《2026初高衔接》[第九讲]——函数单调性与奇偶性_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
函数单调性
掌握定义法证明单调性，熟练高中
单调性的数学化语言
逻辑推理、直观想象
函数奇偶性
快速判断函数奇偶性，结合性质求
解不等式、参数等
数学抽象、逻辑推理
一函数单调性的认识与应用
我们知道，画出某一函数的图象，通过观察和分析图象特征，可以得到该函数的一些简单性质．观察函数
f(x) = x2的图象，请你说说它们自变量与因变量之间的变化趋势．
观察上面的函数图可知：
图象在x ∈-∞,

0

上y 随x 的增大而减小，我们称为单调递减．
在x ∈0,

+∞

上y 随x 的增大而增大．我们称为单调递增
单调性
上述这样y 随x 的变化而变化的性质描述在初中阶之为函数的增减性，高中称之为函数的单调性．
对于能够刻画出图象的函数，我们可以从图上直观的读出其增减性的变化，得到其单调区间．
某一函数在某一单调性下拥有多个单调区间，则这些区间只能用“，”隔开，不能用“∪”连接．
单调区间的特性
1 (★☆☆☆☆) 如图是函数y = f(x) 的图象，请根据图象完成下列问题：
函数f(x) 的单调增区间是：
函数f(x) 的单调减区间是：
1
(★☆☆☆☆)如图是函数y = f(x) 的图象，则函数f(x) 的单调递减区间是
(
)
A. (-1，0)
B. (1，+∞)
C. (-1，0) ∪(1，+∞)
D. (-1，0)，(1，+∞)
O
x
y
x
y
7
2
-1
-3
1
5
x
y
-1
-2
1
2
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2
(★☆☆☆☆)函数f(x) = 3x - 1 单调递增区间为
(
)
A. (-∞，0)
B. (-∞，-1)
C. R
D. (-1，+∞)
3
(★☆☆☆☆) y = x2+ 10 的单调增区间为
(
)
A. (-∞，0)
B. (0，+∞)
C. (-∞，+∞)
D. (10，+∞)
当我们把初中的特例函数推广到一般的函数时，我们很难刻画出复杂的函数在连续情况下的图象，此时无
法通过图象特点来研究函数性质．由此我们需要借助代数运算符号语言


刻画这种性质．显然刚刚这种增大而
减小，或增大而增大是一个比较大小的概念．那我们如何刻画f(x) = x2在-∞,0


的单调性呢？
2 (★★★☆☆) 结合图象，利用数学符号语言证明：f(x) = x2在-∞,0


上单调递减．
函数单调性
设任意①实数x1、x2 ∈[a,b], 且满足x1 < x2．若有：
①f(x1) −f(x2) < 0 称函数f(x) 在[a,b] 上是增函数，或f(x) 在[a,b] 上单调递增；
②f(x1) −f(x2) > 0 称函数f(x) 在[a,b] 上是减函数，或f(x) 在[a,b] 上单调递减．
f(x1)
x1
x2
f(x2)
x
y
f(x1)
x1
x2
f(x2)
x
y
若一个函数在定义区间[a,b] 上有唯一的单调性，且A,B ∈[a,b], 则：
f(x) 在[a,b] 上单增f(A) > f(B)A > B，即：自变量大(小)，函数值也大(小)，二者同步变化；
f(x) 在[a,b] 上单减f(A) > f(B)A < B, 即：自变量大(小)，函数值反而小(大), 二者逆向变化．
抽象不等式与单调性的关系
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
为什么要加任
意呢？
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
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4 (★☆☆☆☆)下列函数中，在区间(0，+∞) 上是减函数的是
(
)
A. y = 3x + 2
B. y = 5x
C. y = 1 - x2
D. y =- 1
x
5
(★☆☆☆☆)若函数f(x) = (m - 1)x + 1 在R 上是增函数，则f(m) 与f(1) 的大小关系是
(
)
A. f(m) < f(1)
B. f(m) > f(1)
C. f(m) ≤f(1)
D. f(m) ≥f(1)
6
(★★☆☆☆)若函数y = f(x) 在R 上单调递减，且f(2m - 3) > f(-m)，则m 的取值范围是
(
)
A. (-∞，-1)
B. (-1，+∞)
C. (1，+∞)
D. (-∞，1)
7
(★★☆☆☆)函数f(x) 定义在[-4，4] 上的减函数，且f(a + 1) > f(2a)，则a 的范围是
(
)
A. [-4，1)
B. (1，4]
C. (1，2]
D. [-5，2]
8
(★★☆☆☆)函数f(x) 对于任意x ∈R，恒有f(x) < f x+ 1
2


，那么
(
)
A. 可能存在单调区间
B. f(x) 是R 上的增函数
C. 不可能有单调区间
D. 一定有单调区间
9
(多选•★★☆☆☆)设函数f(x)，g(x) 的定义域都为R，且f(x) > 0，g(x) > 0，f(x) 是减函数，g(x)
是增函数，则下列说法错误的有
(
)
A. g(x) + f(x) 是增函数
B. f(x) - g(x) 是减函数
C. f(x)g(x) 是增函数
D. f(x)
g(x) 是减函数
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10 (多选•★★★★☆)已知定义在(0，+∞) 上的函数f(x) 满足下列条件：①f(xy) = xf(y) + yf(x)；②当
x > 1 时，f(x) < 0．则
(
)
A. f(1) = 0
B. f 1
x


= f(x)
C. 当x > 1 时，f(x2) < 2f(x)
D. f(x) 在(1，+∞) 上单调递减
11 (★★☆☆☆)已知函数f(x) 满足f(3x + 1) = 3x，函数g(x) = 1
x - f(x)．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 用单调性的定义证明g(x) 在(1，+∞) 上单调递减；
(3) 求g(x) 在[2，4] 上的值域．
12 (原创•★★★☆☆)已知函数f(x) = x3．
(1) 证明：函数f(x) 在R 上单调递增；
(2) ∀t ∈R，f(mt2+ 1) > f(mt - 1) 恒成立，求m 的范围．
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13 (★★★★☆)已知定义在R 上的函数h(x) 满足：①h(1) = 2；②∀x，y ∈R，均有h(x) - h(x - y) =
2y(2x - y)．已知函数g(x) = ax - 2，且g(1) = h(1)．
(1) 求h(0)，以及函数h(x) 和g(x) 的解析式；
(2) 若f(x) = g(x)+2
2h(x)+8 ，
(i) 判断函数f(x) 在区间( 2，+∞) 上的单调性，并用定义法证明；
(ii) 已知0 < x1< x2，且f(x1) = f(x2)，证明：x1 + x2 > 2 2．
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二函数奇偶性的认识与应用
前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质．下
面我们将继续研究函数的其他性质．画出并观察函数f(x) = x2，g(x) = 1
x 的图象，你能发现这两个函数图象
除了单调性以外还有什么特征吗？这些特征如何用符号语言进行描述？
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
x1
x2
g(x1)
g(x2)
x
y
由图象可以发现(区间D 为函数定义域)：
①
函数f(x) = x2的定义域为x ∈-∞,+∞


, 函数g(x) = 1
x 的定义域为x ∈-∞,0


∪0,+∞


由此可知：
两个函数的定义域都关于原点对称．
②函数f(x) = x2的图象关于y 轴对称．类比单调性的符号语言，我们可以得到：
两个关于y 轴对称的点(x1,f(x1)) 与(x2,f(x2)) 满足：
x1+x2=0
f(x1)= f(x2)

消元

f(x1) = f(-x1)
整个函数图象都关于y 轴对称，即函数图象上所有的点都关于y 轴对称，则有：∀x ∈D，f(-x) = f(x)
③函数g(x) = 1
x 的图象关于原点对称．我们可以得到：
两个关于原点对称的点(x1,g(x1)) 与(x2,g(x2)) 满足：
x1+x2=0
g(x1)+g(x2)=0

消元

g(-x1) =-g(x1)
整个函数图象都关于原点对称，即函数图象上所有点都关于原点对称，则有：∀x ∈D，g(-x) =-g(x)
奇偶性
一般的，设函数y = f(x) 的定义域为D，若D 内的任意一个x，都有f(-x) =-f(x)，则称这个函数为奇函
数．若D 内的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，则称这个函数为偶函数。如果函数f(x) 是奇函数或偶函数，那
么我们就说函数f(x) 具有奇偶性．
若一个函数y = f(x) 具备奇偶性，则函数y = f(x) 的图象有如下对称特点：
奇函数
偶函数
前
提
函数的定义域关于原点对称
图
示
x
y
x
y
对称性
图象关于原点对称
图象关于y 轴对称
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若函数y = f(x) 的定义域为D，且函数y = f(x) 具备奇偶性，则函数y = f(x) 需满足：
①函数f(x) 的定义域关于原点对称．即D = a,b


或D = -∞,a


∪b,+∞


, 则有：a + b = 0
②函数f(x) 为偶函数，则有：f(-x) = f(x)；函数f(x) 为奇函数，则有：f(-x) + f(x) = 0.
③若奇函数y = f(x) 在x = 0 处有定义，则有：f(0) = 0.(奇函数定义与函数定义自洽所产生的结论)
④偶函数y = f(x) 为偶函数，则有对任意的x，都有：f(x) = f( x


)
奇偶函数的要点汇总
3 (★★☆☆☆)完成下列问题：
1


请判断函数f(x) =
x
1+x2 的奇偶性．
2


函数f(x) = |x-2|-a
4-x2
是奇函数，求f a
2


2


已知定义R 上的奇函数f(x)，当x ≥0 时，f(x) = x2 + x．求函数f(x) 的解析式．
14 (★☆☆☆☆)判断下列函数的奇偶性.
(1) f(x) = |x|(x2 + 1)
(2) f(x) =
x + 1
x
(3) f(x) = 2x3- 3x
(4) f(x) =
1
x2+1
(5) f(x) =
x-1 +
1-x
(6) f(x) =
1-x2 +
x2-1
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15 (★☆☆☆☆)设f(x) 是R 上偶函数, ∀x1, x2∈R x1≠x2


