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专题11 三角函数概念、诱导公式及恒等变换
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
三角函数概念、诱导公式及恒等变换近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2021 年全国乙（文科），第6 题,12 分
诱导、二倍角公式
2021 年全国甲（理科），第9 题,5 分
2023 年全国甲（文科），第11 题,5 分
同角公式、恒等变换
已知最值求参
2022 年全国甲（理科），第8 题,5 分
求弧长
2023 年全国甲（理科），第7 题,5 分
同角公式
逻辑关系
2023 年全国甲（理科），第13 题,5 分
2023 年全国甲（文科），第14 题,5 分
诱导公式
二次函数
2023 年全国乙（文科），第14 题,5 分
同角公式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，主要以选择、填空题为主；
2.常考题型：
（1）求弧长扇形面积；（2）任意角的三角函数值；（3）同角公式的应用；（4）诱导公式
的应用；（5）恒等变换的应用；
常考：两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式等；
技巧：诱导公式中的拆、配角、恒等变换的巧变角、给值求值、角等.
【备考策略】1.了解任意角的概念、弧长扇形面积公式，熟练掌握终边在特殊位置的角的表示；
2.掌握任意角的三角函数值的计算，熟练16 个特殊角的三角函数值；
3.理解同角公式的本质，会用其解决“知一求二”问题，解决充分必要性问题；
4.理解诱导公式的本质，会用其化简求值，熟练掌握诱导公式中的拆、配角；
5.会熟练应用两角和差、二倍角等公式化简求值，熟练求值、角中的巧变角问题；
6.熟练掌握给值求值、角，给角求值问题；
7.会使用和差化积、积化和差公式。
【命题预测】1.通过同角公式、恒等变换化简求值，根据最值问题求参；
1
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2.两角和差公式与二倍角公式的应用；
3.给值求值、角，给角求值问题；
知识讲解
一、角的概念的推广
1.任意角
(1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)分类:角按旋转方向分为
.
2.所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内,构成的角的集合是
.
3.轴线角{α|α=kπ
2 ,k ∈Z}:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边
(除顶点外)在什么轴上,我们就说这个角是什么轴线角.
2
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x 轴正半轴上的角：{α|α=2kπ ,k ∈Z}
x 轴负半轴上的角：{α|α=2kπ±π ,k ∈Z}
x 轴上的角：{α|α=kπ ,k ∈Z}
y 轴正半轴上的角：{α|α=2kπ+ π
2 ,k ∈Z}
y 轴负半轴上的角：{α|α=2kπ−π
2 ,k ∈Z}或{α|α=2kπ+3π
2 ,k ∈Z}
y 轴上的角：{α|α=kπ± π
2 ,k ∈Z}
4.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(除顶点外)在第几象限,
我们就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
第一象限角：{α|2kπ<α<2kπ+ π
2 ,k ∈Z}
第二象限角：{α|2kπ+ π
2 <α<2kπ+π ,k ∈Z}
第三象限角：{α|2kπ+π<α<2kπ+ 3 π
2 ,k ∈Z}
第四象限角：{α|2kπ−π
2 <α<2kπ ,k ∈Z}或{α|2kπ+ 3 π
2 <α<2kπ+2π ,k ∈Z}
二、弧度制的定义和公式
1.定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作
.
2.角度制和弧度制的互化:180°=
rad，1°=
π
180 rad，1 rad=(
180
π )
∘
≈(
)°.
3.扇形的弧长公式:l=|α|⋅r ,扇形的面积公式:
S=1
2 lr =1
2|α|⋅r2
.
三、任意角的三角函数值
1.定义:设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=
,cos α=
,tan α=
y
x
;
若α 的终边上有一点P(x,y)(与原点O 不重合),则sin α=
y
r ，cos α=
x
r ，tan α=
y
x (x≠0)，其中r=√x
2+ y
2
.
2.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3
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两个重要结论
(1)单位圆上任意一点可设为
(θ∈R).
