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决胜2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(16)
(导数的几何意义和四则运算)
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023 秋·江苏徐州·高三部分学校期初联考）设
是可导函数,且满足
,则
曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A. 4
B. -1
C. 1
D. -4
【答案】D
【解析】由
，
得
，
∴曲线
在点
处的切线斜率为-4，
故选：D.
2.（2023 秋·江苏南京·高三六校联考）下列求导正确的是（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】C
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，根据复合函数的求导法则，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
故选：C.
1
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3.（2023 秋·河北邯郸·高三统测）设函数
在
处的切线与直线
平行，则
（ ）
A.
B. 2
C.
D. 1
【答案】D
【解析】函数
的定义域为
，
由已知
，故
，
函数
的导函数
，
所以
，
因为函数
在
处的切线与直线
平行，
所以
，所以
，经验证，此时满足题意.
故选：D.
4.（2023 秋·河北·高部分学校联考）设
为
的导函数，若
，则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
令
，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，即
.
故选：D
5.（2023 秋·广东广州·高三中山大学附属中学9 月月考）过点
作曲线
的两条切线，切点
分别为
，
，则
（ ）
2
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A.
B.
C.
D. 3
【答案】D
【解析】因为
，所以
，设切点坐标为
，
所以
，所以切线方程为
，
所以
，即
，
依题意关于
的方程
有两个不同的解
、
，
即关于
的方程
有两个不同的解
、
，
所以
.
故选：D
6.若过第一象限的点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设切点
，则
，
得
，
设
，由条件可知，函数存在两个零点，
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值，若函数有2 个零点，
则
.
故选：D
7.若直线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D.
【答案】B
3
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【解析】设切点坐标为
，因为
，
所以
，故切线的斜率为：
，
，则
.
又由于切点
在切线
与曲线
上，
所以
，所以
.
令
，则
，设
，
，令
得：
，
所以当
时，
，
是增函数；
当
时，
，
是减函数.
所以
.
所以
的最大值为：1.
故选：B.
8.已知函数
，
，若总存在两条不同的直线与曲线
，
均相
切，则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设函数
上的切点坐标为
，且
，函数
上的切点坐标为
，且
，
又
，
，则公切线的斜率
，则
，所以
，
则公切线方程为
，即
，
代入
得
，则
，
4
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整理得
，
若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则方程
有两个不同的
实根，
设
，则
，
令
得
，
当
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值即最大值，即
，
由
可得
，又当
时，
；当
时，
，
所以
，解得
，故实数
的取值范围为
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.（2023 春·安徽合肥·高三月考）下列函数在
处的切线倾斜角是锐角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由
可得
，则
，
故
在
处的切线倾斜角是钝角，A 错误；
由
可得
，则
，
故
在
处的切线倾斜角是锐角，B 正确；
由
可得
，则
，
故
在
处的切线倾斜角是锐角，C 正确；
5
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由
可得
，则
，
故
在
处的切线倾斜角是钝角，D 正确；
故选：BC
10.（2023 秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）已知过点A（a，0）作曲线
的切线有且仅
有两条，则实数a 的值可以是（ ）
A. －2
B. 4
C. 0
D. 6
【答案】AD
【解析】设切点为
，则
，所以切线方程为：
，切线过点
A （a ，0 ），代入得：
，即方程
有两个解，则有
或
．
故选：AD.
11.（2023 秋·湖南·高三重点高中智学联盟联考）已知函数
，若过点
可作曲线
的三条切线，则
的值可以为（ ）
A.
B. 4
C.
D. 22
【答案】BC
【解析】因为
，设切点为
，
则切线方程为
，
将
，
代入得，
，
令
，则
，
或
时，
，当
时，
，
故函数
的单增区间为
和
，
的单减区间为
，
的极大值为
，极小值为
，
6
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由题意知，
，又
为整数，
，
，
，20，21
故选：BC
12.（2023 届江苏无锡天一中学考前最后一模）若存在直线与曲线
都相
切，则
的值可以是（ ）
A. 0
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】设该直线与
相切于点
，因为
，所以
，
所以该切线方程为
，即
.
设该直线与
相切于点
，因为
，所以
，
所以该切线方程为
，即
，
所以
，
所以
，
令
，
所以当
时，
0；当
时，
；
在
和
上单调递减；在
和
上单调递增；
又
，所以
，
所以
，解得
，所以
的取值范围为
，
所以A 正确；
7
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对于B，
，所以
，所以B 正确；
对于C， 因为
，所以C 正确；
对于D， 因为
，所以D 不正确.
故选：ABC
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.（2023 秋·江苏苏州·高三南京师范大学苏州实验学校月考）设曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线垂直，则点
的横坐标为__________．
【答案】
【解析】
，
，则
，
则
，得
．
故答案为：
14.已知直线分别与曲线
，
相切于点
，
，则
的值为
____________.
【答案】1
【解析】由
，
，有
，
，
在点
处的切线方程为
，
在点
处的切线方程为
，
则有
，得
，
所以
，可得
.
故答案为：1.
8
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15.若函数
的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0 且斜率之和等
于常数e，则称该函数为“e 函数”，下列四个函数中，其中为“e 函数”的是________．
①
；②
；③
；④
【答案】①③④
【解析】记
，
，
．
①
，
，
，当
时，
，当
时，
，∴
时，
有最小值
，
值域为
，
∴存在
、
使
，故
是e 函数；
②
∵
，
，
∴
，
，
∴
，不存在
、
使
，
故
不是e 函数；
③
，
，
值域为R，
∴存在
、
使
，故
是e 函数；
④
，
值域为
，
∴存在
、
使
，故
是e 函数．
9
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故答案为：①③④
16.设函数
，
的定义域均为
，且函数
，
均为偶函数．若当
时，
，则
的值为________．
【答案】
【解析】因为函数
，
的定义域均为R，且函数
为偶函数，
则
，
求导得
，
即
，
所以函数
的图像关于
对称．
因为函数
为偶函数，
所以
，
所以函数
的图像关于
对称，
由函数
的图像关于
对称，且关于直线
对称．
所以函数
的周期为
，．
由
，
，
，
所以
，即
，即
，
所以当
时，
于是
．
故答案为：
10
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