《2026初高衔接》[第九讲]——函数单调性与奇偶性_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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9
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
函数单调性
掌握定义法证明单调性，熟练高中
单调性的数学化语言
逻辑推理、直观想象
函数奇偶性
快速判断函数奇偶性，结合性质求
解不等式、参数等
数学抽象、逻辑推理
一函数单调性的认识与应用
我们知道，画出某一函数的图象，通过观察和分析图象特征，可以得到该函数的一些简单性质．观察函数
f(x) = x2的图象，请你说说它们自变量与因变量之间的变化趋势．
观察上面的函数图可知：
图象在x ∈-∞,

0

上y 随x 的增大而减小，我们称为单调递减．
在x ∈0,

+∞

上y 随x 的增大而增大．我们称为单调递增
单调性
上述这样y 随x 的变化而变化的性质描述在初中阶之为函数的增减性，高中称之为函数的单调性．
对于能够刻画出图象的函数，我们可以从图上直观的读出其增减性的变化，得到其单调区间．
某一函数在某一单调性下拥有多个单调区间，则这些区间只能用“，”隔开，不能用“∪”连接．
单调区间的特性
1 (★☆☆☆☆) 如图是函数y = f(x) 的图象，请根据图象完成下列问题：
函数f(x) 的单调增区间是：
-3,-1


, 1, 7
2


函数f(x) 的单调减区间是：
-1,1)

,
7
2 ,5


1
(★☆☆☆☆)如图是函数y = f(x) 的图象，则函数f(x) 的单调递减区间是
( D )
A. (-1，0)
B. (1，+∞)
C. (-1，0) ∪(1，+∞)
D. (-1，0)，(1，+∞)
单调递减，对应图象为下降，由图象知，函数在(-1，0)，(1，+∞) 上分别下降，选：D
O
x
y
x
y
7
2
-1
-3
1
5
x
y
-1
-2
1
2
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2
(★☆☆☆☆)函数f(x) = 3x - 1 单调递增区间为
( C )
A. (-∞，0)
B. (-∞，-1)
C. R
D. (-1，+∞)
在f(x) = 3x - 1 中，k = 3 > 0，则f(x) 在R 上为增函数，
则f(x) 的单调递增区间为R，故选：C．
3
(★☆☆☆☆) y = x2+ 10 的单调增区间为
( B )
A. (-∞，0)
B. (0，+∞)
C. (-∞，+∞)
D. (10，+∞)
根据题意，y = x2+ 10 是二次函数，其对称轴为y 轴，开口向上，
则y = x2+ 10 的单调增区间为(0，+∞)；故选：B．
当我们把初中的特例函数推广到一般的函数时，我们很难刻画出复杂的函数在连续情况下的图象，此时无
法通过图象特点来研究函数性质．由此我们需要借助代数运算符号语言


刻画这种性质．显然刚刚这种增大而
减小，或增大而增大是一个比较大小的概念．那我们如何刻画f(x) = x2在-∞,0


的单调性呢？
2 (★★★☆☆) 结合图象，利用数学符号语言证明：f(x) = x2在-∞,0


上单调递减．
∀x1，x2∈-∞,0


，内任意两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))
得f(x1) = x2
1，f(x2) = x2
2
∵f(x1) - f(x2) = x2
1 - x2
2 = (x1+ x2) (x1- x2)
当x1< x2≤0 时，x1- x2< 0，x1+ x2< 0
∴(x1+ x2) (x1- x2) > 0，即f(x1) - f(x2) > 0
故f(x1) > f(x2) 恒成立．显然自变量越大，函数值越小，图象为下降的趋势
∴函数f(x) = x2在区间(-∞,0] 上单调递减．与图象保持一致．
函数单调性
设任意①实数x1、x2 ∈[a,b], 且满足x1 < x2．若有：
①f(x1) −f(x2) < 0 称函数f(x) 在[a,b] 上是增函数，或f(x) 在[a,b] 上单调递增；
②f(x1) −f(x2) > 0 称函数f(x) 在[a,b] 上是减函数，或f(x) 在[a,b] 上单调递减．
f(x1)
x1
x2
f(x2)
x
y
f(x1)
x1
x2
f(x2)
x
y
若一个函数在定义区间[a,b] 上有唯一的单调性，且A,B ∈[a,b], 则：
f(x) 在[a,b] 上单增f(A) > f(B)A > B，即：自变量大(小)，函数值也大(小)，二者同步变化；
f(x) 在[a,b] 上单减f(A) > f(B)A < B, 即：自变量大(小)，函数值反而小(大), 二者逆向变化．
抽象不等式与单调性的关系
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
为什么要加任
意呢？
要点补注
要点补注
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4 (★☆☆☆☆)下列函数中，在区间(0，+∞) 上是减函数的是
( C )
A. y = 3x + 2
B. y = 5x
C. y = 1 - x2
D. y =- 1
x
由初中阶段的函数性质可知C 选项正确．
5
(★☆☆☆☆)若函数f(x) = (m - 1)x + 1 在R 上是增函数，则f(m) 与f(1) 的大小关系是
( B )
A. f(m) < f(1)
B. f(m) > f(1)
C. f(m) ≤f(1)
D. f(m) ≥f(1)
∵函数f(x) = (m - 1)x + 1 在R 上是增函数，
∴m - 1 > 0，解得m > 1，∴f(m) > f(1)．故选：B．
6
(★★☆☆☆)若函数y = f(x) 在R 上单调递减，且f(2m - 3) > f(-m)，则m 的取值范围是
( D )
A. (-∞，-1)
B. (-1，+∞)
C. (1，+∞)
D. (-∞，1)
因为函数y = f(x) 在R 上单调递减，且f(2m - 3) > f(-m)，所以2m - 3 <-m，解得，
m < 1，所以m 的范围(-∞，1)．故选：D．
7
(★★☆☆☆)函数f(x) 定义在[-4，4] 上的减函数，且f(a + 1) > f(2a)，则a 的范围是
( C )
A. [-4，1)
B. (1，4]
C. (1，2]
D. [-5，2]
因为函数y = f(x) 是定义在[-4，4] 上的减函数，且f(a + 1) > f(2a)，
所以-4 ≤a + 1 < 2a ≤4，解得，1 < a ≤2．故选：C．
8
(★★☆☆☆)函数f(x) 对于任意x ∈R，恒有f(x) < f x+ 1
2


，那么
( A )
A. 可能存在单调区间
B. f(x) 是R 上的增函数
C. 不可能有单调区间
D. 一定有单调区间
f(x) 对于任意x ∈R，恒有f(x) < f x+ 1
2


，则f(x) 可为取整函数，满足f(x) < f x+ 1
2


，
不是增函数，无单调区间，也可以为f(x) = x，满足f(x) < f x+ 1
2


，是增函数，其递增区间为R，则f(x) 可
能存在单调区间，也可能不存在单调区间，则A 正确，BCD 错误；故选：A．
9
(多选•★★☆☆☆)设函数f(x)，g(x) 的定义域都为R，且f(x) > 0，g(x) > 0，f(x) 是减函数，g(x)
是增函数，则下列说法错误的有
(
AC
)
A. g(x) + f(x) 是增函数
B. f(x) - g(x) 是减函数
C. f(x)g(x) 是增函数
D. f(x)
g(x) 是减函数
四个选项均采用函数单调性的证明方法．可以知道AC 错误．
D，∀x1，x2∈R，x1< x2，由g(x) 是增函数，
且g(x) > 0，得0 < g(x1) < g(x2)，则
1
g(x1) >
1
g(x2)
由f(x) > 0，f(x) 为减函数，得f(x1) > f(x2) > 0，
于是f(x1)
g(x1) > f(x2)
g(x2) ，f(x)
g(x) 是减函数，D 正确．
故选：AC．
该题是单调性的运算性质：
①增+增=增，增−减=增
②添负号、取倒数：单调性反转
③开根号：单调性不变
要点补注
要点补注
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10 (多选•★★★★☆)已知定义在(0，+∞) 上的函数f(x) 满足下列条件：①f(xy) = xf(y) + yf(x)；②当
x > 1 时，f(x) < 0．则
( ACD )
A. f(1) = 0
B. f 1
x


