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专题2.8指数与指数函数（解析版）_2027版高中《举一反三》同步讲义（数学）

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专题2.8 指数与指数函数（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
指数幂的运算】...........................................................................................................................................1
【题型2
指数函数的图象及应用】...........................................................................................................................2
【题型3
比较指数幂的大小】...................................................................................................................................5
【题型4
解指数不等式】...........................................................................................................................................6
【题型5
指数（型）函数的单调性问题】...............................................................................................................8
【题型6
指数（型）函数的最值（值域）问题】.................................................................................................10
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
指数幂的运算】
1．（2026·四川乐山·三模）已知2lg2 = �，10�= 3，则10
3�−2�
2
的值为（
）
A．
64
9
B．
8
3
C．
4
3
D．
2 2
3
【答案】B
【解题思路】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】由2lg2 = �可得10
�
2 = 2，又因为10�= 3，
所以10
3�−2�
2
=
10
3�
2
10�=
10
�
2
3
10�
=
8
3，
故选：B.
2．（2026·河南新乡·二模）
8
2 5
3+ 5
=（
）
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A．16
B．8 2
C．32
D．16 2
【答案】A
【解题思路】应用指数幂运算的性质化简求值.
【解答过程】由
8
2 5
3+ 5
=
23
2 5
3+ 5
= 2 3−5
3+ 5 = 24 = 16.
故选：A.
3．（25-26 高一上·云南曲靖·期末）已知�> 0，则
4
�⋅
3 �5的分数指数幂形式为（
）
A．�
2
3
B．�
3
2
C．�
2
5
D．�
3
5
【答案】A
【解题思路】利用分数指数幂的运算法则化简.
【解答过程】
4
�⋅
3 �5 = �⋅�
5
3
1
4 = �
8
3×1
4 = �
2
3．
故选：A.
4．（25-26 高三上·河南许昌·期中）放射性物质的衰变规律为：�= �0 ×
1
2
�
�，其中�0指初始质量，�为衰
变时间，�为半衰期，�为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为�1，�2（单位：天），
若两种物质的初始质量相同，1024 天后发现甲的质量是乙的质量的8 倍，则
1
�2 −
1
�1 =（
）
A．
3
1024
B．
1
512
C．
1
1024
D．
3
512
【答案】A
【解答过程】由题意可得�0 ×
1
2
1024
�1 = 8�0 ×
1
2
1024
�2 ，计算即可得解.
【解题思路】由题意可得�0 ×
1
2
1024
�1 = 8�0 ×
1
2
1024
�2 ，
即
1024
�1 =
1024
�2 −3，即
1
�2 −
1
�1 =
3
1024.
故选：A.
【题型2
指数函数的图象及应用】
5．（2026·辽宁·模拟预测）函数��=
9�−1
3�⋅�2的部分图象大致为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.
【解答过程】由��=
9�−1
3�⋅�2 =
3�−3−�
�2
，可得��的定义域为−∞, 0 ∪0, + ∞，
且�−�=
3−�−3�
(−�)2 =−��，所以��为奇函数，图象关于原点对称，排除B 项；
�1 =
8
3 > 0，排除C 项；
当�→+ ∞时，��→+ ∞，排除A 项.
故选：D.
6．（2026·天津·二模）已知函数�= ��的部分图象如图所示，则��的解析式可能为（
）．
A．��=
e�+1
e�−1
B．��=
e�−1
e�+1
C．��=
�2
3 �4−1
D．��=
�
3 �4−1
【答案】D
【解题思路】根据�0 = 0 排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【解答过程】对于A，��=
e�+1
e�−1在�= 0 处无意义，故A 错误；
对于B：��=
e�−1
e�+1的定义域为R，故B 错误；
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对于C：��=
�2
3 �4−1的定义域为�|�≠± 1 ，
且�−�=
−�2
3
−�4−1
=
�2
3 �4−1 = ��，则��为偶函数，故C 错误；
对于D，��=
�
3 �4−1满足图中要求，故D 正确.
故选：D.
7．（25-26 高一上·江苏无锡·期中）函数�=
e�−e−�
e|�| 的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据�≥0 时0 ≤1 −
1
e2�< 1 可确定选项.
【解答过程】设��=
e�−e−�
e|�| ，则�−�=
e−�−e�
e|−�| =
e−�−e�
e|�|
=−��，
∴函数��为奇函数，选项B 错误.
当�≥0 时，��=
e�−e−�
e�
= 1 −e−2�= 1 −
1
e2�，
由�≥0 得，e2�≥e0 = 1，
∴0 <
1
e2�≤1，∴0 ≤1 −
1
e2�< 1，CD 错误，选项A 符合要求.
故选：A.
8．（2026·陕西·模拟预测）已知函数��的部分图象如图所示，则��的解析式可能为（
）
A．��= e�−e−�
B．��= 1 −
2
e�+1
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C．��= �
�
D．��=
�
ln �2+2
【答案】D
【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入�= 2 判断C 错误，则可得到D
正确.
【解答过程】根据函数�(�) 的图象，知�(1) ≈1，而对A 选项�1 = e −e−1 > 2 排除A；
对B 选项��= 1 −
2
e�+1，因为e�+ 1 > 1，则
2
e�+1 ∈0,2 ，
则��= 1 −
2
e�+1 ∈−1,1 ，但图象中函数值可以大于1 ，排除B；
根据C 选项的解析式，�(2) = 2 2 ≈2.8，而根据函数�(�) 的图象，知�(2) ≈1，排除C.
故选：D.
【题型3
比较指数幂的大小】
9．（2026·河南·模拟预测）设�=
1
3
1
3, �= log1
2
2
5 , �= 3−1
4，则�, �, �的大小关系为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【答案】A
【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小.
【解答过程】因为�=
1
3
�
单调递减，所以�=
1
3
1
3 < �= 3−1
4 =
1
3
1
4 <
1
3
0
= 1，
因为�= log1
2�单调递减，所以�= log1
2
2
5 >log1
2
1
2 =1，
则�, �, �的大小关系为�< �< �.
故选：A.
10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知�= 0.750.1, �= 1.012.7, �= 1.013.5，则（）.
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
【答案】C
【解题思路】根据指数函数的单调性判断即可.
【解答过程】因为函数�= 1.01�在R 上是增函数，函数�= 0.75�在R 上是减函数，且3.5 > 2.7，
所以1.013.5 > 1.012.7 > 1.010 = 1 = 0.750 > 0.750.1，即�> �> �.
故选：C.
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11．（2026·四川成都·模拟预测）已知�> 2，5�+ 12�= 13�，则（
）
A．�> 2 > �
B．�> �> 2
C．�> �> 2
D．�> 2，但�和�的大小关系无法确定
【答案】B
【解题思路】利用指数函数的单调性证出�> 2 且�< �，得出结论即可.
【解答过程】由于�> 2，所以13�= 5�+ 12�> 52 + 122 = 132，因此�> 2，
又因为13�−�=
5
13
�
+
12
13
�
<
5
13
2
+
12
13
2
= 1，因此�−�< 0，即�< �，
所以2 < �< �.
故选：B.
12．（2026·河南许昌·模拟预测）已知�= 3log23.4，�= 9log163.3，�= (
1
3 )log20.3，则（
）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
【答案】D
【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.
【解答过程】由题意知�= 9log163.3 = 3
1
2log23.3 = 3log2 3.3，�= (
1
3 )log20.3 = 3−log20.3 = 3log2
10
3 ，
又函数�= log2�在(0, + ∞)上单调递增，而3.4>
10
3 >
3.3，即log23.4 > log2
10
3 > log2 3.3，
又�= 3�在R 上单调递增，所以3log23.4 > 3log2
10
3 > 3log2 3.3，即�> �> �.
故选:D.
【题型4
解指数不等式】
13．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知集合�= ��3 < 1 ，�= �2�>
1
2 ，则（
）
A．�∩�= ��<−1
B．�∩�= �−1 < �< 1
C．�∪�= ��<−1
D．�∪�= ��< 1
【答案】B
【解题思路】根据幂函数、指数函数单调性解出不等式，再利用集合交并集定义即可得到答案.
【解答过程】因为集合�= ��3 < 1
= ��< 1 ，集合�= �2�>
1
2
= ��>−1 ，
所以�∩�= �−1 < �< 1 ，�∪�= �.
故选：B.
14．（2026·河北邯郸·一模）已知集合�= �2−�< 1 , �= �log�2 > 0 ，若全集�= �，则�∩∁��=
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（
）
A．−∞, 1
B．1,  + ∞
C．−1, 1
D．0, 1
【答案】D
【解题思路】解出指数不等式与对数不等式后利用交集与补集定义计算即可得解.
【解答过程】由2−�< 1，可得�> 0，
由log�2 > 0，可得�> 1，
则�= ��> 0 , �= ��> 1 ，则∁��= −∞, 1 ，
则�∩∁��= 0, 1 .
故选：D.
15．（25-26 高一上·广西·期末）已知函数��= 2�−2−�+ 3，则不等式��2 −2�+ �2�−9 > 6 的解
集是（
）
A．−3,0 ∪3, + ∞
B．−∞, −3 ∪3, + ∞
C．−∞, −3 ∪0,3
D．−3,0 ∪0,3
【答案】B
【解题思路】构造函数��= ��−3 = 2�−2−�，可得��是奇函数，且在R 上是增函数，将不等式转化
为��2 −2�−3 + �2�−9 −3 > 0，得到��2 −2�> �−2�+ 9 ，结合��的单调性，即可求解.
【解答过程】设函数��= ��−3 = 2�−2−�，可得其定义域为R，关于原点对称，
且�−�= 2−�−2�=−(2�−2−�) =−��，即�−�=−��，所以��为奇函数，
因为�= 2�是R 上的增函数，�= 2−�是R 上的减函数，
所以��= 2�−2−�是R 上的增函数，
由��2 −2�+ �2�−9 > 6 等价于��2 −2�−3 + �2�−9 −3 > 0，
即��2 −2�+ �2�−9 > 0，
又因为��是奇函数，可得��2 −2�>−�2�−9 = �−2�+ 9 ，
可得�2 −2�>−2�+ 9，即�2 > 9，解得�> 3 或�<−3.
所以不等式的解集为( −∞, −3) ∪(3, + ∞).
故选：B.
16．（2026·广东肇庆·一模）已知�(�) = e�−e−�，若��+ 1 + ��−1 > 0 成立，则x 的取值范围是（
）
A．0, + ∞
B．1, + ∞
C．−1, + ∞
D．−∞, 0 ∪0, + ∞
【答案】A
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【解题思路】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.
【解答过程】函数�(�) = e�−e−�的定义域为R，�( −�) = e−�−e�=−�(�)，则函数�(�)是奇函数，
而函数�= e�, �=−e−�在R 上都单调递增，则函数�(�)在R 上单调递增，
不等式�(�+ 1) >−�(�−1) = �( −�+ 1)，则�+ 1 >−�+ 1，解得�> 0，
所以x 的取值范围是0, + ∞.
故选：A.
【题型5
指数（型）函数的单调性问题】
17．（2026·甘肃白银·模拟预测）若函数��= 5|�−�|在1, + ∞上单调递增，则a 的取值范围为（
）
A．1, + ∞
B．1, + ∞
C．−∞, 1
D．−∞, 1
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出�的范围.
【解答过程】函数�= 5|�−�|在(1, + ∞)上单调递增，而函数�= 5�是R 上的增函数，
则函数�= |�−�| =
�−�, �≥�
−�+ �, �< �在(1, + ∞)上单调递增，于是�≤1，
所以a 的取值范围为−∞, 1 ．
故选：D.
