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第14 讲 探索与表达规律
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 数字类规律探索之排列问题
题型2 数字类规律探索之末尾数字问题
题型3 数字类规律探索之新运算问题
题型4 数字类规律探索之等式问题
题型5 图形类规律探索之数字问题
题型6 图形类规律探索之数量问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
探索规律、代数式、符
号表示、特殊到一般、
验证规律。
1. 经历探索数量关系、运用符号表示规律、验证规律的过程，建立符号意识，
发展抽象思维。
2. 会用代数式表示简单问题中的数量关系，能利用合并同类项、去括号等法
则验证所探索的规律。
3. 在探索规律的过程中，体会由特殊到一般、由一般到特殊的数学思想方法。
4. 通过小组合作与交流，培养观察、归纳、猜想及有条理表达的能力，提高
学习数学的兴趣。
学习重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律，并用代数式表示规律。
学习难点：用字母、运算符号正确地表示一般规律，并利用整式运算进行验证。
.
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知识点01 数字规律型
等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所有第n 项表示为 3n+1.
拓展延申：
【易错提醒】
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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数字规律题易错警示：观察相邻差、比值或拆分为平方/立方关系。注意：多级差（如差再差）和周期循环。
验证规律时至少代入前三项，确保通项公式对所有项成立。勿过早下结论。
即时即练1．“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相
等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即
1
4 ，已知
1
1
1
7
2
4
8
8
，根据
这个几何图形的规律求得
1
1
1
1
2
4
8
16
…
99
1
2
的值为（ ）
A．1
B．
99
1
1
2
C．
99
1
1
2
D．
98
1
1
2
【答案】B
【分析】本题考查了数字的规律，结合图形可知：1
1
1
2
2
，
2
2
1
1
1
1
2
2
2
，
2
3
3
1
1
1
1
1
2
2
2
2
，……
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
，由此发现规律，即可求解．
【详解】结合图形可知：
1
1
1
2
2
，
2
2
1
1
1
1
2
2
2
，
2
3
3
1
1
1
1
1
2
2
2
2
，
……
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
，
则：
2
99
99
1
1
1
1
2
2
1
2
2
故选：B．
2．观察下列等式：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
，
7
2
128
，
82
256
，L ．回答下
面问题：
1
2
3
4
5
6
2015
2
2
2
2
2
2
2
的末位数字是
．
【答案】4
【分析】本题考查了数字型规律的探究．2 的个位数字为2；
2
2
2
的个位数字为6；
2
3
2
2
2
的个位数字
为4；
2
3
4
2
2
2
2
的个位数字为0；
2
3
4
5
2
2
2
2
2
的个位数字为2；确定循环节为4，计算
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2025
4
503
3
，确定末位数字即可．
【详解】解：2 的个位数字为2；
2
2
2
2
4
6
的个位数字为6；
2
3
2
2
2
2
4
8
14
的个位数字为4；
2
3
4
2
4
8 16
30
2
2
2
2
的个位数字为0；
2
3
4
5
2
2
2
2
2
2
4
8 16
32
62
的个位数字为2；
所以循环节为4，
因为2015
4
503
3
，
所以
1
2
3
4
5
6
2015
2
2
2
2
2
2
2
的末位数字是4．
故答案为：4．
知识点02 图案规律型
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
【易错提醒】
图案规律题易错警示：数图形个数与序号的关系（如每次增加固定数量或倍数）。注意：重叠、旋转、对
称等变化，以及位置交替。将图形转化为数字（点、线、面）找规律，验证时代入相邻序号。勿忽略基础
图形。
即时即练1．化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分
碳氢化合物的结构式，第1 个结构式中有1 个C 和4 个H，分子式是
4
CH ；第2 个结构式中有2 个C 和6
个H，分子式是
2
6
C H ；第3 个结构式中有3 个C 和8 个H，分子式是
3
8
C H …按照此规律，回答下列问
题．
(1)第6 个结构式的分子式是________；
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(2)第n 个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式
2024
4048
C
H
的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
【答案】(1)
6
14
C H
(2)
2
2
C H
n
n
(3)不属于，理由见解析
【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解．
（1）由图可知：第n 个结构式中有n 个C 和
2
2
n
个H，分子式是
2
2
C H
n
n，据此即可求解；
（2）由（1）中的结论即可求解；
（3）令
2024
n
，计算2
2
n
即可判断；
【详解】（1）解：由图可知：第n 个结构式中有n 个C 和
2
2
n
个H，分子式是
2
2
C H
n
n；
∴第6 个结构式的分子式是
6
14
C H ，
故答案为：
6
14
C H
（2）解：由（1）可知：第n 个结构式的分子式是
2
2
C H
n
n，
故答案为：
2
2
C H
n
n
（3）解：令
2024
n
，则2
2
4050
n
，
∴分子式
2024
4048
C
H
的化合物不属于上述的碳氢化合物
2．【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1 个图形中有6 个棋子，第2 个图形中有9 个棋子，第3
个图形中有12 个棋子，第4 个图形中有15 个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6 个图形中有____________个圆形棋子；
（2）第n 个图形中有____________个圆形棋子；（用含n 的代数式表示）
【规律应用】
（3）将2024 个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不
能，请说明理由．
【答案】（1）21（2）3
3
n （3）不能，理由见解析
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个
图形多3 个是解本题的关键．
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（1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3 个，即可得出答案；
（2）根据（1）中规律表示出第n 个图形中的棋子数，即可得解；
（3）由（2）中的规律可知，3
3
2024
n
，解方程并分析即可解题．
【详解】（1）解：由图知，第1 个图形中有
1 1
3
6
个圆形棋子，
第2 个图形中有
2 1
3
9
个圆形棋子，
第3 个图形中有
3 1
3
12
个圆形棋子，
第4 个图形中有
4 1
3
15
个圆形棋子，
