，不妨设
的内切圆半径为，
则
，代入
，
可得
，
整理得：
，故C 项正确；
对于D 项，不妨设
的外接圆半径为
，
因
为
的外心，
则
，
，
，
则
.
故
，故D 项正确.
故选：BCD.
2．（2024 河南南阳·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知
是
内
一点，
、
、
的面积分别为
、
、
，则
.设
是锐角
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内的一点，
、
、
分别是
的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．|⃗OA|=|⃗OB|=2，
，
，则
C．若
为
的内心，
，则
D．若
为
的重心，则
【答案】ACD
【解析】对于A 选项，因为
，由“奔驰定理”可知
，A 对；
对于B 选项，由 |⃗OA|=|⃗OB|=2，
，可知
，
又
，所以
，
由
可得，
，
，
所以
，B 错；
对于C 选项，若
为
的内心，
，则
，
又
（为
内切圆半径），
所以，
，故
，C 对；
对于D 选项，如下图所示，
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因为
为
的重心，延长
交
于点
，则
为
的中点，
所以，
，
，且
，
，
所以，
，由“奔驰定理”可得
，D 对.
故选：ACD.
3．（22-23 湖北·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是
△ABC 内一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为
，
，
，且
．设O 是
锐角△ABC 内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．若|⃗OA|=|⃗OB|=2，
，
，则
C．若O 为△ABC 的内心，
，则
D．若O 为△ABC 的垂心，
，则
【答案】ACD
【解析】对A，由奔驰定理可得，
，又
不共线，故
，A 对；
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对B，
，由
得
，故
，B 错；
对C，若O 为△ABC 的内心，
，则
，又
（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故
，C 对；
对D，若O 为△ABC 的垂心，则
，
，
又
，
同理
，∴
，
∵
，则
，
且
如图，
分别为垂足，
设
，
，则
，
又
，故
，
由
，解得
，
由
，故
，D 对故选：ACD
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4．（2024 重庆北碚）奔驰定理：已知
是
内的一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若
、
是锐角
内的点，
、
、
是
的三个内角，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【解析】因为
，所以
，即
，所以
，
又由奔驰定理
得
，
因为
不共线，所以
，
所以
，A 正确；
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延长
分别与对边交于点
，如图，
由
得
，所以
，同理
，所以
是
的垂心，
所以四边形
中
，
，所以
，B 正确；
由
得
，
所以
，
由选项B 得
，
，
，
所以
，C 正确；
由上讨论知，
，
，
所以
，
又由选项C：
，
得
，
由奔驰定理：
得
，D 正确．
故选：ABCD．
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考点五 平面向量与三角形的四心
【例5-1】（2024 四川 ）已知点
，
，
在
所在平面内，且
，
，
，则点
，
，
依次是
的（ ）
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
【答案】A
【解析】由
，得
，
所以
，设
的中点为
，连接
，则
，
所以
，所以点
在
边上的中线上，同理可得
也在
的中线上，
所以点
是
的重心，
由
，得
，所以
到
的三个顶点的距离相等，所以
为
的外心，
由
，得
，所以
，
所以
，所以
，同理得
，所以
为
的垂心，
故选：A
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【例5-2】（2024 山东·阶段练习）已知
的三个内角分别为
为平面内任意一点，动点
满足
则动点P 的轨迹一定经过
的（ ）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
【答案】A
【解析】在
中，令线段
的中点为
，由正弦定理
，
得
，由
，
得
即
，而
，
则
，于是得
与
同向共线，而它们有公共起点，
即动点
的轨迹是射线
除点A 外),又重心在线段
上，
动点
的轨迹一定经过
的重心．
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024 湖北）点
为
所在的平面内，给出下列关系式：
①
；
②
；
③
.
23
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则点
依次为
的（ ）
A．内心、重心、垂心
B．重心、内心、垂心
C．重心、内心、外心
D．外心、垂心、重心
【答案】C
【解析】 ①由于
，其中
为
的中点，可知
为
边上中线的三等分点（靠近线
段
），故
为
的重心；
②向量
，
，分别表示在边
和
上取单位向量
和
，它们的差是向量
，当
，即
时，则点
在
的平分线上，同理由
，知点
在
的平分线上，故
为
的内心；
③
是以
，
为边的平行四边形的一条对角线的长，而
是该平行四边形的另一条对角线的长，
表示这个平行四边形是菱形，即
，同理有
，故
为
的外心.
故选：C
2．（2023 上海浦东新·期末）点
在ΔABC所在平面内，给出下列关系式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
则点
依次为ΔABC的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心；
B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心；
D．外心、内心、垂心、重心
【答案】C
【解析】（1）
显然得出
为ΔABC的重心；
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（2）
，同理
，所以
为
ΔABC的垂心；
（3）
OA,OB 分别是
的角平分线，所以
为ΔABC的内
心；
（4）
（M 是AB 中点）同理
（N 是BC 中点），所以
为ΔABC的外心.
故选：
.
3．（2024 河北邢台·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，点
分别为
所在
平面内一点，且有
，
，
，
，则点
分别为
的
（ ）
A．垂心，重心，外心，内心
B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心
D．外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【解析】由
，得
，
即
，
则
，
所以
，则
，同理可得
，
，
即
是
三边上高的交点，则
为
的垂心；
由
，得
，
设
的中点为
，则
，即
，
，
三点共线，
所以
在
的中线
上，同理可得
在
的其余两边的中线上，
即
是
三边中线的交点，故
为
的重心；
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由
，得
，即
，
又
是
的中点，所以
在
的垂直平分线上，
同理可得，
在
，
的垂直平分线上，
即
是
三边垂直平分线的交点，故
是
的外心；
延长
交
于点
，因为
，
，
三点共线，则设
（
），
且
，
，
代入
，得
，
即
①，
又因为
与
共线，
与
、
不共线，
则只能当
且
时，①成立，
即
，则
,
由正弦定理得：
，
又
，则
，
即
，又
，所以
，
则
是
的角平分线，即点
在
的角平分线上，
同理可得，
在
，
的垂直平分线上，
即
是
内角平分线的交点，故
是
的内心；
故选：A.
考点六 平面向量的新概念
【例6-1】（23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习）如果向量
，
的夹角为
，我们就称
为向量
与
的“向
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量积”，
还是一个向量，它的长度为
，如果
，
，
，则
（ ）
A．
B．16
C．
D．20
【答案】B
【解析】因为
，
，
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
故选：B
【例6-2】（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量
和
，定义：
，
．
若平面向量
满足
，且
和
都在集合
中，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．1 或
【答案】D
【解析】因为
，
设向量
和
的夹角为
，因为
，所以
，
得到
，
又
，所以
，
又
在集合
中，所以
，即
，得到
，
又因为
，所以
或，
所以
或
，
故选：D.
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【一隅三反】
1．（2024·四川成都·二模）已知向量
，
是平面
内的一组基向量，
为
内的定点，对于
内任意一点
，
当
时，称有序实数对
为点
的广义坐标.若点
，
的广义坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则“
"是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由已知可得
，
，
若
，则
，使
，即
，则
，即
；
若
，则
，使
，即
，
故“
"是“
”的充要条件，
故选：C.
2．（22-23 高三·河北衡水·阶段练习）设向量
与
的夹角为
，定义
.已知向量
为单位
向量，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
解得
，
又
，所以
，
28
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所以
.
故选：C
3 ．（2024·广东江门·三模）（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算
，其中
表
示
的夹角，则对于两个非零平面向量
，下列结论一定成立的有（ ）
A．
在
上的投影向量为
B．
C．
D．若
，则
【答案】BD
【解析】对于选项A，
在
上的投影向量为
，故选项A 错误，
对于选项B，
，故选项B 正确，
对于选项C，
，
显然
时，
不成立，故选项C 错误，
对于选项D，由
，所以
，则
，即
，故选项D 正确，
故选：BD．
一．单选题
1．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量
，
满足
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
29
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【答案】B
【解析】根据题意
可得
，
所以
，则
所以
，
则
在
方向上的投影向量为
.
故选：B
2．（2023·河北·统考模拟预测）在平行四边形
中，已知
，且
，则向量
与
的夹角的余弦值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知，在平行四边形
中，
，
，
因为
，所以
.
因为
，所以
，又
，
所以
，
故
，则
，
所以向量
与
的夹角的余弦值为 0 .
