文档文本内容
第22 讲 杨辉三角、斐波那契数列、数列不等式、数学归纳法、
结构不良问题
目 录
题型01 杨辉三角中的数列
题型02 斐波那契数列
题型03 数列不等式
题型04 数学归纳法
题型05 数列中的结构不良问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 杨辉三角中的数列
题型点拨
1、第2 斜列是自然数列
2、第3 斜列是三角数列
这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．
3、每一行的数字之和是一个2 倍增长的数列
【典例1】（多选）在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字
图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第
行的所有数字之和为
，若去除所有为1 的项，依次构成数列
：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，
，则下列说法正
⋯
确的是（ ）
A．
B．
C．第
项为
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则
【答案】AC
【分析】将数列
、、、
、
、
、、
、
、、
变成数阵，确定数阵第
行有
个数，
从左向右分别为
.对于A，确定
分别在该数阵第行的第2 个和第4 个即可判断；对于
B，确定
位于该数阵第行第个数即可求和；对于C，确定第
项为第
行第1 个即可；对
于D，根据杨辉三角得到
，利用裂项相消
求和法求和即可.
【详解】将数列
、、、
、
、
、、
、
、、
变成以下数阵：
则该数阵第
行有
个数，从左向右分别为
，
第
行最后一项位于原数列第
项，
对于A，因为
，所以
分别在该数阵第行的第2 个和第4 个，故
，即
，选项A 正确；
对于B，因为
，所以
位于该数阵第行第个数，
由题意可知，该数阵第
行所有数为“杨辉三角”数阵中第
行去掉首、尾两个得到，而“杨
辉三角”中第
行所有数之和为
，
所以，该数阵第
行所有数之和为
，
所以S15=(2
2−2)+(2
3−2)+(2
4−2)+(2
5−2)+(2
6−2)=114，选项B 错误；
对于C，因为
，所以第
项为第
行第1 个，即
，选项C 正确；
对于D，根据杨辉三角知，
，选项D 错误.
故选：AC.
【变式1】（25-26·福建）我国南宋数学家杨辉
年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，
由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，
记第一条斜线之和为
，第二条斜线之和为
，第三条斜线之和为
，以此类推，组成数列
.例如
若
，则
.
【答案】
【分析】可以发现
为斐波那契数列，再由
，
推导规律得出结果.
【详解】
为斐波那契数列：
，从中发现：
，
，
，
以此类推
，
则
.
故答案为：
.
题型2 斐波那契数列
题型点拨
1、斐波那契数列概念
把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。
2、斐波那契数列的递推公式
F_1=F_2=1，F_n=F_(n-1)+F_(n-2)（n≥3，n 为正整数）．
3、斐波那契数列的通项公式
4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n 项和Sn）
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
【典例1】（25-26·上海）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
…，即
，
，此数列在现代物理“准晶体结构”、
化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被
除后的余数构成一个新数列
，则数列
的前
项的和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列
的规律，再利用数列的周期性即
可得结果.
【详解】根据斐波那契数列性质可得
中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，
因此新数列
即为按照
成周期出现的数列，周期为，
易知
，一个周期内的三个数字之和为
；
所以数列
的前
项的和为
.
故选：C
【变式1】（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，
3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列
称
为“斐波那契数列”，记
为数列
的前n 项和，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．
对
恒成立
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据斐波那契数列递推公式的性质化简计算判断各个选项.
【详解】“斐波那契数列”为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，
所以
，A 选项错误；
依题意
，所以
，
故
对
恒成立，B 选项正确；
，
，
，…，
，
所以
，C 选项正确；
，
，
，…，
，
所以
，D 选项正确．
故选：BCD.
题型3 数列不等式
题型点拨
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题
相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利
用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1、常见放缩公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
（9）
．
【典例1】（25-26·广西贺州）已知正项数列
满足
（
且
），
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式；
(3)设
的前
项和为
，若
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用递推式逐项求解即可；
（2）结合题意，将递推式变形为
，然后利用等差数列的定义及通项公式求解即可；
（3）先利用等差数列求和公式求得
，然后参变分离得
，进而利用基本不等式求解
即可.
