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决胜2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(51)
(圆锥曲线的综合问题)
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知双曲线
的一条渐近线过点
，且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在双曲线
的一条渐近线
上， 故可得
；
因为抛物线
的准线为
，故
，
又
；解得
，
故双曲线方程为：
.
故选：D.
2.（江苏省常州市联盟学校2024 届高三上学期12 月学情调研数学试题）设
为坐标原点，
为椭圆
的焦点，点
在
上，
，则
（ ）
A.
B. 0
C.
D.
【答案】C
【解析】如下图所示：
1
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不妨设
，根据椭圆定义可得
，
；
由余弦定理可知
；
又因为
，所以
，又
，
即可得
，解得
；
又
，即
；
所以可得
；
故选：C
3.过抛物线
焦点F 的直线，与抛物线交于A、B 两点，设
，
，则
（
）
A．-4
B．4
C．4
D．-4
【答案】A
【解析】设直线
的方程为
，设
，联立
，消去化为
，所以
，所以
，所以
，
故选：A.
2
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4.(江苏省盐城中学等四校联考2024 届高三上学期12 月阶段检测数学试题)已知椭圆
和双曲线
的公共焦点为
，在第一象限内的交点为
，则
（ ）
A. -4
B. -6
C. -8
D. -9
【答案】B
【解析】已知椭圆
和双曲线
的公共焦点为
，在第一象限内的交点为
，
由椭圆和双曲线的定义，有
，解得
，
由椭圆方程
，得
，
.
故选：B.
5.（2023·广东广州·高三三校（铁一、广外、广大附中）11 月期中联考）双曲线E：
的一条渐
近线与圆
相交于
若
的面积为2，则双曲线
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】双曲线
的一条渐近线：
，
与圆
相交于
两点，圆的圆心
，半径为2，
圆心到直线的距离为：
，弦长|
可得：
，
整理得：
，即
，
3
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解得双曲线
的离心率为
．
故选：C．
6.(北京朝阳区六校联考2024 届高三12 月阶段性诊断数学试题)某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制
作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板
（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形
卷后为圆柱
的侧面．为准确画出裁
剪曲线，建立如图所示的以
为坐标原点的平面直角坐标系，设
为裁剪曲线上的点，作
轴，垂足为
．图乙中线段
卷后形成的圆弧
（图甲），通过同学们的计算发现
与
之间满足关
系式
，现在另外一个纸板上画出曲线
，如图丙所
示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】函数
的最小正周期为
，
所以相应圆柱的底面圆的周长为
，故其直径为4，
故根据题意可知该椭圆的短轴长为
，即
；
又
的最大值为2，
故椭圆的长轴长为
，故
，
4
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故椭圆的离心率为
，
故选：B
7.（山东2024 届高三12 月全省大联考数学试题）已知双曲线
的右焦点到其一条渐近
线的距离等于
，抛物线
的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M 到直线
和
的距离之和的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】双曲线
的渐近线
，右焦点
，
依题意，
，解得
，因此抛物线的焦点为
，方程为
，其准线为
，
由
消去x 并整理得：
，
，即直线
与抛物线
相
离，
过点F 作
于点P，交抛物线于点M，过M 作
于点Q，交直线
于点N，
则有
，
在抛物线
上任取点
，过
作
于点
，作
于点
，交准线于点
，连
，如图，
5
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显然
，当且仅当点
与点
重合时取等号，
所以抛物线上一动点M 到直线
和
的距离之和的最小值为
.
故选：D
8.设F 为椭圆
的右焦点，过点
的直线与椭圆C 交于
两点,设直线
的斜率分
别为
，
，则
为（ ）
A．-1
B．1
C．4
D．-4
【答案】B
【解析】设
，设直线
，代入椭圆方程可得：
.
所以
.故
.又
均不为0，故
，即
为定值
故选：B.
6
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二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.（湘豫名校联考2024 届高三上学期一轮复习诊断考试数学试题）双曲线
的一
条渐近线方程为
，半焦距为
，则下列论述错误的是（ ）
A. 双曲线
的离心率为3
B. 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为
C. 直线
与双曲线
有两个不同的交点
D. 过点
有两条直线与双曲线
相切
【答案】ABD
【解析】由题易得
，所以
错误；
顶点到渐近线的距离为
与焦点到渐近线的距离
，距离之比为
，B 错误；
因为直线
与渐近线
平行，所以直线
与双曲线
的左支仅有1 个交点，与右支
没有交点.又直线
与直线
都过点
，
且直线
的倾斜角比直线
的倾斜角小，直线
与双曲线
有两个不同的交点，
正
确；
因为
，所以点
位于双曲线
右支的右侧位置，显然过点
的直线
不可能与双曲线
相切，D 错误.