= f(x)
C. 当x > 1 时，f(x2) < 2f(x)
D. f(x) 在(1，+∞) 上单调递减
A，令x = y = 1，得f(1) = f(1) + f(1)，所以f(1) = 0，A 正确；
B：令y = 1
x ，得f(1) = xf 1
x


+ 1
x f(x) = 0，f 1
x


=- 1
x2 ⋅f(x)，f(x) 不恒为0，故B 错误；
C：令y = x，得f(x2) = 2xf(x)，当x > 1 时，f(x) < 0，∴2xf(x) < 2f(x)，∴f(x2) < 2f(x)，C 正确；
D 设任意x1，x2 ∈(1，+∞)，且x1 < x2，令x = x1，y = x2
x1
，则f x1⋅x2
x1


= x1 f
x2
x1


+ x2
x1
f(x1)，即f(x2) - x2
x1
f(x1) =
x1f x2
x1


，由于x2 > x1 > 1，故有x2
x1
> 1，f(x1) < 0，f x2
x1


< 0，∴f(x2) - f(x1) < f(x2) - x2
x1
f(x1) = x1f x2
x1


< 0，即f(x1)
> f(x2)，故f(x) 在(1，+∞) 上单减，D 正确．
11 (★★☆☆☆)已知函数f(x) 满足f(3x + 1) = 3x，函数g(x) = 1
x - f(x)．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 用单调性的定义证明g(x) 在(1，+∞) 上单调递减；
(3) 求g(x) 在[2，4] 上的值域．
(1)f(3x + 1) = 3x = 3x + 1 - 1，
则f(x) = x - 1；
(2) 证明：g(x) = 1
x - f(x) = 1
x - x + 1，
任取x1> x2> 1，则x2- x1< 0，1 +
1
x1x2
> 0，
g(x1) - g(x2) = 1
x1
- 1
x2
+ x2- x1= (x2- x1) 1+
1
x1x2


< 0，所以g(x1) < g(x2)，
g(x) 在(1，+∞) 上单调递减；
(3) 由(2) 得g(x) 在[2，4] 上单调递减，且g(2) =- 1
2 ，g(4) =- 11
4 ，
故函数g(x) 在[2，4] 上的值域为- 11
4 ，- 1
2




．
12 (原创•★★★☆☆)已知函数f(x) = x3．
(1) 证明：函数f(x) 在R 上单调递增；
(2) ∀t ∈R，f(mt2+ 1) > f(mt - 1) 恒成立，求m 的范围．
1


任取x1,x2∈R，且x1< x2．
f(x1) - f(x2) = x3
1- x3
2= (x1- x2) (x2
1+ x1x2+ x2
2)
由x1< x2，得x1- x2< 0．对x2
1+ x1x2+ x2
2 配方：x2
1+ x1x2+ x2
2= x1+ 1
2 x2


2
+ 3
4 x2
2
平方项恒非负，且
x1+ 1
2 x2


2
与3
4 x2
2 不可能同时为0，因此x2
1+ x1x2+ x2
2> 0．
所以(x1- x2) (x2
1+ x1x2+ x2
2) < 0，即f(x1) - f(x2) < 0，f(x1) < f(x2)．故f(x) = x3 在R 上单调递增．
2


∵f(x) 在R 上为增函数，f(mt2+ 1) > f(mt - 1)，∴mt2+ 1 > mt - 1 对∀t ∈R 恒成立，
即mt2- mt + 2 > 0 对任意的t ∈R 恒成立．
①m = 0 时，不等式化为2 > 0 恒成立，符合题意；
②m ≠0 时，有m>0
Δ=m2-8m<0

即0 < m < 8．综上，m 的取值范围为0,8


．
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13 (★★★★☆)已知定义在R 上的函数h(x) 满足：①h(1) = 2；②∀x，y ∈R，均有h(x) - h(x - y) =
2y(2x - y)．已知函数g(x) = ax - 2，且g(1) = h(1)．
(1) 求h(0)，以及函数h(x) 和g(x) 的解析式；
(2) 若f(x) = g(x)+2
2h(x)+8 ，
(i) 判断函数f(x) 在区间( 2，+∞) 上的单调性，并用定义法证明；
(ii) 已知0 < x1< x2，且f(x1) = f(x2)，证明：x1 + x2 > 2 2．
(1) 由∀x，y ∈R，均有h(x) - h(x - y) = 2y(2x - y)，h(1) = 2，
令x = y = 1，则h(1) - h(0) = 2，所以h(0) = 0，
令y = x，则h(x) - h(0) = 2x(2x - x)，所以h(x) = 2x2，
由g(1) = h(1)，得a - 2 = 2，解得a = 4，所以g(x) = 4x - 2；
(2) (ⅰ) 由(1) 得f(x) = g(x)+2
2h(x)+8 =
4x
4x2+8 =
x
x2+2
在区间( 2，+∞) 上的单调递减，
∀x1，x2 ∈( 2，+∞)，x1 < x2，
由
2 < x1 < x2，得x1x2 > 2，x2 - x1 > 0，x2
1 + 2 > 0，x2
2 + 2 > 0，
则f(x1) - f(x2) =
x1
x2
1+2 -
x2
x2
2+2 = x1(x2
2+2)-x2(x2
1+2)
(x2
1+2)(x2
2+2)
= (x1x2-2)(x2-x1)
(x2
1+2)(x2
2+2)
> 0，
因此f(x1) - f(x2) > 0，即f(x1) > f(x2)，
所以f(x) 在区间( 2，+∞) 上的单调递减．
(ⅱ) 证明：由0 < x1< x2，f(x1) = f(x2)，
得
x1
x2
1+2 =
x2
x2
2+2 ⇔x1 + 2
x1
= x2 + 2
x2
⇔(x1 - x2) 1-
2
x1x2


= 0，
则x1x2= 2，所以x1 + x2 > 2 x1x2 = 2 2．
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二函数奇偶性的认识与应用
前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质．下
面我们将继续研究函数的其他性质．画出并观察函数f(x) = x2，g(x) = 1
x 的图象，你能发现这两个函数图象
除了单调性以外还有什么特征吗？这些特征如何用符号语言进行描述？
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
x1
x2
g(x1)
g(x2)
x
y
由图象可以发现(区间D 为函数定义域)：
①
函数f(x) = x2的定义域为x ∈-∞,+∞


, 函数g(x) = 1
x 的定义域为x ∈-∞,0


∪0,+∞


由此可知：
两个函数的定义域都关于原点对称．
②函数f(x) = x2的图象关于y 轴对称．类比单调性的符号语言，我们可以得到：
两个关于y 轴对称的点(x1,f(x1)) 与(x2,f(x2)) 满足：
x1+x2=0
f(x1)= f(x2)

消元

f(x1) = f(-x1)
整个函数图象都关于y 轴对称，即函数图象上所有的点都关于y 轴对称，则有：∀x ∈D，f(-x) = f(x)
③函数g(x) = 1
x 的图象关于原点对称．我们可以得到：
两个关于原点对称的点(x1,g(x1)) 与(x2,g(x2)) 满足：
x1+x2=0
g(x1)+g(x2)=0

消元

g(-x1) =-g(x1)
整个函数图象都关于原点对称，即函数图象上所有点都关于原点对称，则有：∀x ∈D，g(-x) =-g(x)
奇偶性
一般的，设函数y = f(x) 的定义域为D，若D 内的任意一个x，都有f(-x) =-f(x)，则称这个函数为奇函
数．若D 内的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，则称这个函数为偶函数。如果函数f(x) 是奇函数或偶函数，那
么我们就说函数f(x) 具有奇偶性．
若一个函数y = f(x) 具备奇偶性，则函数y = f(x) 的图象有如下对称特点：
奇函数
偶函数
前
提
函数的定义域关于原点对称
图
示
x
y
x
y
对称性
图象关于原点对称
图象关于y 轴对称
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若函数y = f(x) 的定义域为D，且函数y = f(x) 具备奇偶性，则函数y = f(x) 需满足：
①函数f(x) 的定义域关于原点对称．即D = a,b