【详解】（1）因为
，（
且
），
所以
，又
，所以
，
，又
，所以
，
，又
，所以
；
（2）因为
，所以
（
且
），
即
，
又因为
，所以
，
所以
是以1 为首项、1 为公差的等差数列，
所以
；
（3）由（2）得
.
所以
即为
，
又因为
，所以该不等式等价于
，
又因为
（当且仅当
时，
）.
所以
【变式1】已知数列
满足
，
，
，
成等差数列.
(1)求证：数列
是等比数列，并求出
的通项公式；
(2)记
的前n 项和为
，证明：
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）由
，
，
成等差数列可得：
，利用两边同时除以
，即可
构造为
，所以第一问就可以得证并计算通项；
（2）关键是对
通项进行放缩成等比数列公式求和并证明，所以想到
和
，最后就能证明不等式成立.
【详解】（1）由
，
，
成等差数列可得：
，
若存在ak +1=0，由3ak +1=ak +2ak ak +1可得ak =0，逐项倒推可得a1=0，与a1= 1
4 矛盾。因此所有an≠0，
之后才能两边同时除以anan+1，得：1
an+1
= 3
an
−2，
上式可化为：
所以数列
表示是以
为首项，3 为公比的等比数列
所以
，即
（2）因为
所以Sn=a1+a2+a3+⋯+an<a1+ 1
3
2 + 1
3
3 +⋯+ 1
3
n
= 1
4 + 1
3
2 + 1
3
3 +⋯+ 1
3
n = 1
4 +
1
9(1−1
3
n−1)
1−1
3
= 5
12 −1
2 ⋅1
3
n < 5
12
又因为
所以
，
（当n＝1 时等号成立），
综上可知：
.
【变式2】已知首项为1 的数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
及数列
的通项公式；
(2)数列
中是否存在连续的三项成一个等差数列？如果存在，求出所有的这三项；如果不存在，请说明
理由.
(3)若数列
满足
，求证：
．
【答案】(1)
，
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由
，两边同时除以
，得
，再利用等差数列的定义证明
为等差数列，从而得到
，最后利用数
列通项与前
项和的关系求解数列
的通项公式；
（2）首先假设存在
成等差数列，推出矛盾，证明假设不成立，即可判断；
（3）根据
，得到
，即可证明.
【详解】（1）由
，
两边同时除以
，得
，
又
，故
是以
为首项，
为公差的等差数列．
所以，
，
则
．
当
时，
，
则
，
当
时，
符合上式，
故
．
（2）假设存在
成等差数列，
则
，
即
，化简得2=4，矛盾，
所以，数列
中不存在连续的三项成一个等差数列.
（3）因为
，故
，
则
而
，
故
．
题型4 数学归纳法
题型点拨
1、数学归纳法定义：对于某些与自然数
有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当
取第一个值
时命题成立；然后假设当
（
，
）时命题成立，证明当
时命题
也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
注：即先验证使结论有意义的最小正整数 n_0. 如果 n=n_0 时命题成立，再假设当 n=k（k≥n_0，k 为
正整数）时命题成立，根据这个假设，如能推出当 n=k+1 时命题也成立，那么就可以递推出对所有不
小于 n_0 的正整数 n_0，n_0+1，n_0+2，…，命题都成立．
2、运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当
取第一个值
结论正确；
（2）假设当
（
，
）时结论正确，证明当
时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从
开始的所有正整数
都正确
②用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始
．
不一定恒为1，也可能
或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找
与
的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问
题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个
证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设
时结论成立，利用此假设证明
时结论也成立”是数学归
纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的
严谨性、规范性（即规范问题）．
【典例1】已知数列
的各项均为正数，且前
项和
，试猜想
的通项公式并证明．
【答案】
，证明见解析
【分析】利用
求
前4 项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可．
【详解】当
时，
，解得
；
，解得
，同理得
，
，
，
猜想
，以下用数学归纳法加以证明．
（i）当
时，
，等式成立；
（ii）假设当
时，
成立，
当
时，
，
即
，
去分母并整理得
，解得
．
故
（负值舍去），则
时等式成立．
由（i）（ii）知对任意
，
成立．
【变式1】（25-26·江苏盐城）设数列
的前n 项和为
，已知
，
是公差为
的等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，且满足
.
