文档文本内容
第8 讲 直线中的对称与新定义问题
目 录
题型01 点的对称问题
题型02 点关于直线的对称问题
题型03 直线关于点的对称问题
题型04 直线关于直线的对称问题
题型05 入射、反射光线背景下的对称问题
题型06 直线中的新定义问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 点的对称问题
题型点拨
1、思路：该点是两对称点连线段的中点．
2、方法：利用中点坐标公式
平面内点A(x0, y0)关于P(a,b)对称点坐标为(2a−x0,2b−y0)，
平面内点A(x1, y1)，A'(x2, y2)关于点
P(
x1+x2
2
, y1+ y2
2 )对称．
【典例1】已知不同的两点
与
关于点
对称，则
（ ）
A．
B．14
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据中点公式，列出方程，求得
的值，进而求得
的值.
【详解】因为两点
与
关于点
对称，
可得
，即
，解得
，
所以
.
故选：C.
【变式1】点P
关于点M
对称的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据对称中心的概念以及中点坐标公式即可求解.
【详解】解：由题意得：
设对称点的坐标为
，解得：
所以对称点的坐标为
故答案为：
题型2 点关于直线的对称问题
题型点拨
1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线．
2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用“垂直”和“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点
的坐标，一般地：设点 (x₀,y₀) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点为 (x′,y′) ，则满足
(y′-y₀)/(x′-x₀)·(-A/B)=-1，且 A(x′+x₀)/2+B(y′+y₀)/2+C=0．
（2）当直线斜率不存在时：点
关于x=m 的对称点为
．
【典例1】（25-26·安徽合肥）已知点
关于直线
的对称点为
，设直线
经过点
，
则当点
到直线
的距离最大时，直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出
点坐标，先根据对称得到方程，求出
点坐标，数形结合得到，直线
垂直于直线
时，
点
到直线
的距离最大，根据
的斜率求出直线
的斜率为，得到直线方程.
【详解】设
，因为点
关于直线
的对称点为
，
所以
，解得
，即
设点
到直线
的距离为
，
又直线
经过点
，所以当
垂直于直线
时，
取得最大值，
而
，
因此直线
的斜率为，所以直线
的方程为
，即
.
故选：B
【变式1】（25-26·广东清远）已知点P 在直线
上，点
，则
的最小值
为
【答案】
【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值.
【详解】如图，设
关于直线
的对称点为
，则
，
解得
，则
，
于是
，
结合图形知，当
三点共线时，此时
取得最小值
，
即
取得最小值为
故答案为：
题型3 直线关于点的对称问题
题型点拨
1、思路：直线关于一点对称后，所得直线与原直线平行或重合；当对称中心不在原直线上时，两直线
平行且对称中心到两直线的距离相等。
2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出
各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）．
法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等；或设平行直线系，利用点到直线距离相等，并保
证对称中心位于两条平行线之间，或排除与原直线重合的结果）．
【典例1】与直线
关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】设直线
上一点
关于坐标原点
对称的点为
，
则
，
，解得
，
，
代入
，得
，
即所求直线的方程为
．
故选：D．
【变式1】直线过点
，点
到直线的距离为
，直线与直线关于点
对称.
(1)求直线的方程；
(2)记原点为
，直线上有一动点
，则当
最小时，求点
的坐标.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为
，然后由点
到直线的距离为
，列方程可求出
的值，再求出点
关于点
对称，再在直线上任取一点，求出其关于点
的
对称点，从而可求出直线的方程；
（2）设原点为
关于直线的对称点为
，则
，当
三点共线时取
等号，然后求出直线
的方程，联立直线
的方程与直线的方程可求出点
的坐标.
【详解】（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为
，
因为点
到直线的距离为
，
所以
，
化简得
，解得
，
所以直线的方程为
，
当
时，
，
则直线与
轴交于点
，
点
，
关于点
的对称点分别为
，
所以直线的斜率为
，
所以直线的方程为
，即
，
（2）设原点为
关于直线的对称点为
，则
，
所以
，
所以当
三点共线时取等号，
设
，则
，解得
，即
，
所以
，
所以直线
的方程为
，即
，
由
，解得
，即
.
