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第18 讲 线段的比较与运算
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 两点之间线段最短
题型2 线段的数量问题的应用
题型3 线段的和与差
题型4 作线段（尺规作图）
题型5 线段中点的有关计算
题型6 线段n 等分点的有关计算
题型7 与线段有关的动点问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
度量法、叠合法、线段
中点、尺规作图、等分
点、数形结合。
1. 掌握比较线段长短的两种方法：度量法（用刻度尺量长度）和叠合法（放
到同一直线上比较端点位置）。
2. 理解线段中点的概念，掌握中点将线段分成两条相等的线段，能进行相关
计算和推理。
3. 能用尺规作图作一条线段等于已知线段，并作线段的和与差。
4. 体会几何图形中数量关系和位置关系的相互转化，培养逻辑思维和几何直
观。
学习重点：用度量法和叠合法比较线段长短，理解线段中点的概念及作用，能用尺规作线段的和与差。
学习难点：叠合法中“重合端点”的操作与判断，以及用线段中点进行比例计算和符号表达（如 AM
= MB =
1
2AB），尺规作图的基本操作规范。
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知识点01 尺规作图
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在
上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
【易错提醒】
尺规作图易错警示：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹。注意：直尺只能画直线，不能量长度；圆
规画弧或截取等长。作图后需写结论。基本作图（作相等线段、角、垂直平分线等）步骤要清晰，勿随意
增加刻度尺测量。
即时即练1．作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1)做射线BC ；
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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(2)取一点P，使点P 既在直线AB 上又在直线CD 上；
(3)若A、C 两点之间的距离为4，B、D 两点之间的距离为3，点M 到A，B，C，D 四点距离之和最短．画
出点M 的位置，并写出该最短距离和是___________．
知识点02 线段大小比较
1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法
2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端
点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：
【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法．
【易错提醒】
线段大小比较易错警示：可用度量法（统一单位）或叠合法（一端对齐，看另一端位置）。注意：叠合法
需考虑线段方向，比较的是长度而非位置。单位不一致时先换算。勿仅凭视觉判断（如弯曲线段）。中点
将线段分为相等两部分。
即时即练1．如图，点E 、F 在线段AB 上，点M 、N 分别是AE 、BF 的中点，
12
AB
，且
:
:
1: 2:1
AE EF FB
，那么线段MN 的长是
．
知识点03 线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点
之间的距离.
【易错提醒】
线段性质易错警示：两点之间线段最短。注意：是“线段”最短，不是直线或射线。两点间距离指线段长度，
非线段本身。比较线段长短可用度量或叠合法，勿与“直线无限延伸”混淆。中点定义需准确。
即时即练1．高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道
穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ）
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A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短
D．垂线段最短
知识点04 线段的和与差
如下图：线段AB 上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在这里线段AC、BC、AB 表示线段的长度，如AC+BC=AB 表示AC 长度与BC 长度之和等于AB 长度.
【易错提醒】
线段和差易错警示：线段的和差是长度运算，结果仍为线段。注意：作图时需截取相等长度，并用圆规或
刻度尺准确。计算时注意单位统一，如AB+BC=AC 需验证点B 是否在AC 上。勿与角度运算混淆。
即时即练1．如图，点C
E
，
是线段AB 上两点，点D 为线段AB 的中点，
6
AB
，
1
CD ．
(1)图中共有_______条线段；
(2)求BC 的长；
(3)若
13
AE EC
∶
∶，求EC 的长．
知识点05 线段的中点
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C 是线段AB 的中点，
则AC=CB= 2
1 AB，或AB=2AC=2BC．
【说明】若点C 是线段AB 的中点，则点C 一定在线段AB 上．
【易错提醒】
线段中点易错警示：中点将线段分为两条相等的线段（AM=MB=
1
2AB）。注意：点必须在线段上，且满足
等距。若只知AM=MB 而点不在线段上，则不是中点。中点公式在数轴上为 (x1+x2)/2，勿漏除以2。
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即时即练1．线段AB 上，M 为AC 的中点，N 为DB 的中点，AB