,“f(x1) = f(x2)”是“x1+ x2= 0”的(
)
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 不充分也不必要条件
16 (★☆☆☆☆)函数f(t) = a - 2
t 为奇函数，则a =
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
17 (★★☆☆☆) f(x) 是R 上的奇函数，当x > 0 时，f(x) = 2x - a
x ，且f(2) + f(0) = 1，a =
(
)
A. - 3
B. - 6
C. 6
D. 3
18 (★★☆☆☆) f(x) 是R 上的偶函数，当x ≤0 时，f(x) = 3x2+ 2x - 1，则当x > 0 时，f(x) =
(
)
A. - 3x2+ 2x - 1
B. - 3x2- 2x - 1
C. 3x2+ 2x - 1
D. 3x2- 2x - 1
19 (★★★☆☆)函数f(x) 为R 上的奇函数，正数m，n m≠

1
n -1

满足f(2m) + f 1
n -1


= 0，则1
m
+ n 的最小值为
(
)
A. 3
B. 4 2
C. 2 + 2 2
D. 3 + 2 2
20 (★★★☆☆)函数f(x) 在[0，+∞) 上单调递增，且为R 上的偶函数，则不等式f(2x - 1) ≤f(1) 的解
集为
(
)
A. [-2，2]
B. [-1，2]
C. [-1，1]
D. [0，1]
21 (★★★☆☆)设函数f(x) 为奇函数，且当x ≥0 时，f(x) 在[0，+∞) 上为增函数，则不等式f(2x -
1) + f(x - 2) > 0 的解集为
(
)
A. (-∞，1)
B.
-∞，1
3


C.
1
3 ，+∞


D. (1，+∞)
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22 (★★★☆☆)函数f(x) = ax-b
9-x2 是定义在(-3，3) 上的奇函数，且f(1) = 1
4 ．
(1) 确定f(x) 的解析式；
(2) 证明f(x) 在(-3，3) 上的单调性；
(3) 解关于t 的不等式f(t - 1) + f(t) < 0．
23 (★★★☆☆)函数f(x) = ax2+bx+c
1+x2
(a，b，c ∈R) 是定义在R 上偶函数，且f(1) = 0，f(0) =-2．
(1) 求实数a，b，c 的值；
(2) 判断f(x) 在区间[0，+∞) 上的单调性，并用定义证明；
(3) 已知f(3x) ≤f(x + 2)，求实数x 的取值范围．
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1 (★☆☆☆☆)下列四个函数中，在(0，+∞) 上为增函数的是
(
)
A. f(x) = 3 - x
B. f(x) = x2- 3x
C. f(x) = 1
x
D. f(x) = |x|
2 (★☆☆☆☆)“f(0) = 0”是“函数f(x) 是定义在R 上的奇函数”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3 (★★☆☆☆) f(x) 为R 上的奇函数，若a，b a≠b

-1

满足f(a) + f(b - 1) = 0，则a + b =
(
)
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
4 (多选•★★☆☆☆)设函数f(x) 在R 上为增函数，则下列结论错误的是
(
)
A. y =
1
f(x) 在R 上为减函数
B. y = |f(x)| 在R 上为增函数
C. y =-
1
f(x) 在R 上为增函数
D. y =-f(x) 在R 上为减函数
5 (★★☆☆☆)函数f(x) =
2-x2
x
图象关于
(
)
A. x 轴对称
B. 原点对称
C. y 轴对称
D. 直线y = x 对称
6 (★★★★☆) f(x) 是偶函数，且f(x) 在[0，+∞) 上是增函数，如果f(ax + 1) ≤f(x - 2) 在x ∈
1
2 ,1




上恒成立，则a 的取值范围是
(
)
A. [-2，1]
B. [-5，0]
C. [-5，1]
D. [-2，0]
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7 (★★☆☆☆)函数f(x) 满足：当x ≤0 时，f(x) = x2 + 2x．图象如图所示．请解答下列问题：
(1)若函数f(x) 是奇函数，求出解析式，补全函数图象，并根据图象求不等式f(x) ≥0 解集；
(2)若函数f(x) 是偶函数，求出解析式，补全函数图象，并根据图象求不等式f(x) ≥0 解集．
4
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
4
3
2
1
x
y
4
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
4
3
2
1
x
y
8 (★★★☆☆)已知函数f(x) = 1-ax2
1+x2 + bx3(a ≠-1) 是偶函数．
(1) 求b；
(2) 判断f(x) 在(0，+∞) 上的单调性，并说明理由；
(3) 若x ∈[2，3]，|f(x)| ≤1
2 ，求a 的取值范围．