题型4 直线关于直线的对称问题
题型点拨
1、当
与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；
求直线
，关于直线
（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立
算出交点
；
第二步：在
上任找一点（非交点）
，求出关于直线对称的点
；
第三步：利用两点式写出
方程．
2、当
与l 平行时：对称直线与已知直线平行．
两条对称直线到对称轴的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得．
【典例1】已知直线l：
，则直线m：
关于直线的对称直线
的方程为 ．
【答案】
【分析】解法一：在直线
上取一点
，则
关于直线的对称点
必在
上，则
在直
线l 上，且直线
与直线l 斜率的乘积等于
，建立方程组解出
，再由
经过
与的交点，
由两点式可得直线
的方程，即可得解；
解法二：利用二级结论，直线
关于直线
对称的直线方程，由式
子
决定，即可得到直线
的方程.
【详解】解法一：在直线
上取一点，不妨取
，则
关于直线的对称点
必在
上．
设
，则
，解得
即
．
设
与的交点为
，则由
，得
，即
．
又
经过点
，所以由两点式得直线
的方程为
，
即
．
故答案为：
．
解法二：直线
：
关于直线：
对称的直线方程为
，
即
，所以直线
的方程为
．
故答案为：
．
【变式1】（25-26·辽宁大连）已知直线
，
，若直线与
关于直线l 对称，
则直线l 的方程为 .
【答案】
或
【分析】利用数形结合计算l 的斜率结合直线与
的交点计算即可.
【详解】
易知与纵轴交于
，
交横轴于点
，
联立直线与
方程
，得两直线交点为
，
如上图所示网格中构造直角三角形
，易知
，
即
，
又
，
所以
，
即
为两直线与
夹角的平分线，
所以直线
符合题意，易知其方程为
；
当直线l 过点C 且与
垂直时，也符合题意，此时直线方程为
.
故答案为：
或
.
题型5 入射、反射光线背景下的对称问题
【典例1】（25-26·云南玉溪）一光线过点
，经倾斜角为
的且过
的直线反射后过点
，
则反射后的光线不会经过下列哪个点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点
关于直线的对称点
，进而
利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】倾斜角为
的且过
的直线的方程为
，即
，
设点
关于直线的对称点
，则
，
即
，解得
，即
，
于是反射后的光线所在的直线方程
为
，即
，
对于A：
时，
；
对于B：
时，
；
对于C：
时，
；
对于D：
时，
.
故选：D
【变式1】（25-26·吉林长春）如图，在等腰直角
中，
，点
是边
上异于端点的一点，
光线从点
出发经
边反射后又回到点
，若光线
经过
的重心，则
的周长等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立如图所求的直角坐标系，得
，设
，求出
关于直线
的对称点
的坐
标，
关于
轴对称点
的坐标，由反射性质
四点共线，求得直线
方程，由
在直线
上
可求得
，然后计算
即可．
【详解】建立如图所求的直角坐标系，得
，
则直线
方程为
，
且
的重心为
，即
，
设
，
关于直线
的对称为
，
则
，解得
，则
，
易知
关于
轴的对称点为
，
根据光线反射原理知
四点共线，
所以直线
的方程为，
，即
，
又直线
过
，
所以
，解得
或
（舍去），
所以
，
,
,
所以
.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把
的三边转化为到同一
条直线上，利用直线方程求得点
位置，然后得路程的最小值．
题型6 直线中的新定义问题
【典例1】（25-26·上海）定义：点
到直线
（
不全为零）的有向距离为
.设点
到直线l 的有向距离为
.已知两定点
与
，
到直线l 的有
向距离之差的绝对值等于
，且
在直线l 的同侧，则平面上不在任何一条直线l 上的点组成的图形
面积为 .
【答案】8
【分析】结合有向距离定义，化简
可得
，由
在直线l 的同侧得
，化
简得
的范围，由直线
与直线
的变化数形结合可得.
【详解】由题意两定点
与
到直线
的有向距离分别为
，
，
因为
，所以
，
即
，化简得
，则
.
又由
不全为零，则
，且
.
当
时，
可化为
；
当
时，
可化为
；
又因为
在直线l 的同侧，
则
.
解得
或
.