a
=
，CD
b
，MN （ ）．
A．
1
2
a +
b
B．
1
2
a
b
C．1
1
2
2
a
b
D．1
1
2
2
a
b
2．如图，A ，B ，C ，D 是直线l 上的四个点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点．
(1)如果
2cm
MB
，
1.8cm
NC
，
5cm
BC
，则AD 的长为________cm；
(2)如果
10cm
MN
，
6cm
BC =
，则AD 的长为_________cm；
(3)如果MN
a
，BC
b
，求AD 的长，并说明理由．
题型1 两点之间线段最短
【例1】如图，某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周
长要小，能正确解释这一现象的数学知识是_______________．
【例2】湘超“火”爆岳阳，“看湘超，游岳阳”成为了当下最时尚的游玩选择．外地游客小智在观看完湘超比
赛后，准备打卡岳阳楼景区和君山岛景区．导航上显示两地之间的直线距离为12 km ，但实际导航时却显示
路长为22 km ，能解释这一现象的数学知识是_____．
【技巧归纳】
最短路径问题：化曲为直，利用两点之间线段最短。如蚂蚁在几何体表面爬行，展开成平面后连接两点。
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实际中修路选最短。也可作对称点转化折线为直线。验证时，若路径为折线，则直接线段更短。结合三角
形两边之和大于第三边。常见于最短距离。
【变式1-1】如图，用直线l 表示一条公路，
,
A B 是公路l 两侧的两个村庄．现有一个公交站C 在公路l 上，
当公交站C 位于线段AB 与公路l 交点处时，它到
,
A B 两个村庄的距离之和最小，其中的原理可以用数学中
的_____这一基本事实来解释．
【变式1-2】在高速公路的建设过程中，通常要开挖隧道穿过山体，把道路取直以缩短路程，运用所学的数
学知识解释是_______．
题型2 线段的数量问题的应用
【例3】如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明
城站，则有
种不同的票价，要准备
种车票．
【例4】如图，点A ，B ，C 在直线l 上，则图中有
条线段，
条射线，有
条直线．
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【技巧归纳】
若一条直线上有n 个点（含端点），则线段总数=C(n,2)=n(n-1)/2。若只数部分区间，按端点分类计数。也
可用“基本线段”累加法：先数最短的，再数长的。注意重复计数，按从左到右顺序。如4 个点有6 条。
适用于计数题型。
【变式2-1】如图，图中有线段
条，分别是线段
；图中有射线
条，分别是射
线
、
、
、
、
．
【变式2-2】湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途10余个景点，感受大王山人
文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过7 个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音
港站两站之间往返需要安排不同的车票
种．
01山
塘站
02 欢乐
雪域站
03欢
乐城站
04 华谊电
影小镇站
05大
王山站
06 桐溪
公园站
07 植物
公园站
08学
士站
09 观
音港站
题型3 线段的和与差
【例5】如图，线段
16
AB
，点C 是线段AB 上一点，且
3
AC
BC
，点D 为线段AC 的中点，则线段
CD
．
【例6】已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C，使
2
BC
AB
，在AB 的反向延长线上取一点D，使
3
DB
AB
，则线段AC 的长度是线段DA 的长度的 倍．
【技巧归纳】
线段和：AC=AB+BC（B 在A、C 之间）。差：AB=AC-BC。利用等量代换求未知线段。若给出比例，设
x 表示。注意中点：AM=MB=AB/2。结合图形，用线段和差表示目标线段。如AB=AC+CD+DB。常设未
知数列方程。折叠问题中利用相等关系。
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【变式3-1】如图，C 、D 、E 为线段MN 上的三个点，
1
3
5
DE
MN
，线段MN 的长为
．
【变式3-2】若点A ，B ，C 在同一条直线上，如果线段
7cm
AB
，线段
4cm
BC
，那么A ，C 两点之间
距离是
．
题型4 作线段（尺规作图）
【例7】如图，已知线段
,a b a
b
，用直尺和圆规画出线段c，使它等于2a
b
．（只写出作法）
解：（1）画射线OA；
（2）在射线OA上顺次截取OB
BD
______；
（3）在线段OD 上截取OC ______，线段______即为所求．
【例8】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1)画线段AC ，BD 交于E 点；
(2)作射线BC ；
(3)反向延长BC 至F，使得
3
BF
BC
BD
．（不写作法，保留作图痕迹）
【技巧归纳】
用无刻度直尺和圆规。作线段等于已知线段：画射线，在射线上截取等长。作线段和差：依次截取或从长
线段中截取。作中点：作垂直平分线。注意保留作图痕迹，写清步骤。圆规截取长度不变。尺规作图不能
测量刻度，只能转移长度。用圆弧确定交点。
【变式4-1】如图，已知线段AB ，请用尺规按下列要求作图：
(1)延长线段AB 到C，使BC
AB
；
(2)延长线段BA 到D，使AD
AC
(3)如果
2cm
AB
，那么AC ______cm， BD ______cm，CD ______cm
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【变式4-2】（1）如图，已知线段a 、b ．请用尺规按要求作图：
①作线段AB
a
=
；
②在线段AB 的延长线上截取BC
b
；(不要求写画法，保留作图痕迹)
（2）若点D 是线段AC 的中点，用含a 、b 的式子表示线段BD 的长．
题型5 线段中点的有关计算
【例9】如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点．
(1)若
:
5: 2
AE BE
，且
14
AB
，求CD 的长；
(2)若线段
16
AB
，
4
CE
，求AD 的长．
【例10】如图，已知线段
18
AB
cm
，点C 为AB 上的一个动点，点D 、𝐸分别是AC 和BC 的中点．
(1)若点C 恰好是AB 中点，则DE _____cm ；
(2)若
8
AC
cm
，求𝐷𝐸的长．
(3)说明不论AC 取何值（不超过18cm），𝐷𝐸的长不变．
【技巧归纳】
中点将线段分为两等份。若M 是AB 中点，则AM=MB=AB/2。已知AB 求AM；已知AM 求AB=2AM。
多个中点：依次取半。也可用方程思想：设AM=x，则AB=2x，结合其他条件求x。注意中点必须在线段
上。分类讨论：若点在延长线上，则不是中点。常用“一半”关系。
【变式5-1】已知，C，D 为线段AB 上任意两点．
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(1)如图1，图中共有 条线段；
(2)如图2，若AD
BC
，
13
AB
，
7
CD
，求BD 的长；
(3)如图3，M 为线段AB 上一点，
4
AM
，
9
BM
，C，D 分别为AM ，AB 中点，求CD 的长．
【变式5-2】已知：直线m 上两点A 、B ，
25
AB
，O 是线段AB 上一点，AO
a
，OB
b
，且满足
10
15
0
a
b
．
(1)直接写出：a ______，b ______；
(2) D 是直线m 上点A 右侧一点，𝐸是直线m 上点O 右侧一点，满足3
2
6
AD
OE
t
，用含t 的整式表示线段
𝐷𝐸的长；
(3)在（2）的条件下，F 是直线m 上点B 左侧一点，
1
3
BF
OE
，M 是𝐷𝐸中点，N 是EF 中点，当
1
2
DM
MN
时，求t 的值．
题型6 线段n 等分点的有关计算
【例11】已知线段
30
AB
，延长BA 至点C，使
4 3
CB AB =
:
:
，点D、E 均为线段BA 延长线上两点，且
3
BD
AE
，M、N 分别是线段DE
AB
、
的中点，当点C 是线段BD 的三等分点时，MN 的长为
．
【例12】二等分点：又叫线段的
，把线段分成
的两部分．
即：如图，若点P 是线段AB 的中点，则
1
2
AP
BP
AB
或
2
2
AB
AP
BP
三等分点：把线段分成
的三部分．以此类推．
【技巧归纳】
n 等分点将线段分成n 等份。若点P 是AB 的m 等分点（AP:PB=m:(n-m)），则AP=m/n·AB。已知比例
可设每份为x，列方程。注意等分点位置：从A 起第k 个分点，AK=k/n·AB。多个等分点时，用比例关系
转化。常设份数法，避免分数运算。验证总和等于全长。
【变式6-1】如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，已知
10,
6
AD
AC
．
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(1)求BC 的长；
(2)若点P 是线段AC 上靠近点A 的三等分点，求BP 的长．
【变式6-2】已知线段
90cm
AB
，C 是线段AB 上任意一点（不与点A，B 重合）．
(1)若M，N 分别是AC
BC
，
的中点，求MN 的长度；
(2)若
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，求MN 的长；
(3)在（2）的条件下，若
30cm
BC
且G 点在直线AB 上，
15cm
GB
，求MG 的长度．
题型7 与线段有关的动点问题
【例13】已知线段AB ，点C 为线段AB 上的一个动点（点C 不与A、B 重合），点D、E 分别是AC 和BC
的中点
(1)若
5cm
DE
，求AB 的长；
(2)若点C 恰好是AB 的中点，且
6cm
AD
，求DE 的长．
【例14】已知点C 为线段AB 上一动点，点D，E 分别是线段AC 和BC 的中点．
(1)如图，若线段
10cm,
4cm
AB
AC
，求线段DE 的长；
(2)若线段AB 的长为a ，则线段DE 的长为 （用含a 的代数式表示）．
【技巧归纳】
设运动时间为t，用t 表示动点位置（如P 从A 出发速度为v，则AP=vt）。根据线段和差或中点条件列方
程。注意方向：向B 运动则AP+PB=AB；若往返需分段。解方程求t，检验是否在运动范围内。常用数轴
表示，设坐标法更简便。分类讨论相遇、追及。
【变式7-1】如图，已知线段
20cm
AB
，点M 从点A 出发以1cm / s 的速度沿A
B
的方向运动，同时点N
从点B 出发以3cm / s的速度沿B
A
的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动
时间为st ．
根据题意回答下列问题：
(1)当
3s
t
时，MN ______；当
6s
t
时，MN ______．
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(2)若C 为线段AB 上一点，当点M 与N 相遇时，设相遇的位置为点D ．
①若
2
3
AD
AC
，求线段BC 的长；
②若
4
BD
CD
，求线段AC 的长．
【变式7-2】如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，满足
16
12
0
a
b
．动点P 从
点A 出发以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒．
(1)数轴上点A 表示的数是_______，点B 表示的数是_______；
(2)若点P 从A 点出发向左运动，点Q 为AP 的中点，在点P 到达点B 之前，求证：BA
BP
BQ
为定值．
一、单选题