故选：B.
3．（2023 秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）在三角形
中，
，
，
，
在
上的投影向量为
，则
（ ）
30
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A．-12
B．-6
C．12
D．18
【答案】A
【解析】由题意，
，
为
中点，由
在
上的投影向量为
，
即
，又
，
所以
，
所以
.
故选：A.
4．（2024·北京）已知平面向量
，
满足
，
，点D 满足
，E 为
的外心，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
，
∵
，解得：
，
∴两向量夹角
，
∵
，
以
为坐标原点,
,垂直于
所在直线为
,
轴建立平面直角坐标系, 如图所示,
则
, 设
, 由
, 知
,
解得
,
31
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∴
又E 为
的外心，
∴
，
∴
为等边三角形,
∴
，
∴
,
∴
.
故选：B.
5．（2024·江西九江 ）已知
、
为单位向量，则向量
与
夹角的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，
，
则
，
令
，因为
，所以
，
，当且仅当
时取等号，
又
，所以
，
所以向量
与
夹角的最大值为
．
故选：A．
32
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6．（2024·山东烟台·三模）已知向量
，
满足
，
在
方向上的投影向量为
，且
，则
的值为（ ）
A．4
B．
C．16
D．48
【答案】B
【解析】由题意可知：
，即
，
因为
在
方向上的投影向量为
，可得
，
又因为
，则
，可得
，
则
，所以
.
故选：B.
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在
中，
，
，
是
边的中点，过点
作
于点
，延长
交
于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结
论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知
是
内一点，
的面积分别为
，且
．以下命题
错误的是（ ）
33
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A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
，则
【答案】C
【解析】对于A：取
的中点D，连接
，
由
，则
，
所以
，
所以A，M，D 三点共线，且
，
设E，F 分别为AB，AC 的中点，同理可得
，
，所以
为
的重心，故A 正确；
对于B：由
为
的内心，则可设内切圆半径为，
则有
，
34
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所以
，
即
，故B 正确；
对于C：由
为
的外心，则可设
的外接圆半径为
，
又
，
则有
，
所以
，
，
，
所以
，故C 错误；
对于D：如图，延长
交
于点D，延长
交
于点F，延长
交
于点E，
由
为
的垂心，
，则
，
又
，则
，
，
设
，则
，
35
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所以
，即
，
所以
，所以
，故D 正确．
故选：C．
二．多选题
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量
，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
的最大值为6
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，
，
则
，解得
，故A 正确；
对于B，因为
，则
，解得
，
所以
，解得
，故B 错误；
对于C，因为
，
而
，当且仅当
反向时，等号成立，
此时
，解得
或
，
当
，
同向，舍去；
36
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当
，满足
反向；故C 正确；
对于D，若
，则
，
即
，所以
，
则
，故D 正确.
故选：ACD
10．（23-24 重庆渝中·阶段练习）在等腰
中，已知
，若
分别为
的垂
心外心重心和内心，则下列四种说法正确的有（
､
､
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】A 选项：
为垂心，为高线的交点，则
，选项A 正确．
B 选项：
，选项B 正确；
C 选项：
，选项C 正确；
D 选项：
，选项D 错误；
故选：ABC
3．（23-24 浙江·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．
奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知
是
内
一点，
的面积分别为
，且
．以下命题正确的有
（ ）
37
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A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，若
，由
，知
，故
为
的重心，A 正确；
对于B，若
为
的内心，设
的内切圆半径为，由
，知
，故
，B 正确；
对于C，若
为
的外心，设
的外接圆半径为
，则
，C 错误；
38
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对于D，若
为
的垂心，由
，
故
，
从而
，而
和
都是正数且相加小于，故
在
内部，所以
是锐角三角形.
由
在
内部，知
，
与刚才同理，可由
得到
.
由
不共线，知
是一组基底，
故
，
，从而
.
设
到对边的投影分别是
，
的面积为，且我们约定
分别简记为角
，
由于
，
，
故
相似于
，从而
，
故可得到
，
从而
，同理
，
.
由于
，
，
，
故
39
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设
，
，
，其中
，
则
，解得
，故
.
而
，
故
，D 正确.
故选：ABD.
