三角函数：三角函数的图像与性质专项训练
1．（2025·广东广州·模拟预测·多选）已知函数
π
sin 2π
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为2
B．
f x 图象的一条对称轴方程为
1
6
x =
C．
f x 在区间
4
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上先单调递增后单调递减
D．
f x 在区间
5π
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上恰有8 个零点
2．（24-25 高一下·山东威海·期末·多选）已知函数
π
2sin
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，则（ ）
A．
y
f x
=
的图象关于直线
π
3
x =
对称
B．
f x 在
π π
,
3 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增
C．
y
f x
=
的图象关于点
2π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 对称
D．当
0,4π
xÎ
时，曲线
sin 2
x
y =
与
y
f x
=
的交点个数为4
3．（24-25 高二下·甘肃白银·期末·多选）已知函数
1
π
2cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，则（ ）
A．
f x 的值域为
2 2
- ,
B．
f x 的最小正周期为4p
C．曲线
y
f x
=
关于直线
π
3
x =
对称
D．函数
π
3
y
f
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 为奇函数
考点一
已知函数解析式求函数的性质
4．（24-25 高二下·陕西铜川·期末·多选）若函数
π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
f x 的最小正周期为π
B．函数
f x 在区间
π
5π
,
12 12
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增
C．函数
f x 的图象关于直线
π
12
x =
对称
D．函数
f x 的图象关于点2π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
5．（24-25 高一下·河北承德·期末·多选）已知函数
π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为π
B．
π
3
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 是奇函数
C．
f x 的图象关于直线
5π
12
x = -
对称
D．
f x 在区间
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减
6．（24-25 高二下·陕西榆林·期末·多选）函数
π
2sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，则下列选项正确的是（ ）
A．函数
f x 的图象关于点
π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 中心对称
B．函数
f x 图象的对称轴是直线
5π
π
12
x
k
k
=
+
ÎZ
C．函数
f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上的最大值为
3
D．函数
f x 的图象向右平移π
12 个单位长度后为奇函数的图象
1．（24-25 高二下·甘肃兰州·期末·多选）已知函数
2 3sin
2cos
f x
x
x
=
+
，则（ ）
A．
f x 的图象关于直线
π
3
x =
对称
B．
f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增
C．
f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域为
1,2
D．将函数
π
sin
6
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4 倍，横坐标不变，可以得到
f x 的图象
2．（24-25 高一下·江西上饶·期末·多选）函数
π
sin
0,
0,
2
f x
A
x
A
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø 的部分图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
A．
1
w =
B．函数
f x 的图象关于点
π ,0
6
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 对称
C．将函数
π
2cos 2
3
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 的图象向右平移π
4 个单位得到函数
f x 的图象
D．若方程
f x
m
=
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上有且只有一个实数根，则m 的取值范围是
3, 3
é-
ë
3．（24-25 高二下·福建漳州·期末·多选）已知函数
π
sin
0
0
2
f x
A
x
A
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø
，
，
的部分图象如图所
示，下列说法不正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
π
2sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
B．函数
f x 的图象关于点5π ,0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
C．函数
f x 的图象关于直线
π
6
x = -
对称
D．函数
f x 在7π ,π
12
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减
考点二
先求函数的解析式，进而求函数的性质
4．（24-25 高二下·湖南永州·期末·多选）已知函数
f x 的图象是由函数
sin 2
y
x
=
的图象向右平移π
6 个单位得
到，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为π
B．
f x 在区间
π π
[
,
]
6 3
-
上单调递增
C．
f x 的图象关于直线
π
3
x =
对称
D．
f x 的图象关于点π , 0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø对称
5．（24-25 高一下·广东揭阳·期末·多选）设函数
( )
cos
3sin
f x
x
x
=
-
，则下列结论正确的是（ ）
A．2π
-
是
( )
f x 的一个周期
B．
( )
f x 的图象关于直线
π
6
x =
对称
C．
(
π)
f x +
的一个零点为
π
6
x =
D．
( )
f x 在区间π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减
6．（24-25 高一下·辽宁葫芦岛·期末·多选）已知函数
4tan
0,0
π
f x
x
w
j
w
j
=
+
>
<
<
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
1
w =
B．
5π
4tan 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
C．
f x 的图象与y 轴的交点坐标为
4 3
0,
3
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．函数
y
f x
=
的图象关于点7π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
7．（24-25 高一下·湖南邵阳·期末）已知函数
cos
0,
0,0
π
f x
A
x
A
w
j
w
j
=
+
>
>
<
<
的图象关于直线
π
3
x =
对
称，点
0,2 在
f x 的图象上，
1
0
f x
=
，
2
f x
A
=
，且
1
2
x
x
-
的最小值是π
4 ．
(1)求
f x 的解析式；
(2)求不等式
2
f x >
的解集；
(3)若对任意的
2
,
6
3
π
π
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，不等式
2
2
1
0
f x
a
a
+
-
+ ³
恒成立，求a 的取值范围．
8．（24-25 高一下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数
4cos
0,0
π
f x
x
w
j
w
j
=
+
>
<
<
的图象经过
1,4
A x
，
2,0
B x
，
π , 4
3
C æ
ö
-
ç
÷
è
ø 三点，且
1
2
x
x
-
的最小值为π
4 ．
(1)求
f x 的解析式；
(2)求
f x 在
π π
,
3 6
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上的值域；
9．（24-25 高一下·上海·期中）已知函数
π
sin
,
0,
0,
2
f x
A
x
A
w
q
w
q
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø 的图象，如图所示：
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)若( )
(
)(
0)
g x
f mx m
=
>
在
π π
,
2 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上是严格增函数，求实数m 的最大值.
(3)将函数
y
f x
=
的图象向右移动π
6 个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的
0
1
a
a
<
<
倍得到
y
g x
=
的图象，若
y
g x
=
在区间
1,1
-
上至少有30个最大值，求实数a 的取值范围.
10．（24-25 高一下·河南濮阳·期末）已知函数
( )
cos(
)(
0,
0,0
π)
f x
A
x
A
w
j
w
j
=
+
>
>
<
<
的部分图象如图所示．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)求
( )
f x 的单调递减区间；
(3)求
( )
f x 在区间7π 7π
,
6
4
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域．
11．（24-25 高一下·四川成都·期末）已知函数
( )
sin(
)
f x
A
x
w
j
=
+
（
0
A >
，
0
w >
，|
|
2
j
p
<
）的部分图象如图所
示．
(1)将
f x 的图象向右平移π
4 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 ，再向上平移两个单位长度
得到函数
g x ．求函数
g x 的解析式与对称中心．
(2)已知
2 2
2
5
f
a
æ
ö =
ç
÷
è
ø
（
π
π
2
2
a
-
<
<
），求
1 sin 2
cos2
1 cos2
1 cos2
a
a
a
a
-
-
-
+
+
的值．
(3)已知
2
( )
2
8
8
x
f
x
p
p
j
l
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，高2024 级数学节利用函数
( )
y
x
j
=
进行了一个棋盘游戏：有一个2025 2025
´
的
正方形棋盘，开始时将一颗棋子置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1
格，且在第n（
1
n ³ ，
N
Î
n
）步时，若
1
|
( ) |
2
n
j
³
