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专题3-1 三角函数图像与性质
目录
题型01 三角函数单调性.......................................................................................................................................................1
题型02 求周期......................................................................................................................................................................3
题型03 非同名函数平移......................................................................................................................................................6
题型04 对称轴最值应用......................................................................................................................................................8
题型05 对称中心最值应用................................................................................................................................................11
题型06 辅助角最值............................................................................................................................................................14
题型07 正余弦换元型最值................................................................................................................................................17
题型08 一元二次型换元最值............................................................................................................................................20
题型09 分式型最值............................................................................................................................................................21
题型10 最值型综合............................................................................................................................................................23
题型11 恒等变形：求角....................................................................................................................................................25
题型12 恒等变形：拆角求值（分式型）.........................................................................................................................27
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）........................................................................................................................29
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）................................................................................................................31
高考练场.............................................................................................................................................................................. 33
题型01 三角函数单调性
【解题攻略】
A，ω，φ 对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω 的作用
参数
作用
A
A 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅.
φ
φ 决定了x=0 时的函数值，通常称φ 为初相，ωx＋φ 为相位.
ω
ω 决定了函数的周期T＝
.
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1
时）或缩短（当0＜A＜1 时）到原来的A 倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx 的图象上所有点向左（当φ＞0 时）或向右（当φ
＜0 时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0 且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx 上所有点的横坐标缩短
（当ω＞1 时）或伸长（当0＜ω＜1 时）到原来的
_倍（纵坐标不变）即可得到．
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则使得
和
1
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都单调递增的一个区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【详解】当
从
增加到
时，
从0 递减到
，
从
递增到1，
所以
从
递减到
，
从
递减到
，A 错误；
当
从
增加到
时，
从
递减到
，
从1 递减到
，
所以
从
递增到
，
从
递减到
，B 错误；
当
从
增加到
时，
从
递减到
，
从
递减到
，
所以
从
递增到
，
从
递减到
，C 错误；
当
从
增加到
时，
从-1 递增到
，
从
递减到0，
所以
从
递增到
，
从
递增到
，D 正确；
故选：D
【典例1-2】已知函数
，则f（x）（ ）
A．在（0，
）单调递减
B．在（0，π）单调递增
C．在（—
，0）单调递减
D．在（—
，0）单调递增
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简得到
，再将选项代入检验，求出正确答案.
【详解】
，
故当
时，
，所以
不单调，AB 错误；
当
时，
，
在
上单调递增，
故D 正确故选：D
【变式1-1】（2022 上·福建莆田·高三校考）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2
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【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设
，即
，
，
单调递增，取
单调增的部分，
所以可得：
，即
，
解得：
答案：A.
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数
在下列某个区间上单调递增，这
个区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式结合辅助角公式化简可得
的表达式，求出其单调增区间，结合选项，即可判
断出答案.
【详解】∵
，
令
，则
，
即
的单调递增区间为
，当
时，
，
∴函数
在区间
上单调递增.故选：A
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“
”是“函数
在区间
上
单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数
区间
上单调递增，
则令
，
，解得
，
，
结合
是区间，所以
，解得
.
“
”是“
”的充分不必要条件,故选：A.
.
题型02 求周期
【解题攻略】
求周期方法
1. 直接法：
形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acos（ωx＋φ）函数的周期T＝
.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝
2. 观察法：
3
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形如
等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有
周期，以及最小正周期的值
3.恒等变形转化法。
4.定义证明法
【典例1-1】（2023 下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数
，则
的最小正周期（ ）
A．与
有关，且与
有关
B．与
有关，但与
无关
C．与
无关，且与
无关
D．与
无关，但与
有关
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最
小公倍数这一结论，解答即可.
【详解】
，
对于
，其最小正周期为
，对于
，其最小正周期为
，
所以对于任意
，
的最小正周期都为
，
对于
，其最小正周期为
，
故当
时，
，其最小正周期为
；
当
时，
，其最小正周期为
，
所以
的最小正周期与
无关，但与
有关.
故选：D.
【典例1-2】（2023 上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为
的个
数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.
【详解】画出函数
的图象如图所示：
由图可知函数
的最小正周期为
，满足题意；
对于
而言，
，即函数
的最小正
周期不是
，不满足题意；
对于
而言，
，即函数
的最小正周
期不是
，不满足题意；
对于
而言，
，即函数
的最
小正周期不是
，不满足题意；综上所述，满足题意的函数的个数有1 个.故选：A.
4
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【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定
和
，
为偶函数，排除，验证D 选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A：
，函数定义域为
，
，
函数为偶函数，排除；
对选项B：
，函数定义域为
，
，
函数为偶函数，排除；
对选项C：
，函数定义域为
，
，
函数为偶函数，排除；
对选项D：
，函数定义域为
，
，函数为奇函数，
，满足条件；
故选：D.
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数
，
的定义域为R，则“
，
为周期函
数”是“
为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.
【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则
有周期，若不为有理数，则无周期.
的周期为
，
的周期为
，则当
时，只有周期的整数倍才是函数的
周期，则不是充分条件；
若
，
，
则
为周期函数，但
，
为周期函数不正确，故不是必
要条件；因此为不充分不必要条件.故选：D
【变式1-3】（2023 上·江苏·高三专题练习）在函数①
，②
，③
，④
中，最小正周期为π 的函数有（ ）
A．①③
B．①④
C．③④
D．②③
【答案】D
【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.
【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，
，最小值周期为
；
②由翻折变换可知，函数
的图象如图：
5
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由图知
的最小值周期为
；
③由周期公式得
，所以
的最小值周期为
；
④
的最小值周期为
.
故选：D
题型03 非同名函数平移
【解题攻略】
平移变换：
1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；
2.正到余，余到正：
方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重
点）
【典例1-1】（2023 秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数
的图象，只
需将函数
的图象（ ）
A．先向右平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度
B．先向左平移
个单位长度，再向上平移1 个单位长度
C．先向右平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度
D．先向左平移
个单位长度，再向上平移1 个单位长度
【答案】B
【解析】根据
，
可判断.
【详解】
，
所以
先向左平移
个单位长度，再向上平移1 个单位长度可得到
的图象.
故选：B.
6
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【典例1-2】（2021 春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数
的图象，只需将函
数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移1 个单位长度
D．向右平移1 个单位长度
【答案】C
【分析】把
化成
可得平移的发现及其长度.
【详解】因为
，
所以要得到函数
的图象，
只需把函数
的图象上所有的点向左平移1 个单位长度.
故选：C.
【变式1-1】（2020 春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平栘
个单位
【答案】C
【解析】由题意利用函数
的图象变换规律，得出结论．
【详解】解：要得到函数
的图象，
只需将函数
的图象向左平移
个单位即可，
故选：C．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数
的图象，只需将函数
图象上所有的点（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】先得到
，再利用平移变换求解.
【详解】解：因为
，
将其图象上所有的点向右平移
个单位长度，得到函数
的图象.A，
7
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B，C 都不满足.故选：D
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数
，为了得到函数
的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向左平移
个单位
【答案】C
【分析】根据诱导公式
，
即可得到平移方法.
【详解】函数
，
，
所以为了得到函数
的图象只需将y=f（x）的图象向左平移
个单位.
故选：C
题型04 对称轴最值应用
【解题攻略】
正余弦对称轴：
最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值
【典例1-1】已知函数
的最大值为
，若存在实数
，使得对任意实数
，总有
成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
湖北省荆州市沙市中学2021-2022 学年高三上学期数学试题
【答案】B
【分析】
结合三角恒等变换求得
的最大值和最小值，并求得
的最小值.
【详解】
，
当
时
取得最大值为
.
8
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当
时
取得最小值为
.
依题意，存在实数
，使得对任意实数
，总有
成立，
，
，
是整数，
为奇数，所以
的最小值为
.
故选：B
【典例1-2】（2022 届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数
的图象向
右平移
个单位长度得到
的图象，若
为
的一条对称轴，则
__________．
【答案】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得
，
，再利用三角函数对称性列方程求
解即可．
【详解】
设
，则
，
，
，则
，
，
∴
，即
，
∴
，
，
又
是
的一条对称轴，
∴
，即
.故答案为
【变式1-1】已知把函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横坐标缩小到原
来一半，纵坐标不变，得到函数
的图象，若
，若
，
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先化简函数
，然后根据图像的变换得函数
的解析式，通过判断得
，
同时令
取得最大值
或最小值时，
，再结合函数
的图像，即可求得
的最大值.
【详解】
9
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．将图象向右平移至
个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数
，可得
，
所以
，
，
∴
，
同时令
取得最大值或最小值时，
．当
，
时，
，
根据函数的图象可知
的最大值为个周期的长度，即
故选：C.
【变式1-2 】（河南省三门峡市2021-2022 学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）. 将函数
的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移
个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，若
，
且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数平移变换,先求得
的解析式.根据
,可知
,即
.根据
可分别求得
的最大值和
的最小值,即可求得
的最大值.
