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第10 讲代数式的概念与代数式的值
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 代数式的概念
题型2 代数式书写格式
题型3 列代数式
题型4 代数式表示的实际意义
题型5 已知字母的值，求代数式的值
题型6 已知式子的值，求代数式的值
题型7 程序流程图与代数式求值
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
代数式、列代数式、代
数式的值、数量关系、
书写规范、一般性。
1. 理解代数式的概念，知道用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子
叫代数式。
2. 掌握代数式的书写规范（如乘号省略、除法写成分数形式等），能正确列
出代数式表示数量关系。
3. 理解代数式的值的意义，能将字母取值代入代数式并按运算顺序求出结果。
4. 体会从特殊到一般（列代数式）和从一般到特殊（求代数式的值）的数学
思想，感受字母表示数的一般性。
学习重点：理解代数式的概念，掌握列代数式表示数量关系的方法，以及代数式值的求法。
学习难点：准确分析实际问题中的数量关系并正确列出代数式（特别是含括号、分数等形式），理解
同一代数式可表示不同实际意义，以及代数式求值时对负数、分数等代入需加括号的处理。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 代数式
1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般
都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
【易错提醒】
代数式易错警示：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。注意：单独一个数或字母
也是代数式；含“=”“<”“>”的式子不是代数式（如方程、不等式）。运算顺序与括号不能漏。
即时即练有下列各式：①2
1
x ，②
3
4
3
v
r
，③a ，④
1
m
m ，⑤
1
0
y
，⑥
2
2
a
b
，⑦15，⑧2
0
x
，
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⑨s
vt
.其中，代数式的个数为（
）
A．9
B．7
C．6
D．5
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的概念及识别，掌握代数式的概念是解题的关键．
代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母
的数学表达式称为代数式，注意，单独的一个数或字母也是代数式，由此即可求解．
【详解】解：①2
1
x ，是代数式，
②
3
4
3
v
r
，不是代数式，
③a ，是代数式，
④
1
m
m ，是代数式，
⑤
1
0
y
，不是代数式，
⑥
2
2
a
b
，是代数式，
⑦15，是代数式，
⑧2
0
x
，不是代数式，
⑨s
vt
，不是代数式，
∴代数式的有①③④⑥⑦，共5 个，
故选：D ．
知识点02 代数式的书写格式
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如
a
3
1
2
应写作
a
3
7
；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作
4
a
4
；注意：分数线具有“÷”
号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，
如a2-b2 平方米。
【易错提醒】
代数式书写格式易错警示：数字与字母相乘，数字在前（如3a）；带分数要化假分数；除法写成分数；单
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位要加括号（如(a+b)元）。乘号可省略或写“·”，但数字与数字间不可省略。
即时即练有下列各式：①
4
a ；②1
12 x ；③
2
m
米；④
3
3
5
x 其中，符合代数式书写要求的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键．根据代数式书写要求进行判
断即可．
【详解】解：
4
a 符合代数式书写要求；
1
12 x 应该写成3
2 x ，不符合代数式书写要求；
2
m
米应该写成(
2)
m
米，不符合代数式书写要求；
3
3
5
x 符合代数式书写要求；
故选B．
知识点03 代数式的值
1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、
有意识的整体处理．
2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代
入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．
【易错提醒】
代数式求值易错警示：代入数值时需用括号（如x=-2 代入x2 得(-2)2）。负数代入时特别注意平方及乘方
符号。先化简再代入更简便，但需保证化简正确，且代数式有意义（如分母不为0）。
即时即练1．当
2
a
，
1
b ，
3
c 时，求下列各代数式的值：
(1)
2
4
b
ac
；
(2)
2
a
b
c
．
【答案】(1)25
(2)4
【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．
（1）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可．
（2）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可．
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【详解】（1）解：当
2
a
，
1
b ，
3
c 时，
2
2
4
1
4
2
3
1
24
25
b
ac
．
（2）解：当
2
a
，
1
b ，
3
c 时，
2
2
2
2 1 3
2
4
a
b
c
．
2．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛．
(1)把
2
x
y
看成一个整体，将
2
2
2
2
5
x
y
x
y
x
y
合并的结果是__________
(2)已知
2
1
a
a
，则
2
2
2
2020
a
a
__________；
(3)已知
2
2
3
,
2
5
2
a
ab
ab
b
，求代数式
2
2
9
3
3
2
a
ab
b
的值．
【答案】(1)
2
2 x
y
(2) 2022
(3)
39
2
【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想．
（1）把
2
(
)
x
y
看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简；
（2）把
2
a
a
看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；
（3）将代数式提取一个1
2 ，化为
2
2
1 6
9
6
2
a
ab
b
，再将
2
2
5
a
ab
，
2
2
3
ab
b