1．下列说法中，能说明点C 一定是AB 中点的是（ ）
A．AB
AC
BC
B．AC
BC
C．
2
AB
AC
D．
2
2
AB
AC
BC
2．下列4 个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有（ ）
①两个钉子可以把木条固定在墙上
②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物
③弯曲的河道改直，可缩短航程
④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
3．如图，
12
AB
cm
，C 为AB 的中点，点D 在线段AC 上，且
:
1:3
AD CB
，则DB 的长度是（ ）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
4．如图，线段
24
AB
cm
，动点P 从A 出发，以2
/
cm s 的速度沿AB 运动，M 为AP 的中点，N 为BP 的
中点．以下说法正确的是（ ）
①运动4s 后，
2
PB
AM
；
②PM
MN
的值随着运动时间的改变而改变；
③2BM
BP
的值不变；
④当
6
AN
PM
时，运动时间为2.4s ．
A．①②
B．②③
C．②④
D．②③④
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5．如图，C 为射线AB 上一点，
30
AB
，AC 比BC 的1
4 多5，P，Q 两点分别从A，B 两点同时出发．分
别以2 单位/秒和1 单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t 秒，M 为BP 的中点，N 为QM
的中点，以下结论：①
2
BC
AC
；②
4
AB
NQ
；③当
1
2
PB
BQ
时，
12
t
，其中正确结论的个数是
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
6．把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是________．
7．已知线段AB ，延长AB 至点C ，使
1
,
2
BC
AB D
是线段AC 的中点，如果
3
DC
cm
，那么AB 的长为______
cm ．
8．在一条工厂流水线上从左到右依次有A ，B ，C 三个加工点，其中A ，B 两点相距20m ，B ，C 两点相
距10m，现要在流水线上设置一个材料供应站P ，分别往A ，B ，C 投放不同的原料，使得供应站P 到三
个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________m ．
9．已知数轴上的A 、B 两点对应的数字分别为1、9，点P ，Q 同时分别从A ，B 出发沿数轴正方向运动，
点P 的运动速度为2 个单位/秒，点Q 的运动速度为n 个单位/秒，点C 是线段AQ 的中点，若运动过程中，
线段PC 的长度是一个固定的值，则n ______．
10．已知关于𝑚的方程
1
5
3
m
m
的解也是关于𝑥的方程
3
4
7
x
n
的解，线段
2
AB
m
，在射线AB
上取一点P ，恰好使AP
nPB
，点Q 为线段PB 的中点，AQ ____．
三、解答题
11．如图，已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AB 上一点，若
10,
6
AB
BD
．
(1)求线段CD 的长；
(2)若点E 是线段AB 上一点，且
1
3
BE
BD
，点F 是BE 的中点，求线段CF 的长．
12．如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且
13
AD
cm
，
3
BD
cm
．
(1)图中共有 条线段．
(2)求AC 的长．
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(3)若点E 在直线AD 上，且
2
BE
cm
，求AE 的长．
13．如图，已知线段a ，线段AB ，点C 在线段AB 的延长线上，且BC
AB
，点D 在线段BC 上，且CD
a
．
(1)用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若
4
AC
，
1
CD ．
①点D 是线段BC 的中点吗？请说明理由．
②点E 在线段AD 上，若
:
3: 2
AE DE
，求BE 的长．
14．如图1，数轴上的点A 表示数a ，点B 表示数b ，点B 在点A 的右侧．已知a ，b 满足
2
8
16
0
a
b
．
(1)a ___________，b ___________；
(2)如图2，动点P ，Q 分别从点A ，B 处同时向右移动，点P 的速度为4 个单位长度/秒，点Q 的速度为2
个单位长度/秒，设运动时间为t 秒．
①当点P ，Q 重合时，求运动时间t ；
②在运动过程中，点P 、B 、Q 三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间t ．
15．综合与探究：已知数轴上点A 表示的数为10，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B 两点间的距离为
18．动点P 从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒．
(1)数轴上点B 表示的数是______；当点P 运动到AB 的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时出发．求：
①当点P 运动多少秒时，点P 追上点Q?
②当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 之间的距离为10 个单位长度？
③如果P，B，Q 中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P，B，Q 为一组“幸福点”．当点P
运动多少秒时，P，B，Q 是一组“幸福点”？
