文档文本内容
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第14 讲 探索与表达规律
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 数字类规律探索之排列问题
题型2 数字类规律探索之末尾数字问题
题型3 数字类规律探索之新运算问题
题型4 数字类规律探索之等式问题
题型5 图形类规律探索之数字问题
题型6 图形类规律探索之数量问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
探索规律、代数式、符
号表示、特殊到一般、
验证规律。
1. 经历探索数量关系、运用符号表示规律、验证规律的过程，建立符号意识，
发展抽象思维。
2. 会用代数式表示简单问题中的数量关系，能利用合并同类项、去括号等法
则验证所探索的规律。
3. 在探索规律的过程中，体会由特殊到一般、由一般到特殊的数学思想方法。
4. 通过小组合作与交流，培养观察、归纳、猜想及有条理表达的能力，提高
学习数学的兴趣。
学习重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律，并用代数式表示规律。
学习难点：用字母、运算符号正确地表示一般规律，并利用整式运算进行验证。
.
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知识点01 数字规律型
等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所有第n 项表示为 3n+1.
拓展延申：
【易错提醒】
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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数字规律题易错警示：观察相邻差、比值或拆分为平方/立方关系。注意：多级差（如差再差）和周期循环。
验证规律时至少代入前三项，确保通项公式对所有项成立。勿过早下结论。
即时即练1．“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相
等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即
1
4 ，已知
1
1
1
7
2
4
8
8
，根据
这个几何图形的规律求得
1
1
1
1
2
4
8
16
…
99
1
2
的值为（ ）
A．1
B．
99
1
1
2
C．
99
1
1
2
D．
98
1
1
2
2．观察下列等式：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
，
7
2
128
，
82
256
，L ．回答下
面问题：
1
2
3
4
5
6
2015
2
2
2
2
2
2
2
的末位数字是
．
知识点02 图案规律型
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
【易错提醒】
图案规律题易错警示：数图形个数与序号的关系（如每次增加固定数量或倍数）。注意：重叠、旋转、对
称等变化，以及位置交替。将图形转化为数字（点、线、面）找规律，验证时代入相邻序号。勿忽略基础
图形。
即时即练1．化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分
碳氢化合物的结构式，第1 个结构式中有1 个C 和4 个H，分子式是
4
CH ；第2 个结构式中有2 个C 和6
个H，分子式是
2
6
C H ；第3 个结构式中有3 个C 和8 个H，分子式是
3
8
C H …按照此规律，回答下列问
题．
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(1)第6 个结构式的分子式是________；
(2)第n 个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式
2024
4048
C
H
的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
2．【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1 个图形中有6 个棋子，第2 个图形中有9 个棋子，第3
个图形中有12 个棋子，第4 个图形中有15 个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6 个图形中有____________个圆形棋子；
（2）第n 个图形中有____________个圆形棋子；（用含n 的代数式表示）
【规律应用】
（3）将2024 个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不
能，请说明理由．
题型1 数字类规律探索之排列问题
【例1】一列数
1 1 1 1
1,
,
,
,
,
2 4 8 16 第6 项是
，第2018 项是
．
【例2】观察下列一组有规律的数：
1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，1
30 ，1
42 ，L ，根据其规律可知：第n 个数
是
．
【技巧归纳】
观察数字排列的序号与数值关系：通常与n 有关（等差、等比、平方、周期）。先列前几项，找差或比的
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变化，构造通项公式。注意符号交替用(-1)n。分奇偶项讨论，验证首项是否符合通项。常见于数表、数列题。
【变式1-1】有一列数：2
2 ，5
4 ，10
6 ，17
8 ，L ，则第n 个数表示为
．
【变式1-2】按一定规律排列的一组数据：1
4
9
16
25
3
5
7
9
11
、
、、
、
，则按此规律排列的第n个数
是
．
题型2 数字类规律探索之末尾数字问题
【例3】观察等式：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
，
7
2
128
，…．通过观察，用你发
现的规律确定
2024
2
的个位数字是 ．
【例4】计算
12
1
1
，
2
2
1
3