或D = -∞,a


∪b,+∞


, 则有：a + b = 0
②函数f(x) 为偶函数，则有：f(-x) = f(x)；函数f(x) 为奇函数，则有：f(-x) + f(x) = 0.
③若奇函数y = f(x) 在x = 0 处有定义，则有：f(0) = 0.(奇函数定义与函数定义自洽所产生的结论)
④偶函数y = f(x) 为偶函数，则有对任意的x，都有：f(x) = f( x


)
奇偶函数的要点汇总
3 (★★☆☆☆)完成下列问题：
1


请判断函数f(x) =
x
1+x2 的奇偶性．
2


函数f(x) = |x-2|-a
4-x2
是奇函数，求f a
2


①先判断定义域是否关于原点对称．
∵函数的定义域为R，定义域关于原点对称
②计算f(-x) ∵f(-x) =
-x
1+(-x)2 =-
x
1+x2 =-f(x)
∴f(x) 是奇函数
2


已知定义R 上的奇函数f(x)，当x ≥0 时，f(x) = x2 + x．求函数f(x) 的解析式．
当x < 0 时，-x > 0
f(-x) = (-x)2 + -x


= x2 - x
∵f(x) 为奇函数，∴f(x) =-f(-x) =-x2 + x
故f(x) = x2+x,
x≥0
-x2+x,
x<0

14 (★☆☆☆☆)判断下列函数的奇偶性.
(1) f(x) = |x|(x2 + 1)
(2) f(x) =
x + 1
x
1


f(x) 定义域R，关于原点对称．∵f(-x) = | -x|[(-x)2 + 1] = |x|(x2 + 1) = f(x) ∴是偶函数．
2


f(x) 定义域为{x|x > 0} 由于定义域关于原点不对称，故f(x) 既不是奇函数也不是偶函数．
(3) f(x) = 2x3- 3x
(4) f(x) =
1
x2+1
(3) 定义域R 关于原点对称．f(-x) = 2(-x)3- 3(-x) =-2x3+ 3x =-f(x) 奇函数
(4) 定义域R，关于原点对称。f(-x) =
1
(-x)2+1
=
1
x2+1 = f(x) 结论：偶函数
(5) f(x) =
x-1 +
1-x
(6) f(x) =
1-x2 +
x2-1
(5) 定义域：x-1≥0
1-x≥0

x = 1 定义域仅单点{1}，不关于原点对称，结论：非奇非偶函数
(6)f(x) =
1-x2 +
x2-1 的定义域为{1，-1}，由f(1) = 0 且f(-1) = 0，∴f(x) = 0
∴f(x) 图象既关于原点对称，又关于y 轴对称，故f(x) 既是奇又是偶函数
∵f(x) 定义域为-2,2


且f(x) 是奇函数
∴f(0) = 0，即|-2|-a
4-0
= 0，得a = 2 ∴
f(x) = |x-2|-2
4-x2
∴f a
2


= f(1) = |1-2|-2
4-12
=-
3
3
95
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15 (★☆☆☆☆)设f(x) 是R 上偶函数, ∀x1, x2∈R x1≠x2


,“f(x1) = f(x2)”是“x1+ x2= 0”的( B )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 不充分也不必要条件
f(x) 是R 上的偶函数，由x1 + x2 = 0 ⇒f(x1) = f(x2)，反之不成立，例如：f(x) = 2，x ∈
R．∴“f(x1) = f(x2)”是“x1+ x2= 0”的必要非充分条件．故选：B．
16 (★☆☆☆☆)函数f(t) = a - 2
t 为奇函数，则a =
( A )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
∵函数f(t) = a - 2
t 为奇函数，且t ∈-∞,0