L ，依此类推，
第6 个图形中有
6 1
3
21
个圆形棋子，
故答案为：21．
（2）解：由（1）中规律可知，第n 个图形中有
1
3
3
3
n
n
个圆形棋子，
故答案为：3
3
n ．
（3）解：不能，理由如下：
由题知，3
3
2024
n
，解得
2021
3
n
，n 不为整数．
2024 个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放．
题型1 数字类规律探索之排列问题
【例1】一列数
1 1 1 1
1,
,
,
,
,
2 4 8 16 第6 项是
，第2018 项是
．
【答案】
1
32
2017
1
2
【知识点】数字类规律探索
【分析】观察不难发现，分子都是1，分母是以2 为底数的幂，是第n 项，2 的指数就是
1
n ，由此写出第
6 项和2018 项即可．
本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分母的变化规律．
【详解】解：第6 项是
5
1
1
2
32
；
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第2018 项是
2017
1
2
．
故答案为：1
32 ；
2017
1
2
．
【例2】观察下列一组有规律的数：
1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，1
30 ，1
42 ，L ，根据其规律可知：第n 个数
是
．
【答案】
1
1
n n
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据所给数得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵
1
1
2
1
1 1
，
1
1
6
2
2 1
，
1
1
12
3
3 1
，
1
1
20
4
4 1
，
1
1
30
5
5 1
，
1
1
42
6
6 1
，…，
∴第n 个数是
1
1
n n
，
故答案为：
1
1
n n
．
【技巧归纳】
观察数字排列的序号与数值关系：通常与n 有关（等差、等比、平方、周期）。先列前几项，找差或比的
变化，构造通项公式。注意符号交替用(-1)n。分奇偶项讨论，验证首项是否符合通项。常见于数表、数列题。
【变式1-1】有一列数：2
2 ，5
4 ，10
6 ，17
8 ，L ，则第n 个数表示为
．
【答案】
2
1
2
n
n
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字的变化规律，找出分子分母的联系，得出运算规律是解决问题的关键．通过观察
分别找出分子分母的规律即可解答．
【详解】解：观察可得：
分母：2
2 1,4
2 2,6
2 3,8
2 4,
，则则第n 个数的分母为2n ，
分子：
2
2
2
2
2
1
1,5
2
1,10
3
1,16
4
1,
，则则第n 个数的分子为
2
1
n ，
故第n 个数为
2
1
2
n
n
．
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故答案为：
2
1
2
n
n
．
【变式1-2】按一定规律排列的一组数据：1
4
9
16
25
3
5
7
9
11
、
、、
、
，则按此规律排列的第n个数
是
．
【答案】
2
1
1
2
1
n
n
n
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了探究数字的规律问题，确定分子和分母变化的规律是解题的关键．通过观察：从
符号看，正负相隔，奇数项为正数，偶数项为负数，从绝对值看，它们的分子是连续的正整数的平方，分
母是连续的奇数．据此求解即可．
【详解】解：∵
2
1 1
1
1
1
3
2 1 1
、
2
2 1
4
2
1
5
2 2 1
、
2
3 1
9
3
1
7
2 3 1
、
2
4 1
16
4
1
9
2 4 1
、
2
5 1
25
5
1
11
2 5 1
、L
∴按此规律排列的第n个数是
2
1
1
2
1
n
n
n
，
故答案为：
2
1
1
2
1
n
n
n
．
题型2 数字类规律探索之末尾数字问题
【例3】观察等式：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
，
7
2
128
，…．通过观察，用你发
现的规律确定
2024
2
的个位数字是 ．
【答案】6
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，
1
2
3
2 2 2
2n
，，
，
这一列数字每4 个数为一个循环，
其个位数字依次为2，4，8，6，再根据2024
4
506
即可得到答案．
【详解】解：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
，
7
2
128
，…，
以此类推可得，
1
2
3
2 2 2
2n
，，
，
这一列数字每4 个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6，
∵2024
4
506
，
∴
2024
2
的个位数字是6，
故答案为：6．
【例4】计算
12
1
1
，
2
2
1
3
，
3
2
1
7
，
4
2
1
15
，
5
2
1
31
，…归给计算结果中的个位数字规律，
猜测
2015
2
1
的个位数字是
．
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【答案】7
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据规律进行解题即可．
【详解】解：由题意可知，个位数字以4 为周期按照1,3,7,5的顺序进行循环，
2015
4
503...3
，
故猜测
2015
2
1
的个位数字是7 ．
故答案为：7 ．
【技巧归纳】
末尾数字具有周期性。计算前几项尾数，找循环节长度。如2n 尾数：2,4,8,6 循环。用指数除以周期长度，
余数决定末位。注意余数为0 时对应周期末位。可用于幂运算、乘积尾数。验证多算几个确保周期。
【变式2-1】观察下列几个算式：
2
1
1
1
a
a
a
①
；
2
3
1
1
1
a
a
a
a
②
；
3
2
4
1
1
1
a
a
a
a
a
③
；
4
3
2
5
1
1
1
a
a
a
a
a
a
④
，……，结合你观察到的规律判断：
2024
2
2
2
2 1
L
的计算结果的末位数字为
．
【答案】1
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了多项式的乘法运算以及数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据已知的式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出
2025
2
的末位数字，即可得解．
【详解】解：根据题意可知：
1
2
3
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
，
2024
2
2
2
2 1
，
2024
2
2 1
2
2
2 1
，
2025
2
1
，
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，，
2
的乘方运算，其末位数字分别为2 ，4 ，8 ，6 ，每4 个为一组，依次循环，
2025
4
506...1
，
2025
2
的末位数字为2 ，
2025
2
1
的末位数字为1，
即
2024
2
2
2
2 1
L
的计算结果的末位数字为1，
故答案为：1．
【变式2-2】二进制即“逢二进一”，如
2
1101
表示二进制，将它化为十进制数为
3
2
1
0
1 2
1 2
0
2
1 2
13
，
（注：
0
2
1
），把二进制数
2
111111
1
（注：里面有2024 个1）化为十进制数后，此十进制数的个位
数字是
．
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【答案】5
【知识点】数字类规律探索、乘方的应用
【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先利用
二进制与十进制之间的转换公式、有理数乘方法则可得
2024
2
111111
1
2
1
，再归纳类推出
1
2
3
4
2 ,2 ,2 ,2 ,
2n
的个位数字是以2,4,8,6 为一个循环，（其中n 为正整数），然后求出
2024
2
的个位数字，由
此即可得．
【详解】解：由题意得：
2023
2022
0
2
1
111111
1
1 2
1 2
1 2
1 2
2023
2022
1
2
2
2
1
2023
2022
2023
202
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2024
2023
1
2023
1
02
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2024
2
1
，
∵
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，L ，
∴
1
2
3
4
2 ,2 ,2 ,2 ,
2n
的个位数字是以2,4,8,6 为一个循环，（其中n 为正整数），
∵2024
506 4
，
∴
2024
2
的个位数字与
4
2 的个位数字相同，即为6，
∴
2024
2
1
的个位数字为6 1
5
，
即把二进制数
2
111111
1
（注：里面有2024 个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是5，
故答案为：5．
题型3 数字类规律探索之新运算问题
【例5】已知
( )
1
x
f x
x
，其中
( )
f a 表示当x
a
时代数式的值，如
1
1
2
2
(1)
,
(2)
1 1
2
2 1
3
f
f
，则
(3)
f
，
(1)
(2)
(3)
(2024)
f
f
f
f
．
【答案】
3
4 /0.75
1
2025
【知识点】多个有理数的乘法运算、数字类规律探索
【分析】根据题意求得代数式
3
f
的值，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解．本题考查了代数式求
值，有理数的混合与运算，理解题意是解题的关键．
【详解】解：依题意，
3
3
3
3 1
4
f
，
∴
1
2
3
2023
2024
1
(1)
(2)
(3)
(2024)
2
3
4
2024
2025
2025
f
f
f
f
，
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故答案为：3
4 ，
1
2025 ．
【例6】已知
2
2
2
2
1
4
2
1
9
3
1
16
4
1
25
5
1
,2
,3
,4
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
．设n 为正整数，请用关于n 的等
式表示这个规律
．
【答案】
2
(
1)
2
n
n
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题干已有式子结构，得n 的等式表示这个规律
2
(
1)
2
n
n
，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵
2
2
2
2
1
4
2
1
9
3
1
16
4
1
25
5
1
,2
,3
,4
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
，
∴关于n 的等式表示这个规律为
2
(
1)
2
n
n
，
故答案为：
2
(
1)
2
n
n
．
【技巧归纳】
先理解新运算规则，列举前几项计算结果，观察是否成等差、等比或周期变化。用序号n 表示规律，常见
与n 的一次、二次或指数函数有关。验证时多代几个n。若涉及递推，写出递推式并求通项。注意初始条件。
【变式3-1】a 是不为2 的有理数，我们把
2
2
a
称为a 的“伴随数”，如3 的“伴随数”是
2
2
2
3
，2
的“伴随数”是
2
1
2
2
2
，已知
1
4
a
，
2a 是
1a 的“伴随数”，
3a 是
2a 的“伴随数”，
4a 是
3a 的“伴随
数”，…，以此类推，则
2025
a
等于
．
【答案】4
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规
律．
根据所给“伴随数”的定义，依次求出，
2
3
,
a a ，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数
按
2 3
4, 1,
,
3 2
重复出现是解题的关键．
【详解】解：由题意知，
1
4
a
，
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2
2
1
2
4
a
，
3
2
2
2
( 1)
3
a
，
4
2
3
2
2
2
3
a
，
5
2
4
3
2
2
a
，
由此可知，这列数按
2 3
4, 1,
,
3 2
重复出现，
2025
4
506
1
，
2025
4
a
，
故答案为：4．
【变式3-2】定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，
3
1
F n
n
；②当n 为偶数时，
2k
n
F n
（其中k 是使
F n 为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取
12
n
，则
1
2
3
12
3
10
5
F
F
F
第次
第次
第次
②
①
②
…，有按此规律继续计算，第2025 次“F”运算的结果是
．
【答案】1
【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”
解题的基本思路．
计算出
12
n
时第1,2,3,4,5,6,7 次运算的结果，通过计算从第5 次开始，结果就只有1 和4 两个数循环出现，
进而观察规律即可得结论．
【详解】解：当
12
n
，
第1 次“F”运算的结果是：
2
12
3
2
，
第2 次“F”运算的结果是：3
1
3 3 1
10
n
，
第3 次“F”运算的结果是：
2
10
5
2
，
第4 次“F”运算的结果是：3
1
3 5 1
16
n
第5 次“F”运算的结果是
4
16
1
2 ，
第6 次“F”运算的结果是3
1
3 1 1
4
n
，
第7 次“F”运算的结果是
2
4
1
2 ，
…
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以此类推可知，从第5 次“F”运算开始，每两次“F”运算为一个循环，运算的结果为1、4 依次出现，且当次
数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1，
∴第2025 次“F”运算的结果是1，
故答案为：1．
题型4 数字类规律探索之等式问题
【例7】观察下列算式：
①
2
1 3
2
3
4
1
②
2
2
4
3
8
9
1
③
2
3 5
4
15 16
1
……
把这个规律用含字母n （n 为正整数）的式子表示出来
．
【答案】
2
2
1
1
n n
n
【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题考查了数字类规律研所，根据已知算式发现规律是解题关键．观察所给算式可知，对于三个
连续自然数，最大和最小的自然数的积与中间一个自然数平方的差等于1
，即可用含n 的式子表示出来即
可．
【详解】解：观察已知算式把这个规律用含字母n （n 为正整数）的式子表示出来为
2
2
1
1
n n
n
，
故答案为：
2
2
1
1
n n
n
．
【例8】已知
2
2
2
2
2
3
3
4
4
2
2
,3
3
,4
4
3
3
8
8
15
15
根据以上规律，可得
2
9
9
9
9
x
x
，猜想：
x
．经检验，猜想
（填“正确”或“错误”）．
【答案】
80
正确
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现
2
2
2
(
1
1
n
n
n
n
n
n
n
为大于1 的整数）是解题的关
键．根据所给等式，发现其各部分的变化规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为
2
2
2
2
2
3
3
，
2
3
3
3
3
8
8
，
2
4
4
4
4
15
15
，
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，
所以
2
2
2
(
1
1
n
n
n
n
n
n
n
为大于1 的整数）．
当
9
n
时，
2
9
9
9
9
80
80
．