整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
5
x
y
x
y
x
y
2
2
5 1
x
y
，
2
2 x
y
；
故答案为：
2
2 x
y
（2）解：
2
1
a
a
，
2
2
2
2
2020
2
2020
2 1
2020
2022
a
a
a
a
，
故答案为：2022 ；
（3）解：
2
2
5
a
ab
，
2
2
3
ab
b
，
2
2
9
3
3
2
a
ab
b
2
2
1 6
9
6
2
a
ab
b
2
2
1 6
2
3
2
2
a
ab
ab
b
1
6
5
3
3
2
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2
．
题型1 代数式的概念
【例1】在，
2
5
x
，1 3
0
x
，ab ，
2
a
，0，1
a 中，代数式有（
）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
【答案】B
【知识点】代数式的概念
【分析】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的定义是解题的关键；
根据代数式的定义，逐个判断即可；
【详解】解：是单独的一个数，是代数式；
2
5
x
是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式；
1 3
0
x
是等式，不是代数式；
ab 是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式；
2
a
是不等式，不是代数式；
0 是单独的一个数，是代数式；
1
a 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式．
∴代数式共5 个，
故选：B．
【例2】下列各式中，不是代数式的是（
）
A．
1
x
B．5
C．
2
2
1
a
D．
2
3
x
y
【答案】A
【知识点】代数式的概念
【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号
（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称
代数式．据此逐一进行判断即可得到答案．
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【详解】解：A、
1
x ，含有等号，不是代数式，符合题意；
B、5 是代数式，不符合题意；
C、
2
2
1
a 是代数式，不符合题意；
D、
2
3
x
y
是代数式，不符合题意．
故选：A．
【技巧归纳】
代数式由数、字母和运算符号组成，不含等号或不等号。判断时注意：单独一个数或字母也是代数式。含
关系符号（=、<、>）的不是。列代数式时，关键词“和差积商”对应运算顺序，括号表示优先。
【变式1-1】在式子
3
n 、a、1、80%t 、S
ab
中，代数式的个数有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【知识点】代数式的概念
【分析】本题考查代数式的识别，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫做代数式，据此进行判断即
可．
【详解】解：在式子
3
n 、a、1、80%t 、S
ab
中，
3
n
、a、1、80%t 是代数式，共4 个；S
ab
是等
式，不是代数式，
故选C．
【变式1-2】下列各式：3
1
x，
4
a
，
100
5
s
t
，5
3
xy ，4mn ，2
6
b
，2
，7
8
1
x
y
中，代数
式有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．5 个
【答案】D
【知识点】代数式的概念
【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键．
根据代数式的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：3
1
x，
4
a
，
100
5
s
t
，5
3
xy ，4mn ，2
6
b
，2
，7
8
1
x
y
中，代数式有：3
1
x，
5
3
xy ，4mn ，2
，7
8
1
x
y
，共5个，
故选：D．
题型2 代数式书写格式
【例3】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（
）
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（1）
2
1
13 x y ；（2）
3
ab
c
；（3）2m
n ；（4）
2
2
5
a
b
；（5）
·4
mb
；（6）1ab
；（7）aab
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【知识点】代数式书写方法
【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略
不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前．
【详解】解：（1）
2
1
13 x y 应书写成
2
4
3 x y ，书写形式不规范，不符合题意；
（2）
3
ab
c
应书写成
3
ab
c ，书写形式不规范，不符合题意；
（3）2m
n 书写形式规范，符合题意；
（4）
2
2
5
a
b
书写形式规范，符合题意；
（5）
4
mb应书写成4mb ，书写形式不规范，不符合题意；
（6）1ab
应书写成ab
，书写形式不规范，不符合题意；
（7）aab 应书写成
2
a b ，，书写形式不规范，不符合题意；
∴符合书写要求的有2 个，
故选：B．
【例4】学完代数式内容后，下列各式书写规范的是（
）
A．3
2024
a
个
B．
2024
a
C．2024a
D．
1
2024
2 a
【答案】C
【知识点】代数式书写方法
【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）
数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带
分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可．
【详解】解：多项式后面有单位时，多项式必须用小括号括起来，因此3
2024
a
个书写错误，故A 错误；
代数式中不能出现乘号且数字在前，因此
2024
a
书写错误，故B 错误；
2024a 符合书写要求，故C 正确；
1
2024
2 a
应该为1012a ，故D 错误．
故选：C．
【技巧归纳】
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数字与字母相乘时数字在前（如3a），字母间乘号可省略或记“·”，除号用分数形式。带分数须化为假分
数。相同字母相乘写幂，如a²。单位括号加在式子后，如(a+b)米。注意运算顺序。
【变式2-1】下列各式最符合代数式书写规范的是（
）
A．
4x y
B．
3
2xy
C．2
1
x 千克
D．
3
x
【答案】B
【知识点】代数式书写方法
【分析】本题考查了代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键．
根据代数式书写的标准规范逐项判断即可．
【详解】解：A.