三．填空题
12．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在平面四边形
中，
，则
.
【答案】
【解析】由题意知，
全等
,且
，
可知
，
根据余弦定理可知
代入可解得
或
根据正弦定理得
，可得
，
如图可知
，所以
，
根据大边对大角，所以
(舍)，
，
40
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所以
.
故答案为：
13．（24-25 全国·课后作业）如图，在平行四边形
中，
，
分别是边
，
的中点，
与
交
于点
，且
，则
；若
，
，
，则
．
【答案】
96
【解析】设
，
，因为
，
分别是边
，
的中点，所以
，则
，
因为
，
，
三点共线，所以
，解得
，
所以
，
，
所以
．又
，
所以
．
故答案为：
，96
14．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知
，
为圆
上的两个动点，
，若点
为直线
上一动点，则
的最小值为 .
【答案】6
【解析】如图：取
中点
，因为
，圆
的半径为2，所以
，点
的轨迹是以原点为圆
41
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心，以1 为半径的圆，
.
，
由点到直线距离公式，得：
，所以
，
所以
.
故答案为：6
四．解答题
15．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在
中，已知
，
，
，
，
点
为
边的中点，
，
相交于点
．
(1)求
；
(2)求
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，且
为
中点，
所以
.
由余弦定理得：
，
即
，
42
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所以
，
即
．
（2）如图，以
为原点，直线
为
轴，过
点作
的垂线为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
设点M (x , y)，
由
可得：
，
即
解得：
，
所以
，
，
则
，
所以
．
16．（2024·广东茂名·模拟预测）在
中，A，B，C 分别为边a，b，c 所对的角，且满足
．
(1)求
的大小；
(2)
的角平分线
交
边于D，向量
在
上的投影向量为
，
，求
．
43
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【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：
，
，
，
，由正弦定理得
，
，
，
，B∈(0,π)，
，
，
；
（2）
，
，
，
延长
，过点B 作
，
，
，
，
，
，
．
设
，则
，
在
中，
，
44
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，
即
，
解得
，
（舍），
．
17．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，角A 为△ABC 的内角，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)如图，若角A 为锐角，
，且△ABC 的面积S 为
，点E、F 为边AB 上的三等分点，点D 为边AC 的
中点，连接DF 和EC 交于点M，求线段AM 的长．
【答案】(1)
或
(2)
【解析】（1）
，
则
，
因为
，所以
，所以
，
45
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所以
或
；
（2）若角A 为锐角，则
，
设角
的对边分别为
，
则
，所以
，
如图，连接
，
因为点E、F 为边AB 上的三等分点，所以
为
的中点，
因为点D 为边AC 的中点，所以点
为
的重心，
则
，
所以
，
又
，
所以
，
即线段AM 的长为
．
18．（2023·陕西·模拟预测）等边
外接圆圆心为
，半径为
上有点
．
(1)若
为弧
中点，求
；
(2)求
最大值．
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】（1）设
是
的中点，则
，且
三点共线，
若
为弧
中点，则
四点共线，
46
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由于
，
所以三角形
和三角形
是等边三角形，所以
，
所以四边形
是菱形，
，
所以
，
所以
.
（2）因为
，
所以
，
，
，
所以当
同向时，
取得最大值为
.
19．（2024·全国·模拟预测）设有
维向量
，
，称
为向量
和
的
内积，当
，称向量
和
正交．设
为全体由
和1 构成的
元数组对应的向量的集合．
47
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(1)若
，写出一个向量
，使得
．
(2)令
．若
，证明：
为偶数．
(3)若
，
是从
中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足
，猜测
的值，并给
出一个实例．
【答案】(1)
（答案不唯一）
(2)证明见解析
(3)
，答案见解析.
【解析】（1）由定义，只需满足
，不妨取
（答案不唯一）．
（2）对于
，
，2，
，
，存在
，
，
，
，使得
．
当
时，
；当
时，
．令
，
．
所以
．
所以
为偶数．
（3）当
时，可猜测互相正交的4 维向量最多有4 个，即
．
不妨取
，
，
，
，
48
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则有
，
，
，
，
，
．
若存在
，使
，则
或
或
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
，
故找不到第5 个向量与已知的4 个向量互相正交．
49