∪0,+∞


，
∴f(-t) + f(t) = 0，∴a + 2
t + a - 2
t = 0 a = 0
17 (★★☆☆☆) f(x) 是R 上的奇函数，当x > 0 时，f(x) = 2x - a
x ，且f(2) + f(0) = 1，a =
( C )
A. - 3
B. - 6
C. 6
D. 3
因为f(x) 是R 上的奇函数，则f(0) = 0，当x > 0 时，f(x) = 2x - a
x ，且f(2) + f(0) = 1，
则f(2) = 4 - a
2 = 1，解得a = 6，
18 (★★☆☆☆) f(x) 是R 上的偶函数，当x ≤0 时，f(x) = 3x2+ 2x - 1，则当x > 0 时，f(x) =
( D )
A. - 3x2+ 2x - 1
B. - 3x2- 2x - 1
C. 3x2+ 2x - 1
D. 3x2- 2x - 1
根据题意，当x > 0 时，则-x < 0，则f(-x) = 3(-x)2+ 2(-x) - 1 = 3x2- 2x - 1，
又由f(x) 为偶函数，则f(x) = f(-x) = 3x2- 2x - 1．故选：D．
19 (★★★☆☆)函数f(x) 为R 上的奇函数，正数m，n m≠

1
n -1

满足f(2m) + f 1
n -1


= 0，则1
m
+ n 的最小值为
( D )
A. 3
B. 4 2
C. 2 + 2 2
D. 3 + 2 2
奇函数f (x) 在R 上单调递增，若正数m，n 满足f (2m) + f
1
n -1


= 0，即f (2m) =
-f
1
n -1


= f 1- 1
n


，所以2m = 1 - 1
n ，即2m + 1
n = 1，则1
m + n =
1
m +n


2m+ 1
n


= 3 +
1
mn +
2mn ≥3 + 2 2，当且仅当2mn =
1
mn 且2m + 1
n = 1 时取等号．故选：D．
20 (★★★☆☆)函数f(x) 在[0，+∞) 上单调递增，且为R 上的偶函数，则不等式f(2x - 1) ≤f(1) 的解
集为
( D )
A. [-2，2]
B. [-1，2]
C. [-1，1]
D. [0，1]
则f(2x - 1) ≤f(1) 可以变为f(|2x - 1|) ≤f(1)，则|2x - 1| ≤1，解得0 ≤x ≤1．
21 (★★★☆☆)设函数f(x) 为奇函数，且当x ≥0 时，f(x) 在[0，+∞) 上为增函数，则不等式f(2x -
1) + f(x - 2) > 0 的解集为
( D )
A. (-∞，1)
B.
-∞，1
3


C.
1
3 ，+∞


D. (1，+∞)
由f(x) 为奇函数，则f(x) 在区间(-∞，0] 上也为增函数，故f(x) 在R 上为增函数；f(2x
- 1) + f(x - 2) > 0 ⇒f(2x - 1) >-f(x - 2) ⇒f(2x - 1) > f(2 - x) ⇒2x - 1 > 2 - x，得x > 1
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22 (★★★☆☆)函数f(x) = ax-b
9-x2 是定义在(-3，3) 上的奇函数，且f(1) = 1
4 ．
(1) 确定f(x) 的解析式；
(2) 证明f(x) 在(-3，3) 上的单调性；
(3) 解关于t 的不等式f(t - 1) + f(t) < 0．
(1) ∵函数f(x) = ax-b
9-x2 是定义在(-3，3) 上的奇函数，则f(0) = -b
9
= 0，解可得b = 0．
又由f(1) = 1
4 ，则有f(1) = a
8 = 1
4 ，解可得a = 2，故f(x) =
2x
9-x2 ．
(2) 由(1) 的结论，f(x) =
2x
9-x2 ，设-3 < x1< x2< 3，
则f(x1) - f(x2) =
2x1
9-x2
1
-
2x2
9-x2
2
= 2x1(9-x2
2)-2x2(9-x2
1)
(9-x2
1)(9-x2
2)
= 2(9+x1x2)(x1-x2)
(9-x2
1)(9-x2
2)
，
再根据-3 < x1< x2< 3，可得9 + x1x2> 0，x1- x2< 0，9 - x2
1 > 0，9 - x2
2 > 0，
故有f(x1) - f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)，
可得函数f(x) 在(-3，3) 上为增函数．
(3) 由(1) (2) 知f(x) 为奇函数，且在(-3，3) 上为增函数，
关于t 的不等式f(t - 1) + f(t) < 0，即式f(t - 1) <-f(t) = f(-t)，
可得
-3<t-1<3
-3<-t<3
t-1<-t