18．（2026·新疆喀什·模拟预测）已知ln�2 −ln�= 1，则函数�(�) = ��2−2�的单调递增区间为（
）
A．−∞, 0
B．−∞, 1
C．0, + ∞
D．1, + ∞
【答案】D
【解题思路】根据给定条件求出�，再利用复合函数单调性求出递增区间.
【解答过程】由ln�2 −ln�= 1，得ln�= 1，解得�= e，函数�(�) = e�2−2�定义域为R，
函数�= �2 −2�在( −∞, 1]上单调递减，在[1, + ∞)上单调递增，
而函数�= e�在R 上单调递增，所以函数�(�)的单调递增区间为[1, + ∞).
故选：D.
19．（2026·山东济宁·二模）若函数��=
1
2
�2−��
在1, + ∞上单调递减，则实数�的取值范围是（
）
A．�≤2
B．�≥2
C．�≤1
D．�≥1
【答案】A
【解题思路】�(�) = (
1
2 )�2−��是由�= (
1
2 )�与�= �2 −��复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函
数单调性确定内层函数单调性，进而求出�的取值范围.
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【解答过程】�(�) = (
1
2 )�2−��是由�= (
1
2 )�与�= �2 −��复合而成，
在�= (
1
2 )�中，�=
1
2，，所以�= (
1
2 )�在R 上单调递减.
因为�(�) = (
1
2 )�2−��在1, + ∞上单调递减，且外层函数�= (
1
2 )�在R 上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数�= �2 −��在1, + ∞上单调递增.
对于二次函数�= �2 −��，其图象开口向上，对称轴为�=−
−�
2×1 =
�
2.
二次函数在对称轴右侧单调递增，要使�= �2 −��在1, + ∞上单调递增，
则对称轴需满足
�
2 ≤1，解得�≤2.
故选：A.
20．（2026·浙江绍兴·二模）已知函数��=
e�
1+�e2�，则（
）
A．当�= 1 时，��是偶函数，且在区间0,1 上单调递增
B．当�= 1 时，��是奇函数，且在区间0,1 上单调递减
C．当�=−1 时，��是偶函数，且在区间0,1 上单调递减
D．当�=−1 时，��是奇函数，且在区间0,1 上单调递增
【答案】D
【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的�取值，对函数进行分析，即可判断和选择.
【解答过程】对AB：当�= 1 时，��=
e�
1+e2�，其定义域为�，�−�=
e−�
1+e−2�=
e�
1+e2�= �(�)，故�(�)为偶
函数；
又��=
e�
1+e2�=
1
e�+e−�，当�∈(0,1)时，令�= e�∈(1, e)，
因为�= �+
1
�在�∈(1, e)单调递增，�= e�在�∈(0,1)单调递增，故�= e�+ e−�在(0,1)单调递增，
故��=
1
e�+e−�在(0,1)单调递减，故AB 都错误；
对CD：当�=−1 时，��=
e�
1−e2�，其定义域为�，�−�=
e−�
1−e−2�=
e�
e2�−1 =−�(�)，故�(�)为奇函数；
又��=
e�
1−e2�=
1
e−�−e�，当�∈(0,1)时，�= e−�, �=−e�均为减函数，故�= e−�−e�为(0,1)上的减函数，
故��=
1
e−�−e�为(0,1)上的增函数，故C 错误，D 正确.
故选：D.
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【题型6
指数（型）函数的最值（值域）问题】
21．（25-26 高二上·贵州铜仁·阶段检测）函数��= 2�+ 1 在区间0,1 上的最小值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解题思路】分析可知函数��= 2�+ 1 在区间0,1 上单调递增，结合单调性求最值.
【解答过程】因为�= 2�在区间0,1 上单调递增，则函数��= 2�+ 1 在区间0,1 上单调递增，
所以函数��= 2�+ 1 在区间0,1 上的最小值为�0 = 20 + 1 = 2.
故选：A.
22．（2026·云南昆明·模拟预测）函数��= 2�−1, �<−2
�2 −1, �≥−2 的值域为（
）
A．−1, + ∞
B．−1, −
3
4
C．�
D．−1, −
3
4
【答案】A
【解题思路】利用函数��在−∞, −2 、−2, + ∞上的值域，取并集即可得出函数��的值域.
【解答过程】当�<−2 时，��= 2�−1，因为函数�= 2�在−∞, −2 上单调递增，
所以0 < 2�< 2−2 =
1
4，此时��= 2�−1 ∈−1, −
3
4 ；
当�≥−2 时，因为函数��= �2 −1 在−1,0 上为减函数，在0, + ∞上为增函数，
故��≥�0 =−1，即��= �2 −1 在−2, + ∞上的值域为−1, + ∞.
综上所述，函数��的值域为−1, + ∞.
故选：A.
23．（2026 高三·全国·专题练习）若函数��= ���> 0 且�≠1 在−1,2 上的值域为3�, 9 ，则�的值为
（
）
A．−4 或−1
B．0 或−2
C．−2 或−1
D．−4 或−2
【答案】A
【解题思路】分0 < �< 1 和�> 1 两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解．
【解答过程】∵函数�= ��在−1,2 上的值域为3�, 9 ，
当0 < �< 1 时，�= ��在−1,2 上单调递减，则�−1 = 9，解得�=
1
9，
则3�= �2 =
1
81，得�=−4，
当�> 1 时，�= ��在−1,2 上单调递增，则�2 = 9，解得�= 3 或−3（舍去），
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则3�= �−1 =
1
3，得�=−1，
综上，�=−4 或−1．
故选：A．
24．（25-26 高三上·北京·阶段检测）若函数��= �⋅4�+ 2�−1 ⋅2�有最小值，则t 的取值范围是（
）
A．0,
1
2
B．0,
1
2
C．
1
2 , + ∞
D．
1
2 , + ∞
【答案】A
【解题思路】设�= 2�，将��转化为关于��的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.
【解答过程】设�= 2�，则�> 0，��= ��= �⋅�2 + 2�−1 ⋅�，�> 0 有最小值.
当�< 0 时，二次函数��开口向下，无最小值；
当�= 0 时，��=−�无最小值；
当�> 0 时，若��在0, + ∞上有最小值，则对称轴−
2�−1
2�> 0，解得0 < �<
1
2.
故选：A.
一、单选题
1．（2026·广西·三模）已知集合�= {�|2 < �< 5}，�= {�|2�≤8}，则�∪�=（
）
A．{�|2 < �≤3}
B．{�|�< 5}
C．{�|3 ≤�< 5}
D．{�|�≤3}
【答案】B
【解题思路】先求出集合�，再根据并集的定义求解即可.
【解答过程】由2�≤8 = 23，解得�≤3，所以�= {�|�≤3}，
因为�= {�|2 < �< 5}，所以�∪�= {�|�< 5}.
故选：B．
2．（25-26 高三上·北京·开学考试）设�= log30.4, �= log43, �= 30.4，则（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【答案】A
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【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性可得�、�、�范围，即可得解.
【解答过程】由�= log30.4 < log31 = 0，log41 < �= log43 < log44，即0 < �< 1，
�= 30.4 > 30 = 1，故�< �< �.
故选：A.
3．（2026·湖南·模拟预测）“2026�> 2026�≥1”是“�2 > �2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】化简2026�> 2026�≥1 可得�> �≥0，然后根据�> �≥0 与�2 > �2的推出关系判断即可.
【解答过程】由2026�> 2026�≥1 及指数函数的单调性可得�> �≥0，此时�2 > �2成立，
反之不成立，例如�=−2, �=−1，显然2026�> 2026�≥1 不成立，
所以“2026�> 2026�≥1”是“�2 > �2”的充分不必要条件，
故选：A．
4．（2026·山东聊城·模拟预测）若�⋅2�= �⋅log2�= 1，则下列式子可能成立的是（
）
A．�< �< �
B．�< �= �
C．�= �< �
D．�< �< �
【答案】B
【解题思路】根据题意，得到�> 1, �> 0，所以2�= log2�=
1
�，分别作出指数函数、对数函数和幂函数的图
象，结合图象，即可求解.
【解答过程】因为�⋅2�= �⋅log2�= 1，可得�> 1, �> 0，所以2�= log2�=
1
�，
作出函数�= 2�，�= log2�(�> 1)，�=
1
�(�> 0)，以及�= �的大致图象，
如图所示，当�取不同值时，可能得到：�< �< �, �< �= �, �< �< �, �= �< �, �< �< �，
可得�< �< �, �= �< �, �< �< �均不可能成立，
只有�< �= �可能成立.
故选：B.
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5．（2026·甘肃白银·二模）已知2025�= 2024, �= 2024�−2023, �= 2026�−2025，则（
）
A．�< �< 0
B．0 < �< �
C．�< 0 < �
D．�< 0 < �
【答案】C
【解题思路】由已知可得0 < �< 1,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定�, �的正负，进而
做出判定.
【解答过程】∵2025�= 2024，∴0 < �< 1，∴
2025�
2024�=
2025
2024
�
<
2025
2024 <
2024
2023，
又∵2025�= 2024，∴2024�> 2023，∴�= 2024�−2023 > 0；
又
2025�
2026�=
2025
2026
�
>
2025
2026 >
2024
2025，且2025�= 2024，
∴2026�< 2025，∴�= 2026�−2025 < 0，
∴�< 0 < �.
故选：C.
6．（2026·天津北辰·三模）已知�, �∈�，则“2�> 2�”是“ �>
�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据充分必要条件的定义、以及指数函数的性质判断即可.
【解答过程】取�=−1, �=−2，满足2�> 2�，但得不出�>
�，
所以“2�> 2�”是“ �>
�”的不充分条件；
由�>
�，可得�> �，又因为�= 2�在R 上单调递增，
所以2�> 2�，所以“2�> 2�”是“ �>
�”的必要条件；
所以“2�> 2�”是“ �>
�”的必要不充分条件.
故选：B.
7．（2026·黑龙江佳木斯·三模）已知正数�，�满足2�⋅4�= 4��，则2�+ �的最小值是（
）
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A．2 2
B．9
C．
9
2
D．13
【答案】C
【解题思路】由2�⋅4�= 4��可得
1
2�+
1
�= 1，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.
【解答过程】由2�⋅4�= 4��，则2�⋅22�= 22��，即�+ 2�= 2��，则
1
2�+
1
�= 1，
所以2�+ �= 2�+ �
1
2�+
1
�=
�
�+
�
�+
5
2 ≥2
�
�⋅
�
�+
5
2 =
9
2，
当且仅当
�
�=
�
�，即�= �=
3
2时等号成立，
所以2�+ �的最小值是
9
2.
故选：C.
8．（25-26 高三上·江西·阶段检测）已知函数�(�) =
−�2 −��−
�
2 , �< 0
3e�−
1
�+1 , �≥0
在�上单调递增，则�的取值范围
是（
）
A．−∞, −4
B．0, + ∞
C．−4,0
D．−4,0
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解.
【解答过程】由函数�(�) =
−�2 −��−
�
2 , �< 0
3e�−
1
�+1 , �≥0
在�上单调递增，得
−
�
2 ≥0
−
�
2 ≤2 ，解得−4 ≤�≤0，
所以�的取值范围是−4,0 .
故选：D.
二、填空题
9．（2026·北京丰台·二模）不等式2�<
1
4的解集是___________.
【答案】( −∞, −2)
【解题思路】把不等式化为2�< 2−2，结合指数函数�= 2�的单调性，即可求解.
【解答过程】由不等式2�<
1
4，可化为2�< 2−2，
因为函数�= 2�为定义域R 上的单调递增函数，所以�<−2，
所以不等式2�<
1
4的解集为( −∞, −2).
故答案为：( −∞, −2).
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10．（2026·陕西安康·三模）若2�= �, 3�= �，则4�⋅27−�=___________．（用m，n 表示）
【答案】
�2
�3
【解题思路】由条件结合指数幂的运算性质可得4�= �2, 27�= �3，结合关系4�⋅27−�=
4�
27�可得结论.
【解答过程】因为2�= �, 3�= �，所以4�= �2, 27�= �3，
所以4�⋅27−�=
4�
27�=
�2
�3．
故答案为：
�2
�3．
11．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间�（单位：小时）与贮藏温度�（单位：℃）
之间满足：�= e��+�（其中�，�为常数）.若该蔬菜在贮藏温度�为9℃的环境下保鲜时间�为261 小时，在
23℃的环境下保鲜时间为29 小时.若该蔬菜运输总物流时间为87 小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不
少于运输时长的1.2 倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度�的最大整数数值为________.（参考数据：ln3 ≈
1.099，ln29 ≈3.367，ln104.4 ≈4.648）
【答案】14
【解题思路】把�与�的值直接代入�= e��+�得到关于�、�的方程组，解出参数�的值；根据保鲜的实际要求
列出不等式e��+�≥87 × 1.2；对其两边取自然对数转化为不等式，结合�的值即可解出�的取值范围，并从
中确定�的最大数值.
【解答过程】已知保鲜时间�与贮藏温度�的关系为�= e��+�（�，�为常数）.
当�= 9 时，�= 261，代入得261 = e9�+�①，
当�= 23 时，�= 29，代入得29 = e23�+�②，
将①÷②化简可得9 = e 9�+�−23�+�，即9 = e−14�，解得�=−
ln3
7 ，
由运输要求�≥87 × 1.2 = 104.4，即e��+�≥104.4，
又因261 = e9�+�，所以e��−9 =
e��+�
e9�+�≥
104.4
261 = 0.4 ，
即��−9 ≥ln0.4 ，而ln0.4 = ln104.4 −ln261，
其中ln261 = ln 9 × 29 = 2ln3 + ln29 ≈2 × 1.099 + 3.367 = 5.565 ，
所以ln0.4 ≈4.648 −5.565 =−0.917，
代入�=−
ln3
7 可得−
ln3
7
�−9 ≥−0.917，因此�−9 ≤
7×0.917
1.099 ≈5.84，
解得�≤14.84.
所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最大整数值为14℃.
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故答案为：14．
12．（2026·河北张家口·一模）已知函数��满足�−�= �2 + �，当�∈−∞, 1 时，��= e2�−e−�，
则不等式���> 0 的解集为__________．
【答案】−∞, 0 ∪0,2
【解题思路】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可.
【解答过程】根据题意，因为函数��满足�−�= �2 + �，所以函数��的对称轴为直线�= 1，
因为函数�= e2�在�∈−∞, 1 上单调递增，函数�= e−�在�∈−∞, 1 上单调递减，
所以函数��= e2�−e−�在�∈−∞, 1 上单调递增，
则函数��在�∈1, + ∞上单调递减，
由�0 = 0 得�2 = 0，���> 0 等价于
�> 0
��> 0 或
�< 0
��< 0 ，
解得0 < �< 2 或�< 0，所以不等式���> 0 的解集为−∞, 0 ∪0,2 .
故答案为：−∞, 0 ∪0,2 ．
一、单选题
1．（2026·山东济宁·模拟预测）已知函数��=
2
3−3�，则下列是奇函数的是（
）
A．��+ 2 +
1
3
B．��+ 1 −
1
3
C．��+ 2 + 3
D．��+ 1 −3
【答案】B
【解题思路】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD 定义域关于原点对称，进而令��=
��+ 1 −
1
3，利用奇函数的定义计算可判断B，令��=
2
3−3�+1 −3，利用奇函数的定义计算可判断D.
【解答过程】因为��=
2
3−3��≠1 ，
对于A，��+ 2 +
1
3 =
2
3−3�+2 +
1
3 �≠−1 ，定义域不关于原点对称，
所以��+ 2 +
1
3不是奇函数，故A 错误；
对于B，所以��+ 1 =
2
3−3�+1 =
2
3
1
1−3�
�≠0 ，则��+ 1 −
1
3 =
1
3
1+3�
1−3�，
令��= ��+ 1 −
1
3 =
1
3
1+3�
1−3�
�≠0 ，定义域关于原点对称，
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�−�=
1
3
1+3�
3�−1 =−��，所以B 正确；
对于C，��+ 2 + 3 =
2
3−3�+2 + 3 �≠−1 ，定义域不关于原点对称，
所以��+ 2 + 3 不是奇函数，故C 错误；
对于D，所以��+ 1 =
2
3−3�+1 �≠0 ，则��+ 1 −3 =
2
3−3�+1 −3，
令��=
2
3−3�+1 −3，定义域关于原点对称，
�−�=
2
3−3−�+1 −3 =
2×3�
3�−3 −3 = 2 +
6
3�−3 −3 =
6
3�−3 −1 ≠−��，
所以��+ 1 −3 不是奇函数，所以D 不正确；
故选：B.
2．（25-26 高二下·浙江·阶段检测）已知函数�(�) =−
1
4�+1 + 2�3 +
3
2，若对任意�∈[ −2,2]，都有�(�+ 1) +
�(�−�2) > 2，则实数�的取值范围是（
）
A．{�|�<
4
5 }
B．{�∣�< 5}
C．{�|0 < �<
4
5 }
D．�∣�> 5
【答案】D
【解题思路】结合指数函数、幂函数的单调性确定�(�)的单调性，构造函数�(�) = �(�) −1 并探讨奇偶性，
再利用性质求解不等式.
【解答过程】函数�=−
1
4�+1 , �= 2�3 +
3
2在[ −2,2]上单调递增，则函数�(�)在[ −2,2]上单调递增，
令�(�) = �(�) −1 =−
1
4�+1 + 2�3 +
1
2，则函数�(�)在[ −2,2]上单调递增，
�( −�) + �(�) =−
1
4−�+1 + 2( −�)3 +
1
2 −
1
4�+1 + 2�3 +
1
2 = 0，即函数�(�)是奇函数，
不等式�(�+ 1) + �(�−�2) > 2 ⇔�(�+ 1) −1 + �(�−�2) −1 > 0
⇔�(�+ 1) + �(�−�2) > 0 ⇔�(�+ 1) >−�(�−�2) = �(�2 −�)，则�+ 1 > �2 −�，
依题意，�> �2 −�−1 在[ −2,2]上恒成立，而当�∈[ −2,2]时，�2 −�−1 ≤5，当且仅当�=−2 时取等
号，
则�> 5，所以实数�的取值范围是�> 5.
故选：D.
3．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，某池塘里浮萍的面积�（单位：m2）与时间�（单位：周）的关系为�= ��
（�为常数），则下列说法中正确的是（
）
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A．浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值
B．�= 4 时，浮萍面积就会超过20m2
C．浮萍每周增加的面积都相等
D．若浮萍面积为2m2，3m2，6m2时所对应的时间分别是�1，�2，�3，则�1 + �2 = �3
【答案】D
【解题思路】根据题意可得�= 2�，利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可.
【解答过程】由图可得：函数�= ��过点1,2 ，
则2 = �1，解得�= 2，即�= 2�.
对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为
2�+1
2�= 2，为定值，故A 错误；
对于选项B：若�= 4 时，则�= 24 = 16 < 20，
所以浮萍面积不会超过20m2，故B 错误；
对于选项C：第二周比第一周增加�2 −�1 = 22 −21 = 2，第三周比第二周增加�3 −�2 = 23 −22 = 4，
即�2 −�1 ≠�3 −�2，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C 错误；
对于选项D：由题意可得：2 = 2�1, 3 = 2�2, 6 = 2�3，则�1 = log22, �2 = log23, �3 = log26，
所以�1 + �2 = log22 + log23 = log22 × 3 = log26 = �3，故D 正确.
故选：D.
4．（2026·天津和平·三模）定义域为�的函数��满足��+ 4 = 2��，当�∈0,4 时，��=
1
2 �2 −�, �∈0,2
−
1
3
�−3
, �∈2,4
，若�∈−8, −4 时，��≥
�−1
4
−
1
�，则实数�的取值范围是（
）
A．−∞, −2 ∪0,2
B．−2,2
C．−2,0 ∪0,2
D．−2,0 ∪2, + ∞
【答案】A
【解题思路】结合题意求出函数��在区间−8, −4 上的最小值，根据题意得出��min ≥
�−1
4
−
1
�，解该不
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等式即可得解.
【解答过程】当�∈−8, −4 时，��≥
�−1
4
−
1
�恒成立，则��min ≥
�−1
4
−
1
�，
因为定义域为�的函数��满足��+ 4 = 2��，
当�∈0,4 时，��=
1
2 �2 −�, �∈0,2
−
1
3
�−3
, �∈2,4
，
当�∈−8, −6 时，�+ 8 ∈0,2 ，
则��=
1
2 ��+ 4 =
1
4 ��+ 8 =
1
4 ×
1
2 �+ 8 2 −�+ 8
=
1
8 �+ 8 2 −
1
4 �+ 8
=
1
8
�+ 8 2 −2 �+ 8 + 1 −
1
8 =
1
8 �+ 7 2 −
1
8，
因为−1 ≤�+ 7 < 1，此时��≥�−7 =−
1
8；
当�∈−6, −4 时，�+ 8 ∈2,4 ，
则��=
1
2 ��+ 4 =
1
4 ��+ 8 =
1
4 × −
1
3
�+8−3
=−
1
4 ⋅
1
3
�+5
，
因为−1 ≤�+ 5 < 1，则0 ≤�+ 5 ≤1，则
1
3 ≤
1
3
�+5
≤1，所以��≥�−5 =−
1
4，
所以，函数��在−8, −4 上的最小值为��min = �−5 =−
1
4，
所以，
�−1
4
−
1
�≤��min =−
1
4，即
�
4 −
1
�≤0，即
�2−4
4�≤0，解得�≤−2 或0 < �≤2.
因此，实数�的取值范围是−∞, −2 ∪0,2 .
故选：A.
二、解答题
5．（25-26 高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数�(�) = ���−�−�(�> 0 且�≠1)是定义在[ −8,8]上的奇
函数.
(1)若�(1) > 0，求不等式��2 + 2�+ �(�−4) > 0 的解集；
(2)若�(1) =
3
2，且�(�) = �2�+ �−2�−4�(�)，求函数�= �(�)在1,2 上的值域.
【答案】(1)(1,2]
(2) −2,
17
16
【解题思路】(1)利用奇函数的性质确定参数�，由�(1) > 0 判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，
再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集；
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(2)由�(1) =
3
2求出底数�，通过换元法将�(�)转化为关于�的二次函数，根据�的取值范围确定�的区间，再利
用二次函数的单调性求解值域.
【解答过程】（1）由�(�)为定义在[ −8,8]上的奇函数，得�(0) = 0，即��0 −�0 = �−1 = 0，
故�= 1，�(�) = ��−�−�.
由�(1) = �−
1
�> 0，结合�> 0，得�2 −1 > 0，故�> 1.
�(�) = ��−�−�在[ −8,8]上单调递增，且�( −�) =−�(�).
由�(�2 + 2�) + �(�−4) > 0，得�(�2 + 2�) > �(4 −�).
所以
−8 ≤�2 + 2�≤8
−8 ≤�−4 ≤8
�2 + 2�> 4 −�
，解得1 < �≤2.
所以不等式��2 + 2�+ �(�−4) > 0 的解集为(1,2].
（2）由�(1) = �−
1
�=
3
2，整理得2�2 −3�−2 = 0，
解得�= 2（�=−
1
2舍去），故�(�) = 2�−2−�.
�(�) = 22�+ 2−2�−4(2�−2−�)，令�= 2�−2−�，
则22�+ 2−2�= �2 + 2，故�(�) = �2 −4�+ 2.
当�∈[1,2]时，�= 2�−2−�单调递增，得�∈
3
2 ,
15
4 .
函数�= �2 −4�+ 2 = (�−2)2 −2，开口向上，对称轴为�= 2.
当�= 2 时，�min =−2；当�=
15
4 时，�max =
15
4 −2
2
−2 =
17
16，
故函数�= �(�)在1,2 上的值域为−2,
17
16 .
6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数�(�) = 2�+
�
2�（�∈R 且�≠0）是偶函数.
(1)求实数�的值；
(2)若�(�) = �(�) −
2�
2�，且对于∀�∈R，不等式��2 −�−
3
4 + �( −�2 + 2�+ 4) > 0 恒成立，求整数
�的取值集合．
【答案】(1)1
(2) 0,1,2
【解题思路】（1）利用偶函数满足�( −�) = �(�)，求解�的值；
（2）利用函数�(�)的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数�的条件求解.
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【解答过程】（1）因为��= 2�+
�
2�是偶函数，根据偶函数满足�( −�) = �(�)，
得2−�+
�
2−�= 2�+
�
2�，即
1
2�+ �⋅2�= 2�+
�
2�，
整理得(�−1)2�+ (1 −�)
1
2�= 0，即(�−1)(2�−
1
2�) = 0，
因为∀�∈R, 2�−
1
2�不恒为0，所以必须�−1 = 0，所以�= 1；
（2）由（1）知�= 1，则��= ��−
2
2�= 2�+
1
2�−
2
2�= 2�−
1
2�
因为∀�∈R，�−�= 2−�−
1
2−�=
1
2�−2�=−��，故�(�) 是奇函数，
而�= 2�单调递增，�=
1
2�单调递减，
故�=−
1
2�单调递增，因此�(�)在�上单调递增，
不等式�(�2 −�−
3
4 ) + �( −�2 + 2�+ 4) > 0 可化为�(�2 −�−
3
4 ) >−�( −�2 + 2�+ 4)，
即�(�2 −�−
3
4 ) > �(�2 −2�−4)，
因为�(�)单调递增，所以�2 −�−
3
4 > �2 −2�−4，∀�∈R，
只需左边的最小值大于右边即可，令ℎ�= �2 −�−
3
4，
这是开口向上的二次函数，其最小值为ℎ�min = ℎ
1
2 = (
1
2 )2 −
1
2 −
3
4 =−1
因此−1 > �2 −2�−4，整理得�2 −2�−3 < 0，即(�−3)(�+ 1) < 0，
解得−1 < �< 3，又�为整数，故�的值为0,1,2，
整数�的取值集合是0,1,2 .
7．（25-26 高三上·福建莆田·开学考试）已知定义域都为�的函数��与��满足：��是偶函数，��是
奇函数，且��+ ��= 2 ⋅3�．
(1)求函数��、��的解析式；
(2)设��=
3�−2
3�+2，ℎ�= �2�−2��+ 2�−3，对于∀�1 ∈�，都有∃�2 ∈0, + ∞，使得��1 = ℎ�2 ，
求实数�的取值范围．
【答案】(1)��= 3�+ 3−�，��= 3�−3−�；
(2)�≤
1
2
【解题思路】（1）根据函数奇偶性得到��−��= 2 ⋅3−�，结合条件得到方程组，求出答案；
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（2）��在R 上的值域为ℎ�在�∈0, + ∞上的值域的子集，求出��在R 上的值域为−1,1 ，换元得到
ℎ�= ��= �−1 2 + 2�−2，ℎ�在�∈0, + ∞上的值域为2�−2, + ∞，所以−1,1 ⊆2�−2, +
∞，故2�−2 ≤−1，解得�≤
1
2.
【解答过程】（1）因为��+ ��= 2 ⋅3�①，所以�−�+ �−�= 2 ⋅3−�，
��是偶函数，��是奇函数，故�−�= ��, �−�=−��，
故��−��= 2 ⋅3−�②，
故①+②得��= 3�+ 3−�，则��= 2 ⋅3�−3�−3−�= 3�−3−�，
（2）对于∀�1 ∈�，都有∃�2 ∈0, + ∞，使得��1 = ℎ�2 ，
则��在R 上的值域为ℎ�在�∈0, + ∞上的值域的子集，
其中��=
3�−2
3�+2 =
3�+2−4
3�+2 = 1 −
4
3�+2，
因为3�+ 2 > 2，0 <
1
3�+2 <
1
2，−1 < 1 −
4
3�+2 < 1，
所以��在R 上的值域为−1,1 ，
ℎ�= �2�−2��+ 2�−3 = 32�+ 3−2�−2 ⋅3�+ 2 ⋅3−�+ 2�−3
= 3�−3−�2 −2 3�−3−�+ 2�−1，
令3�−3−�= �，显然�= 3�−3−�在�∈0, + ∞上单调递增，
所以�= 3�−3−�∈30 −3−0, + ∞= 0, + ∞，
故ℎ�= ��= �2 −2�+ 2�−1 = �−1 2 + 2�−2，
当�= 1 时，��= �−1 2 + 2�−2 取得最小值，最小值为2�−2，
故ℎ�在�∈0, + ∞上的值域为2�−2, + ∞，
所以−1,1 ⊆2�−2, + ∞，故2�−2 ≤−1，解得�≤
1
2.
8．（2026·辽宁沈阳·一模）已知函数�(�) =
�⋅2�−1+1
�⋅2�−1+1是定义域为R 的奇函数，�, �∈R.
(1)求�, �的值；
(2)用定义法证明�(�)的单调性；
(3)当�∈[1,4]时，�(��) + �( −�2 −4) > 0 恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)�= 2，�=−2；
(2)减函数；
(3)( −∞, 4)
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【解题思路】（1）利用奇函数性质得�0 = 0, �−1 =−�1 ，进而解得�, �即可.
（2）利用定义法得到函数��的单调性即可.
（3）利用奇函数性质得���> �4 + �2 ，再由单调性得��< 4 + �2，即�< �+
4
�，最后利用均值不等式求
解参数范围即可.
【解答过程】（1）因为函数��是定义域为R 的奇函数，
所以�0 =
�
2+1
�
2+1 = 0，得�=−2，
又�−1 =−�1 ，即
−1
2+1
�
4+1 =−
−2+1
�+1 ，解得�= 2，
则��=
−2�+1
2�+1 ，经检验符合题意.
(2)由已知得��=
−2�+1
2�+1 ，则��=−1 +
2
2�+1，
任取�1, �2，且令�1 < �2，则��1 −��2 =−1 +
2
2�1+1 −( −1 +
2
2�2+1 )
=
2
2�1 + 1 −
2
2�2 + 1 =
2(2�2 + 1)
(2�1 + 1)(2�2 + 1) −
2(2�1 + 1)
(2�1 + 1)(2�2 + 1)
=
2(2�2−2�1)
(2�1+1)(2�2+1) > 0，得到��1 −��2 > 0，
故��1 > ��2 ，则�(�)是减函数.
（3）由题意得���>−�−�2 −4 在�∈1,4 时恒成立，
因为��是单调递减的奇函数，
所以���> �4 + �2 ，即��< 4 + �2在�∈1,4 时恒成立，
得到�< �+
4
�，且令�(�) = �+
4
�，即�< �(�)min恒成立，
又�+
4
�≥2 �×
4
�= 4，当且仅当�= 2 时等号成立，
得到�(�)min = 4，得到�< 4，即�∈( −∞, 4).
一、单选题
1．（2026·上海·高考真题）�为不为1 的任意实数，则�⋅3 �=（
）
A．�
3
2
B．�
4
3
C．�
5
2
D．�
5
3
【答案】B
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【解题思路】根据指数运算即可得解.
【解答过程】由�≠1，则�⋅3 �= �⋅�
1
3 = �1+1
3 = �
4
3.
故选：B.
2．（2026·天津·高考真题）已知函数�(�) = ln�，若�= �(20.3)，�= �(30.3)，�= �(3−0.5)，则�，�，�
的大小关系为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【答案】A
【解题思路】根据对数函数与绝对值的性质化简�(�)，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小
即可.
【解答过程】由题意可得�(�) =
ln�, �> 1
−ln�, 0 < �< 1 ，
因为函数�= �0.3在(0, + ∞)上单调递增，所以1 < 20.3 < 30.3，
又因函数�= 3�在R 上单调递增，则0 < 3−0.5 < 1 < 30.5，
所以�= �(3−0.5) =−ln3−0.5 = ln30.5 = �(30.5)，
因1 < 20.3 < 30.3 < 30.5，且�(�)在(1, + ∞)上单调递增，
所以�(20.3) < �(30.3) < �(30.5)，即�(20.3) < �(30.3) < �(3−0.5).
故�< �< �.
故选：A.
3．（2025·天津·高考真题）函数�(�) = 0.3�−
�的零点所在区间是（
）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
【答案】B
【解题思路】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【解答过程】由指数函数、幂函数的单调性可知：�= 0.3�在R 上单调递减，�=
�在0, + ∞单调递增，
所以��= 0.3�−
�在定义域上单调递减，
显然�0 = 1 > 0, �0.3 = 0.30.3 −0.30.5 > 0, �0.5 = 0.30.5 −0.50.5 < 0，
所以根据零点存在性定理可知��的零点位于0.3,0.5 .
故选：B.
4．（2025·上海·高考真题）设�> 0, �∈�．下列各项中，能推出��> �的一项是（
）
A．�> 1，且�> 0
B．�> 1，且�< 0
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C．0 < �< 1，且�> 0
D．0 < �< 1，且�< 0
【答案】D
【解题思路】利用指数函数的性质分类讨论�与1 的关系即可判定选项.
【解答过程】∵�> 0, ��> �，∴��−1 > 1 = �0，
当�∈0,1 时，�= ��定义域上严格单调递减，
此时若�−1 < 0，则一定有��−1 > 1 = �0成立，故D 正确，C 错误；
当�∈1, + ∞时，�= ��定义域上严格单调递增，要满足��−1 > 1 = �0，需�> 1，即A、B 错误.
故选：D.
5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数�=
�−1
ln�是河流水质的一个评价指标，其中�, �分别表示河流中
的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数�没有
变化，生物个体总数由�1变为�2，生物丰富度指数由2.1 提高到3.15，则（
）
A．3�2 = 2�1
B．2�2 = 3�1
C．�2
2 = �1
3
D．�2
3 = �1
2
【答案】D
【解题思路】根据题意分析可得
�−1
ln�1 = 2.1,
�−1
ln�2 = 3.15，消去�即可求解.
【解答过程】由题意得
�−1
ln�1 = 2.1,
�−1
ln�2 = 3.15，则2.1ln�1 = 3.15ln�2，即2ln�1 = 3ln�2，所以�2
3 = �1
2.
故选：D.
6．（2024·天津·高考真题）设�= 4.2−0.2，�= 4.20.2，�= log4.20.2，则�，�，�的大小关系为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【答案】D
【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【解答过程】因为�= 4.2�在R 上递增，且−0.2 < 0 < 0.2，
所以0 < 4.2−0.2 < 4.20 < 4.20.2，
所以0 < 4.2−0.2 < 1 < 4.20.2，即0 < �< 1 < �，
因为�= log4.2�在(0, + ∞)上递增，且0 < 0.2 < 1，
所以log4.20.2 < log4.21 = 0，即�< 0，
所以�< �< �，
故选：D.
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7．（2024·天津·高考真题）已知�, �∈�，则“�3 = �3”是“3�= 3�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【解答过程】根据立方的性质和指数函数的性质，�3 = �3和3�= 3�都当且仅当�= �，所以二者互为充要条
件.
故选：C.
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