因为
9
720
9
729
9
80
80
80
80
；
2
9
81 9
729
9
80
80
80
，
经检验，猜想正确．
故答案为：80，正确．
【技巧归纳】
观察等式左右结构：左边项数、右边结果与序号n 的关系。常见左边为连续数求和，右边为平方或乘积形
式。先写前几个等式，归纳一般式，再用代数验证。注意符号（如奇数项为负）可用(-1)n 处理。拆项配对。
【变式4-1】观察下列式子：
2
2
2
1 3 1
2 ,3 5 1
4 ,5 7 1
6 ,
…探索以上式子的规律，请写出第n 个等
式：
．
【答案】
2
2
1
2
1
1
2
n
n
n
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可知两个连续的奇数的乘积加上1 等于较小的奇数
加上1 之后的平方，据此规律可得答案．
【详解】解：第一个式子为
2
1 3 1
2
，
第二次式子为
2
3 5 1
4
，
第三个式子为
2
5 7
1
6
，
……，
以此类推可知，第n 个式子为
2
2
1
2
1
1
2
n
n
n
，
故答案为：
2
2
1
2
1
1
2
n
n
n
．
【变式4-2】定义新运算：
1
1
a b
a
b
，
1
a
b
ab
（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如∶
1
1
4
3 7
3
7
21
，
1
1
3
7
3 7
21
．
若a
b
a b
，则称有理数a，b 为“隔一数对”．
例如∶
1
1
1
2 3
2
3
6
，
1
1
2
3
2 3
6
，即2
3
2 3
，所以2，3 就是一对“隔一数对”．
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请同学们解答下列问题：
(1) 1
，1 是“隔一数对”吗？请说明理由；
(2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：
1
2
2
3
3
4
4
5
2023
2024
．
【答案】(1)不是“隔一数对”
(2) 2023
2024
【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混
合运算法则是解题关键．
（1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可；
（2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可．
【详解】（1）解：由题意可得∶
1
1
1
1
1 1
，
1
1
1
1
2
1
1
，
∴
1
1
1
1
，
∴不是“隔一数对”．
（2）解：由题意可得∶
1
2
2
3
3
4
4
5
2023
2024
1 2
2 3
3 4
4 5
2023 2024
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2023
2024
1
1
2024
2023
2024
．
题型5 图形类规律探索之数字问题
【例9】观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得a
b
m
．
【答案】19
100
【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，观察可知，右下角的数等于其他三个数的和，
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且上面两个数是从1 开始的自然数，左下角的数是从2 开始的自然数，据此求出
79
41
a
b
，
，则
79
41
80
79
200
m
a
b
，再代值计算即可．
【详解】解：1
2
2
5
，
3
3
4
10
，
4
5
6
15
，
以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和，
观察可知上面两个数是从1 开始的自然数，左下角的数是从2 开始的自然数，即第n 幅图，右上角的数为
2n ，左下角的数为
1
n ，左上角的数为2
1
n ，
当2
80
n
时，解得
40
n
，
把
40
n
，代入2
1
1
n
a
n
b
，
得：
79
41
a
b
，
，
79
79
41 80
200
m
a
b
，
79
41
38
19
200
200
100
a
b
m
，
故答案为：19
100 ．
【例10】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x 的值为
【答案】819
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字规律，理解表格中数轴的变换规律是解题的关键．
根据题意，上方第一格的数值依次是
1
n n
的整数，第二格的数值依次是2
2
n
的整数，下方第一格的数
值依次是
1
1
n
n
的整数，第二格的数值依次是
1
2
2
n
n
n
，由此列式求解．
【详解】解：表格从左往右，从上往下，
上方第一格的数值依次是
1
n n
的整数，第二格的数值依次是2
2
n
的整数，
下方第一格的数值依次是
1
1
n
n
的整数，第二格的数值依次是
1
2
2
n
n
n
，
∴2
2
40
a
，
解得，
19
a
，
∴
19 1
20
b
，
∴
40
40 20 19
819
x
b
a
，
故答案为：819 ．
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【技巧归纳】
从图形中数出点、线、面的数量，与序号n 建立关系。观察增量（等差、等比或二次）。先列图表，找第n
个图形与第n-1 个图形差值，再求通项。如正多边形对角线数n(n-3)/2。注意初始条件和图形变化规则。
【变式5-1】我们知道，
1
1
2
3
2
n
n
n
，那么如何求
3
3
3
3
1
2
3
n
的值？
【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系：
【归纳猜想】
（1）3
3
3
3
3
1
2
3
4
5
______．
（2）
3
3
3
3
3
1
2
3
4
n
______．
【拓展应用】
（3）求
3
3
3
3
11
12
13
20
的值．
【答案】（1）225；（2）
2
1
2
n n
；（3）41075
【知识点】含乘方的有理数混合运算、图形类规律探索
【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题
是解本题的关键．
（1）根据前四个图直接推出结论，即可；
（2）由（1）发现规律可得
3
3
3
3
2
1
2
3
1
2
3
(
)
n
n
，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
3
2
1
1
，
3
3
2
2
1
2
3
(1
2)
，
3
3
3
2
2
1
2
3
6
(1
2
3)
，
3
3
3
3
2
2
1
2
3
4
10
(1
2
3
4)
3
3
3
3
3
2
2
1
2
3
4
5
(1
2
3
4
5)
15
225
；
故答案为： 225
（2）解：由（1）发现：
3
3
3
3
1
2
3
n
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2
(1
2
3
)
n
2
(
1)
2
n n
；
（2）解：
3
3
3
3
11
12
13
20
3
3
3
3
3
3
3
3
1
2
3
20
1
2
3
10
（
）
2
2
(1
2
3
20)
(1
2
3
10)
2
2
20(20 1)
10(10 1)
2
2
41075
．
【变式5-2】观察下列图形．将边长为1 的正方形纸片按图1 所示方法进行对折，记第1 次对折后得到的图
形面积为
1S ，第2 次对折后得到的图形面积为
2
S
,
，第n 次对折后得到的图形面积为
n
S ．
(1)继续观察图形填空：设
0
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
S
S
、
，计算
2
S ___________，并在上面某个图中将
表示
2
S 的区域涂成阴影；
(2)请根据上面图形计算：
2
3
2025
1
1
1
1
2
2
2
2
___________（直接写出结果）
(3)观察图形并探索（ ）中各式的规律：试写出第n 个等式
nx ___________，并说明第n 个等式成立．
【答案】(1) 1
4
(2)
2025
1
1
2
(3) 1
2n ，详见解析
【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了图形规律，列代数，有理数的乘方，正确找到图形的规律是解决此题的关键，
（1）按题意计算画图即可得解；
（2）由图找到数的规律进行计算即可得解；
（3）由图找到数的规律进行计算即可得解；
【详解】（1）解：画图如下，
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1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
4
4
S
，
故答案为：1
4 ；
（2）解：由图知，
第1 次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为
1
1
2
S
；
第2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为
2
1
2
1
1
2
2
S
S
；
第3 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，
…；
第2025 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分；
所有阴影部分的面积之和为
2
3
2025
1
2
3
2025
1
1
1
1
2
2
2
2
S
S
S
S
，
最后空白部分的面积是
2025
1
2
，
∴
2
3
2025
2025
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
，
故答案为：
2025
1
1
2
；
（3）解：由图知，
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
x
S
，
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
x
S
，
2
3
3
3
3
1
1
1
2
2
2
x
S
，
，
1
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
x
S
，
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∴第n 个等式
1
2
n
nx
，
故答案为：1
2n ．
题型6 图形类规律探索之数量问题
【例11】下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题：
图形标号
第一个
第二个
第三个
第四个
涂有阴影的小正方形的个数
5
a
13
b
(1) a ________，b ________；
(2)第n 个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n 的代数式来表示）
(3)按照这种规律下去，求第400 个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
【答案】(1)9；17
(2)
4
1
n
(3)1601
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键．
（1）观察图形规律，可知第1 图涂有阴影的小正方形的个数为5 个，第2 图涂有阴影的小正方形的个数为
5
4
9
个，第3 个图涂有阴影的小正方形的个数为5
4
3
1
个，以此类推，可知第4 图涂有阴影的小正
方形的个数；
（2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4 个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可；
（3）将
400
n
代入4
1
n 计算求解即可．
【详解】（1）解：第2 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4
9
个，即
9
a
，
第4 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4
3
1
7 个，即
17
b
故答案为：9，17；
（2）观察图形规律，可知：
第1 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5 个，，
第2 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4
9
个，
第3 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4 2
13
个，，
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第4 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4
3
1
7 个
以此类推，
第n 个图形涂有阴影的小正方形的个数为
5
4
1
4
1
n
n
个，，
故答案为：
4
1
n
；
（3）解：将
400
n
代入4
1
n 中得：4
400
1
1601
即第400 个图形中涂有阴影的小正方形的个数为1601根．
【例12】用火柴棒按图中的方式摆图形：
按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒的根数
5
9
13
a
b
(1) a ________，b ________；
(2)按照这种方式搭下去，则搭第n 个图形需要火柴棒的根数为________；（用含n 的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024 个图形需要的火柴棒的根数．
【答案】(1)17 ，21
(2)4
1
n
(3)8097
【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径．
（1）根据所给图形可得a，b 的值；
（2）根据（1）的结果可得出规律；
（3）把n 的值代入（2）的规律式中可求值．
【详解】（1）解：由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得
17
a
，
由图①②③④可得图⑤为：4 5 1
21
，
故
21
b
；
故答案为：17；21．
（2）解：由（1）可得第n 个图形需要火柴棒的根数为4
1
n ，
故答案为：4
1
n ；
（3）解：将
2024
n
代入4
1
n 中得：4 2024 1
8097
．
即第2024 个图形需要的火柴棒根数为8097 根．
【技巧归纳】
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图形数量规律：通常与边长或序号n 的一次、二次式相关。观察每层增加的数量，列递推关系。如正方形
点阵总数n²，三角形点阵n(n+1)/2。用通项公式表示，并用n=1 验证。注意图形旋转对称可简化计算。分
拆成基本图形。
【变式6-1】如图，在边长都为a 的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．
(1)根据图中的规律，第4 个正方形内圆的个数是________，第n 个正方形内圆的个数是________．
(2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影
①第1 个正方形中阴影部分的面积为________，第n 个正方形中阴影部分的面积为________（用含a 的代
数式表示，结果保留π ）．
②若
10
a
，请直接写出第2 024 个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留π ）．
【答案】(1)16，
2
n
(2)①
2
2
4
π
4
π
,
4
4
a
a
；②100
25π
【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键．
（1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n 个正方形中圆的个数；
（2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n 个图中的阴影部分面积也是为
2
4
π
4
a
，将
10
a
代入
2
4
