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专题16 圆锥曲线的综合应用（十大题型7 大易错题）
【题型1 直线与椭圆的位置关系判断】
1．若直线ax +by −1=0与圆O: x
2+ y
2=1相离，则过点P(a,b)的直线与椭圆y
2
6 + x
2
5 =1的交点个数是
（ ）
A．0 或1
B．0
C．1
D．2
2．直线3 x−2 y +6=0与曲线y
2
9 −x|x|
4 =1的公共点的个数是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．若直线mx −ny = 4与⊙O：x
2+ y
2= 4没有交点，则过点P(m,n)、Q (0,5)两点的直线与椭圆
x
2
9 + y
2
4 =1的交点个数是（ ）
A．至多为1
B．2
C．1
D．0
4．直线y =kx +1−k与椭圆x
2
9 + y
2
3 =1的公共点个数为 ．
【题型2 根据直线与椭圆位置关系求参】
5．设椭圆Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的弦AB与x轴，y轴分别交于C , D两点，|AC|:|CD|:|DB|=1:2:2，
若直线AB的斜率k，则k的取值范围是（ ）
A．(0, √2
2 )
B．(
√2
2 ,1)
C．(0, √3
3 )
D．(
√3
3 ,1)
6．点M是椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交
于P ,Q两点，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．(2−√3,1)
B．(
√5−1
2
,1)
1
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C．(
√6−√2
2
,1)
D．(
√6−√2
2
, √5−1
2 )
7．已知椭圆C : x
2
5 + y
2=1，点M (0,1)关于直线l: y = x +t的对称点N在C上，且点M与N不重合，则t =
（ ）
A．−1
3
B．−1
2
C．−2
3
D．−1
8．已知直线kx + y +2k =0与椭圆x
2
3 + y
2
4 =1相切，则k的值为（ ）
A．2
B．1
2
C．±2
D．± 1
2
【题型3 直线与椭圆相切的应用】
9．已知圆C1:(x−√3)
2+ y
2=r
2(0<r <4)与圆C2:(x +√3)
2+ y
2=(4−r)
2交点的轨迹为M，过平面内
的点P作轨迹M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为（ ）
A．x
2+ y
2=5
B．x
2+ y
2= 4
C．x
2+ y
2=3
D．x
2+ y
2= 5
2
10．已知椭圆M : x
2
a
2 + y
2=1，圆C : x
2+ y
2=6−a
2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1
，
椭圆M在点P处的切线斜率为k2
，则k1
k2
的取值范围为
A．(1,6)
B．(1,5)
C．(3,6)
D．(3,5)
11．直线l与圆G:(x−4)
2+( y +1)
2= 4和椭圆E: x
2
4 + y
2=1同时相切，请写出一条符合条件的l的方程
【题型4 直线与椭圆相交弦长问题】
12．已知点F1、F2分别椭圆x❑
2
2
+ y❑
2=1的左、右焦点，过F2作倾斜角为π
4 的直线交椭圆于A、B
两点，则弦AB的长为 .
2
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13．已知O为坐标原点，椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率e = √2
2
，短轴长为2√3．若直线l与C在第一
象限交于A ,B两点，l与x轴、y轴分别相交于M , N两点，|MA|=|NB|，且S△MNO=2√2，则|AB|=
．
14．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，过C的左焦点且斜率为1 的直线与C交于A ,B两点.
若|AB|=12，则C的焦距为 .
15．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，下顶点为A，过A , F的直线l与椭圆C交于另一点B，
若直线l的斜率为1，且|AB|= 8
3
，则椭圆C的标准方程为 .
【题型5 直线与双曲线的位置关系判断】
16．已知双曲线C : x
2
9 −y
2
16 =1，过点P(3,3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直
线l共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
17．过双曲线C：x
2−y
2
3 =1左焦点为F和点A (0,2√3)直线l与双曲线C的交点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
18．设双曲线C经过点(2,2)，且与y
2
4 −x
2=1具有相同的渐近线，则经过点(√3,0)且与双曲线C有且只有
一个公共点的直线有（ ）条.