4x y 不符合代数式书写规范，应写为
4
yx ，故该选项不符合题意；
B.
3
2xy 符合代数式书写规范，故该选项符合题意；
C. 2
1
x 千克不符合代数式书写规范，应写为
2
1
x
千克，故该选项不符合题意；
D.
3
x不符合代数式书写规范，应写为3x ，故该选项不符合题意；
故选：B ．
【变式2-2】下列单项式书写规范的有（
）个
①
1
2 2 ab ；②
3
2
2x y ；③
2
3
2 x
；④
2
1
.
a b
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】代数式书写方法
【分析】本题考查了代数式的规范书写要求，根据代数式的规范书写格式要求进行判断即可求解；理解要
求是解题的关键．
【详解】解：①
1
2 2 ab 的正确书写格式为5
2 ab ；②
3
2
2x y 书写格式正确；③
2
3
2 x
书写格式正确；④
2
1a b
正确书写格式为
2
a b
；
书写规范的有②③，
故选：B．
题型3 列代数式
【例5】用代数式表示“a 的平方的3 倍与b 的平方的差”为
．
【答案】
2
2
3a
b
/
2
2
3
b
a
【知识点】列代数式
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【分析】本题主要考查了列代数式，先分别表示出a 的平方的3 倍和b 的平方，再作差即可得到答案．
【详解】解：用代数式表示“a 的平方的3 倍与b 的平方的差”为
2
2
3a
b
，
故答案为；
2
2
3a
b
．
【例6】某产品前年的产量是n 件，去年的产量比前年的产量的3 倍少10 件，用代数式表示去年的产量为
件．
【答案】(3
10)
n
【知识点】列代数式
【分析】本题考查了列代数式，根据“某产品前年的产量是n 件，去年的产量比前年的产量的3 倍少10 件”
列出代数式即可，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：用代数式表示去年的产量为(3
10)
n
件，
故答案为：(3
10)
n
．
【技巧归纳】
先找关键词：和、差、倍、分、倒数、平方等，确定运算顺序。用字母表示未知数，按语言描述的顺序列
式。注意“的”字结构：如“a 与b 的平方和”为a²+b²，“a 与b 的和的平方”为(a+b)²。区分。
【变式3-1】一支钢笔a 元，一支圆珠笔b 元，购买2 支钢笔和3支圆珠笔需要
元．
【答案】
2
3
a
b
【知识点】列代数式
【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得，购买2 支钢笔和3支圆珠笔需要
2
3
a
b
元，
故答案为：
2
3
a
b
．
【变式3-2】伊伊今年a 岁，妈妈的年龄比伊伊年龄的3 倍多4 岁，用含有字母的式子表示妈妈的年龄是
岁．
【答案】
3
4
a
/
4
3a
【知识点】列代数式
【分析】本题主要考查了列代数式，伊伊的年龄乘以3，再加上4 即可得到答案．
【详解】解；由题意得，妈妈的年龄是
3
4
a
岁，
故答案为：
3
4
a
．
题型4 代数式表示的实际意义
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【例7】联系实际背景，说明代数式
2
6a 的意义
．
【答案】6 个边长为a 的正方形的面积之和（答案不唯一）
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题考查了代数式的实际意义，解题的关键是理解代数式所表示的实际意义；因此此题可根据代
数式
2
6a 进行求解即可
【详解】解：代数式
2
6a 的意义可表示为6 个边长为a 的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可）；
故答案为：6 个边长为a 的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可）．
【例8】对代数式“ 4a ”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是a 元，那么4a 表示4 支铅笔的总价．请
你再对“4a ”赋予一个实际意义：
．
【答案】如果一个排球的价格为a 元，那么4a 表示4 个排球的总价（答案不唯一）
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式写成符合式子的实际意义即可，理解代数式的特点是
解题的关键．
【详解】解：如果一个排球的价格为a 元，那么4a 表示4 个排球的总价（答案不唯一）．
故答案为：如果一个排球的价格为a 元，那么4a 表示4 个排球的总价（答案不唯一）．
【技巧归纳】
将代数式中字母替换为实际量，解释运算含义。如5x 表示单价5 元买x 个的总价；2(a+b)表示长方形周长。
注意单位要一致。可从运算关系（加减乘除）入手，赋予现实情境（行程、面积、总价等）。
【变式4-1】对代数式“3a ”可以赋予实际意义：如果一天读书a 页，那么3a 表示3天读书的总页数．请你对
代数式“9
0.5
a
b
”赋予一个实际意义：
．
【答案】已知一支钢笔9元，一块橡皮擦0.5元，购买a 支钢笔和b 块橡皮擦共计
9
0.5
a
b
元（答案不唯一，
合理即可）．
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，理解代数式的特点是解题关键．
根据代数式写成符合式子的实际意义，合理即可．
【详解】解：已知一支钢笔9元，一块橡皮擦0.5元，购买a 支钢笔和b 块橡皮擦共计
9
0.5
a
b
元．
故答案为：已知一支钢笔9元，一块橡皮擦0.5元，购买a 支钢笔和b 块橡皮擦共计