【详解】
根据平移变换将函数
的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标不变,再把所得
的图象向左平移
个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1 个单位长度,
可得
10
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由
,
可知
即
所以
的最大值为
,
的最小值为
则
的最大值为
,
的最小值为
所以
的最大值为
故选:A
【变式1-3】（2021 届安徽省马鞍山二中高三下学期4 月高考模拟数学试题）将函数
的图
象向左平移
（
）个单位长度后得到函数
的图象，若使
成立的a、b 有
，则下列直线中可以是函数
图象的对称轴的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据三角函数平移关系求出
的解析式，结合
成立的
有
，求出
的关
系，结合最小值建立方程求出
的值即可.
解：将函数
的图象向左平移
（
）个单位长度后得到函数
的图象，
即
，若
成立，即
，即
，
则
与
一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设
，
则
，得
，则
，
∵
，∴当
时，
，当
时，
，
，则
或
，即
或
（舍），
即
，由
，得
，
当
时，对称轴方程为
.故选：D.
题型05 对称中心最值应用
【解题攻略】
11
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正余弦对称中心：
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数
的两条相邻对称轴之间
的距离为
，则下列点的坐标为
的对称中心的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为
，由此可求得
，得到
解析式；利用正弦型函
数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.
【详解】
两条相邻对称轴之间的距离为
，
最小正周期
，
解得：
，
，
令
，解得：
，此时
，
的对称中心为
，
当
时，
的一个对称中心为
.
故选：C.
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数
，其图象的一个最低点是
，距离
点最近的对称中心为
，则（ ）
A．
B．
是函数
图象的一条对称轴
C．
时，函数
单调递增
D．
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，若
是奇函数，则
的最小值是
【答案】C
【分析】由函数的图像的顶点坐标求出
，由周期求出
，由最低点求出
的值，可得函数的解析式，再
利用三角函数的图像和性质，得出结论．
【详解】解：
函数
，
的图象的一个最低点是
，
距离
点最近的对称中心为
，
，
，
，
，
，解得
，
，因为
，
令
，可得
，
12
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所以函数
，故A 错误；
，故函数关于
对称，故B 错误；
当
时，
，函数
单调递增，故C 正确；
把
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，
若
是奇函数，则
，
，即
，
，
令
，可得
的最小值是
，故D 错误，
故选：C
【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数
的图象向左平移
个单位，再将
纵坐标伸长为原来的4 倍（横坐标不变）得到函数
的图象，且
的图象上一条对称轴与一个对称
中心的最小距离为
，对于函数
有以下几个结论：
（1）
；
（2）它的图象关于直线
对称；
（3）它的图象关于点
对称；
（4）若
，则
；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先根据图像平移的性质求出
的函数解析式，逐项代入分析即可.
【详解】解：由题意得：
，向左平移
个单位，再将纵坐标伸长为原来的4 倍（横坐标不变）得到函
数
.
对于选项A：由
的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为
，最小正周期
，即
，解得
，故
，所以（1）错误；
当
时，代入
可知
，故图像的一条对称轴是
，故（2）正确；
当
时，代入
可知
，故图像的一个对称点是
，故（3）正确；
若
，则
，所以
因此
在
上的取值范围是
，故（4）正确；
由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为个.
13
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故选：C
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数
的图象分别向左、向右各平移
个
单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．6
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换求得
和
，根据函数
与
的对称中心重合，得到
，即可求解.
【详解】解：将函数
的图象分别向左平移
个单位长度后，
可得
将函数
的图象分别向右各平移
个单位长度后，
可得
，
因为函数
与
的对称中心重合，所以
，
即
，解得
，所以
的最小值为
.故选：A.
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知
的一个对称中心为
，
把
的图像向右平移
个单位后，可以得到偶函数
的图象，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得
到
的解析式，结合函数的奇偶性，求出
的取值，从而计算可得；
【详解】解：因为
，令
，
，解得
，
，即函数的对称中心坐标为
，
，所以
，
，把
的图
像向右平移
个单位得到
，因为
为偶函数，所以
，解得
，因为
，所以
，所以
，
且
，所以当
时
；故选：
D
题型06 辅助角最值
【解题攻略】
14
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辅助角范围满足：
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021 届高三下学期第一次联考数学试题已知
函数
，
的最小值为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由
可得出不等式
对任意的
恒成立，化简
得出
，分
、
两种情况讨论，结合
可求得实数
的取值范围.
【详解】
且
，
由题意可知，对任意的
，
，
即
，即
，
，则
，
，
，可得
.
当
时，
成立；
当
时，函数
在区间
上单调递增，则
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.故选：C.