A．0
B．1
C．2
D．3
19．过点P(√7,5)且与双曲线x
2
7 −y
2
25 =1有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是
．
【题型6 根据直线与双曲线位置关系求参】
20．已知直线l的方程为y =kx−1，双曲线C的方程为x
2−y
2=1.若直线l与双曲线C的右支交于不同的
两点，则实数k的取值范围是（ ）
3
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A．(−√2,−1)
B．[1,√2)
C．(−√2,−1)∪(1,√2) D．(1,√2)
21．已知双曲线C 的方程为5 x
2−y
2=1，过点P(0,−1)作直线l与双曲线左右两支分别交于点M，N.若⃗
MP =2⃗PN，则直线l的方程为（ ）
A．y = 1
5 x−1
B．y = 1
5 x−1或y =−1
5 x−1
C．y = x−1或y =−x−1
D．y = x−1
22．已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的右焦点为F，一条渐近线的方程为y =2 x，直线y =kx与
C在第一象限内的交点为P.若|PF|=|PO|，则k的值为（ ）
A．√5
2
B．√3
2
C．2√5
5
D．4√5
5
23．已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2=1 (a>0)与直线y =2 x无公共点，则正数a的一个取值可以为 ．
【题型7 直线与双曲线相交弦长问题】】
24．已知双曲线C : y
2−x
2
3 =1的两个焦点分别为F1, F2，过F1的直线与双曲线C的同一支交于A，B两点，
且|B F1|=2|A F1|，则线段AB的长度为（ ）
A．9
4
B．9
C．27
4
D．6
25．已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F1
，圆O: x
2+ y
2=a
2.若过F1
的直线分别交C的左、
右两支于A，B 两点，且圆O与F1B相切，C的离心率为3, F1到C的渐近线的距离为2√2，则| AB|=
（ ）
A．32
7
B．30
7
C．20
7
D．16
7
26．过双曲线x
2
3 −y
2
6 =1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B 两点，则|AB|的值为（ ）
A．4
5 √3
B．8
5 √3
C．16
5 √3
D．32
5 √3
4
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27．已知双曲线C：y
2
4 −x
2
2 =1，则双曲线C的渐近线方程是 ；直线x =1与双曲线相交于M，
N两点，则|MN|= .
【题型8 直线与抛物线的位置关系】
28．已知抛物线x
2= 4 y，P为直线y =−1上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B，则⃗
PA ⋅⃗PB的值为（ ）
A．0
B．1
C．-2
D．-1
29．设抛物线E：x
2=2 py ( p>0)的焦点为F，过点P(0,3)的直线与抛物线E相交于A，B两点，|AF|=2，
|BF|=10，则p=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．22
【题型9 抛物线的焦点弦及应用】
30．已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F，过F的直线l与C与交于A 、B两点（A点在x轴上方），
点D(
3
2 p,0)
，若|AF|=|AD|,|BF|= 1
2
，则C的方程为（ ）
A．y
2= 2
3 x
B．y
2= 4
3 x
C．y
2=2 x
D．y
2= 4 x
31．直线l经过抛物线y
2= 4 x的焦点F，且与抛物线交于A，B 两点.若|AF|=3|BF|，则|AB|=（ ）
A．8
3
B．3
C．16
3
D．3
2
32．设抛物线y
2=2 px( p>0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线在第一象限交于点A，与y轴交于点C，
若⃗AF =⃗FC，则直线l的斜率为（ ）
A．√3
3
B．2√2
3
C．2√2
D．√3
33．已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F，过F且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，若
| AB|=5，则p=（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
34．设抛物线C : y = 4 x
2的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则| AB|的最小值为
（ ）
5
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A．1
B．1
2
C．1
4
D．1
8
【题型10 直线与抛物线的相交弦长问题】
35．已知O为坐标原点，抛物线C : y
2=2 x的焦点为F，⃗OM =−⃗ON =−2⃗OF，过点M 的直线l 与C 交于
A，B 两点，且⃗MA = λ⃗MB (0< λ<1)，直线BN 与C 的另一个交点为P，若直线AN 与PM 的斜率满足
k AN =3k PM，则|AB|= （ ）
A．√13
2
B．√13
C．√15
2
D．√15
36．已知抛物线y
2= 4 x的焦点为F、点M 在抛物线上，MN 垂直y 轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面
积为（ ）
A．8
B．4√5
C．5√5
D．10√5
37．如图，O为坐标原点，F为抛物线C : y
2=8 x的焦点，P为C上一点，若|PF|=8，则△POF的面积为
（ ）
A．4√2
B．4√3
C．8
D．12
38．已知F为抛物线C：x
2= 4 y的焦点，过点F且倾斜角为60
∘的直线l与抛物线C相交于不同的两点
A 、B，若抛物线C在A 、B两点处的切线相交于点P，则|PF|= .
1．已知抛物线C：y
2=6 x的焦点为F，点M (6,4)，N 是抛物线C 上一点，当|MN|+|NF|取得最小值时，
△MNF的面积为（ ）
A．7
B．5
C．17
3
D．20
3
2．已知过抛物线C：y
2= 4 x的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，若|AF|=3|BF|，则|AB|=
（ ）
6
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A．4√3
3
B．8√3
3
C．8
3
D．16
3
3．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为√3
2
，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于
A、B 两点，若⃗AF =3⃗FB，则k = ．
4．若圆C与抛物线E: x
2=6 y在公共点B处有相同的切线，且C与y轴相切于E的焦点A，则|AB|=
.
5．已知坐标原点为O，椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的上顶点为B，右焦点为F，且|FB|=10，⃗
FB⋅⃗FO =75．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过B作互相垂直的两条直线分别交C于M、N两点，求|MN|的最大值．
6．已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
2 =1(a>2)的离心率为√6
3
．
(1)求C的方程；
(2)过C的右焦点F的直线l与C交于A，B两点，与直线x = 4交于点D，且2|AB|=√3|DF|，求l的斜率．
7．设双曲线Γ : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，斜率为1 的直线l 与Γ交于A ,B两点，当l 过Γ的右焦点F 时，l
与Γ的一条渐近线交于点P(−√5,−2√5)，
(1)求Γ的方程；
(2)若l 过点(−1,0)，求| AB|.
7
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