，
3
2
1
7
，
4
2
1
15
，
5
2
1
31
，…归给计算结果中的个位数字规律，
猜测
2015
2
1
的个位数字是
．
【技巧归纳】
末尾数字具有周期性。计算前几项尾数，找循环节长度。如2n 尾数：2,4,8,6 循环。用指数除以周期长度，
余数决定末位。注意余数为0 时对应周期末位。可用于幂运算、乘积尾数。验证多算几个确保周期。
【变式2-1】观察下列几个算式：
2
1
1
1
a
a
a
①
；
2
3
1
1
1
a
a
a
a
②
；
3
2
4
1
1
1
a
a
a
a
a
③
；
4
3
2
5
1
1
1
a
a
a
a
a
a
④
，……，结合你观察到的规律判断：
2024
2
2
2
2 1
L
的计算结果的末位数字为
．
【变式2-2】二进制即“逢二进一”，如
2
1101
表示二进制，将它化为十进制数为
3
2
1
0
1 2
1 2
0
2
1 2
13
，
（注：
0
2
1
），把二进制数
2
111111
1
（注：里面有2024 个1）化为十进制数后，此十进制数的个位
数字是
．
题型3 数字类规律探索之新运算问题
【例5】已知
( )
1
x
f x
x
，其中
( )
f a 表示当x
a
时代数式的值，如
1
1
2
2
(1)
,
(2)
1 1
2
2 1
3
f
f
，则
(3)
f
，
(1)
(2)
(3)
(2024)
f
f
f
f
．
【例6】已知
2
2
2
2
1
4
2
1
9
3
1
16
4
1
25
5
1
,2
,3
,4
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
．设n 为正整数，请用关于n 的等
式表示这个规律
．
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【技巧归纳】
先理解新运算规则，列举前几项计算结果，观察是否成等差、等比或周期变化。用序号n 表示规律，常见
与n 的一次、二次或指数函数有关。验证时多代几个n。若涉及递推，写出递推式并求通项。注意初始条件。
【变式3-1】a 是不为2 的有理数，我们把
2
2
a
称为a 的“伴随数”，如3 的“伴随数”是
2
2
2
3
，2
的“伴随数”是
2
1
2
2
2
，已知
1
4
a
，
2a 是
1a 的“伴随数”，
3a 是
2a 的“伴随数”，
4a 是
3a 的“伴随
数”，…，以此类推，则
2025
a
等于
．
【变式3-2】定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，
3
1
F n
n
；②当n 为偶数时，
2k
n
F n
（其中k 是使
F n 为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取
12
n
，则
1
2
3
12
3
10
5
F
F
F
第次
第次
第次
②
①
②
…，有按此规律继续计算，第2025 次“F”运算的结果是
．
题型4 数字类规律探索之等式问题
【例7】观察下列算式：
①
2
1 3
2
3
4
1
②
2
2
4
3
8
9
1
③
2
3 5
4
15 16
1
……
把这个规律用含字母n （n 为正整数）的式子表示出来
．
【例8】已知
2
2
2
2
2
3
3
4
4
2
2
,3
3
,4
4
3
3
8
8
15
15
根据以上规律，可得
2
9
9
9
9
x
x
，猜想：
x
．经检验，猜想
（填“正确”或“错误”）．
【技巧归纳】
观察等式左右结构：左边项数、右边结果与序号n 的关系。常见左边为连续数求和，右边为平方或乘积形
式。先写前几个等式，归纳一般式，再用代数验证。注意符号（如奇数项为负）可用(-1)n 处理。拆项配对。
【变式4-1】观察下列式子：
2
2
2
1 3 1
2 ,3 5 1
4 ,5 7 1
6 ,
…探索以上式子的规律，请写出第n 个等
式：
．
【变式4-2】定义新运算：
1
1
a b
a
b
，
1
a
b
ab
（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
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例如∶
1
1
4
3 7
3
7
21
，
1
1
3
7
3 7
21
．
若a
b
a b
，则称有理数a，b 为“隔一数对”．
例如∶
1
1
1
2 3
2
3
6
，
1
1
2
3
2 3
6
，即2
3
2 3
，所以2，3 就是一对“隔一数对”．
请同学们解答下列问题：
(1) 1
，1 是“隔一数对”吗？请说明理由；
(2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：
1
2
2
3
3
4
4
5
2023
2024
．
题型5 图形类规律探索之数字问题
【例9】观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得a
b
m
．
【例10】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x 的值为
【技巧归纳】
从图形中数出点、线、面的数量，与序号n 建立关系。观察增量（等差、等比或二次）。先列图表，找第n
个图形与第n-1 个图形差值，再求通项。如正多边形对角线数n(n-3)/2。注意初始条件和图形变化规则。
【变式5-1】我们知道，
1
1
2
3
2
n
n
n
，那么如何求
3
3
3
3
1
2
3
n
的值？
【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系：
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【归纳猜想】
（1）3
3
3
3
3
1
2
3
4
5
______．
（2）
3
3
3
3
3
1
2
3
4
n
______．
【拓展应用】
（3）求
3
3
3
3
11
12
13
20
的值．
【变式5-2】观察下列图形．将边长为1 的正方形纸片按图1 所示方法进行对折，记第1 次对折后得到的图
形面积为
1S ，第2 次对折后得到的图形面积为
2
S
,
，第n 次对折后得到的图形面积为
n
S ．
(1)继续观察图形填空：设
0