π
4
a
中求解即可．
【详解】（1）解：第1 个正方形内圆的个数是
2
1
1
，
第2 个正方形内圆的个数是
2
4
2
，
第3 个正方形内圆的个数是
2
9
3
，
第4 个正方形内圆的个数是
2
16
4
，
……
第n 个正方形内圆的个数是
2
n ．
（2）①第1 个正方形中，
2
2
2
4
π
π ( )
2
4
a
S
a
a
阴影
，
第n 个正方形中，
2
2
2
2
4
π
π (
)
2
4
a
S
a
n
a
n
阴影
．
②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关．
第n 个正方形中阴影部分的面积
2
2
2
2
4
π
π (
)
2
4
a
S
a
n
a
n
阴影
，
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当
10
a
时，第2024 个正方形中阴影部分的面积为
2
4
π 10
100
25π
4
．
【变式6-2】如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1 个图案中“●”的
个数为3，第2 个图案中“●”的个数为8，第3 个图案中“●”的个数为15，…，以此类推．
(1)第5 个图案中“●”的个数是________．
(2)请用含n 的代数式表示第n 个图案中“●”的个数．
(3)请用含n 的代数式表示第n 个图案中最长的线段上“●”的个数．
【答案】(1)35
(2)
2
n n
或
2
1
1
n
个
(3)
1
n 个
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化规律．
（1）根据每组图形规律列出点数即可求得；
（2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可；
（3）根据每组图形规律列出每个图案中最长的线段上“●”的个数，即可得解．
【详解】（1）解：观察图形：
第1 个图案中“●”的个数是2 1
3
个，
第2 个图案中“●”的个数是2
3
2 1
8
个，
第3 个图案中“●”的个数是2 3 4 3 2 1 15
+ + + + + =
个，
第4 个图案中“●”的个数是2 3 4 5 4 3 2 1
24
+ + + + + + + =
个，
∴第5 个图案中“●”的个数是2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
35
+ + + + + + + + + =
个，
故答案为：35；
（2）解：3 1 3
，
8
2 4
，
15
3 5
，
24
4 6
，
35
5
7
……
由上规律知，第n 个图案中“●”的个数为
2
n n
或
2
1
1
n
；
（3）解：第1 个图案中最长的线段上“●”的个数为2，
第2 个图案中最长的线段上“●”的个数为3，
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第3 个图案中最长的线段上“●”的个数为4，…，
∴第n 个图案中最长的线段上“●”的个数为
1
n ．
一、单选题
1．我们规定一个新数“i”，使其满足
1
2
1
i
i
i
，
， 并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，
且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有
1
2
1
i
i
i
，
，
3
2
i
i
i
i
，， 则
1
2
3
4
10
11
i
i
i
i
i
i
值为（ ）
A．i
B．1
C．i
D．1
【答案】D
【分析】根据给定规则可得i 的幂次以4 为周期循环，先计算每4 个连续项的和，再分组计算剩余项即可得
到最终结果．
【详解】解：∵1i
i
，2
1
i ，3i
i
，
4
1
i
，5
4
i
i i
i
，
∴1i
i
，
2
1
i
，3i
i
，
4
1
i
，5
4
i
i i
i
，
∴算式中的项以,1,
, 1
i
i
循环，
∵
1
2
3
4
1
1
0
i
i
i
i
i
i
，11 4
2...3
，
∴1
2
3
4
10
11
i
i
i
i
i
i
9
10
11
0 2
i
i
i
0 2
1
i
i
= 1．
2．已知有理数𝑎≠1，我们把
1
1
a
称为a 的“差倒数”，如：2 的“差倒数”是
1
1
1
2
，−1的“差倒数”是
1
1
1
1
2
．若
1
1
3
a
，𝑎2是𝑎1的“差倒数”，𝑎3是𝑎2的“差倒数”，𝑎4是𝑎3的“差倒数”，…，依此类推，则𝑎2025
的值是( )
A．3
4
B．
1
3
C．4
D．4
3
【答案】C
【分析】根据差倒数的定义计算前几项，找出数列的循环规律，再通过除法运算得到余数，根据规律得出𝑎2025
的值．
【详解】解：∵
1
1
3
a
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∴
2
3
4
1
1
2
3
1
1
3
1
1
1
1
1
,
4,
3
1
1
4
1
1
1 4
3
1
1
4
3
a
a
a
a
a
a
a
∴该数列以
1 3 4
3 4
，，三个数为一个周期循环
∵2025
3
675
，刚好整除
∴
2025
3
4
a
a
故选：C．
3．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）．
A．135
B．118
C．152
D．169
【答案】A
【分析】观察可知，右上角的数
2
左下角的数，左下角的数左上角的数1
，根据右上角的数求𝑎、𝑏的
值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到
16
b
a
x
，即可求解．
【详解】如图，
∵左下角的数依次为2 3 4
、、… … ，右上角的数依次为4 6 8
、、… … ，
∴右上角的数
2
左下角的数，即2
16
b
，解得：
8
b
，
∵左上角的数依次为1 2 3
、、
，左下角的数依次为2 3 4
、、… … ，
∴左下角的数左上角的数1
，即
1
b
a
，解得：𝑎= 7，
∵根据(1)可得：2 4 1
9
，
根据( 2 )可得：3 6
2
20
，
根据(3)可得：4
8
3
35
，
∴推出第(n )个式子为：
16
b
a
x
，
∴
8 16
7
135
x
．
4．链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰
球代表碳原子，白球代表氢原子．第1 种如图①有1 个碳原子和4 个氢原子，化学式为
4
CH ；第2 种如图②
有2 个碳原子和6 个氢原子，化学式为
2
6
C H ；第3 种如图③有3 个碳原子和8 个氢原子，化学式为C3H8…
按照这一规律，第2026 种化合物的化学式为（ ）
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A．
2026
2026
C
H
B．
4052
4052
C
H
C．
2026
4052
C
H
D．
2026
4054
C
H
【答案】D
【分析】根据题意易得第n 种有n 个碳原子和
2
2
n
个氢原子，化学式为C𝑛H2𝑛+2，然后问题可求解．
【详解】解：∵第1 种如图①有1 个碳原子和2 1
2
4
个氢原子，化学式为
4
CH ；
第2 种如图②有2 个碳原子和2 2
2
6
个氢原子，化学式为
2
6
C H ；
第3 种如图③有3 个碳原子和2 3
2
8
个氢原子，化学式为C3H8；
……；
∴第n 种有n 个碳原子和
2
2
n
个氢原子，化学式为C𝑛H2𝑛+2，
∴第2026 种化合物的化学式为
2026
4054
C
H
．
5．观察下列等式：
2
1
1
1
x
x
x
；
2
3
1
1
1
x
x
x
x
；
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
；
根据以上规律计算
2025
2024
2023
2022
3
2
3
3
3
3
3
3
3 1
的值是（ ）
A．
2026
3
1
2
B．
2026
3
1
C．
2026
3
2
D．
2026
3
1
【答案】A
【分析】根据已知等式总结规律，再将所求式子变形，计算即可．
【详解】解：由已知等式可归纳出规律：
∵(𝑥−1)(𝑥𝑛+ 𝑥𝑛−1 + … + 𝑥+ 1) = 𝑥𝑛+1−1
令
3,
2025
x
n
，代入得：(3−1)(32025 + 32024 + … + 3 + 1) = 32026−1