故选:ABD.
10.（湖北省部分学校2024 届高三上学期12 月联考数学试题）在椭圆
中，
为
椭圆
的右焦点，
为椭圆
的左顶点，
为椭圆
短轴上的顶点，若椭圆
的离心率为
，则（
）
A.
B.
C.
大于
D.
7
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【答案】ACD
【解析】因为
，则
，
所以
，即
，
所以
，
，
.
因为
，所以
，即
大于
.
故选：ACD
11.（2023 春·河北衡水·高三衡水中学期初检测）圆
与双曲线
交于
，
，
，
四点，则（ ）
A.
的取值范围是
B. 若
，矩形
的面积为
C. 若
，矩形
的对角线所在直线是
的渐近线
D. 存在
，使四边形
为正方形
【答案】BD
【解析】双曲线
的顶点坐标为
，渐近线方程为
，
因为圆
与双曲线
交于
，
，
，
四点，
所以
，故A 错误；
8
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当
时圆
，由
，解得
，
所以
或
或
或
，
不妨令
，
，
，
，
所以
，
，所以
，
则
，所以
，故不是双曲线的渐近线，即B 正确，C 错误；
若四边形
为正方形，不妨设
为第一象限内的交点，设
，
，
则
且
，解得
，所以
，
所以当
时，使四边形
为正方形，故D 正确；
故选：BD
12.过抛物线
的焦点
的直线交抛物线
于
两点（点
在第一象限），
为
线段
的中点.若
，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线
的准线方程为
B. 过
两点作抛物线的切线，两切线交于点
，则点
在以
为直径的圆上
C. 若
为坐标原点，则
D. 若过点
且与直线垂直的直线
交抛物线于
，
两点，则
【答案】BD
9
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【解析】对于A：由已知设过点
的直线方程为
，
，
联立方程
，消去
得
，
可得
，
又因为
，所以
，
则
，解得
,
所以抛物线方程为
，准线方程为
，A 错误；
对于B：抛物线
，即
，
，
易得
，
所以
，
故直线
垂直，所以点
在以
为直径的圆上，B 正确；
对于C：由A 项知，抛物线
，直线的方程为
，
，
联立方程
，消去
得
，
10
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可得
，
，
，
解得
，
所以
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，C 错误；
对于D：由C 选项知
，
，
因为直线垂直于直线
，
所以
则
，D 正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.（江苏省八市2023 届高三下学期第二次调研测试数学试题）已知点
在抛物线
上，过
作
的准线的垂线，垂足为
，点
为
的焦点．若
，点
的横坐标为，则
_______.
【答案】
【解析】如下图所示：
11
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不妨设点
在第一象限，联立
可得
，即点
易知
轴，则
轴，则
，
所以，直线
的倾斜角为
，易知点
，
所以，
，整理可得
，且有
，故
，
等式
两边平方可得
，即
，
解得
（6 舍去）
故答案为：
.
14.已知椭圆
，直线
与椭圆
交于
，
两点，且
的最大值为
，则椭圆
的方程为________．
【答案】
【解析】设
，
，联立直线
与椭圆方程得
，
12
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消去y 得
，又
，
是这个方程的两个实根，
所以
，由弦长公式得
，
所以当
时，
取到最大值，即
，解得
．
所以椭圆C 的方程为
．
故答案为：
15. （2023 秋· 湖北· 高三部分重点中学第一次联考）已知圆
与双曲线
，若在双曲线
上存在一点
，使得过点
所作的圆
的两条切线，切点
为
、
，且
，则双曲线
的离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】连接
、
、
，则
，
，
13
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由切线长定理可知，
，
又因为
，
，所以，
，
所以，
，则
，
设点
，则
，且
，
所以，
，
所以，
，故
，
故答案为：
16.（湖南省长沙市长郡中学2024 届高三上学期月考）已知椭圆
的左右焦点分
､
别为
，离心率为，点
在椭圆上，连接
并延长交
于点
，连接
，若存在点
使
成立，则
的取值范围为___________.
【答案】
14
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【解析】
设
，则
.显然当
靠近右顶点时，
，
所以存在点
使
等价于
，
在
中由余弦定理得
，
即
，解得
，
同理可得
，所以
，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
由
得
，所以
.
故答案为：
15