【典例1-2】已知函数
在
上的值域为
，则
的取值范围为______.
15
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【答案】
【分析】
化简得
，其中
，
，
，再结合三角函数的性质可求解.
【详解】由题意得
，其中
，
，
，
令
，
.因为
，
，故
，
因为
，且
，所以
，
，
故
，则
.
又当
时，
单调递减，且
，
，故
.
【变式1-1】.已知函数
，周期
，
，且在
处取得最大值，则
使得不等式
恒成立的实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得
，①，
再根据
，可得
，②，通过①②求出
的值，再根据三角函数的性质可得
，
，求出
，根据不等式
恒成立，则
，即可求出答案．
【详解】
，其中
，
处取得最大值，
，即
，
，
，①，
，
，
，
，②，
①②得
，
，即
，解得
，
（舍去），
由①得
，
，
，
在第一象限，
取
，
，
16
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由
，即
，
，
，
，
，
使
最小，则
，即
，若不等式
恒成立，则
，故选：B
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022 学年高三上学期12 月选考数学试题）已知当
时，函数
取到最大值，则
是（ ）
A．奇函数，在
时取到最小值；
B．偶函数，在
时取到最小值；
C．奇函数，在
时取到最小值；
D．偶函数，在
时取到最小值；
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得
，根据
时
有最大值可得
，求出
，再根据奇偶性并计算
、
可得答案.
【详解】
，取
，
当
时，
有最大值
，即
，所以
，可得
，
所以
，
，则
，
因为
，所以
，
为偶函数，
，
，故B 正确，故选：B.
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020 届高三下学期5 月高考模拟数学试题）若存在正整数m 使得关
于x 的方程
在
上有两个不等实根，则正整数n 的最小值是______．
【答案】4
【分析】化简
，因为
，则
，
在
上有两个不等实根，转化为
在
上
有两个不等实根，故
，即可得出答案．
【详解】
，
其中
，
，
因为
，则
，+
在
上有两个不等实根，
在
上有两个不等实根，
17
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则
，所以
①对任意
，
，恒成立．由②得
，存在
，成立，
所以
，
，所以
．故答案为：4
题型07 正余弦换元型最值
【解题攻略】
与
在同一函数中一般可设
进行换元．换元时注意新元的取值范围．
之间的互化关系
1.
2.
【典例1-1】（2021 下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数
，则
的值域为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，令
，进而可得
，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】由
令
，则
，
所以
，又对勾函数
的单调递减区间为
，
；
单调递增区间为
，
，结合对勾函数的图象，如下：
18
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所以
，所以
，所以函数的值域为
.
故答案为：
.
【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数
的值域为 ．
【答案】
【分析】利用
通过换元将原函数转化为含未知量的函数
，再解出函数
的值域即
为函数
的值域.
【详解】令
，
，
则
，即
，所以
，
又因为
，所以
，
即函数
的值域为
．
故答案为：
.
【变式1-1】已知函数
，则
的最大值为___________.
【答案】
##
【分析】设
，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设
，则
，
19
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，
，
∴
时，
，即
．
故答案为：
．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数
在
上单
调递减，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间
上单调递减，f′（x）≤0 恒成立，由此解不等式求出a
的取值范围．
【详解】由函数
，且f(x)在区间
上单调递减，
∴在区间
上,f′(x)=−sin2x+3a(cosx−sinx)+2a−1≤0 恒成立，∵设
，
∴当x∈
时,
,t∈[−1,1]，即−1≤cosx−sinx≤1，令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足
或
或
，
解得
或
或
，综上，可得实数a 的取值范围是
，故选：A.
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021 学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数
f (x)=a(sin x +cos x)−sin x cos x−a(x∈R)的最大值为9
2，则a 的值为____________.
【答案】5√2+5
【分析】
利用换元法，令t =sin x +cos x，结合同角三角函数的平方关系，将函数
化为关于的函数g(t )，然后
分类求最值.
【详解】设t =sin x +cos x =√2sin( x + π
4 )，则t ∈[−√2,√2]，则
t
2=sin
2 x +cos
2 x +2sin x cos x =1+2sin x cos x，
∴sin x cos x = t
2−1
2
，∴g(t )= f (x)=a(sin x +cos x)−sin x cos x−a=at −t
2−1
2
−a=−1
2 t
2+at + 1
2 −a，
对称轴方程为t =a>0，当0<a<√2时，g(t )max = g(a)= a
2
2 + 1
2 −a= 9
2，解得a=−2（舍）或a= 4（舍）；
20
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当a≥√2时，g(t )max = g(√2)=−1
2 +√2a−a= 9
2，
解得a=5√2+5.故答案为：5√2+5.