①证明：
是等比数列；
②设数列
的前n 项和为
，证明：
.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）先利用等差数列通项公式求出
，再利用
的关系求解即可；
（2）①根据bn、T n的关系结合题设可得bn= 1
2 bn−1，即可求证；
②先根据裂项相消法求出
，结合①可求得
，进而根据数学归纳法及分析法求证
即可.
【详解】（1）由题意，
，则
，
当
时，
，
显然
满足上式，则
.
（2）由
，
当
时，
，即
；
当
时，
，
则
，即
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
由（1）知，
，
则
，
即
，
由①知，
，则
，
下面利用数学归纳法证明：
.
当
时，
，结论成立；
假设当
时，结论成立，即
，
则
时，需证明
，即证
，
由
，只需证明
，
即证
，即证
，
即证
，
由于
，则
，
所以
.
综上所述，
，所以
.
题型5 数列中的结构不良问题
【典例1】（25-26·福建宁德）已知数列
的前
项和为
，__________.请在①
；
②
成等比数列，
两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求
的取值范围.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选条件①可得
，利用累乘法求通项公式，选条件②利用等差数列的定义及通项
公式求解；
（2）根据裂项相消法求和，再由单调性求范围即可.
【详解】（1）选条件①：
由
，得
.
当
时，
，
由
得
，
当
时，
满足上式.
故
.
选条件②：
由
，得
，即
，
所以
是公差
的等差数列.
由题知
，即
，解得
，
所以
.
（2）记
.
.
因为
，所以
，即
.
因为
在
上单调递增，所以
.
综上，
的取值范围是
.
【变式1】（25-26·四川南充）设正项数列
的前
项和为
，
，且满足_____．给出下列三个条件：
①
，
； ②
；
③
．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)所选条件见解析，
(2)
【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列
为等比数列，再利用等比数列的通项公式
求其通项；选②：先利用
及
求出
，再利用
和
的关系进行求解；选③：先利用
求出
，再类似利用
和
的关系进行求解；
（2）用错位相减求和.
【详解】（1）选①：由
得：
， 所以
，
又因为
，因此数列
为等比数列，
设数列
的公比为
，则
，由
，
解得
或
（舍去），
所以
；
选②：因为
，
当
时，
，又
，
所以
，即
，所以
，
所以当
时，
，
两式相减得
，
即
，
所以数列
是
，公比为2 的等比数列，
所以
；
选③：因为
，
当
时，
，
所以
，即
，
当
时，
，
两式相减，得
，
即
，
当
时，
满足上式．
所以
；
（2）
设数列
的前
项和
，
故
，
两式相减得：
，
化简得，
．
故数列
的前
项和
.
强化训练（共10 题）
1．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要
著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数
列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4
项为：2，3，6，11，则该数列的第15 项为（ ）
A．196
B．197
C．198
D．199
【答案】C
【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列
的通项公式，再利用累加法计算即可得
.
【详解】设该数列为
，则
；
由二阶等差数列的定义可知，
所以数列
是以
为首项，公差
的等差数列，
即
，所以
，
，
，
，
，
将所有上式累加可得
，所以
，
所以
；
即该数列的第15 项为
.
故选：C
2．（25-26·吉林）（多选）斐波那契数列
，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐
波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以
的递推方法定义，已知
，
，则（ ）
A．
a6
a3
= 4 B．3an=an−2+an+2(n≥3,n∈N
*)
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对选项A，可以由递推式列出前6 项，然后验证即可；对于选项B、C、D，可以灵活运用递推式
验证判断．
【详解】对于A，由a1=1，a2=1，an=an−1+an−2(n≥3,n∈N
*)，
可得
，
，
，
，则
，故A 正确；
对于B，an−2+an+2=an−2+an+1+an=an−2+an−1+an+an=3an(n≥3)，故B 正确；
对于C，
…
，故C 正确；
对于D，
…
，D 错误．
故选：ABC
3．（25-26·江苏南京）已知数列
是递增的等比数列，前3 项和为13，且
，
，
成等差数
列，
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
的首项
，其前n 项和为
，且 ，若数列
满足
，求
的前n 项和
．
在如下两个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①
（
，
）；
②
（
）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据等比数列通项公式及等差中项可得结果；
（2）若选①，根据等差数列定义求出
的通项公式，再由错位相减法求和可得结果；若选②，根据
与
的关系求通项，再由等比数列求和公式可得结果.
【详解】（1）由题意得
，可得
，
，
设递增的等比数列
的公比为q，得
，
解得
或
（舍），则
；
所以数列
的通项公式为
.
（2）选①
（
），可得
为首项为1，公差为2 的等差数列，
则
，
，
则
，
，
两式相减可得
，化简可得
，
所以
的前n 项和
.
选②
，
当
时，
，又
，
两式相减可得
，则
，
可得
为首项为1，公比为
的等比数列，则
；
所以
，可得
．
所以
的前n 项和
.
4．已知数列
的前
项和为
，且
______请在
是公差为的等差数列；
是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，
并解答下面问题.
(1)求
的通项公式
(2)在
与
之间插入
个实数，使这
个数依次组成公差为
的等差数列，数列
的前
项和
，
证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）选
，根据数列递推式，结合
的关系可得
，采用累加法即可求得
答案；选
，由题意可得
，结合
的关系可得
，采用构造等比数列的方
法即可求得答案；选
，根据数列
是公比为的等比数列，可得
，利用累加法即可求
得答案；
（2）由题意可求得
的通项公式，利用错位相减法求得
的表达式，即可证明结论.
【详解】（1）若选
：当
时，
，所以
，
故
，因为
所以
，
则
时，
累加得
，故
，
当
时，
满足上式，故
.
若选
，数列
是公差为的等差数列，首项为
，
故
，则
，
两式相减得
，则
，
则
，即
，
当
时，
满足上式，故
.
若选
，数列
是公比为的等比数列，首项为
，
故
，则
时，
累加得
，故
，
当
时，
满足上式，故
.
（2）证明：由于
，所以
所以
，
故
，
，得
，
即
.
5．（25-26·浙江绍兴）设
为数列
的前n 项和，且
.
(1)求
；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）给n 赋值可求得
及
；利用
与
的关系将n 换为n+1，作差可得
，
由等差中项的定义证得等差数列，即可利用等差数列的定义求解..
（2）将
分离，构造新数列
，利用
的正负找到最大项，可得所求结果.
【详解】（1）
，
，得
.
，则
，
两式相减得
，
即
①
②
②①得
，
即
，故数列
为等差数列.
因此公差为
，则
（2）由（I）可得
，
由
得
对任意正整数
恒成立，
，
令
，
，
当
时，
，当
时，
，
，
.
6．（25-26·安徽）已知数列
的前
项和为
，前
项积为
，满足
．
(1)求
，
和
；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意计算出
，将条件
中的
变为
，然后化简可得
是等比数
列，计算可得
；
（2）由（1）可得
，采用放缩法可得
，根据数列求和公式计算即可得证.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
∵数列
的前
项积为
，满足
，
若某个a j=0，则由前j 项积的定义有T j=0，但题设又给出T j=1−2a j=1，矛盾。因此所有a j≠0，进而
所有T j≠0。
∴
时，
，化为
，变形为
，
n=1 时，1
T 1
+1= 4，
数列
是首项为4，公比为2 的等比数列，
∴
，
时，
亦满足上式，即
；
（2）先证明左边：即证明
，
，
又由
，解得
，
又
，
所以
，
再证明右边：
，
∴
．
7．在数列
中，
，且
，
成等差数列，
成等比数列（
）．
(1)求
及
；
(2)根据计算结果，猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】(1)
，
．
(2)
，证明见解析
【分析】（1）由条件得到
，即可逐个计算；
（2）
；由数学归纳法求证步骤求证即可；
【详解】（1）由已知条件得
，
所以
，
，可得：
，
，
，可得：
，
，
，可得：
；
（2）由（1）的计算可以猜想
．
下面用数学归纳法证明：
①当
时，由已知
可得结论成立；
②假设当
且
时猜想成立，
即
．
则当
时，
，
，
因此当
时，结论也成立．
由①②知，对一切
都有
成立．
8．（25-26·福建莆田）已知数列
满足
，且对任意正整数
有
，数列
满足
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)设
，数列
的前
项和
；
①求
；
②若不等式
对任意的正整数
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②
【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证．
（2）运用错位相减求和法求
，根据数列单调性处理不等式恒成立，进而求出实数
的取值范围．
【详解】（1）证明：因为
，
所以
．
因为
，所以
．
又
，所以
，即证得
是首项为1，公比为2 的等比数列．
（2）①由（1）可得
，则
，
，
，
两式相减得：
，
即
，
所以
，则
．
②因为不等式
对任意的正整数
恒成立，
所以
对任意的正整数
恒成立，
即
，
设
在
为增函数，
所以
.