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
S
S
、
，计算
2
S ___________，并在上面某个图中将
表示
2
S 的区域涂成阴影；
(2)请根据上面图形计算：
2
3
2025
1
1
1
1
2
2
2
2
___________（直接写出结果）
(3)观察图形并探索（ ）中各式的规律：试写出第n 个等式
nx ___________，并说明第n 个等式成立．
题型6 图形类规律探索之数量问题
【例11】下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题：
图形标号
第一个
第二个
第三个
第四个
涂有阴影的小正方形的个数
5
a
13
b
(1) a ________，b ________；
(2)第n 个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n 的代数式来表示）
(3)按照这种规律下去，求第400 个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
【例12】用火柴棒按图中的方式摆图形：
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按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒的根数
5
9
13
a
b
(1) a ________，b ________；
(2)按照这种方式搭下去，则搭第n 个图形需要火柴棒的根数为________；（用含n 的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024 个图形需要的火柴棒的根数．
【技巧归纳】
图形数量规律：通常与边长或序号n 的一次、二次式相关。观察每层增加的数量，列递推关系。如正方形
点阵总数n²，三角形点阵n(n+1)/2。用通项公式表示，并用n=1 验证。注意图形旋转对称可简化计算。分
拆成基本图形。
【变式6-1】如图，在边长都为a 的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．
(1)根据图中的规律，第4 个正方形内圆的个数是________，第n 个正方形内圆的个数是________．
(2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影
①第1 个正方形中阴影部分的面积为________，第n 个正方形中阴影部分的面积为________（用含a 的代
数式表示，结果保留π ）．
②若
10
a
，请直接写出第2 024 个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留π ）．
【变式6-2】如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1 个图案中“●”的
个数为3，第2 个图案中“●”的个数为8，第3 个图案中“●”的个数为15，…，以此类推．
(1)第5 个图案中“●”的个数是________．
(2)请用含n 的代数式表示第n 个图案中“●”的个数．
(3)请用含n 的代数式表示第n 个图案中最长的线段上“●”的个数．
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一、单选题
1．我们规定一个新数“i”，使其满足
1
2
1
i
i
i
，
， 并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，
且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有
1
2
1
i
i
i
，
，
3
2
i
i
i
i
，， 则
1
2
3
4
10
11
i
i
i
i
i
i
值为（ ）
A．i
B．1
C．i
D．1
2．已知有理数𝑎≠1，我们把
1
1
a
称为a 的“差倒数”，如：2 的“差倒数”是
1
1
1
2
，−1的“差倒数”是
1
1
1
1
2
．若
1
1
3
a
，𝑎2是𝑎1的“差倒数”，𝑎3是𝑎2的“差倒数”，𝑎4是𝑎3的“差倒数”，…，依此类推，则𝑎2025
的值是( )
A．3
4
B．
1
3
C．4
D．4
3
3．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）．
A．135
B．118
C．152
D．169
4．链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰
球代表碳原子，白球代表氢原子．第1 种如图①有1 个碳原子和4 个氢原子，化学式为
4
CH ；第2 种如图②
有2 个碳原子和6 个氢原子，化学式为
2
6
C H ；第3 种如图③有3 个碳原子和8 个氢原子，化学式为C3H8…
按照这一规律，第2026 种化合物的化学式为（ ）
A．
2026
2026
C
H
B．
4052
4052
C
H
C．
2026
4052
C
H
D．
2026
4054
C
H
5．观察下列等式：
2
1
1
1
x
x
x
；
2
3
1
1
1
x
x
x
x
；
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
；
根据以上规律计算
2025
2024
2023
2022
3
2
3
3
3
3
3
3
3 1
的值是（ ）
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A．
2026
3
1
2
B．
2026
3
1
C．
2026
3
2
D．
2026
3
1
二、填空题
6．按规律排列的一组数：1 3
5
7
,
,
,
2 5 10 17，按此规律第n 个数为________．
7．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n 的值是____________．
8．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，抽离出其
平面图形，若其中第1 个图形中共有9 个小正方形，第2 个图形中共有14 个小正方形，第3 个图形中共有
