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5.5 数列与其他知识的综合应用（精练题组版）
题组一 斐波那契数列
1．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）
斐波那契数列
由十三世纪意大利数学家列昂纳多
“
”
·斐波那契发现．
因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为
兔子数列
斐波那契数列
“
”“
”
满足
，记其前n 项和为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2025·陕西西安·一模）（多选）数列
满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名
的斐波那契数列，若
的前n 项和为
，下列关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A．
B．若此数列被4 整除后的余数构成一个新的数列
，则
的前2024 项之和为2697
C．前2024 项中奇数共有1350 个
D．
3．（2024·贵州遵义·模拟预测）（多选）数列
：1，1，2，3，5，8，13，21，34，
称为斐波那契数列，
…
又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即
，则下列选项正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·辽宁丹东·一模）（多选）如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，
构成的
…
斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组
成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列
的第一
项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·吉林）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，
2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那
契数列.因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为
兔子数列
“
”.下面关于斐波那契数列
的说法不正确
的是（ ）
A．
是奇数
B．
C．
D．
6．（2026·内蒙古）意大利数学家斐波那契（1170-1250），以兔子繁殖为例，引入
兔子数列
：即
“
”
1、1、
2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、
，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简
……
等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数
列
满足：
，
，
，若
，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．2028
D．2024
题组二 数列与三角函数综合
1．（2025·广东汕头·模拟预测）在
中，角A、B、C 的对边分别为
、
、，已知
是
与的等比中项，
且
是
与
的等差中项.
(1)探究
的形状；
(2)求
的值.
2.（2024·重庆·三模）已知在数列
中，
．
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列
的前
项和
；
(2)在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，求
面积
的最大值．
3．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列
中，
，
．
(1)证明：数列
为常数列；
(2)求数列
的前2024 项和．
4（2024 海南）已知函数
的最小正周期为6．
(1)已知△
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，若
，
，求
的值；
(2)若
，求数列
的前2022 项和
．
5（2025 云南）已知函数
，
(1)求
的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若
在区间
上的根按从小到大的顺序依次记为
求数列
的通项公式及其前n 项
和
．
题组三 数列与统计概率综合
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后
均有一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有3 个大小､质地完全相同的小球，小球上分别标有
三个数字，
抽奖规则为：每个顾客从盒中随机抽取1 个小球，抽到标有数字5 的中一等奖，抽到标有数字2 的中纪念奖，
抽到标有数字0 的没有奖，每位顾客只能抽取一次，且每位顾客抽取的结果相互独立.记
位消费者抽取的小球
上的数字之和为
的不同取值个数为
.
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的概率；
(3)求数列
的前
项和
.
2．（2025·辽宁·三模）一个猜拳跳棋赢奖品的游戏：在棋盘上标有第1 站、第2 站、第3 站、
、第
…
10 站，设
棋子跳到第n 站的概率为
，2，3，
，
…
10，一枚棋子从第1 站开始，玩家需要与主持人猜拳，每猜一次
拳棋子向前跳动一次，玩家将该站对应的奖品累积起来．若与主持人打平或输给主持人，则棋子向前跳一站；
若赢主持人，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9 站（失败，失去所有累积奖品）或者第10 站（获胜，获
得所有累计奖品），游戏结束．
(1)求
的值；
(2)求证：数列
为等比数列；
(3)求玩家获胜的概率．
3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如
图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小
球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
，最后落入
袋或
袋中.一次游戏中小球落入
袋
记分，落入
袋记
分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得
分的概率为
.
(1)求
、
、
；
(2)求出
的通项公式.
4．（2025·河南信阳·模拟预测）3 位同学做某种游戏，通过猜拳决定胜利者.3 人每次猜拳都可以出
石头
“
”
剪刀
布
中的任意一种，其中
石头
赢
剪刀
，
剪刀
赢
布
，
布
赢
石头
“
”“
”
“
”
“
”
“
”
“
”
“
”
“
”.例如，当1
人出
剪刀
，另外
“
”
2 人出
布
时，出
剪刀
的人即为胜利者；而当
“
”
“
”
1 人出
剪刀
，另外
“
”
2 人分别出
布
和
石头
时，无法决定胜利者，猜拳继续进行；当
“
”
“
”
1 人出
剪刀
，另外
“
”
2 人出
石头
时，淘汰掉
“
”
出
剪刀
的人，剩余
“
”
2 人继续猜拳，赢的人为胜利者.