(2)若α∈(0，π
2),则sin α<α<tan α.
4
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1.给定一个角判断它是第几象限角的思路
判断角α 是第几象限角的常用方法:将α 写成β+k·360°(其中k∈Z,β 在0°~360°范围内)的形式,观察角β
的终边所在的象限即可.
2.分角、倍角所在象限的判定思路
(1)求解的思维模式:由欲求想需求,由已知想可知,抓住内在联系,确定解题方略.
(2)由α 的象限确定2α 的象限时,应注意2α 可能不再是象限角,对此特殊情况应特别指出.如α=135°,而
2α=270°就不再是象限角.
四、同角三角函数的基本关系
1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:
sinα
cosα =tanα(α≠kπ+ π
2 ,k ∈Z).
3.同角三角函数基本关系式的常用变形
(1)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;
(2)sin α=tan α cos α(α ≠k π + π
2 ,k ∈Z).
五、三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π
2 -α
π
2 +α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
sin α
余弦
cos α
-cos α
cos α
-cos α
正切
tan α
tan α
-tan α
-tan α
口诀
函数名不变,
符号看象限
函数名改变,
符号看象限
【思考】 诱导公式可简记为奇变偶不变,符号看象限,“奇”与“偶”是什么意思?“变”与“不变”是什么意
思?“符号看象限”指的是什么?
提示 “奇”与“偶”指的是诱导公式k·π
2 +α 中的整数k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数
的名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变;若k 是偶数,则函数的名称不变.“符号看象限”指的是在k·π
2 +α
中,将α 看成锐角时k·π
2 +α 所在的象限及k·π
2 +α 的三角函数值的正负.
(1)诱导公式的求值
负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)含2π 整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π 的整数倍的三角函数式中可直接将2π 的整数倍去掉后再进
行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
若两个角之和等于π,则这两个角互补,可以利用π-α 的形式进行转化,将所求与条件中的已知角联系起来,
5
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如π
3 +θ 与2π
3 -θ,π
4 +θ 与3 π
4 -θ 等,解决这类题要有整体思维,考查诱导公式的灵活应用.
若两个角之和等于π
2 ,则这两个角互余,可以利用π
2 -α 的形式进行转化,将所求与条件中的已知角联系起
来,如π
3 -α 与π
6 +α,π
3 +α 与π
6 -α,π
4 -α 与π
4 +α 等互余,解决这类题要有整体思维,考查诱导公式的灵活应用.
六、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
Cα-β: cos(α - β)=cos α cos β + sin α sin β;
Cα+β: cos(α + β)=cos α cos β - sin α sin β;
Sα-β: sin(α - β)=sin α cos β - cos α sin β;
Sα+β: sin(α + β)=sin α cos β + cos α sin β;
Tα-β: tan(α - β)=tan α - tan β
1+ tan α tan β ;
Tα+β: tan(α + β)= tanα +tanβ
1− tanαtanβ .
常用公式的变化形式:
(1)1−tanα
1+tanα =tan(
π
4 -α);
(2) 1+tanα
1−tanα =tan(
π
4 +α).
(3)tan α ± tan β=tan(α ± β)(1 ∓tan α tan β);
(4)tan α tan β=1-tanα +tanβ
tan(α + β) =tanα - tanβ
tan(α - β) -1.
七、二倍角公式
sin 2α=
;
cos 2α=
=
=
;
tan 2α=
2tan α
1−tan2α .
八、半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sinα
2 =±√
1−cosα
2
.
(2)cosα
2 =±√
1+cosα
2
.
(3)tanα
2 =±√
1−cosα
1+cosα
=
sinα
1+cosα =1−cosα
sinα
.
九、升(降)幂公式
(1)降幂公式:cos2α=1+cos2α
2
，sin2α=1−cos2α
2
，.
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α，1-cos 2α=2sin2α.
.