，解可得：-2 < t < 1
2 ，
即不等式的解集为-2，1
2


．
23 (★★★☆☆)函数f(x) = ax2+bx+c
1+x2
(a，b，c ∈R) 是定义在R 上偶函数，且f(1) = 0，f(0) =-2．
(1) 求实数a，b，c 的值；
(2) 判断f(x) 在区间[0，+∞) 上的单调性，并用定义证明；
(3) 已知f(3x) ≤f(x + 2)，求实数x 的取值范围．
(1) 因为f(x) 是定义在R 上的偶函数，所以f(-x) = f(x)，即ax2-bx+c
1+x2
= ax2+bx+c
1+x2
，
即得2bx = 0，结合x ∈R，解得b = 0，则f(x) = ax2+c
1+x2 ，
因为f(1) = 0，f(0) =-2，所以
a+c
2
=0
c=-2

，解得a = 2，c =-2．
所以a = 2，b = 0，c =-2．
(2) 由(1) 得f(x) = 2x2-2
1+x2 ，f(x) 在区间[0，+∞) 上的单调递增，证明如下：
在[0，+∞) 上任取x1，x2，且x1< x2，所以x2
1 - x2
2 < 0，1 + x2
1 > 0，1 + x2
2 > 0，
则f(x1) - f(x2) = 2x2
1-2
1+x2
1
- 2x2
2-2
1+x2
2
= (2x2
1-2)(1+x2
2)-(2x2
2-2)(1+x2
1)
(1+x2
1)(1+x2
2)
=
4(x2
1-x2
2)
(1+x2
1)(1+x2
2) < 0，
即f(x1) < f(x2)，所以f(x) 在区间[0，+∞) 上的单调递增．
(3) 由(2) 得f(x) 在[0，+∞) 上的单调递增，且f(x) 为偶函数，
因为f(3x) ≤f(x + 2)，所以|3x| ≤|x + 2|，则9x2≤x2+ 4x + 4，整理得2x2- x - 1 ≤0
得- 1
2 ≤x ≤1，则实数x 的取值范围为- 1
2 ，1




．
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)下列四个函数中，在(0，+∞) 上为增函数的是
( D )
A. f(x) = 3 - x
B. f(x) = x2- 3x
C. f(x) = 1
x
D. f(x) = |x|
A，f(x) = 3 - x 是减函数；B，f(x) = x2 - 3x 在
3
2 ，+∞


上是增函数；C 中，f(x) =
1
x 在(-∞，0) 和(0，+∞) 上减，；D，f(x) = |x| 在(-∞，0) 上是减函数，在(0，+∞) 上是增；
2 (★☆☆☆☆)“f(0) = 0”是“函数f(x) 是定义在R 上的奇函数”的
( B )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
若f(0) = 0，函数f(x) 不一定是R 上的奇函数不是充分条件，若f(x) 是定义在R 上的奇函
数，则f(0) = 0，必要条件
3 (★★☆☆☆) f(x) 为R 上的奇函数，若a，b a≠b

-1

满足f(a) + f(b - 1) = 0，则a + b =
( C )
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
函数f(x) 为R 上的奇函数∵f(a) + f(b - 1) = 0，∴a + b - 1 = 0, ∴a + b = 1 故选：C．
4 (多选•★★☆☆☆)设函数f(x) 在R 上为增函数，则下列结论错误的是
( ABC )
A. y =
1
f(x) 在R 上为减函数
B. y = |f(x)| 在R 上为增函数
C. y =-
1
f(x) 在R 上为增函数
D. y =-f(x) 在R 上为减函数
设f(x) = x，f(x) 在R 上增函数，A，y =
1
f(x) = 1
x ，在x = 0 处没有意义，A 错误；
B，y = |f(x)| = |x| 在R 上不是增函数，B 错误；C，函数y =-
1
f(x) 在x = 0 处没有意义，C 错误；
对于D，因为函数y = f(x) 在R 上为增函数，则函数y =-f(x) 在R 上是减函数，选项D 正确．
5 (★★☆☆☆)函数f(x) =
2-x2
x
图象关于
( B )
A. x 轴对称
B. 原点对称
C. y 轴对称
D. 直线y = x 对称
定义域为{x| - 2 ≤x ≤
2 且x ≠0}，∵f(-x) =
2-x2
-x
=-f(x)，∴f(x) 奇函数
6 (★★★★☆) f(x) 是偶函数，且f(x) 在[0，+∞) 上是增函数，如果f(ax + 1) ≤f(x - 2) 在x ∈
1
2 ,1




