文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
函数的零点与方程的解
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】函数零点所在区间的判定
【题型二】函数零点个数的判定
【题型三】 根据函数的零点个数求参
【题型四】二分法
【题型五】等高线
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：对两个计数原理理解混乱
：1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用
3.高考以选择填空最后一题为主，难度较大
：深刻理解如下几个概念
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f ( x ) ＝
0 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴
有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f ( a ) f ( b )<0
，那么，函数y＝f(x)在区间
( a ，
b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f ( c ) ＝
0 ，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f ( a ) f ( b )<0
的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，
使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【题型一】函数零点所在区间的判定
【例1】函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析函数
的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，
，
，则
，
由零点存在定理可知，函数
的零点所在的区间是
.
故选：B.
【例2】函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，分析可知函数
在
上为增函数，且该函数在区间
内有零点，可得出
，即可解得实数
的取值范围.
【详解】当
时，由
可得
，
令
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
故函数
在
上为增函数，
因为函数
在区间
内有零点，则函数
在区间
内有零点，
所以，
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
【例3】（多选）下列函数图象与x 轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（ ）
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用二分法的使用条件，结合图象即可得解.
【详解】能用二分法求零点的函数必须在给定区间
上连续不断，
并且有
，A、B 中不存在
，D 中函数不连续．
故选：ABD．
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有
f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
【变式1】已知定义在R 上的函数
满足
，
，且
，设函数
，则（ ）
A．
只有1 个零点，且该零点在
内
B．
有2 个零点，且2 个零点分别在
和
内
C．
只有1 个零点，且该零点在
内
D．
有2 个零点，且2 个零点分别在
和
内
【答案】C
【分析】根据已知求得
，进而由解析式判断
的单调性，应用零点存在性定理判断零点所
在区间，即可得答案.
【详解】令
，得
，又
，
所以
，解得
，所以
，
令
，得
，所以
，即
．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
函数
在R 上单调递增，且
.
故选：C
【变式2】已知函数
，则在下列区间中，函数
一定有零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可.
【详解】在同一坐标系内，作
，
图象，如图，
由图象可排除AB 选项，
又
,
，
，
所以由零点存在定理及图象可知，函数
在
上无零点，在
上有零点，
所以C 错误，D 正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间.
【题型二】函数零点个数的判定
【例1】若函数
满足
，且
时，
，已知函数
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．14
B．13
C．12
D．11
【答案】C
【分析】根据函数的周期性画出
的图象，结合指数函数，对数函数图象画出图象数形结合得出交点个
数即可得出零点个数.
【详解】∵
，
∴
是周期为2 函数，
∵
时
，则
，
的图象如下：
时
且递增，
时
且递减，
时
且递增，
又
，
，
，
由图知：区间
上函数交点共有12 个．
故选：C．
【例2】若函数
有极值点
，
，且
则关于x 的方程
的不同实根个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】求导数
，由题意知
，
是方程
的两根，从而关于
的方程
有两个根，作出草图，由图象可得答案.
【详解】
，
，
是方程
的两根，
由
，得
或
，
即
的根为
或
的解．
∵
根据题意画图：
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
由图象可知
有2 个解，
有1 个解，因此
的不同实根个数为3.
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想，属于中档题.
【例3】已知
是定义在
上的函数，且有
，当
时，
，则方程
的根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】由已知，讨论
的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可．
【详解】
是定义在
上的函数，且有
，
当
时，
，
则
时，
，则
时，
时，
时，
画出函数
与函数
的图象，
由图象可知方程
的根的个数为3.
故选：C.
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
【变式1】（多选）函数
的零点个数可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】BC
【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将
化简得到两个函数.讨论两
个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解.
【详解】由
，
，得
，
求函数
的零点个数等价于求函数
和
的图像的交点个数.
函数
的导函数
，当
时
；当
时
.
所以函数
在
上单调递增，在
单调递减.
时有最大值
，
时
，
时
，
，
.
过定点
的直线
，与函数
的图像的交点数为1 个或2 个，如图所示.