9
0.5
a
b
元（答案不唯
一，合理即可）．
【变式4-2】商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为x 元的商品提价50%后标价，再以
0.9
30
x
元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30 元后再打9 折；②标价打9 折后再减去30 元；
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③标价减去50 元后再打6 折；④标价打6 折后再减去30 元．能正确表达该商店促销方法的是
．
（填
序号）
【答案】③④/④③
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】此题主要考查了代数式，成本为x 元的商品提价50%后标价为
1 50%
1.5
x
x
，分别列出四个说
法的促销价，再可判断即可．
【详解】解：成本为x 元的商品提价50%后标价为
1 50%
1.5
x
x
，
①标价减去30 元后再打9 折，则促销价为：
1.5
30
0.9
1.35
27
0.9
30
x
x
x
，
故①不符合；
②标价打9 折后再减去30 元，则促销价为：0.9 1.5
30
1.35
30
0.9
30
x
x
x
，
故②不符合；
③标价减去50 元后再打6 折，则促销价为：
1.5
50
0.6
0.9
30
x
x
，
故③符合；
④标价打6 折后再减去30 元，则促销价为：0.6 1.5
30
0.9
30
x
x
，
故④符合；
综上，能正确表达该商店促销方法的是③④．
故答案为：③④．
题型5 已知字母的值，求代数式的值
【例9】当
2
m ，
5
n
时，代数式
3 m
n
的值是（
）
A．6
B．6
C．9
D．9
【答案】D
【知识点】已知字母的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把
2
m ，
5
n
代入所求式子中求解即可．
【详解】解：当
2
m ，
5
n
时，
3
3
2
5
3
3
9
m
n
，
故选：D．
【例10】当
2,
5
m
n
时，求
2
2m
n
的值．
【答案】13
【知识点】已知字母的值，求代数式的值
【分析】本题考查代数式求值，关键步骤是先平方后乘法，最后注意负号的处理．由题意将
2,
5
m
n
代
入
2
2m
n
进行运算即可．
【详解】解：将
2,
5
m
n
代入
2
2m
n
，
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可得
2
2m
n
2
2 2
5
2 4 5 13
．
【技巧归纳】
直接将字母值代入代数式，按运算顺序计算。注意负数代入时加括号，如x=-2 时x²=(-2)²=4。分数值代入
时先化简。若代数式含多个变量，对应代入。计算结果化为最简形式（分数、小数）。检查单位。
【变式5-1】已知
2
2
x
与2
3
y
互为相反数，求
2025
y
x
x
y
的值．
【答案】9
【知识点】已知字母的值，求代数式的值、绝对值非负性、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了相反数、绝对值的非负性、含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握各定义和运
算法则是解题关键．
先根据相反数的定义、绝对值的非负性可求出x、y 的值，再代入代数式运用含乘方的有理数混合运算法则
计算即可．
【详解】解：∵
2
2
x
与2
3
y
互为相反数，
∴
2
2
3
0
2
x
y
，
∴
2
0,
3
0
x
y
，
∴
2,
3
x
y
，
∴
2025
2025
3
8 1
8 1
9
2
2
3
．
【变式5-2】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单
位：米），解答下列问题：
(1)用x、y 的代数式表示地面总面积；
(2)已知铺1 平方米地砖的平均费用为240 元，当
6
2
x
y
，
时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少
元？
【答案】(1)
2
8
3
36
m
x
y
(2)21600 元
【知识点】列代数式、已知字母的值，求代数式的值
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【分析】（1）首先求得各部分的面积，然后再相加即可；
（2）将x、y 的值代入所得代数式计算即可．
本题主要考查的是求代数式的值和列代数式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：客厅面积为
2
8
m
x
，卧室面积为
2
24 m
，厨房面积为
2
12 m
，卫生间面积为
2
3
m
y
．
故总面积
2
8
3
36
m
x
y
．
（2）解：当
6
2
x
y
，
时，
总费用为
8
3
36
240
21600
x
y
（元）．
所以总费用为21600（元）．
题型6 已知式子的值，求代数式的值
【例11】若
1
m
n
，则
2
2
2
m
n
m
n
的值是(
)
A．3
B．2
C．1
D．1
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题是一道求代数式的值的题目，采用整体代入法是解题的关键．
首先将原式变形为
2
2
m
n
m
n
，接下来将
1
m
n
代入
2
2
m
n
m
n
中计算，问题可迎刃而解．
【详解】解：
2
2
2
2
2
m
n
m
n
m
n
m
n
，
将
1
m
n
代入上式得：原式
21
2 1
1
2
1
．
故选：D．
【例12】已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数（c 、d 不为0），
3
m
，根据已知条件请回答：
(1) ab _____，c
d
_____，m _____，c
d _____；
(2)求3
4
m
c
d
c
ab
m
d
的值．
【答案】(1)1，0 ，3
，1
；
(2)1
【知识点】有理数的除法运算、已知式子的值，求代数式的值、绝对值的几何意义、倒数
【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值，有理数除法，代数式求值，掌握相关定义和运算法则是解题
关键．
（1）根据倒数、相反数、绝对值以及有理数除法法则求解即可；
（2）将（1）所得式子值代入计算即可．
【详解】（1）解：
a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数（c 、d 不为0），
3
m
，
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1
ab
，
0
c
d
，
3
m ，
c
d
，
1
c
d
d
d
，
故答案为：1，0 ，3
，1
；
（2）解：3
4
m
c
d
c
ab
m
d
1
3
0
1
3
4 3
，
1 1 0 1
1
．
【技巧归纳】
利用整体代入法：将已知式子看作整体，变形所求代数式使其出现该整体。如已知a+b=3，求
2a+2b-1=2(a+b)-1=5。注意恒等变形技巧：乘除、提公因式、添项拆项配凑。避免先求单个字母。
【变式6-1】【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，运用“整体思想”的方法在
求代数值中非常重要，有这样一道题：
代数式：
2
3
x
x
的值为9，则代数式
2
2
2
3
x
x
的值为．
小明在做作业时采用的方法如下：
由题意得
2
3
9
x
x
，则有
2
6
x
x
．
所以
2
2
2
3
x
x
2
2
3
x
x
2 6
3
9
．
所以代数式
2
2
2
3
x
x
的值为9．
【方法运用】
(1)若
2
2
0
x
x
，则
2
3
x
x
______．
(2)若代数式
2
1
x
x
的值为15，求代数式
2
2
2
3
x
x
的值．
【答案】(1)1
(2) 25
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键．
（1）由题意得
2
2
x
x
，整体代入
2
3
x
x
中求值即可；
（2）由题意得
2
14
x
x
，
2
2
2
2
3
2
3
x
x
x
x
，再整体代入求值即可．
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【详解】（1）解：∵
2
2
0
x
x
，
∴
2
2
x
x
，
∴
2
3
2
3
1
x
x
；
故答案为：1；
（2）解：由题意得
2
1
15
x
x
，
则
2
14
x
x
，
∴
2
2
2
2
3
2
3
2 14
3
25
x
x
x
x
，
故代数式
2
2
2
3
x
x
的值为25
．
【变式6-2】历史上，数学家欧拉最先把关于x 的代数式用记号
( )
f x 来表示，把x 等于某数a 时的代数式的
值用
( )
f a 来表示．如：当
1
x 时，代数式
2
2
6
x
x
的值记作
( 1)
f
，
则
2
( 1)
( 1)
2 ( 1)
6
1 ( 2)
6
7
f
．
已知代数式
5
3
( )
2
f x
ax
bx
x
c
，且
(0)
1
f
，回答下列问题：
(1)c __________；
(2)若
(1)
2
f
，求a
b
的值；
(3)若
(2)
9
f
，求
( 2)
f
的值
【答案】(1) 1
(2)5
(3) 11
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了代数式求值，新定义，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接把
0
x
代入
5
3
( )
2
f x
ax
bx
x
c
中进行求解即可；
（2）根据
(1)
2
f
，
1
c 得到
2 1
2
a
b
，据此可得答案；
（3）根据
(2)
9
f
，
1
c ，得到
(2)
32
8
2
2 1
9
f
a
b
，则32
8
14
a
b
，再由
( 2)
32
8
2
2
1
f
a
b
进行求解即可．
【详解】（1）解：
代数
5
3
( )
2
f x
ax
bx
x
c
，且
(0)
1
f
，
0
0
0
2 0
1
f
a
b
c
，
1
c ，
故答案为：1
；
（2）由（1）知，
1
c ，
5
3
( )
2
1
f x
ax
bx
x
，
(1)
2
f
，
2 1
2
a
b
，
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5
a
b
；
（3）
(2)
9
f
，
1
c ，
(2)
32
8
2
2 1
9
f
a
b
，
32
8
14
a
b
，
( 2)
32
8
2
2
1
32
8
3
14
3
11
f
a
b
a
b
．
题型7 程序流程图与代数式求值
【例13】如图是某算法的程序框图，若开始输入的
2
x
，则最后输出的结果为
．
【答案】47
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、代数式求值，掌握有理数混合运算顺序，读懂题意是解题关
键．把
2
x
代入，得出5
，不合题意，再次依次代入，直到得出符合条件的结果．
【详解】把
2