19 个小正方形，…；则第10 个图形小正方形的个数为__________．
9．“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数
1
5
n
，计算
2
1
1
n 得𝑎1；第二步：算出𝑎1
的各位数字之和得𝑛2，计算
2
2
1
n
得𝑎2；第三步，算出𝑎2的各位数字之和得𝑛3，计算
2
3
1
n
得𝑎3；…………
以此类推，则
2026
a
______．
10．计算3的正整数次幂，
13
3
，
23
9
，
33
27
，
43
81
，35 = 243，
63
729
，
73
2187
，
83
6561
…
观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得
2026
3
的个位数字是_______．
三、解答题
11．找规律
(1)观察：4 × 6 = 24，14 16
224
，24 26
624
，34 36
1224
，……
你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？
(2)利用（1）中的规律计算124 126
．
(3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例．
12．观察下列各式：
2
1 5
4 3
＝
①
2
3 7
4 5
＝
②
2
5 9
4
7
＝
③
……，
探索以上式子的规律：
(1)第5 个等式是 ；
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(2)试写出第n 个等式，并用所学知识说明第n 个等式成立．
13．在数学活动中，小明为了求
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
的值，写出下列解题过程．
设：
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
S
①
两边同乘以2 得：
2
3
1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
S
②
由②−①得：𝑆= 2𝑛+1−2
(1)应用结论：
2
3
100
2
2
2
2
______；
(2)拓展探究：
①求：
2
3
1
4
4
4
4
4
n
n
的值；
②求：
2
3
4
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2n
的值．
14．第1 个等式：
1
1 × 3 =
1
2 × 1−1
3 ；
第2 个等式：
1
3 × 5 =
1
2 ×
1
3 −1
5 ；
第3 个等式：
1
1
1
1
5 7
2
5
7
；
第4 个等式：
1
1
1
1
7
9
2
7
9
．
(1)探寻上述等式规律，写出第5 个等式：_________；
(2)求1
1
1
1
1 5
5 9
9 13
2021 2025
的值．
15．将一个面积为1 的三角形分成4 个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方
式分成4 个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4 个面积相等的小三
角形如图③，以此类推．
(1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ；
(2)计算：
9
3
3
3
3
4
16
64
4
．
16．用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2 层起，每层比上一层多一个正方形，
第1 个图形需要4 根小棒，第2 个图形需要10 根小棒，第3 个图形需要18 根小棒．
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【特例感知】（1）第4 个图形比第3 个图形多_____根小棒；
【探索规律】（2）第n 个图形需要的小棒根数比第
1
n
个图形多100 根，求n 的值；
【拓展运用】（3）若第n 个图形竖放小棒根数是其序号n 的k 倍，请用含n 的代数式表示k ．
17．【观察思考】
如图，这是由正六边形组成的一系列图案，其中第1 个图案有4 个正六边形；第2 个图案有7 个正六边形；
第3 个图案有10 个正六边形；第4 个图案有13 个正六边形……
【规律发现】
（1）第5 个图案有__________个正六边形．
（2）第n （n 是正整数）个图案有__________个正六边形．（用含n 的式子表示）
【规律应用】
（3）若小明在摆某一个图案时用到了2026 个正六边形，请你通过计算判断小明摆的是第几个图案．
18．【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题．
(1)探究一：点阵等式规律
观察下面的点阵（图1）和相应的等式：
①
2
1
1
；
②
2
1 3
2
；
③
2
1 3
5
3
；
④
2
1 3
5
7
4
；…
①填空：1 3
5
7
9
（ ）2；
②猜想：
1 3
5
2
1
n
（ ）2（n 是正整数）．
(2)探究二：平面密铺规律
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如图2 ，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为1
块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有6 块正方形、6 块正三角形；第二层有6 块正
方形、18块正三角形；以此类推．
①第3层中分别含有________块正方形和________块正三角形；
②第n 层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含n 的代数式表示）．
(3)【应用拓展】
某市打算在一个新建广场中央，采用如图2 的样式铺设地面，现有1块正六边形地砖和60 块正方形地砖，若
正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计
算过程．
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