所以函数
的零点个数为1 个或2 个.
故选：BC.
【变式2】已知函数
，
，若
， 则
的零点个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据已知有
并画出函数大致图象，数形结合确定
的零点个数即可.
【详解】由题设
，函数大致图象如下，
其中当
趋近于
时，
；当
趋近于
时，
，
判断
的图象与直线
的交点个数：
由图知，
时它们有3 个不同的交点，
所以函数
的零点个数为3.
故选：B
【变式3】函数
的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，
，则方程
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】利用
的定义，进行分段讨论，找出与
图象交点个数即可.
【详解】由题，
，故
时，
，与
没有交点，
当
时，
，与
没有交点，
当
时，
，与
有一个交点，
当
时，
，与
有1 个交点，
当
时，
，与
没有交点，
故共有2 个交点，
故选：C.
【题型三】 根据函数的零点个数求参
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例1】已知函数
，
．若
在区间
内没有零点，则
的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】先把
化成
，求出
的零点的一般形式为
，根据
在区间
内没有零点可得关于
的不等式组，结合
为整数可得其相应的取值，从而得到所求的
取值范围.
【详解】由题设有
，
令
，则有
，即
，
因为
在区间
内没有零点，
故存在整数
，使得
，
即
，因为
，所以
且
，故
或
，
所以
或
.
故答案为：
.
【例2】（多选）已知函数
，若方程
有4 个不同的实数根，则下列
选项正确的为（ ）
A．方程
有2 个不相等实数根
B．函数
在
上单调递增
C．函数
无最值
D．实数
的取值范围为
【答案】AC
【分析】画出函数图象，根据图象可以判断ABC 是否正确，对于D 选项，将方程
是
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
为一元二次方程，利用韦达定理，结合分段函数的图象性质，得到根的分布，进而求出参数的取值范围．
【详解】由函数
解析式，可得函数图象如图：
由图知方程
有2 个的不相等实数根，函数
没有最值，故A、C 正确；
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故B 错误；
由于方程
有4 个不同的实数根，令
，
则
有2 个不同的实数根，所以
恒成立，
设
两个不等的实根为
，由韦达定理知：
，
则
异号，由图可知：
，
即函数
有两零点
，解得
，故D 错误.
故选：AC.
（活动性栏目）
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求
解.
【变式1】（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有两个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．当
时，点
为曲线
的对称中心
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
D．当
时，
在区间
上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性.
【详解】已知
，所以
,
当
时，
，方程有两个根，所以
正确，
当
时，
的解集为
，
的解集为
，
所以
在
上单调减，在
上单调增，所以
在
处取极小值，所以
错误,
当
时，
，
所以
关于
中心对称，所以
正确，
当
时，
的解集为
，而
,所以
在
上
单调递增，所以
正确.
故选：
【题型四】二分法
【例1】已知函数
，现用二分法求函数
在
内的零点的近似值，则使用两次二分
法后，零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解.
【详解】由二分法可知，第一次计算
，又
，
，
由零点存在性定理知零点在区间
上，
所以第二次应该计算
，又
，
所以零点在区间
上．
故选：A．
【例2】已知函数
的部分函数值如表所示:
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
那么函数
的一个零点的近似值（精确度为
）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果.
【详解】根据题干所给数据可知，
，
，且函数
在
上为增函数，
由零点存在定理可知，函数
的唯一零点在区间
内，
区间长度为
，结合选项可知，其近似值为
.
故选：B.
【变式1】用二分法求方程
在
内的近似解时，记
，若
，据此判断，方程的根应落在区间 内.
【答案】
【分析】由题意可得
，根据函数的零点存在定理以及单调性求得函数
的零点所在的
区间.
【详解】根据题意可得
在R 上单调递增，且
，
所以函数
的零点所在的区间为
.
故答案为：
.
【题型五】等高线
【例1】已知函数
，且关于
的方程
恰有四个不同的根，从小到大依次
为
，则（ ）
A．
B．
最小值为9
C．
恰有6 个不同的根D．
，使得
恰有8 个不同的根
【答案】ABD
【分析】画出函数的图象后可判断A 的正误，由图象的局部对称性可判断B 的正误，利用换元法可判断
CD 的正误.
【详解】
图像如下，
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可知
时，与
恰有四个不同交点，所以A 正确：
由对称性可知
，而
，所以
，
则
，所以
，
当且仅当
时等号成立，B 成立：
对于
，令
，
则
有两个不同根，
，
各有四个不同根，共有八个不同根，所以C 错误；
对于D，令
在
时有三个根：
，
而
有2 个不同根，
有4 个不同根，
有2 个不同根，
共8 个，所以D 正确．
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，一般刻画出内外两个方程对应函数的图象，再根据外方程的解
判断内方程的解，从而得到原方程的解的个数.
【例2】已知函数
，若
有四个不等的实数解
，
，
，
，下列说法
正确的是（ ）
A．
有最小值2
B．m 的取值范围是
C．
D．方程
有4 个不同的解
【答案】ACD
【分析】由题意作出函数
的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结
合图象即可判断C；令
，数形结合即可判断D．
【详解】解：由题意作出函数
的图像，如图所示：
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得
，
，
，
，
所以
有最小值2，故A 正确；
有四个不等的实数解
，
，
，
，可得
，故B 错误；
因为
为偶函数，所以图象关于
轴对称，
又
的对称轴为直线
，
所以由对称性可知
，
，可得
，故C 正确；
令
，则方程
可化为方程
，
结合图像得
有4 个解
，且
，
，
，
，
因为
有最小值2，所以只有当
时，
有4 个不同的x 与之对应，
故方程
有4 个不同的解，故D 正确，
故选：ACD．
【变式1】（多选）已知函数
，令
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的增区间为
B．当
有3 个零点时，
C．当
时，
的所有零点之和为
D．当
时，
有1 个零点
【答案】BD
【分析】函数
，结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数
的图象，根
据图象找出单调增区间即可判断选项A；根据图象观察函数
和
图象有3 个交点时
的取值范
围即可判断选项B；解方程
即可判断选项C；当
时，观察函数
和
的图
象的交点个数即可判断选项D.
【详解】作出函数
的图象如图所示，
，
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于A 选项，由图象可知，函数
的增区间为
和
，故A 选项错误；
的零点是函数
和
图象交点的横坐标，
对于B 选项，由图象可知，当
有3 个零点时，
，故B 选项正确；
对于C 选项，由
和
得
或
，即当
时，
有两个零点，
和1，所有零点之和为
，故C 选项错误；
对于D 选项，当
时，函数
和
的图象有1 个交点，即
有1 个零点，故D 选项
正确．
故选：BD.
【变式2】已知函数
，若方程
有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，作出函数
的图象，将方程实根问题转化为直线与函数图象交点问题求解.
【详解】方程
有三个不同的实数根，即函数
的图象与直线
有三个不同交点，
作函数
的图象如图所示，
，
观察图象，得当
时，函数
的图象与直线
有三个交点，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：B
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
易错点：数形结合以及作图的规范
例1 已知
是函数
的零点，则
.
【解析】由题可知，
，
所以
，
令
,则
单调递增，且
,
所以
，所以
，
所以
.故答案为：
例2、函数
2
π
( )
2sin sin(
)
2
f x
x
x
x
的零点个数为___.
【解析】函数
2
π
( )
2sin sin(
)
2
f x
x
x
x
的零点个数等价于方程
2
π
2sin sin(
)
0
2
x
x
x
的根的个数，即函数
π
( )
2sin sin(
)
2sinxcosx
sin 2x
2
g x
x
x
与
2
h(x)
x
的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下
图所示，由图可知，函数( )
g x 与h(x) 的图像有2 个交点.
变式1、已知函数 f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4 个零点，则实数a 的取值范围为________．
【解析】 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像
相切时，联立 整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝
0，解得a＝1 或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，
有1<a<2.
变式2、设
，对任意实数x，记
．
若
至少有3 个零点，则实数
的取值范围为 .
【解析】设
，
，由
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
17