上恒成立，则a 的取值范围是
( D )
A. [-2，1]
B. [-5，0]
C. [-5，1]
D. [-2，0]
由题意可得|ax + 1| ≤|x - 2| 对x ∈
1
2 ,1




恒成立，
得x - 2 ≤ax + 1 ≤2 - x 对x ∈
1
2 ,1




恒成立，
从而a ≥x-3
x
且a ≤1-x
x
对x ∈
1
2 ,1




恒成立，
∴a ≥-2 且a ≤0，即a ∈[-2，0]
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选择胜于努力，笃行成就未来
7 (★★☆☆☆)函数f(x) 满足：当x ≤0 时，f(x) = x2 + 2x．图象如图所示．请解答下列问题：
(1)若函数f(x) 是奇函数，求出解析式，补全函数图象，并根据图象求不等式f(x) ≥0 解集；
(2)若函数f(x) 是偶函数，求出解析式，补全函数图象，并根据图象求不等式f(x) ≥0 解集．
4
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
4
3
2
1
x
y
4
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
4
3
2
1
x
y
补全函数图象如下所示：
(1) f(x) 为奇函数时f(x) = x2+2x,
x≤0
-x2+2x,
x>0

，f(x) ≥0 的解集是：-∞,-2


∪0,2


(2) 当f(x) 为偶函数时f(x) = x2+2x,
x≤0
x2-2x,
x>0

，f(x) ≥0 解集：-∞,-2


∪2,+∞


8 (★★★☆☆)已知函数f(x) = 1-ax2
1+x2 + bx3(a ≠-1) 是偶函数．
(1) 求b；
(2) 判断f(x) 在(0，+∞) 上的单调性，并说明理由；
(3) 若x ∈[2，3]，|f(x)| ≤1
2 ，求a 的取值范围．
(1) 函数的定义域为R，f(-x) = f(x)，
即1-ax2
1+x2 - bx3 = 1-ax2
1+x2 + bx3，即b = 0；
(2) 当a >-1 时，f(x) 在(0，+∞) 单调递减，
当a <-1 时，f(x) 在(0，+∞) 单调递增，理由如下：
由(1) 得f(x) = 1-ax2
1+x2 (a ≠-1)，设0 < x1< x2，
f(x1) - f(x2) = 1-ax2
1
1+x2
1
- 1-ax2
2
1+x2
2
= x2
2-ax2
1-x2
1+ax2
2
(1+x2
1)(1+x2
2)
= (1+a)(x2
2-x2
1)
(1+x2
1)(1+x2
2) ，
因为0 < x1< x2，所以1 + x2
1 > 0，1 + x2
2 > 0，x2
2 - x2
1 > 0，
当1 + a > 0，即a >-1 时，f(x1) > f(x2)，f(x) 在(0，+∞) 单调递减，
当1 + a < 0 时，即a <-1，f(x1) < f(x2)，f(x) 在(0，+∞) 单调递增；
综上，当a >-1 时，f(x) 在(0，+∞) 单调递减，当a <-1 时，f(x) 在(0，+∞) 单调递增．
(3) 若x ∈[2，3]，|f(x)| ≤1
2 ，
由(2) 可知，不管a >-1，还是a <-1，函数都单调，所以|f(x)| 的最大值必在端点处取得，
则|f(2)| ≤1
2 且|f(3)| ≤1
2 ，即|1-4a|
5
≤1
2 ，且|1-9a|
10
≤1
2 ，
得- 3
8 ≤a ≤2
3 ，即a 的取值范围是- 3
8 ，2
3




．