十、辅助角公式
a sin α + b cos α=√a
2+b
2sin(α+φ)(a>0)
6
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其中a，b 为常数，sin φ=
b
√a
2+b
2，cos φ=
a
√a
2+b
2，
tan ϕ=b
a .
tan ϕ=±√3
3 ⇒ϕ=± π
6 ，
tan ϕ=±1⇒ϕ=± π
4 ，
tan ϕ=±√3⇒ϕ=± π
3 .
十一、积化和差公式
sin α cos β = 1
2[sin(α + β) + sin(α - β)],
cos α sin β = 1
2[sin(α + β) - sin(α - β)],
cos α cos β = 1
2[cos(α + β) + cos(α - β)],
sin α sin β = - 1
2[cos(α + β) - cos(α - β)].
十二、和差化积公式
sin x + sin y = 2sin x + y
2
cos x−y
2
,
sin x - sin y = 2cos x + y
2
sin x−y
2
,
cos x + cos y = 2cos x + y
2
cos x−y
2
,
cos x - cos y = - 2sin x + y
2
sin x−y
2
.
十三、万能公式
sin α=
2tan α
2
1+tan
2 α
2
，cos α=
1−tan
2 α
2
1+tan
2 α
2
，tan α=
2tan α
2
1−tan
2 α
2
；
sin2α= 2tan α
1+tan2α ，
cos2α=1−tan2α
1+tan2α
sin2α=tan2α
1+tan2α ，
cos2α=
1
1+tan2α ，
sinα cosα=tanα
1+tan2α
sinα+cosα
sinα−cosα =
sin(α+ π
4)
sin(α−π
4)
=tanα+1
tanα−1
(1)明确二倍角是相对的,如:α
2 是α
4 的2 倍,3α 是3α
2 的2 倍.
(2)解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
(3)运用公式时要注意公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,
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要注意“1”的各种变形.
(4)在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0,π)内,正弦值对应的角不唯一.
(5)常用的拆角、配角技巧:
2α=(α + β)+(α - β);
α=(α + β) - β=(α - β) + β;
β=α + β
2
-α - β
2
=(α + 2β) - (α + β);
α - β=(α - θ)+(θ - β);
π
4 + α=π
2 - (
π
4 - α).
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2.三角函数式化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.
3.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需
要升次.
给角求值问题的解题规律
解决给角求值问题的关键是掌握两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关
系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函
数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形.
给值求值问题的一般步骤:①化简条件中的式子或待求式子;②观察条件与所求之间的联系,从函数名称
及角入手;③将已知条件代入所求式子,化简求值.
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围).在选
取函数时,应遵循以下原则:①已知正切函数值,选正切函数.②已知正弦或余弦函数值,选正弦或余弦函数.若
角的范围是(0, π
2),则选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数;若角的范围为(- π
2 , π
2),则选
正弦函数.
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为
f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再研究其性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征,注意利用整体思想解决
相关问题.
8
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考点一、任意角、弧度制及任意角的三角函数值
终边上的角的表示
1．（2021 年山东省春季高考数学真题）终边在
轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
弧长、扇形面积公式
2．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录
了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，
是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在
上，
．“会圆术”给出
的弧长的近似值s 的计算公式：
．当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
任意角的三角函数值的符号问题
3．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若α 为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0
B．cos2α<0
C．sin2α>0
D．sin2α<0
已知终边上的坐标求三角函数值
4．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知角
的终边经过点
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
1．三角方程
的解集为（ ）
A．
B．
9
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C．
D．
2．（2019 年北京市高考数学试卷（文科））如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，
是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ
B．4β+4sinβ
C．2β+2cosβ
D．
2β+2sinβ
3．已知直线
的图像如图所示，则角
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．已知角
的终边经过点
，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二、同角公式
“知一求二”问题
1．若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）若
，且
为第四象限角，则
的值
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
用同角公式解决逻辑关系
3．（2023 年全国甲卷理数数学试题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
10
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C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
用同角公式解决“asin x+bcos x=c ”型问题
4．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3））已知
，则
（
）．
A．
B．
C．
D．
1．已知α 是第四象限角，cos α＝
，则sin α 等于（ ）
A．
B．－
C．
D．－
2．已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴的正半轴重合，终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022 年浙江省高考数学试题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三、诱导公式的应用
1．（2008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学）
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．记
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五、诱导公式中的拆、配角
1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知θ 是第四象限角，且sin（θ+
）=
，则tan（θ–
）= .