(1)记第一回猜拳时出
石头
的人数为
“
”
，求
的分布列与数学期望；
(2)求在第
回猜拳决出胜利者的概率.
5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）
猜灯谜
是我国元宵节传统的文化活动
“
”
.某地在元宵节举办形式多样的猜灯
谜比赛活动，比赛规则如下：以个人形式参加比赛，每轮猜一个灯谜，猜中加1 分，猜不中则减1 分，每位参
赛者的初始积分均为1 分.假设参赛者在每轮比赛中猜中与猜不中的概率均为0.5，参赛者会一直玩下去，直到
遇到如下两种情况才终止比赛：一种是参赛者积分为0 分；一种是参赛者积分达到10 分.同时举办方规定积分
达到10 分的参赛者可获得奖品一份.
(1)求参赛者参与4 轮比赛后积分为3 分的概率；
(2)设参赛者积分为
分
时，最终获得奖品的概率为
.
（i）求
；
（ii）求参赛者最终获得奖品的概率.
6．（2025·江苏南通·模拟预测）某次投篮游戏，规定每名同学投篮
次
，投篮位置有
，
两处，
第一次在
处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次
投篮位置不变.在
处每次投进得2 分，否则得0 分；在
处每次投进得3 分，否则得0 分.已知甲在
，
两处
每次投进的概率分别为
，
，且每次投篮相互独立.记甲第
次在
处投篮的概率为
，第
次
投篮后累计得分为
.
(1)求
的分布列及数学期望；
(2)求
的通项公式；
(3)证明：
.
参考公式：若
，
是离散型随机变量，则
.
题组四 数列中的存在性问题
1．（2025·甘肃白银·三模）已知等差数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求
的通项公式．
(2)设数列
的前
项和为
．
求
①
；
是否存在实数
②
，使得数列
为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2（2024·广东·二模）在数列
中，
，
都有
，
，
成等差数列，且公差为
.
(1)求
，
，
，
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)是否存在
，使得
，
，
，
成等比数列.若存在，求出
的值；若不存在，说明
理由.
3.（2024·山东·模拟预测）已知数列
，
，
的首项均为1，
为
，
的等差中项，且
．
(1)若数列
为单调递增的等比数列，且
，求
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和
，数列
的前
项和为
，是否存在正整数
使
对
恒成立？
若存在，求出
的最大值；若不存在，请说明理由．
4．（2025·河北邢台·三模）已知等差数列
的前
项和为
，且满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)在
中是否存在
，
，
成等比数列？若存在，求出一个这样的3 项；若不存在，请说明
理由.
题组五 数列函数、导数的综合
1．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，函数
的图象在点
处的切线与x 轴的交点坐标为
，求
的前n 项和
；
(2)若
，函数
的图象与x 轴有且只有两个公共点，且
，求a，b 的值以及函数
在
上的最小值．
2（24-25 高三上·浙江金华·期末）已知数列
是等比数列，满足
，且
，
，
成等差数列，数
列
满足
，记数列
的前
项和为
，
(1)求
；
(2)求数列
的前
项和；
(3)记
，若
恒成立，求
的值.
3（24-25 高三上·山西吕梁·期末）如图，在横坐标为
的点处作
的切线，该切线与
轴的交点为
；在横
坐标为
的点处作
的切线，该切线与
轴的交点为
；一直继续下去，得到数列
．
(1)求证：
；
(2)若函数
，记
．
（
）求数列
ⅰ
的通项公式；
（
）在
ⅱ
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由．
题组六 数列与解析几何综合
1．（2025·湖北黄冈·一模）已知实数
，
，成等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，若直线
与圆
相切，则数列
的前10 项和为（ ）
A．
B．
C．23
D．27
3．（2025·河北·模拟预测）已知抛物线C：
的焦点为F，抛物线C 上的2n 个点
（
在x 轴上方，
在x 轴下方）满足：直线
经过点F，且斜率为1，当
时，
，
，记线段
的中点为
，直线
与直线
的交点为
．
(1)求点
的纵坐标；
(2)证明：
三点共线；
(3)证明；当
时，
，并求
．
4．（24-25 高三下·上海静安·期中）如图，在直角坐标平面xOy 中，
中（
）为正三角形，
且满足
，
．
(1)求点
的横坐标
关于正整数n 的表达式；
(2)求证：点
，
，
，
…
在抛物线
…
：
上；
(3)过（2）中抛物线
：
的焦点F 作两条互相垂直的弦AC 和BD，求四边形ABCD 面积的最小值．
题组七 插项数列
1．（2025·甘肃·二模）在数列
的项
和
之间插入个
构成新数列
，则
（ ）
A．13
B．
C．14
D．
2．（2025·湖南·三模）已知数列
满足
，数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的通项公式；
(3)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
之间插入
项，从而构成一个新数列
，设
的前
项和为
，求
.
