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2022 届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(51)
（圆锥曲线的综合问题（2）最值、范围问题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知
，
是椭圆
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为（
）
A．13
B．12
C．9
D．6
【答案】C
【解析】
，
是椭圆
的两个焦点，点
在
上，
，
所以
，当且仅当
时，取等号，
所以
的最大值为9． 故选:C．
2.斜率为
的直线与抛物线
交于
，
两点，若
，则
的取值范围
（ ）是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】斜率为
的直线设为
，
联立
，消去化简整理得
．
由△
得，
．
因为
，所以
，即
．
而
，即
，解得
．
代入
得到，
或
． 故选:A．
3.已知点
，
分别为圆
和椭圆
上的点，则
，
两点间的最大距
离是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【解析】依题意可知圆心
，半径是
.
设椭圆
上的点
，
此时
点到圆上的点的最大距离为
，即
，
由
，得
，即
所以
的最大值为9，即
，
两点间的最大距离是9. 故选：D
4.已知
分别是双曲线
的左、右焦点，点
是该双曲线上一点且在第一
象限内，
，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】在
中，由正弦定理知，
，
，
由双曲线的定义知，
，即
,又
, 故选：B
5.在等腰梯形
中，
且
，其中
，以
为
焦点且过点
的双曲线的离心率为
，以
为焦点且过点
的椭圆的离心率为
，若对任意
，不等式
恒成立，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．2 D．
【答案】B
【解析】在等腰梯形ABCD 中，
＝
－
＝
,
由双曲线的定义可得
,
由椭圆的定义可得
,
则
＝
．
令
在
上单调递减，
所以
，故选：B．
6.直线l 过抛物线
的焦点且与抛物线交于A，B 两点，则
的最小值是
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】B
【解析】由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l 过抛物线
的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知
所以
因为
为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
，此时
故选:B
7.已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，
，点
是两曲线在第一象限的交点，且
在
上的投影等于
，
，
分别是椭圆
和双曲线
的离心率，则
的最小值是（ ）
A．
B．6
C．8
D．
【答案】C
【解析】如图，设半焦距为
．∵点
是两曲线在第一象限的交点，且
在
上
的投影等于
，∴PF1⊥PF2．设
，
，则
，
．∴
＝
﹣
．在
中，
由勾股定理可得：
.
∴
．两边同除以c2，得2＝
，
所以
，
当
即
时取等号，因此9e1
2+e2
2的最小值是8．故选：C.
8.已知
､
分别为椭圆
：
的左､右顶点，
为椭圆
上一动点，
，
与直线
交于
，
两点，
与
的外接圆的周长分别为
，
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知得
、
，设椭圆
上动点
，
则利用两点连线的斜率公式可知
，
，
设直线
方程为
，则直线
方程为
，根据对称性设
，
令
得
，
，即
，
，则
设
与
的外接圆的半径分别为
，
，
由正弦定理得
，
，
又
，
，当且仅当
，即
时，等
号成立，即
的最小值为
, 故选:A
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求,全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.若双曲线
的实轴长为6，焦距为10，右焦点为
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
的渐近线上的点到
距离的最小值为4B．
的离心率为
C．
上的点到
距离的最小值为2
D．过
的最短的弦长为
【答案】AC
【解析】由题意知，
，即
，因为
，所以
，
解得
，所以右焦点为
为
，双曲线
的渐近线方程为
，
对于选项A：由点
向双曲线
的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为
的渐近线上的点到
距
离的最小值，由点到直线的距离公式可得，
，
故选项A 正确；
对于选项B：因为
，所以双曲线
的离心率为
，故选项B 错误；
对于选项C：当双曲线
上的点为其右顶点
时，此时双曲线
上的点到
的距离最小为
，
故选项C 正确；
对于选项D：过点
且斜率为零的直线与双曲线的交点为
，此时为过点
的最
短弦为
，故选项D 错误.故选：AC
10.已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线交椭圆于
，
两点，若
的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．当
最大时，
C．离心率为
D．
的最小值为3
【答案】ABC
【解析】由题意可得：
，
因为
的最大值为5，则
的最小值为3，故
正确；
当且仅当
轴时，取得最小值，此时
，
，
代入椭圆方程可得
，又
，
所以解得
，
，
所以短轴长为
，离心率
，故
，
正确，
错误． 故选:ABC．
11.已知曲线C 的方程为
，
，点P 是C 上的动
点，直线
与直线
交于点M，直线
与直线
交于点N，则
的面积可能为（
）
A．73
B．76
C．68
D．72
【答案】ABD
【解析】设
，则
．
设
，则
，直线
的方程为
，则点M 的坐标为
，
直线
的方程为
，则点N 的坐标为
．所以
，
当且仅当
，即
时等号成立．
从而
面积的最小值为
. 故选：ABD．
12.已知抛物线
：
的准线经过点
，过
的焦点
作两条互相垂直的
直线
，
，直线
与
交于
，
两点，直线
与
交于
，
两点，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
的最小值为16
C．四边形
的面积的最小值为64
D．若直线
的斜率为2，则
【答案】ABD
【解析】由题可知
，所以
，故A 正确.
设直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
.设
，
，
，
，直线
：
，直线
：
.联立
，消去
整理得
，所以
，
.所以
.
同理
，
从而
，当且仅当
时等号成立，故B 正确.
因为
，
当且仅当
时等号成立，故C 错误.
，将
，
与
，
代入上式，得
，所以
，
故D 正确. 故选：ABD．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.已知
分别是椭圆
的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点
,使得
的面积为
，则椭圆
的离心率的取值范围是____________
【答案】
【解析】由题知a=2,b=
设椭圆的右顶点为A(
,0),
的面积为
,
∴
的面积的最大值时为
>
<3, ∴
, ∴
, 故答案为:
14.已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，且
，直线
经过
的焦点．则
________，若
为
上的一个动点，设点
的坐标为
，则
的
最小值为________．
【答案】
【解析】由题意知，直线
，即
．
直线经过抛物线
的焦点，
，即
．
直线的方程为
．
设
、
，联立
，消去
整理可得
，
由韦达定理得
，
又
，
，则
，
抛物线
．
设
，由题意知
，
则
，
当
时，
取得最小值
，
的最小值为
． 故答案为:
；
。
15.已知双曲线C：
（
，
）的渐近线方程为
，若动点P 在C 的右
支上，
，
分别为C 的左，右焦点，
的最小值是2a（其中O 为坐标原点），则
的最小值为______________
【答案】8
【解析】依题意知：
， 解得
，
，
设
（
），则
，
所以
，（当
即
时取等号），
即
的最小值为8. 故答案为:8
16.点
、
分别为椭圆
的左、右顶点，直线
与椭圆相交于
、
两点，
记直线
、
的斜率分别为
、
，则
的最小值为______________
【答案】
【解析】设点
、
，
联立
，消去
并整理得
，
由韦达定理可得
，
，
设直线
的斜率为
，则
，
，
所以，
，
，
而
，
因此，
，
当且仅当
时，等号成立，因此，
的最小值为
. 故答案为:
