专题2.13 函数与方程（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)理解函数的零点与方程的解的联系
(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用
(3)了解用二分法求方程的近似解
高考真题
考点
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统计
函数与方程
新课标Ⅱ卷：第6 题，
5 分
全国甲卷（文数）：第
16 题，5 分
天津卷：第7 题，5 分
上海卷（秋考）：第
21 题，18 分
全国二卷：第13 题，5
分
北京卷：第15 题，5
分
命题规律
分析
1、函数与方程
函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近三年的高考情况来
看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区间、函
数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时候也会在
解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数
问题等，或者与导数结合考查，此时难度偏大，一般出现在压轴题位置。
知识点1
函数零点所在区间
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若
有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
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(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x)
- h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
知识点2
函数的零点个数和求参问题
1．函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的
图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同
的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，
则只需解决在一个周期内的零点的个数.
2．已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟
悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出
两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
知识点3
嵌套函数的零点问题
1．嵌套函数的零点问题的解题策略
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,
设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
【题型1
函数零点所在区间的判断】
【例1】（2026·山东泰安·一模）函数�(�) = (�−1)2�−26 的零点所在的大致区间为（
）
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
【变式1-1】（25-26 高二下·四川自贡·阶段检测）函数��= 2�+ ln�−3 的零点所在区间为（
）
A．2,3
B．0,
1
2
C．
1
2 , 1
D．1,2
【变式1-2】（25-26 高一上·陕西商洛·期末）函数��= 4�+ �−6 的零点所在的区间为（
）
A．
1
2 , 1
B．1,
3
2
C．
3
2 , 2
D．2,
5
2
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【变式1-3】（25-26 高一上·江西抚州·期末）函数�(�) = �3 −(
1
2 )�的零点所在的区间是（
）
A．(2,3)
B．(1,2)
C．(0,1)
D．( −1,0)
【题型2
求函数的零点或零点个数】
【例2】（25-26 高一上·辽宁大连·期末）函数��= 2�+ �−6 的零点为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式2-1】（25-26 高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数��= 1 −ln �的零点为（
）
A．e
B．−e
C．e 和−e
D．e, 0 或( −e, 0)
【变式2-2】（2026·四川巴中·一模）已知函数�(�) =
ln�, �> 0
�2 + 2�+ 2, �≤0 ，则方程�(�(�) −2) = 2 实数根的
个数为（
）
A．6
B．7
C．10
D．11
【变式2-3】（2026·北京·模拟预测）已知函数�(�) =
2�, 0 < �≤1
1
2 �(�−1), �> 1 ，则函数�(�) = �(�) −
2
�的零点个数
为（
）
A．2
B．0
C．3
D．无穷
【题型3
根据函数零点的个数求参数】
【例3】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数��=
�2 + 4�+ 3, �≤0
1 + log1
3�, �> 0 ，若函数��= ��−�恰有3 个零
点，则�的取值范围为（
）
A．−1,3
B．0,3
C．−1,0
D．3, + ∞∪−1
【变式3-1】（2026·河北沧州·一模）已知函数��=
log2�+ 1, �> 0
−2�2 + ��, �≤0 ,若函数�= ���
至少有7 个零点，
则实数�的取值范围为（
）
A．−2, + ∞
B．−∞, 2
C．−2, 0
D．−∞, −2
【变式3-2】（2026·北京顺义·一模）已知函数�(�) =
�3, �≥0
−�, �< 0 ，若方程�(�) = �2 −��有4 个不同的实数
解，则�的取值范围是（
）
A．( −∞, 0)
B．(0,
1
4 )
C．( −∞, 0) ∪(0,
1
4 )
D．(
1
4 , + ∞)
【变式3-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数��=
�3, �≥0
−�, �< 0 ，若函数��= ��−��2 −3��∈�
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恰有4 个零点，则�的取值范围为（
）
A．−∞, −
1
3 ∪2 3, + ∞
B．−∞, −
1
3 ∪0,2 3
C．−∞, 0 ∪0,2 3
D．−∞, 0 ∪2 3, + ∞
【题型4
根据零点的范围求参数】
【例4】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数��= lg�+ �在1,10 上有零点，则�的取值范围为（
）
A．−10,0
B．−
1
10 , 0
C．0,1
D．−1,0
【变式4-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数��= ��−4 + �log2�在区间1,4 内有零点，则实数�的取值
范围为（
）
A．−4,1
B．−4,1
C．−1,4
D．−1,4
【变式4-2】（25-26 高一上·河南信阳·期末）函数�(�) = 2�−
2�
�的一个零点在区间(1,2)内，则实数�的取值
范围是（
）
A．(1,3)
B．(1,4)
C．(0,3)
D．(1,2)
【变式4-3】（25-26 高一上·重庆·阶段检测）函数��= ��−4 + �log2�在区间[4,8)内有零点，则实数�的
取值范围为（
）
A．−2, −1
B．( −2, −1]
C．−
5
2 , −1
D．−
5
2 , −1
【题型5
嵌套函数的零点问题】
【例5】（2026·山西临汾·二模）已知函数��=
2�−1 , �≤2,
3
�−1 , �> 2,
若方程��
2 −�+ 5 ��+ 5�= 0 有三
个不同的实数根，则�的取值范围为（
）
A．0,1
B．0,2
C．0,3
D．1,3
【变式5-1】（25-26 高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数��=
4 −�2, �≤0
ln�+ 2, �> 0 ，若函数��= ���
−�
恰有5 个零点，则实数�的取值范围为（
）
A．2, e2
B．ln2 + 2,4
C．ln2 + 2,2ln2 + 2
D．2,4
【变式5-2】（2026·陕西宝鸡·二模）已知函数��=
�2 −2�+ 1, �≥0
1 −ln −�, �< 0 ，若关于�的方程���
2 −2�+
1 ��+ 2 = 0 有7 个不相等的实数根，则实数�的取值范围为（
）
A．0,1
B．0,1
C．0,1
D．1, + ∞
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【变式5-3】（2026·河南鹤壁·一模）已知函数��= −2−�+ 1，�≤0，
��−1 ，�> 0，
若关于�的方程2 ��
2 + 3 −
3���+ 2�= 0 在区间( −∞, 2025]内有2027 个不同的实数根，则实数�的取值范围是（
）
A．
1
10 ，
1
5
B．0，
1
5
C．0，
1
5
D．−∞，
1
5
【题型6
用二分法求方程的近似解】
【例6】（2026·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数��= ln�+ 2�−6 在2,3 内的零点近似值，若精确度
要求为0.1，则需重复相同步骤的次数至少为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式6-1】（25-26 高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程ln 2�+ 6 + 2 = 3�根的近似解时，令��=
ln 2�+ 6 + 2 −3�，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程ln 2�+ 6 + 2 = 3�的一个
近似解为（精确度为0.1）（
）
�
1.00
1.25
1.375
1.50
��
1.0794
0.1918
−0.3604
−0.9989
A．1.125
B．1.3125
C．1.4375
D．1.46875
【变式6-2】（25-26 高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程2�+ �−8 = 0 在1,5 上的近似解时，经过两次
二分后，可确定近似解所在区间为（
）
A．1,1.5
B．2,3
C．1,2
D．3,5
【变式6-3】（25-26 高一上·全国·阶段检测）若函数��= �3 + �2 −2�−2 的一个正数零点附近的函数值用
二分法逐次计算，参考数据如表：
�
1
1.5
1.25
1.375
1.4375
1.40625
��
−2
0.625
−0.984
−0.260
0.162
−0.054
那么当精确度达到0.04 时，可作为方程�3 + �2 −2�−2 = 0 的一个近似根的是（
）
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.4375
【题型7
多零点的大小与范围问题】
【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数�(�) = 3�+ 3�, �(�) = log3�+ 3�, ℎ(�) = �3 + 3�的零点分别
为�, �, �，则�, �, �的大小顺序为（
）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
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【变式7-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数��= �⋅10�−1, ��= �⋅lg�−1, ℎ�= �
4
3 −1 的零
点分别为�, �, �，则�, �, �的大小顺序为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【变式7-2】（2026·海南·模拟预测）已知函数�(�) =
−
1
4 �2 −�+ 1, �≤0
|log2�|, �> 0
，若存在不相等的实数�1 < �2 <
�3 < �4，满足��1 = ��2
= ��3 = ��4 ，则�1 + �2 + �3 + �4的取值范围为（
）
A．−2,
1
4
B．−2,
1
4
C．−
3
2 ,
1
4
D．−
3
2 ,
1
4
【变式7-3】（2026·陕西延安·一模）设函数��= �2 −4�+ 3 −��> 0 ,若��有四个不同的零点
�1, �2, �3, �4，且满足�1 < �2 < �3 < �4，则
�2+�4
�1+�3的取值范围是（
）
A．1,
9+4 2
7
B．1,2
C．2,3
D．3,4
一、单选题
1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数��= 0.3�−
�的零点所在区间是（
）
A．0,0.5
B．0.5,0.7
C．0.7,1
D．1,2
2．（25-26 高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数�(�) = ln�+ 4�−9，利用二分法求函数�(�)在(2,3)内的