∴2 × (32025 + 32024 + … + 3 + 1) = 32026−1
∴32025 + 32024 +… + 3 + 1 = 32026−1
2
．
二、填空题
6．按规律排列的一组数：1 3
5
7
,
,
,
2 5 10 17，按此规律第n 个数为________．
【答案】
2
2
1
1
n
n
【分析】将数列各数的分子，分母分开，根据已知项找出分子分母与对应序号n 的变化规律，归纳得到第n
个数的表达式．
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【详解】解：观察已知排列的数：
第1个数：
2
1
2 1 1
2
1
1
；
第2 个数：
2
3
2 2 1
5
2
1
；
第3个数：
2
5
2 3 1
10
3
1
；
第4 个数：
2
7
2 4 1
17
4
1
；
；
按此规律，可得第n 个数的分子为2𝑛−1，分母为
2
1
n ．
∴第n 个数为
2
2
1
1
n
n
．
7．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n 的值是____________．
【答案】44
【分析】根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出m ，n 的值．
【详解】解：∵第1 个图中，
2 1 1
3
m
，
1 3
2 1
5
n
，
第2 个图中，
2
2
1
5
m
，
2 5
2 2
14
n
，
第3 个图中，
2 3 1
7
m
，
3 7
2 3
27
n
，
∴第4 个图中，
2 4 1
9
m
，
4 9
2 4
44
n
．
8．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，抽离出其
平面图形，若其中第1 个图形中共有9 个小正方形，第2 个图形中共有14 个小正方形，第3 个图形中共有
19 个小正方形，…；则第10 个图形小正方形的个数为__________．
【答案】54
【详解】解：由图可知：第1 个图形中共有5 1
4
9
个小正方形，第2 个图形中共有5 2
4
14
个小正
方形，第3 个图形中共有5 3
4
19
个小正方形，…；
∴第n 个图形小正方形的个数为
5
4
n
个，
∴第10 个图形小正方形的个数为5 10
4
54
．
9．“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数
1
5
n
，计算
2
1
1
n 得𝑎1；第二步：算出𝑎1
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的各位数字之和得𝑛2，计算
2
2
1
n
得𝑎2；第三步，算出𝑎2的各位数字之和得𝑛3，计算
2
3
1
n
得𝑎3；…………
以此类推，则
2026
a
______．
【答案】26
【分析】根据题意分别求出
1
2
3
4
,
,
,
n n n n 以及
1
2
3
4
,
,
,
a a a a 的值，由此发现𝑎𝑛以26，65，122 三个数为一个循环，
即可求解．
【详解】解：根据题意得：
2
1
5
1
26
a
，
∴
2
2
6
8
n
，
∴
2
2
8
1
65
a
，
∴
3
6
5
11
n
，
∴
2
3
11
1
122
a
，
∴
4
1
2
2
5
n
，
∴
2
4
5
1
26
a
，
……，
由此发现，𝑎𝑛以26，65，122 三个数为一个循环，
∵2026
3
675
1
，
∴
2026
26
a
．
10．计算3的正整数次幂，
13
3
，
23
9
，
33
27
，
43
81
，35 = 243，
63
729
，
73
2187
，
83
6561
…
观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得
2026
3
的个位数字是_______．
【答案】9
【分析】根据已知数据得到3n 的个位数字以3,9,7,1四个一组循环，通过计算指数除以周期的余数，即可得
到
2026
3
的个位数字．
【详解】解：由题意，可知3n 的个位数字以3,9,7,1四个一组循环，
2026
4
506
2
，
2026
3
的个位数字是循环组中的第2 个数字，即为9．
三、解答题
11．找规律
(1)观察：4 × 6 = 24，14 16
224
，24 26
624
，34 36
1224
，……
你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？
(2)利用（1）中的规律计算124 126
．
(3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例．
【答案】(1)
10
4 10
6
100
1
24
n
n
n n
（n 为非负整数）
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(2)
15624
(3)
示例：13 17
221
，22 28
616
（答案不唯一，符合规律即可）
【分析】（1）根据4 个例题的计算过程找到规律，用含n 的代数式表示出规律即可；
（2）根据（1）中的规律计算即可；
（3）通过观察可知相乘的两个数的个位数相加为10，其他数位上的数字相同，根据规律写出两个符合规律
的算式．
【详解】（1）解：4 × 6 = 24，
14 16
10
4
10
6
100 1
1 1
4 6
224
，
24 26
10 2
4
10 2
6
100 2
2 1
4 6
624
，
34 36
10 3
4
10 3
6
100 3
3 1
4 6
1224
，
，
根据规律可得：
10
4 10
6
100
1
24
n
n
n n
（n 为非负整数）；
（2）解：根据规律可得：
124 126
12 10
4
12 10
6
100 12
12 1
4 6
15624
；
（3）解：
13 17
10
3
10
7
100 1
1 1
3 7
221
，
22 28
2 10
2
2 10
8
100 2
2 1
2 8
616
（答案不唯一）．
12．观察下列各式：
2
1 5
4 3
＝
①
2
3 7
4 5
＝
②
2
5 9
4
7
＝
③
……，
探索以上式子的规律：
(1)第5 个等式是 ；
(2)试写出第n 个等式，并用所学知识说明第n 个等式成立．
【答案】(1)
2
9 13
4
11
(2)
2
2
1
2
3
4
(2
1)
n
n
n
，说明过程见解析
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【分析】（1）由已知等式得出奇数与比它大4 的奇数的积与4 的和等于这两个奇数中间的奇数的平方即可
得；
（2）根据以上所得规律列出等式即可得，再利用整式的混合运算验证左右两边是否相等即可．
【详解】（1）解：第5 个等式是
2
9 13
4
11
；
（2）解：由题意得，第n 个等式为
2
2
1
2
3
4
(2
1)
n
n
n
，
理由：左边
2
1
2
3
4
n
n
2
4
6
2
3
4
n
n
n
2
4
4
1
n
n
，
右边
2
2
(2
1)
4
4
1
n
n
n
，
左边右边，
2
2
1
2
3
4
(2
1)
n
n
n
．
13．在数学活动中，小明为了求
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
的值，写出下列解题过程．
设：
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
S
①
两边同乘以2 得：
2
3
1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
S
②
由②−①得：𝑆= 2𝑛+1−2
(1)应用结论：
2
3
100
2
2
2
2
______；
(2)拓展探究：
①求：
2
3
1
4
4
4
4
4
n
n
的值；
②求：
2
3
4
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2n
的值．
【答案】(1)
101
2
2
；
(2)①
1
4
4
3
n
；②
1
1
2n
S
.
【分析】（1）将
100
n
代入
2
3
1
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
中即可得解；
（2）①模仿题目中的算法计算即可；
②模仿题目中的算法计算即可.