12
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1．已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
，则
等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
3．函数f(x)=
sin(x+
)+cos(x−
)的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
考点六、两角和差公式的应用
1．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））
=（
）
A．
B．
C．
D．
2．若
，则
．
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知
，则
．
1．如果
，
，那么
= ．
13
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2．（2021 年山东省春季高考数学真题）已知向量
，
，那么
等于
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
3．设
是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3
考点七、恒等变换
二倍角公式
1．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
半角公式
2．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
降幂公式
3．（2019 年北京市高考数学试卷（理科））函数f(x)=sin22x 的最小正周期是 ．
万能公式
4．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
辅助角公式
5．函数y＝
sin2x＋cos 2x 的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π
14
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1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则
的值为 ，
的值为 ．
3．若tan
+
=4,则sin2
=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设当
时，函数
取得最大值，则
.
考点八、恒等变换中的巧变角
1．（2023·陕西省咸阳中学理科数学试题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））函数
的最大值为 .
3．（2023·湖北省恩施州四校模拟）已知
， 且
，
则
1．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））若
,则
.
2．已知
为锐角，
，求
的值．
3．已知
，
为锐角，
，
，则
的值为（ ）
15
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A．
B．
C．
D．
考点九、三角函数求值
给值求值
1．（2022 年浙江省高考数学试题）若
，则
，
．
给角求值
2．
=（ ）
A．
B．
C．
D．
给值求角
3．（2023·江苏省常州市联盟学校模拟）已知锐角
，且满足
.
(1)求
；
(2)求
.
1．已知角α 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（
）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β 满足sin（α+β）=
，求cosβ 的值．
2．式子
化简的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，且
.
16
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（1）求
的值；
（2）求
.
考点十、和差化积、积化和差公式的应用
1．
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．若
，
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．－2
D．
3．已知
，则
等于（ ）
A．－m
B．m
C．－4m
D．4m
1．
（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．已知角
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
17
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【基础过关】
1．（易错题）设
角属于第二象限，且
，则
角属于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若
，则
．
3．已知
，
(0, π)，则
=（ ）
A．
1
B．
C．
D．1
4．（2020 年浙江省高考数学试卷）已知
，则
；
．
5．点
从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动
弧长到达
点，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020 年浙江省高考数学试卷）已知圆锥的侧面积（单位：
） 为2π，且它的侧面积展开图是一个
半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：
）是 ．
8．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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11．已知
∈（0，
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2020 年江苏省高考数学试卷）已知
=
，则
的值是 .
14．（2020 年北京市高考数学试卷）若函数
的最大值为2，则常数
的一个取值为
．
15．已知
，
，且
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【能力提升】、
1．在平面直角坐标系xOy 中，角α 与角β 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若
，则
= .
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））函数
的最小值为
．
开发性试题
3．（2021 年北京市高考数学试题）若点
关于
轴对称点为
，写出
的一
个取值为
．
4．设
且
则
A．
B．
C．
D．
5．（2022 年全国新高考II 卷数学试题）若
，则（ ）
A．
B．
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C．
D．
6．已知
，
，则
= ．
7．（2019 年江苏省高考数学试卷）已知
，则
的值是 .
8．计算：
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
，则
．
10．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若
，且
，则
；
.
12．已知
，
，则
.
13．若
，
，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知
（1）求
的值；
（2）求
的值.
15．已知
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
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【真题感知】
1．（2023 年高考全国甲卷理数真题）若
为偶函数，则
．
2．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）若
，则
．
3．（2023 年北京高考数学真题）已知命题
若
为第一象限角，且
，则
．能说明p
为假命题的一组
的值为
，
．
4．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
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