零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（
）
A．(2,
9
4 )
B．(
9
4 ,
5
2 )
C．(
5
2 ,
11
4 )
D．(
11
4 , 3)
3．（2026·天津·二模）函数��= log2�−
1
3 �的一个零点所在区间为（
）
A．7,8
B．8,9
C．9,10
D．10,11
4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数��= �2 −2�−1, �≤0
e�−1, �> 0
，若方程��= �只有一个实数解，
则�的取值范围为（
）
A．−1,0
B．−1,0
C．−1,0
D．−1,0
5．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数��=
�+ ln�, �> 0
�2 + 2�−�, �≤0 在定义域上恰有三个零点，则实数�的取
值范围是（
）
A．−1,0
B．−1,0
C．−1,0
D．−1,0
6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数��=
3�−1 + 1, �≤1
ln �−1 , (�> 1) ，若��= �2 �−2���+
4
3的零点
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个数为4，则实数�取值范围为（
）
A．(
6
3 ,
5
6 ] ∪(
4
3 , + ∞)
B．(
6
3 ,
5
6 ] ∪(2, + ∞)
C．
5
6 , 2
D．
4
3 , + ∞
7．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数��=
1
3 �3 −�+ e，��= ln�+ �−e 与ℎ�= e�+ �−e 的零
点分别为�1，�2，�3，则（
）
A．�1 < �2 < �3
B．�1 < �3 < �2
C．�2 < �3 < �1
D．�3 < �2 < �1
8．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数��= −�2 −2�+ 2, �≤0
ln�, �> 0
，若函数��= ��
2 −���+ 5 有8
个不同的零点，则实数�的取值范围是（
）
A．2 5,
9
2
B．2 5,
9
2
C．
9
2 ,
14
3
D．
9
2 ,
14
3
二、多选题
9．（25-26 高一上·四川成都·阶段检测）已知函数�= �(�)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值
表：
�
1
2
3
4
5
6
�(�)
16.88
8.66
−2.01
8.88
−1.24
−10.064
在下列区间中，函数�(�)必有零点的区间为（
）
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(5,6)
10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数��=
2�−2 , �≤3,
2�−5, �> 3, 函数��= ��
2 −2���+ �2 −1，
则下列结论正确的是（
）
A．若关于�的方程��= �恰有1 个实数根，则�的取值范围是6, + ∞
B．若关于�的方程��= �恰有2 个不同的实数根，则�的取值范围是0,1 ∪2,6
C．若��有5 个零点，则�的取值范围是(2,3)
D．��可能有6 个零点
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数��=
log3 −�, �< 0
2 −�, �≥0
，若函数�= ��−��∈�有三个互
不相等的零点�1, �2, �3，且�1 < �2 < �3，则下列结论正确的是（
）
A．实数�的取值范围是0,2
B．��的单调递减区间为−∞, −1 ，0, + ∞
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C．�1�2�3 ∈0,2
D．函数�= ���
有4 个零点
三、填空题
12．（2026 高一上·全国·专题练习）用二分法求函数��= ln�+ 2�−6 在区间2,3 内的零点近似值，至少
经过__________次二分后精确度达到0.1.
13．（2026·山东济宁·一模）已知函数��=
�+ 2, �≤0
ln �+ 1 , �> 0 若关于�的方程���
= �恰有三个不相等
的实数根，则实数�的取值范围是__________.
14．（2026·天津红桥·二模）设函数��=
e �+1 2, �≤0
�+
4
�−3, �> 0 ，若�= ��−�有四个不同的零点，从小到大
依次为�1, �2, �3, �4，则�1�2 + �3 + �4的取值范围为__________．
四、解答题
15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知��= e2�−��+ 2，�∈�，e 是自然对数的底数．
(1)求函数�= ��的单调区间；
(2)若关于�的方程��−2 = 0 有两个不等实根，求�的取值范围．
16．（2026 高三·全国·专题练习）已知关于x 的方程��2 −2 �+ 1 �+ �−1 = 0，求实数�为何值时？
(1)方程有唯一实数根或两相等实数根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
17．（2026 高一·全国·专题练习）已知函数��=
��−�+ 4, �≤1,
�2 −�+ 2 �+ �+ 5, �> 1, 其中�∈�，且�= ��在
−1,5 上有三个零点�1，�2，�3．
(1)求实数�的取值范围；
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(2)求�1
2 + �2
2 + �3
2的取值范围．
18．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数�(�)为定义在R 上的偶函数，且�≥0，�(�) = �2 −��+ 1.
(1)若�= 1，求函数�(�)解析式；
(2)求函数�(�)在[1,3]的最小值；
(3)若函数�= �(�)在(0,4)有两个不同的零点，求m 的取值范围.
19．（25-26 高一上·北京西城·期中）已知函数��= �2 + ��+ �，�0 = 4 且满足∀�∈R，��≥�1 ．
(1)求�，�的值；
(2)已知函数��= ��−�−2 �有两个不同的正数零点�1，�2．
（i）求�的取值范围；
（ii）若�1 −�2 = 2，求�的值：
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