，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到
棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求实数λ 的取值范围．
12．（24-25 高一下·四川眉山·期末）已知函数
2
π
π
3sin(
)
2sin (
) 1
0
3
2
6
x
f x
x
w
w
w
=
+
+
+
-
>
的两条相邻对称轴的
距离为π
2 ．
(1)求
f x 的解析式；
(2)将函数
f x 的图象向右平移π
6 个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变），得到函数
y
g x
=
的图象．
①若
0
12
(
)
5
g x
=
，且
0
π
0, 3
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，求
0
cos2x 的值；
②若关于x 的方程
g x
k
=
在区间
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上恰有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
1．（24-25 高二下·河北·期末）已知函数
( )
sin(
)(
0)
f x
x
j j
=
+
>
在(0,π) 上没有零点，则j 的最小值为（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
2．（24-25 高一下·湖南·期末）将函数
2π
cos 2
3
f x
x
æ
ö
ç
÷
è
=
ø
+
的图象向右平移
0
j j >
个单位长度后，所得图象对应
的函数为奇函数，则j 的最小值为（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．7π
12
3．（24-25 高一下·江西九江·期末）将函数
π
( )
sin
6
f x
x
w
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø的图象向左平移π
3 个单位长度后得到的图象关于y
轴对称，则w 的值可能是（ ）
A．11
B．13
C．14
D．15
4．（24-25 高二下·云南·期末）已知函数
π
2cos
0
4
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
的图象关于点
1,0 对称，则w 的最小值为
（ ）
A．π
2
B．1
4
C．
1
2
D．π
4
5．（24-25 高一下·贵州·阶段练习）已知函数
π
3cos 2
0
6
f
x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
，若
f x 在区间
0, π 内有且仅有3 个
零点和2 条对称轴，则w 的取值范围是（ ）
A．7 17
,
6 12
æ
ù
ç
ú
è
û
B．7 17
,
3
6
é
ù
ê
ú
ë
û
C．7 5
,
6 3
é
ö
÷
êë
ø
D．7 17
,
6 12
é
ö
÷
êë
ø
考点三
已知函数的性质求参数范围
6．（24-25 高一下·河南驻马店·期末）将函数
sin 2
2cos2
f x
a
x
x
=
+
的图象沿x 轴向右平移π
6 个单位后得到的图
象关于原点对称，则实数a 的值为（ ）
A．2 3
B．2 3
3
C．
2 3
3
-
D．2 3
-
7．（23-24 高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数
π
2sin(
)
0,
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø ，T 为
f x 的最小正周期，
且
5
12
f x
f
T
æ
ö
£
ç
÷
è
ø 对任意的
,
xÎ -¥ +¥ 恒成立，若函数
f x 在区间
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上恰有3 个零点，则w 的取值范围是
（ ）
A．14 20
,
3
3
é
ö
÷
êë
ø
B．20 26
,
3
3
é
ö
÷
êë
ø
C．20 26
,
3
3
æ
ù
ç
ú
è
û
D．14 20
,
3
3
æ
ù
ç
ú
è
û
8．（24-25 高一下·云南丽江·期末）已知函数
3π
sin
(
0)
4
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
，对任意的xÎR 恒有
π
( )
( )
3
f x
f
£
，且在
区间(0,
)
6
π 上有且只有一个
0x 使得
0
2
(
2
)
f x
=
，则w 的值可以是（
）
A．9
4
B．15
4
C．21
4
D．45
4
9．（24-25 高一上·山西晋城·期末）已知函数
π
2cos
0)
5
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
的图象在[0,2π] 内恰有两条对称轴，则
ω 的取值范围是
.
10．（2025·北京丰台·二模）已知直线
π
3
x = -
为函数
π
cos
(
0)
3
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
图象的一条对称轴，则满足条件的一
个w 的取值为 ；若
f x 在区间
π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上有零点，则w 的最小值为
．
11．（24-25 高一下·上海·期中）已知函数
π
( )
3sin(
)(
0)
4
f x
x
w
w
=
+
>
的最小正周期为π，将
( )
y
f x
=
图像向左平移
j 个单位长度
π
(0
)
2
j
<
<
后所得图象关于y 轴对称，则j =
．
12．（2025·北京昌平·二模）已知将函数
cos 2
f x
x
j
=
+
的图象向右平移π
3 个单位后，所得函数图象关于原点对
称，则常数j 的一个取值为 ．
13．（2025·湖南常德·一模）已知函数
π
( )
cos(
)(
0)
3
f x
x
w
w
=
-
>
在区间( π,π)
-
上有且仅有1 个零点和1 条对称轴，
则实数w 的取值范围是
.
14．（24-25 高一下·山东青岛·期末）已知函数
cos 2
0
f x
x
j
j
=
+
>
，将曲线
y
f x
=
向左平移2j 个单位长度
后，所得图象关于原点对称，则j 的最小值为
.
15．（24-25 高一下·河南南阳·期末）已知函数
sin
0
f x
x
w
j
w
=
+
>
图象上相邻的两条对称轴之间的距离为
π
4 ，将
f x 图象上所有的点向右平移π
16 个单位长度后，所得函数
g x 的图象关于y 轴对称，则w
，j 的
最小正值为
16．（24-25 高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数
π
cos 2
2
f x
x
w
j
j
æ
ö
=
+
£
ç
÷
è
ø 的周期为π，5π, 0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø
为它的一个
对称中心.
(1)求函数
f x 的解析式及其单调增区间；
(2)若关于x 的方程
2
[
]
2
0
+
×
-
=
f x
m f x
m
在
π
5π
,
12 12
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上有实数根，求实数m 的取值范围.
1．（24-25 高三上·山东济南·阶段练习）已知
( ) | sin
|
cos
f x
x
x
=
+
，以下说法正确的是（
）
A．
( )
f x 是偶函数
B．
( )
f x 的周期为2p
C．
( )
f x 的最小值为1
-
D．
( )
f x 的最大值为2
2．（24-25 高一下·辽宁抚顺·期末）关于函数
sin
sin
f x
x
x
=
+
有下述四个结论，其中正确的是（ ）
A．
f x 是奇函数
B．
f x 在区间π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减
C．
f x 的最大值为2
D．
f x 在
2024π,2024π
-
有4049 个零点
3．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数
sin2 sin
f x
x
x
=
，则（ ）
A．π为
f x 的周期
B．
f x 的图象关于
π
2
x =
对称
C．
f x 的图象关于点π ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø对称
D．
π
2
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 是奇函数
4．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）对于函数
cos
cos2
f x
x
x
=
+
，下列结论正确的是（ ）
A．
f x 的值域为
0,2
B．
f x 在
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 上单调递减
C．
f x 的图象关于直线
π
4
x =
对称
D．π是
f x 的一个周期
考点四
定义法求函数的性质
5．（24-25 高一下·山东潍坊·期末）已知函数
sin2
sin
cos
1
f x
x
m
x
x
=
-
+
+ ，mÎR ，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为π
B．直线
π
4
x =
为
f x 图象的一条对称轴
C．若
f x 在区间
π
0, 4
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，则
1
m≤
D．存在m ，使得
f x 在区间
0,1013π 上恰有2025 个零点
6．（24-25 高一下·广东汕尾·期末）声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是
函数
sin
y
A
t
w
=
.已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数
1
1
sin
sin2
sin3
2
3
=
+
+
y
x
x
x ，下列说法
正确的是（ ）
A．该函数是偶函数
B．该函数的最小正周期为2π
C．该函数的最大值为11
6
D．该函数的图象关于(2π,0) 对称
7．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）已知函数
( )
sin
cos
sin
cos
f x
x
x
x
x
=
+
-
，则下列说法正确的是（ ）
A．
( )
f x 是以π为周期的周期函数
B．
( )
f x 在π ,π
4
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减
C．
( )
f x 的最大值为
1
2
2
+
D．存在
R
a Î
，使得
(
)
f x
a
+
为奇函数
8．（2025·江苏·模拟预测）对于函数
2
2
*
( )
sin
cos
(
)
n
n
nf
x
x
x n
=
+
ÎN
，下列说法正确的是（ ）
A．
( )
nf
x 的最小正周期为π
B．当
2
n ³
时，
1
1
1
0
( )
( )
( )
4
n
n
n
f
x
f
x
f
x
+
-
£
-
£
C．
( )
nf
x 的最小值依次成等比数列
D．
1( )
nf
x
+
值域是
( )
nf
x 值域的子集