x
代入，得3 2 1
5
8
；
把
5
x 代入，得
3
5
1 16
8
；
把
16
x
代入，得3 16 1
47
8
；
故答案为：47
．
【例14】按下面的程序计算：
若输入
10
m
，输出结果是
．
【答案】94
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据程序流程图把
10
m
代入计算即可求解，看懂程序流
程图是解题的关键．
【详解】解：当
10
m
时，3
1
3 10 1
31
50
m
，
当
31
m
时，3
1
3 31 1
94
50
m
，
∴输出结果是94，
故答案为：94．
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【技巧归纳】
按流程图顺序代入计算，从输入开始执行每个运算框，遇到分支判断选择路径。注意循环结构需重复计算，
可列表追踪各变量值。最终输出即为所求代数式的值。理解流程中每一步的运算含义。
【变式7-1】在如图所示的运算程序中，若开始输入x 的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次
输出的结果为4，…，则第2025 次输出的结果为
．
【答案】2
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查程序问题，从程序中找到从第2 次开始，每3 次1 组，每组按照4，2,1 的顺序循环的规
律是解题的关键．
【详解】解：第1 次5
3
8
，
第2 次
1
8
4
2
，
第3 次
1
4
2
2
，
第4 次
1
2
1
2
，
第5 次1 3
4
，
第6 次
1
4
2
2
，
第7 次
1
2
1
2
．
……
从第2 次开始，每3 次1 组，每组按照4，2,1 的顺序循环，
2025 1
3
674
2
，
∴第2025 次输出的结果为2，
故答案为：2．
【变式7-2】按下面的程序计算：
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如果输入x 的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x 的值为
．
【答案】38或10 或3
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复
输入．
由程序图，可以得到输出结果和x 的关系：输出结果
4
2
x
，当输出结果是150 时，可求出x 的值．若计
算结果与x 的值相等且149
时，需重新确定输入新的数值，反复直到x 不能满足正整数为止．
【详解】解：当4
2
150
x
时，
38
x
；
当4
2
38
x
时，
10
x
；
当4
2
10
x
时，
3
x
；
当4
2
3
x
时，x 不是正整数，不合题意．
即当
38
x
或10 或3 时，输出的结果都是150．
故答案为：38或10 或3．
一、单选题
1．代数式3x
的意义可以是（
）
A．3
与x 的和
B．3
与x 的差
C．3
与x 的积
D．3
与x 的商
【答案】C
【详解】解：代数式3x
的意义可以是3
与x 的积.
2．下列各式中：①1
3 2 a ；②ሺܽെܾሻൊܿ；③
3
n 人；④2 5
；⑤
2
2.5a b ．其中符合代数式书写要求的个数
有(
)
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】C
【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此
1
3 2 a 不符合要求；
②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此ሺܽെܾሻൊܿ
不符合要求；
③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此
3
n
人不符合要求；
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④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此2 5
不符合要求；
⑤ʹㄠ㈰ܽʹܾ
符合代数式的书写要求．
∴符合书写要求的式子共1 个，故选C．
3．若
2
3
1
a
b
，则
2
3
9
2
a
b
的值是（
）
A．5
B．1
C．5
D．1
【答案】D
【详解】解：∵
2
3
1
a
b
，
∴
2
2
3
9
2
3
3
2
a
b
a
b
3 1 2
1
．
4．某校开展知识竞赛活动．答对1 题加a 分，答错1 题扣1 分．小明答对3 道题，答错2 道题，则小明的
得分可以表示为（
）
A．3a
B．2
C．3
2
a
D．3
2
a
【答案】C
【分析】根据题目给出的计分规则，分别计算答对题的总得分和答错题扣除的分数，再作差即可得到小明
的总得分．
【详解】解：∵答对1 题加a 分，小明答对3 道题，
∴答对题的总得分是3a 分，
又∵答错1 题扣1 分，小明答错2 道题，
∴答错题一共扣除2 1
2
分，
∴小明的总得分为
3
2
a
分．
5．数学家欧拉最先把关于x 的多项式用符号
f x 表示，并把当x
m
时的多项式
f x 的值用
f m 表示．对
于多项式
3
1
f x
ax
bx
，若
1
8
f
，则
1
f
的值等于（
）
A．6
B．6
C．7
D．9
【答案】B
【分析】先根据
1
8
f
求出a
b
的值，再代入
1
f
计算即可得到结果．
【详解】解：∵
3
1
1
1 1
1
8
f
a
b
a
b
，
∴
7
a
b
，
∴
3
1
( 1)
( 1) 1
1
1
7 1
6
f
a
b
a
b
a
b
．
二、填空题
6．若
2
3