所以直线
可表示平面上两平行直线
与
之间带状区域以外的点，
其中不能表示两平行直线
上的点；
直线
可表示平面上两平行直线
与
之间带状区域以外的点，
其中不能表示两平行直线
上的点；
结合图形可知，平面上不在任何一条直线l 上的点组成的图形为以
为对角线的正方形，
由
，则该正方形的面积
.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：根据有向距离的定义，可得如下结论：
在直线同侧的点，有向距离的符号相同；在直线异侧的点，有向距离的符号相反.即
点
在直线的同侧；
点
在直线的异侧.
【变式1】（25-26·贵州贵阳）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用
距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系
中，
，定义两种距离：欧几里得距离
；曼哈顿距离
.
(1)求满足
的点
的轨迹所围成的图形面积；
(2)在
中，求证：
；
(3)已知点
是直线
上的两动点，问是否存在直线使得
？若存在，
求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)存在，
和
【分析】（1）先求得点
的轨迹方程，画出图象，从而求得点
的轨迹所围成的图形面积.
（2）根据绝对值三角不等式以及曼哈顿距离的定义证得不等式成立.
（3）根据点到直线的距离公式求得
，求得
的表达式，对
进行分类讨论，根据不等式
的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程.
【详解】（1）设
，则
，
当
时，则
；当
时，则
；
当
时，则
；当
时，则
.
如图，点
的轨迹是一个边长为
的正方形，
点
的轨迹所围成的图形面积为
.
（2）设
，
则
，
当且仅当
且
时等号成立，
在
中，
.
（3）
点
到直线
的距离为
.
设
，则
，
当
时，
，又此时
，满足题意；
当
时，
，
又
且
恒成立，当且仅当
时等号成立.
综上，满足条件的直线有且只有两条，方程是
和
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳
“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
强化训练（共10 题）
1．（25-26·甘肃）在平面直角坐标系xOy 中，记第一象限内的动点P 为
，若点P 在直线
上，
则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】作点O 关于直线
的对称点C，则
．点P 到y 轴的距离为
，故
可视为直线
上的点
到y 轴的距离和到
的距离之和．
【详解】如图：
作点O 关于直线
的对称点C，则
．
设
，则有
解得
所以
．
已知第一象限内的点
，则
，
而
，
，所以点P 到y 轴的距离为
，
所以
可视为直线
上的点
到y 轴的距离和到
的距离之和．
过P 作
轴，显然有
，
当且仅当C，P，D 三点共线时，和有最小值．
过点C 作
轴，则
即为最小值，
此时P 的位置即为CH 与直线
的交点．
因为
，所以
的最小值为4．
故选：B.
2．（25-26·广东阳江）直线
关于直线
对称的直线方程 .（用一般
式方程表示）.
【答案】
【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于
对称点坐标，由垂直斜率的
关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程.
【详解】联立
，得
，则两直线的交点为
，
在直线
上取点
，设其关于
的对称点为
，
则
，得
，则
.
故直线
关于直线
的对称直线为
，
又
，所以直线
，即
.
故答案为：
.
3．（25-26·上海）将一张坐标纸折叠一次，使点
与点
重合，此时点
与原点
重合，则
的值是 .
【答案】
【分析】折痕为点
与点
的中垂线，得方程
，再根据点
与原点
对称可得答案.
【详解】如图：可知折痕为点
与点
的中垂线，
中点坐标为
，
设折痕直线的斜率为
，则
，得
，
故折痕直线方程为
，即
，
由题意点
与原点
关于折痕对称，
故
得
，故
.
故答案为：
4．在等腰直角三角形
中，
，点
是边
上异于
，
的一点，光线从点
出发，经
，
反射后又回到点
，如图所示，若光线
经过
的重心
，则
的长度为 .
【答案】
【分析】求出点
关于
和直线
的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得.
【详解】以
为原点，
分别为
轴建立平面直角坐标系，
则直线
方程为
，
设
关于
和直线
的对称点分别为
，则
，
记
，则
，解得
，
因为
为
的重心，
，所以
，
由光的反射原理可知，
三点共线，所以
，
即
，解得
（舍去）或
.