故实数
的取值范围为
9．已知正项数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用数列前
项和
与
的关系，再结合首项的值确定通项即可；
（2）法一：直接放缩法，利用
即可证出；
法二：由
可得
，即可证明不等式.
【详解】（1）因为
为正项数列，
①，
当
时，得
；
当
时，
②，
①－②得，
，得
．
所以
是首项为2，公差为2 的等差数列，所以
．
（2）解法1：因为
，
所以当
时，
，
当
时也符合，所以原不等式成立．
解法2：因为
，所以
，
所以
，
所以当
时，
，
当
时，不等式的左边
也符合，所以原不等式成立．
10．（25-26·广东深圳）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261 年
所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，
如图右的“三角垛”最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球……
(1)设“三角垛”各层球数构成一个数列
，观察发现杨辉三角中第3 斜列即为数列
；1，3，6，
10，15，…，请写出
与
的递推关系，并求出数列
的通项公式；
(2)记杨辉三角的第
行所有数之和为
，令
，设
为数列
的前
项和．
（i）求
；
（ii）若
成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)（i）
；
（ii）
【分析】（1）利用观察归纳法找到递推关系，再利用累加法求通项公式即可；
（2）（i）利用二项式系数的性质得
，再利用错位相减法求
即可；
（ii）构造数列
，由不等式组求数列
的最大值即可．.
【详解】（1）由题意可知，
，
，
所以数列
的一个递推关系为
，
所以当
时，利用累加法可得
，
将
代入得
，符合
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）（i）利用二项式系数的性质得
，
所以
，
所以
，
，
得
，
所以
，
所以
，
（ii）
成立，等价于
成立，
等价于
成立，令
，
所以
，即
，解得
，
所以
的最大值为
，
所以
，即
的取值范围是
.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·福建龙岩）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三
角形数阵，记
为图中虚线上的数1，3，6，10，
构成的数列
的第
项，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由图可得
，再借助累加法结合等差数列求和公式计算即可得.
【详解】由图可知
的递推公式为
，
所以
，
因为
，所以
，
故
.
故选：B.
2．（25-26·广西桂林）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角
形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，
，
，
，
，构成数列
，其前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据数列
的前
项，归纳出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前
项和，即可求解.
【详解】根据题意可知，
，
，
，
，
以此类推，
，
所以其前
项和
，
所以
.
故选：A.
3．（25-26·江西新余）数列
，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十
三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三
项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列
的前
项和为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
，
，
，……，
，相加得到答案.
【详解】由题意得
，
故
，
，
，……，
，
上面的式子相加得
，
又
，故
.
故选：A
4．（25-26·福建）（多选）斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.
斐波那契数列
可以用如下方法定义：
，
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据递推式判断A、B、D；根据B 的结论，结合累加法判断C；
【详解】由题设，
，
，
A 错；
由
，则
，故
，B 对；
由
，结合B 的结论有
，
，
，
，
所以
，C 对；
，D 对；
故选：BCD
5．（25-26·广东佛山）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1 层开始，第
层从左
到右的数字之和记为
，如
，
，…，则
的前9 项和
.
【答案】1022
【分析】由题意，总结得出
的表达式，证明其为等比数列，利用等比数列求和公式计算即得.
【详解】由题意得
，因
，可得数列
是等比数列，
则
.
故答案为：1022.