2
0
a
b
，则
2025
a
b
的值是________．
【答案】1
【分析】根据绝对值与有理数乘方的非负性，求出a 和b 的值，再代入所求代数式计算即可．
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【详解】解：
3
0
a
，
2
2
0
b
，且
2
3
2
0
a
b
，
3
0
a
，
2
2
0
b
，
可得：
3
0
a
，
2
0
b
，
解得：
3
a ，
2
b
，
将
3
a ，
2
b
代入
2025
a
b
，
可得：
2025
2025
3
2
1
1
．
7．某精品手办打八折销售，已知原价为300 元/件，则小明购买m 件该商品需要__________元．
【答案】240m
【详解】解：每件手办现价为300 0.8
240
（元），购买m 件，总价为240
240
m
m
（元）．
8．若a，b 互为相反数，则
2025
2024
a
b
______，
10
a
b
_______．
【答案】
1
10
【分析】先根据相反数的定义求出
0
a
b
，再整体代入计算，并根据绝对值解答．
【详解】解：∵a，b 互为相反数，
∴
0
a
b
，
所以( 2025)
2024
2025
2024
(
)
1 0
1
a
b
a
b
；
10
10
10
10
a
b
a
b
．
9．如图是一个运算程序，若开始输入x 的值为25，则第2025 次输出的结果为__________．
【答案】5
【分析】根据运算程序图可知输出结果按5 和1 一循环，然后问题可求解．
【详解】解：由运算程序图可知：
第一次输出结果为1
25
5
5
，第二次输出结果为1
5
1
5
，第三次输出结果为1
4
5
，第四次输出结果为
1
5
1
5
，…..；由此可知：输出结果按5 和1 一循环，
∵2025
2
1012
1
，
∴第2025 次输出的结果为5．
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密
还原为明文，已知某种加密规则为明文a ，b 对应的密文为
2
a
b
，2a
b
．例如：明文1，2 对应的密文是
3
，4，当明文是2，5 时，密文应是______，______．
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【答案】
8
9
【分析】根据给定的加密规则，将明文的值代入对应密文计算即可．
【详解】解：由题意得，明文
2
a
，
5
b
，将a ，b 代入加密规则得：
第一个密文：
2
2
2 5
2 10
8
a
b
，
第二个密文：2
2 2
5
4
5
9
a
b
．
三、解答题
11．请用代数式表示：
(1)a 减去b 的差与c 的积．
(2)x，y 两数和的平方减去它们差的平方．
(3)a 的3 倍与b 的和．
【答案】(1)
a
b c
(2)
2
2
x
y
x
y
(3)3a
b
【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键．
（1）a 和b 的差表示为
a
b
，然后与c 的积表示为
a
b c
；
（2）x 和y 的和表示为
x
y
，其平方为
2
x
y
；x 和y 的差表示为
x
y
，其平方为
2
x
y
，然后相减；
（3）a 的3 倍表示为3a ，与b 的和表示为3a
b
．
【详解】（1）解：a 减去b 的差与c 的积可表示为：
a
b c
．
（2）解：x，y 两数和的平方减去它们差的平方可表示为：
2
2
x
y
x
y
；
（3）解：a 的3 倍与b 的和可表示为：3a
b
．
12．如图，长方形的长为a ，宽为b ．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出
四分之一圆．
(1)用含a ，b 的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当
10cm
a
，
4cm
b
时，求图中阴影部分的面积．（π取3）
【答案】(1)
2
π
4
ab
b
(2)
2
28cm
【分析】（1）长方形的面积减去四个1
4 圆的面积即可求解，四个1
4 圆的面积的和是一个整圆的面积；
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（2）把a ，b 的值代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为
2
2
1
π
4
π
4
2
4
b
ab
ab
b
；
（2）解：当
10cm
a
，
4cm
b
时，
阴影部分的面积为
2
2
3
10
4
4
40
12
28cm
4
．
13．已知若a、b 互为相反数，m 的绝对值为4．
(1)直接写出a
b
，m 的值；
(2)求
a
b
a
b
m
的值．
【答案】(1)
0
a
b
，
4
m
(2)0
【分析】（1）根据相反数的性质和绝对值的意义即可求出对应值；
（2）将（1）中求出的值代入所求代数式，分类计算即可得到结果．
【详解】（1）解：∵a、b 互为相反数，
∴
0
a
b
，
∵m 的绝对值为4，
∴
4
m ；
（2）解：当
4
m
时，
0
0
0
4
a
b
a
b
m
；
当
4
m 时，
0
0
0
4
a
b
a
b
m
，
综上，原式的值为0．
14．如图，整数m ，t ，n 在数轴上分别对应点M ，T ，N ，数轴上每个格代表一个单位长度．
(1)若m 与n 互为相反数，则t _______________；
(2)若
2
t ，求2m
n
的值；
(3)当原点在点T 的左侧时，试说明：整数m ，t ，n 的和除以3 所得的余数一定是2．
【答案】(1) 1
(2) 10
(3)见解析
