文档文本内容
第22 讲 杨辉三角、斐波那契数列、数列不等式、数学归纳法、
结构不良问题
目 录
题型01 杨辉三角中的数列
题型02 斐波那契数列
题型03 数列不等式
题型04 数学归纳法
题型05 数列中的结构不良问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 杨辉三角中的数列
题型点拨
1、第2 斜列是自然数列
2、第3 斜列是三角数列
这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．
3、每一行的数字之和是一个2 倍增长的数列
【典例1】（多选）在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字
图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第
行的所有数字之和为
，若去除所有为1 的项，依次构成数列
：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，
，则下列说法正
⋯
确的是（ ）
A．
B．
C．第
项为
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则
【变式1】（25-26·福建）我国南宋数学家杨辉
年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，
由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，
记第一条斜线之和为
，第二条斜线之和为
，第三条斜线之和为
，以此类推，组成数列
.例如
若
，则
.
题型2 斐波那契数列
题型点拨
1、斐波那契数列概念
把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。
2、斐波那契数列的递推公式
F_1=F_2=1，F_n=F_(n-1)+F_(n-2)（n≥3，n 为正整数）．
3、斐波那契数列的通项公式
4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n 项和Sn）
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
【典例1】（25-26·上海）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
…，即
，
，此数列在现代物理“准晶体结构”、
化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被
除后的余数构成一个新数列
，则数列
的前
项的和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，
3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列
称
为“斐波那契数列”，记
为数列
的前n 项和，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．
对
恒成立
C．
D．
题型3 数列不等式
题型点拨
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题
相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利
用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1、常见放缩公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
（9）
．
【典例1】（25-26·广西贺州）已知正项数列
满足
（
且
），
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式；
(3)设
的前
项和为
，若
恒成立，求
的取值范围．
【变式1】已知数列
满足
，
，
，
成等差数列.
(1)求证：数列
是等比数列，并求出
的通项公式；
(2)记
的前n 项和为
，证明：
.
【变式2】已知首项为1 的数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
及数列
的通项公式；
(2)数列
中是否存在连续的三项成一个等差数列？如果存在，求出所有的这三项；如果不存在，请说明
理由.
(3)若数列
满足
，求证：
．
题型4 数学归纳法
题型点拨
1、数学归纳法定义：对于某些与自然数
有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当
取第一个值
时命题成立；然后假设当
（
，
）时命题成立，证明当
时命题
也成立
新敞这种证明方法就叫做数学归纳法
新敞
注：即先验证使结论有意义的最小正整数 n_0. 如果 n=n_0 时命题成立，再假设当 n=k（k≥n_0，k 为
正整数）时命题成立，根据这个假设，如能推出当 n=k+1 时命题也成立，那么就可以递推出对所有不
小于 n_0 的正整数 n_0，n_0+1，n_0+2，…，命题都成立．
2、运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当
取第一个值
结论正确；
（2）假设当
（
，
）时结论正确，证明当
时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从
开始的所有正整数
都正确
新敞
②用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始
．
不一定恒为1，也可能
或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找
与
的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问
题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个
证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设
时结论成立，利用此假设证明
时结论也成立”是数学归
纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的
严谨性、规范性（即规范问题）．
【典例1】已知数列
的各项均为正数，且前
项和
，试猜想
的通项公式并证明．
【变式1】（25-26·江苏盐城）设数列
的前n 项和为
，已知
，
是公差为
的等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，且满足
.
①证明：
是等比数列；
②设数列
的前n 项和为
，证明：
.
题型5 数列中的结构不良问题
【典例1】（25-26·福建宁德）已知数列
的前
项和为
，__________.请在①
；
②
成等比数列，
两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求
的取值范围.
【变式1】（25-26·四川南充）设正项数列
的前
项和为
，
，且满足_____．给出下列三个条件：
①
，
； ②
；
③
．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
强化训练（共10 题）
1．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要
著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数
列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4
项为：2，3，6，11，则该数列的第15 项为（ ）
A．196
B．197
C．198
D．199
2．（25-26·吉林）（多选）斐波那契数列
，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐
波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以
的递推方法定义，已知
，
，则（ ）
A．
a6
a3
= 4 B．3an=an−2+an+2(n≥3,n∈N
*)
C．
D．
3．（25-26·江苏南京）已知数列
是递增的等比数列，前3 项和为13，且
，
，
成等差数
列，
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
的首项
，其前n 项和为
，且 ，若数列
满足
，求
的前n 项和
．
在如下两个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①
（
，
）；
②
（
）．
4．已知数列
的前
项和为
，且
______请在
是公差为的等差数列；
是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，
并解答下面问题.
(1)求
的通项公式
(2)在
与
之间插入
个实数，使这
个数依次组成公差为
的等差数列，数列
的前
项和
，
证明：
5．（25-26·浙江绍兴）设
为数列
的前n 项和，且
.
(1)求
；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
6．（25-26·安徽）已知数列
的前
项和为
，前
项积为
，满足
．
(1)求
，
和
；
(2)证明：
．
7．在数列
中，
，且
，
成等差数列，
成等比数列（
）．
(1)求
及
；
(2)根据计算结果，猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．
8．（25-26·福建莆田）已知数列
满足
，且对任意正整数
有
，数列
满足
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)设
，数列
的前
项和
；
①求
；
②若不等式
对任意的正整数
恒成立，求实数
的取值范围．
9．已知正项数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
．
10．（25-26·广东深圳）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261 年
所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，
如图右的“三角垛”最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球……
(1)设“三角垛”各层球数构成一个数列
，观察发现杨辉三角中第3 斜列即为数列
；1，3，6，
10，15，…，请写出
与
的递推关系，并求出数列
的通项公式；
(2)记杨辉三角的第
行所有数之和为
，令
，设
为数列
的前
项和．
（i）求
；
（ii）若
成立，求
的取值范围．
知识小测（共5 题）
1．（25-26·福建龙岩）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三
角形数阵，记
为图中虚线上的数1，3，6，10，
构成的数列
的第
项，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26·广西桂林）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角
形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，
，
，
，
，构成数列
，其前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26·江西新余）数列
，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十
三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三
项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列
的前
项和为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26·福建）（多选）斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.
斐波那契数列
可以用如下方法定义：
，
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26·广东佛山）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1 层开始，第
层从左
到右的数字之和记为
，如
，
，…，则
的前9 项和
.