故答案为：
5．在平面直角坐标系中，定义
为两点
，
的“切比雪夫距
离”，又设点
与直线上任意一点
，称
的最小值为点
与直线间的“切比雪夫距离”，记作
，给定下列两个命题：
①已知点
，直线
，则
；
②定点
、
，动点
满足
则点
的轨迹与直线
（
为常数）有且仅有2 个公共点；下列说法正确的是（ ）
A．命题①成立，命题②不成立
B．命题①不成立，命题②成立
C．命题①②都成立
D．命题①②都不成立
【答案】C
【分析】对于①，设点
是直线
上一点，且
，可得
，
讨论
与
的大小，可得距离
，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得
，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】对于①，设点Q 是直线
上一点，且
，可得
，
由
，解得
，即有
，
当
时，取得最小值
；
由
，解得
或
，即有
，
的范围是
，无最值，
综上可得，P，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为
，故①正确；
对于②，定点
、
，动点
，
满足
，
则：
，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设
，
.
当{
| x +c|≥y ,
| x−c|≥y ,时，有|| x +c|−| x−c||=2a，得：{
x =a,
0≤y ≤c−a,；
当
时，有
，此时无解；
当{
| x +c|> y ,
| x−c|< y ,时，有y = x +c−2a，x ≥a；
则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.
第一象限内另一部分轨迹为y = x +c−2a，x ≥a，再利用关于坐标轴的对称性，才能完整说明任意直线
y =k与轨迹恰有两个公共点，因此②正确，
故选：C.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定
义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的
新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说
“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝.
6．（25-26·山西长治）（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：
在平面直角坐标系中有两点
，
，其“曼哈顿距离”
．下列结论
正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，且
，则
C．若点
，点Q 是直线
上的动点，则
的最小值为3
D．若点
，点Q 是曲线
上的动点，则
的最小值为2
【答案】AC
【分析】利用“曼哈顿距离”的定义即可判断AB，对于C 设
，则
利用三角不等式即可判断，对于D 设
，则
，由二次函数即可判断.
【详解】对于A：
，故A 正确；
对于B：
或1，故B 错误；
对于C：设
，所以
，故C 正确；
对于D：设
，所以
，
当
时，
，所以当
时，则
的最小值为
，故D 错误，
故选：AC.
7．（25-26·黑龙江大庆）已知实数
，
，且满足
成立，则
的最小值与最
大值的和是 .
【答案】
【分析】设
，将问题转化为求两点
到原点距离之和的最小值与最大值的和，
结合图形可得答案.
【详解】设
，
.
则
，
表示两点
到原点距离之和.
如图，建立直角坐标系，其中
.
注意到点
在直线
上（其中
），
过B 作y 轴垂线，垂足为
.则
，
设原点关于直线
对称的点为
，又直线
斜率为-2.
则
，即
.
则由对称性，
，当且仅当C，B，D 三点共线，
即DC 垂直于y 轴时取最小值
；
又设DC 垂直于y 轴时，与直线
交点为E.
则当点B 位于点E 上方或下方时，始终有
，
要使
最大，则点B 需位于G 点或H 点，
可得
最大值为
.
则最小值与最大值的和是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：对于求解含有根式的条件等式范围问题，可利用数形结合思想，将问题转化为距离相
关的问题.
8．（25-26·上海）已知直线
，试求：
(1)点
关于直线的对称点的坐标；
(2)直线
关于直线对称的直线方程；
(3)直线关于点
对称的直线方程．
【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
【分析】（1）已知点
和直线，求点
关于直线的对称点问题，设出对称点
的坐标，利用点
和点
中点在直线上以及直线
与直线垂直列方程组，解方程组即可求解.
（2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点
，再求直线上任取的一点
关于另一条直线的对称点
，两点
和
可以确定要求直线的方程，从而
求得方程.
（3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点
的坐标求出直线方程即可.
【详解】（1）设点
关于直线
的对称点的坐标为
，
则有题意可得
，解得
，
故点
关于直线
的对称点的坐标为
．
（2）由
可得
，
直线
与直线
的交点为
，
再在直线
上取一点
，
设点
关于直线
的对称点为
，
则由
解得
，
即
．
由题意可得
、
两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为
，
则直线方程为
，
化简为
．
（3）在直线
上任意取出两个点
，
求出这两个点关于点
对称点分别为
由题意可得
，是所求直线上的两个点，
则直线斜率为3，
则所求直线方程为
，
即
．
9．（25-26·上海）如图，已知
，
，
，直线：
．
(1)求直线经过的定点坐标；
(2)若
，李老师站在点
用激光笔照出一束光线，依次由
（反射点为
）、
（反射点为
）反射后，光斑落在
点，求入射光线
的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点；
（2）分别求点
关于直线
与
的对称点
与
，进而可得
，再根据对称性可得
，即可得直线
方程.