【分析】（1）根据“ m 与n 互为相反数”找出原点的位置即可求出t 的值；
（2）根据t 的值找到原点的位置，再根据离原点的距离和位置确定
,
m n 的值求解；
（3）根据“数轴上点的位置右边点表示的数两点之间的距离”，用t 将
,
m n 的值表示出来进行求解．
【详解】（1）解：∵m 与n 互为相反数，
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∴它们之间的中点位置为原点，即t 往右侧平移1 个单位为原点，
∴
1
t ；
（2）解：当
2
t 时，往右移动2 个单位长度是原点，
n 在原点的右侧，且距原点2 个单位长度，
∴
2
n
，
m 在原点的左侧，且距原点4 个单位长度，
∴
4
m ，
∴
2
2
4
2
10
m
n
；
（3）解：当原点在点T 的左侧时，m 为负整数，n ，t 均为正整数，
2
m
t
Q
，
4
n
t
，
2
4
m
t
n
t
t
t
3
2
t
，
t 为正整数，
3
2
t
除以3 余数是2，
即整数m ，n ，t 的和除以3 所得的余数一定是2．
15．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“
”表示数据输入、输出框；用“
”表示数据处
理和运算框；用“
”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）．
(1)①如图①，当输入
2
x 时，输出y ；②如图②，第一个运算框“
”内应填；第二个运算框
“
”内应填．
(2)①如图③，当输入
1
x 时，输出y ；②如图④，当输出
37
y
时，输入的值x ．
(3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15t （含15t ）时，以2 元/t 的价
格收费；当每月用水量超过15t 时，超过部分以3元/t 的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数
为每月用水量x ，输出数为水费y ．
【答案】(1) 9
；5
，3
(2) 43
；42 或6
(3)见解析
【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键．
（1）①由图1 列出关系式
2
5
y
x
，将
2
x 代入计算即可求出值；
②根据
5
3
y
x
即可得到
处的结果；
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（2）①将
1
x 代入计算得到结果为7
大于20
，将
7
x 代入计算得到结果为19
大于20
，将
19
x
代
入计算得到结果为43
小于20
，输出即可；
②分两种情况考虑：当x 大于0 时，37
5
+
即可得到x 的值；x 小于0 时，根据37 1
开方求出负数x 的值；
（3）因为当每月用水量不超过15 吨时（含15 吨），以2 元/吨的价格收费；当每月用水量超过15 吨时，
超过部分以3元/吨的价格收费，所以水费收缴分两种情况，
15
x
和
15
x
，分别计算，则可以设计计算程
序如详解所示．
【详解】（1）解：①
2
5
2 2
5
9
y
x
；
②∵
5
3
y
x
，
∴先给x 乘5，然后再给输出结果减3，即可得到y ，
∴应填5
、3
；
故答案为：9
，5
，3
；
（2）解：①当
1
x 时，1 2
5
7
，
∵7
20
，
∴继续运算，
7 2
5
19
，
∵19
20
，
∴继续运算，
∴19 2
5
43
，
∵43
20
，
∴输出，则
43
y
；
②若
0
x
，则
5
37
x
，解得
42
x
，
若
0
x
，则
2 1
37
x
+
，解得
6
x （正值舍去），
即输入的值
42
x
或6
，
故答案为：42 或6
；
（3）解：设计如框图如图：
16．有这样一道题“如果代数式5
3
a
b
的值为4
，那么代数式
2
4 2
a
b
a
b
的值是多少？”爱动脑筋的
小伟的解题过程如下：
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原式
2
2
8
4
10
6
2 5
3
2
4
8
a
b
a
b
a
b
a
b
小伟把5
3
a
b
作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方
法，完成下面问题：
(1)已知
2
3
a
a
，求代数式
2
2
2
2023
a
a
的值；
(2)已知
2
3
a
b
，求代数式
3
7
11
2
a
b
a
b
的值；
(3)已知
2
2
5
a
ab
，
2
2
3
ab
b
，求代数式
2
2
3
4
4
a
ab
b
的值．
【答案】(1)2029
(2)14
(3) 9
【分析】此题考查了整式的加减——化简求值．
（1）利用整体代入的思想代入计算即可；
（2 ）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可；
（3）整体代入计算即可．
【详解】（1）解：∵
2
3
a
a
，
∴
2
2
2
2
2023
2
2023
2 3
2023
2029
a
a
a
a
，
故答案为：2029 ；
（2）解：∵
2
3
a
b
，
∴
3
7
11
2
a
b
a
b
3
3
7
11
2
a
b
a
b
4
8
2
a
b
4
2
2
a
b
4
3
2
12
2
14
；
（3）解：∵
2
2
5
a
ab
，
2
2
3
ab
b
，
∴
2
2
3
4
4
a
ab
b
2
2
3
2
2
2
a
ab
ab
b
3
5
2
3
15
6
9
．
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