3．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)保持
的各项顺序不变，在
和
之间插入k 个1，使它们与数列
的项组成一个新的数列
，记
的前n 项和为
，求
.
4．（2024·重庆·三模）已知数列
的前
项和为
，满足
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)若数列
的公差不为0，数列
中的部分项组成数列
，
，
，
，
…
恰为等比数列，其中
，
，
，求数列
的通项公式.
5．（2024·广东广州·二模）已知等差数列
的前
项和为
，且
为等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，记数列
的前
项
和为
，求证：
．
题组八 数列与集合
1．（2025·吉林·模拟预测）已知集合
，
，将
中所有元素按
从小到大的顺序构成数列
，则数列
的通项公式为 .
2．（2025·湖南长沙·三模）已知数列
，
，记集合
的元素个数为
.
(1)若
为1，2，4，8，12，写出集合
，并求
的值；
(2)若
为1，3，a，b，且
，求
和集合
；
(3)若数列
项数为，满足
，求证：“
的充要条件是
”
“
为等比数列”.
3．（2025·福建厦门·三模）已知数列
的前项和为
，
，且
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，
（i）求数列
的前
项和；
（ii）当
时，设集合
，集合
中所有元素的
和记为
，求数列
的通项公式.
题组九 数列与取整
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数
为函数
的正零点，若
（
表示
不超过
的最大整数），则数列
的前10 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江苏宿迁·三模）
表示不小于x 的最小整数，例如
，
．已知等差数列
的
前n 项和为
，且
，
．记
，则数列
的前10 项的和 ．
3．（2024·湖南·模拟预测）已知数列
为公差不为0 的等差数列，
，且
成等 比数列，设
表
示不超过
的最大整数，如
，记
为数列
的前
项和，则
．
题组十 数列新定义
1．（2025·河南信阳·模拟预测）对于数列
，若存在实数
，使得对一切正整数
，恒有
成立，
则称数列
为有界数列.设数列
的前
项和为
，则下列选项中，满足数列
为有界数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用
作切线
的方法求函数
“
”
零点时给出一个数列
，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数
有两个零点1，2，数
列
为
的牛顿数列．设
，已知
，
的前
项和为
，则
等于（ ）
A．2025
B．2026
C．
D．
3．（2025·河北·模拟预测）我们把各项均为0 或1 的数列称为
数列，
数列在计算机科学和信息技术领
域有着广泛的应用．把佩尔数列
（
，
，
，
）中的奇数换成0，偶数换成
1，得到
数列
，记
的前n 项和为
，则
（ ）
A．20
B．15
C．12
D．10
4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）在一组互不相同的有序数组
中定义：在
的右边比其大的数的个数称为
的
顺序数
，在
“
”
的右边比其小的数的个数称为
的
逆
“
序数
，我们把有序数组
”
的所有元素的
顺序数
与
逆序数
之和记为
“
”
“
”
．
有序数组
①
的所有元素的
顺序数
与
逆序数
之和
“
”
“
”
．
②
．
5．（2025·甘肃白银·三模）若数列
是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列
是“
项优待数列”.若等差数列
是“
项优待数列
，
”
，则
.
6．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)定义函数
，对于数列
，若
，则称
为函数
的
生成数列
“
”，
为函数
的一个
源数列
“
”.
已知
①
为函数
的
源数列
，求证：对任意正整数
“
”
，均有
；
已知
②
为函数
的
生成数列
，
“
”
为函数
的
源数列
，
“
”
与
的公共项按从小到大的顺序构成数列
，试问在数列
中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.