【分析】（1）由dl( D , P)=√(2−y P)
2+( xP−1)
2，几何意义为：P( xP, y P)到(1,2)的距离，
d p( D ,Q)=√(2−xQ)
2+(1−yQ)
2几何意义为：Q( xQ, yQ)到(2,1)的距离，即可求解；
令
，解得
，
故直线恒过定点
；
（2）设
关于
的对称点
，则
，
则dl( D , P)=√(2−y P)
2+( xP−1)
2，几何意义为P( xP, y P)到(1,2)的距离，
由直线
的方程为
，即
，
d p( D ,Q)=√(2−xQ)
2+(1−yQ)
2，几何意义为Q( xQ, yQ)到(2,1)的距离，
所以
，
由题意得
、
、
、
四点共线，
，
由对称性得
，
所以入射光线
的直线方程为
，
即
．
10．（25-26·重庆）平面内有两点
与
，我们新定义这两点间的“物理距离”
，“光学距离”
.
上有两个动点
P，Q，定点
.
(1)求
的最大值；
(2)过点
的直线上有一个动点
，若
的最小值为1，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由
，几何意义为：
到
的距离，
几何意义为：
到
的距离，即可求解；
（2）
即
与
的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解；
【详解】（1）
化成标准方程：
，圆心为
，半径为2，
设
，
则
，几何意义为
到
的距离，
其最大值为圆心到
的距离加上半径，即：
，
，几何意义为
到
的距离，
其最小值为圆心到
的距离减去半径，即：
，
所以
的最大值为
，
即
的最大值为
；
（2）由
，即
与
的距离，
设过点
的直线方程为：
，因为过圆心
，可得：
，
即方程为
，
由题意，若
的最小值为1，即
到
的距离为1，
可得：
，
平方化简可得：
，
解得：
或
，即
，
所以直线方程为：
或
.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·广西北海）一束光线从点
射出，经
轴反射后经过点
，则该束光线从点
到点
的路径长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．
【答案】B
【分析】先求出
关于
轴的对称点
,再根据两点间距离公式计算即可.
【详解】点
关于
轴对称的点为
，
则该光线从点
到点
的路径长为
．
故选：B.
2．（25-26·江苏常州）已知直线
与直线
关于点
对称，则实数
的值为
（ ）
A．2
B．6
C．
D．
【答案】A
【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.
【详解】由于直线
与直线
关于点
对称，
所以两直线平行，故
，则
，
由于点
在直线
上，
关于点
的对称点为
，
故
在
上，代入可得
，故
，
故选：A
3．（25-26·天津）与直线
关于
轴对称的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设所求直线上一点的坐标，利用对称知识，即可求得答案.
【详解】设与直线
关于
轴对称的直线的上一点为
，
则
在直线
上，即得
，即
，
故与直线
关于
轴对称的直线的方程为
，
故选：A
4．（多选）（25-26·山东济南）一光线过点
，经倾斜角为
的且过
的直线反射后过点
，
则反射后的光线还经过下列哪些点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】点
关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可
求解.
【详解】倾斜角为
的且过
的直线 的方程为
，即
.
设点
关于直线的对称点
，
则有
，即
，解得
，即
.
于是反射后的光线所在的直线方程
为
，即
.
对于A：
在l 的左侧，反射光线（射线）不经过该点
，故A 错误；
对于B：
时
，故B 正确；
对于C：
时
，故C 正确；
对于D：
时
，故D 错误；
故选：BC.
5．（25-26·上海·课堂例题）一条光线沿经过点
且斜率为
的直线射到x 轴上后反射，则反射光线
所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求.
【详解】由题知，入射光线所在直线方程为
，即
，
因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x 轴对称，
所以反射光线所在的直线方程为
.
故答案为：