【详解】（1）解：由题干得：
2
3
1
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
，
将
100
n
代入
2
3
1
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
得：
2
3
99
100
101
2
2
2
2
2
2
2
；
（2）解：①设
2
3
1
4
4
4
4
4
n
n
S
①，
两边同乘4 得：
2
3
4
1
4
4
4
4
4
4
n
n
S
②，
由
②
①得：
1
3
4
4
n
S
，
∴
1
4
4
3
n
S
；
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②设
2
3
4
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2n
S
①，
两边同乘2 得：
2
3
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2n
S
②，
由
②
①得：
1
1
2n
S
．
14．第1 个等式：
1
1 × 3 =
1
2 × 1−1
3 ；
第2 个等式：
1
3 × 5 =
1
2 ×
1
3 −1
5 ；
第3 个等式：
1
1
1
1
5 7
2
5
7
；
第4 个等式：
1
1
1
1
7
9
2
7
9
．
(1)探寻上述等式规律，写出第5 个等式：_________；
(2)求1
1
1
1
1 5
5 9
9 13
2021 2025
的值．
【答案】(1)
1
1 1
1
9 11
2 9
11
(2) 506
2025
【分析】（1）观察所给的式子即可求出；
（2）根据题意把原式变形为1
1
1
1
1
1
1
4
5
5
9
2021
2025
，即可求解．
【详解】（1）解：第5 个等式为
1
1 1
1
9 11
2 9
11
（2）解：1
1
1
1
1 5
5 9
9 13
2021 2025
1
1
1 1
1
1
1
1
1
4
5
4 5
9
4 2021
2025
1
1
1
1
1
1
4
5
5
9
2021
202
1
5
1
2024
4
2025
506
2025
15．将一个面积为1 的三角形分成4 个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方
式分成4 个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4 个面积相等的小三
角形如图③，以此类推．
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(1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ；
(2)计算：
9
3
3
3
3
4
16
64
4
．
【答案】(1) 1
4 ；1
16 ，1
64
(2)
9
1
1
4
【分析】（1）根据图形推理即可解得答案；
（2）根据图形得出图n 中空白部分的面积为3
3
3
3
1
1
4
16
64
4
4
n
n
．再将
9
n
代入得出答案即可．
【详解】（1）解：由题知：
图①中阴影部分的面积为：
1
1
1
4
4
；
图②中阴影部分的面积为：1
1
1
4
4
16
；
图③中阴影部分的面积为：1
1
1
16
4
64
；
…，
所以图n 中阴影部分的面积为1
4n ．
（2）解：由题知，
图①中空白部分的面积为：3
1
1
4
4
；
图②中空白部分的面积为：3
3
1
1
4
16
16
；
图③中空白部分的面积为：3
3
3
1
1
4
16
64
64
；
…，
所以图n 中空白部分的面积为：3
3
3
3
1
1
4
16
64
4
4
n
n
．
当
9
n
时，
9
9
3
3
3
3
1
1
4
16
64
4
4
．
16．用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2 层起，每层比上一层多一个正方形，
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第1 个图形需要4 根小棒，第2 个图形需要10 根小棒，第3 个图形需要18 根小棒．
【特例感知】（1）第4 个图形比第3 个图形多_____根小棒；
【探索规律】（2）第n 个图形需要的小棒根数比第
1
n
个图形多100 根，求n 的值；
【拓展运用】（3）若第n 个图形竖放小棒根数是其序号n 的k 倍，请用含n 的代数式表示k ．
【答案】（1）10；（2）49；（3）
3
2
n
【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键．
（1）根据前3 组数据找出变化规律，利用规律求解；
（2）第n 个图形需要的小棒根数比第(𝑛−1)个图形多2
2
n
根小棒，由此列方程求解；
（3）第n 个图形有n 层，每层竖放小棒数为
1
n
【详解】解：（1）由题意知，第2 个图形比第1 个图形多6 根小棒，6
2
2
2
，
第3 个图形比第2 个图形多8 根小棒，8
2
3
2
，
以此类推，第4 个图形比第3 个图形多：4 2
2
10
根小棒，
故答案为：10；
（2）由（1）知第n 个图形需要的小棒根数比第(𝑛−1)个图形多2
2
n
根小棒，
令2
2
100
n
，
解得
49
n
；
（3）由题意得，第n 个图形竖放小棒根数为
2
1
2
n
n
，
2
1
2
n
kn
n
解得
3
2
n
k
．
17．【观察思考】
如图，这是由正六边形组成的一系列图案，其中第1 个图案有4 个正六边形；第2 个图案有7 个正六边形；
第3 个图案有10 个正六边形；第4 个图案有13 个正六边形……
【规律发现】
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（1）第5 个图案有__________个正六边形．
（2）第n （n 是正整数）个图案有__________个正六边形．（用含n 的式子表示）
【规律应用】
（3）若小明在摆某一个图案时用到了2026 个正六边形，请你通过计算判断小明摆的是第几个图案．
【答案】（1）16；（2）
3
1
n
；（3）第675 个
【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据题意得出正六边形个数变化的规律是解题的
关键；
（1）根据所给图形，依次求出图形中正六边形的个数，发现规律即可解决问题；
（2）结合（1）中发现的规律即可解决问题；
（3）结合上面发现的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）由所给图形可知，
第1 个图案中正六边形的个数为：4
1 3 1
；
第2 个图案中正六边形的个数为：7
2
3
1
；
第3 个图案中正六边形的个数为：10 = 3 × 3 + 1；
，
所以第n 个图案中正六边形的个数为3
1
n ．
当𝑛= 5时，
3
1
3 5 1
16
n
，
即第5 个图案中正六边形的个数为16．
故答案为：16；
（2）由（1）知，
第n 个图案中正六边形的个数为3
1
n ．
故答案为：(3
1)
n
；
（3）由3
1
2026
n
得，
675
n
，
所以小明摆的是第675 个图案．
18．【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题．
(1)探究一：点阵等式规律
观察下面的点阵（图1）和相应的等式：
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①
2
1
1
；
②
2
1 3
2
；
③
2
1 3
5
3
；
④
2
1 3
5
7
4
；…
①填空：1 3
5
7
9
（ ）2；
②猜想：
1 3
5
2
1
n
（ ）2（n 是正整数）．
(2)探究二：平面密铺规律
如图2 ，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为1
块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有6 块正方形、6 块正三角形；第二层有6 块正
方形、18块正三角形；以此类推．
①第3层中分别含有________块正方形和________块正三角形；
②第n 层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含n 的代数式表示）．
(3)【应用拓展】
某市打算在一个新建广场中央，采用如图2 的样式铺设地面，现有1块正六边形地砖和60 块正方形地砖，若
正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计
算过程．
【答案】(1)①5；②n
(2)①6，30；②
6, 12
6
n
(3)还需要600 块正三角形地砖
【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果；
（2）观察可知，每一层均有6 块正方形，后一层比前一层多12 块正三角形，据此进行求解即可；
（3）根据（2）中规律进行作答即可.
【详解】（1）解：①
2
1
1
；
②
2
1 3
2
；
③
2
1 3
5
3
；
④
2
1 3
5
7
4
；
…，
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∴
2
1 3
5
7
9
5
；
2
1 3
5
2
1
n
n
；
（2）解：观察可知，每一层均有6 块正方形，后一层比前一层多12 块正三角形，
∴①第3层中分别含有6 块正方形和18 + 12 = 30块正三角形；
②第n 层中分别含有6 块正方形和
6 12
1
12
6
n
n
块正三角形；
（3）解：铺设这样的图案，还需要600 块正三角形地板砖．理由如下：
60
6
10
（层），
60
块正方形地板砖可以铺设这样的图案10 层；
∵铺设n 层需要正三角形地板砖的数量为：
2
6[1 3
5
(2
1)]
6
n
n
，
∴当
10
n
时，
2
6 10
600
．
故铺设这样的图案，还需要600 块正三角形地板砖．
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