题型08 一元二次型换元最值
【典例1-1】（2022·高三单元测试）若
，则函数
的最大值与最
小值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可化简函数为
，根据余弦型函数值域的求法可求得
，结合二次函数最值的求法可求得
的最大值和最小值，加和即可求得结果.
【详解】
，
当
时，
，
，
当
时，
；当
时，
；
.故选：C.
【典例1-2】（2021 上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.
【详解】由
因为
所以当
时
故选：B
【变式1-1】（2023 下·上海长宁·高三统考）已知关于
的不等式
在
内恒成立，
则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.
【详解】由
得
，设
，因
，所以
，
21
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则
在
上恒成立，设
，
则二次函数
的对称轴为
，
因其开口向下，所以
时函数
单调递增，所以
的最大值
，
故
，故答案为：
【变式1-2】（2021 下·北京·高三校考）已知函数
，则
；
的最大值为
【答案】
【分析】将
代入解析式即可求
的值；利用二倍角公式化简，令
，转化为关于
的二次函数，利用二次函数的性质即可求最值.
【详解】因为
，
所以
，
，
令
，则
，对称轴为
，开口向上，
所以当
时
，
所以
的最大值为，故答案为：
；.
【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）函数
的最大值为 .
【答案】2
【分析】由
，换元令
，则
，得函数为
，
，然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】解：
，
令
，由于
，所以
，
由
，得
，
所以
，
，
因为抛物线的对称轴为直线
，且抛物线开口向上，
所以当
时，
取得最大值
，
所以函数
的最大值为2，
故答案为：2
22
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题型09 分式型最值
【解题攻略】
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
【典例1-1】（2022 上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数
的最大值是 ，最小
值为 ．
【答案】
【详解】∵
，
，变形可得
即
，其中
即
解得：
故答案为最大值是
， 最小值为
【典例1-2】（2023 上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数
的值域为
【答案】
【分析】将函数式化简，利用正弦函数的有界性求出函数的值域；
【详解】由
，得定义域为
，且
，
即有
，所以
，解得
，
故函数的值域为
．
【变式1-1】（2022 上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数
的值域为
.
【答案】
【分析】化简得到
，计算
故
得到答案.
【详解】
故
，
故答案为：
【变式1-2】（2020 下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数
的值域为 ．
23
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【答案】
【解析】将函数
，变形为
，再根据
求解.
【详解】因为函数
所以
，因为
，
解得
或
.
故答案为：
【变式1-3】函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
变形，得到
，当
时，利用
的几何意义求解其取
值范围，进而得到
，当
时，
，从而求出
的最小值.
【详解】
当
，
当
时,因为
，
令
，
的含义是点
与单位圆上的点
的连线的斜率，所以
，所以
所以
，即
，综合得，
， 故最小值为：
.
故选：B.
题型10 最值型综合
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）已知
，
为锐角，
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等
式即可求出最值，即可得出答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
，当且仅当
即
时取等号，所以
的最小值为
.故选：A.
24
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【典例1-2】已知锐角
满足
，则
的最小值为____．
【答案】8
【分析】根据两角差的余弦公式，可得
，令
，则
，根据基本不等式“1”的活用，计算化简，即可得答案.
【详解】因为锐角
满足
，所以
，
令
，则
，由题意得
，
，
则
当且仅当
时取等号，此时
的最小值．故答案为：8
【变式1-1】若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用
，及基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：∵
，
∴
，当且仅
当
时等号成立.
∴
的取值范围为
.故选：B.
【变式1-2】（2022·山东·高三开学考试）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，可得
，再根据两角和的正切公式可得
，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为
，所以
，所以
，
，
所以
，即
，
又因
，
25
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所以
，
即
，
解得
或
（舍去），
所以
，
当且仅当
，即
时，取等号，
所以
的最小值为
.故选：D.
【变式1-3】已知函数
的图象过点（0，
），最小正周期为
，且最小值为－1.若
，
的值域是
，则m 的取值范围是_____.
【答案】
【分析】
根据题意易求
,
，由图象过（0，
），
，可得
，从而得函数解析式，由
可得
，由余弦函数性质及值域，可得
，求解即可.
【详解】
由函数最小值为－1，
，得
，因为最小正周期为
，所以
，故
，
又图象过点（0，
）,所以
而
，所以
，从而
，
由
，可得
．因为
,且
，
由余弦函数的图象与性质可知：
，解得
，故填
.
题型11 恒等变形：求角
【解题攻略】
将ωx＋φ 看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x 的值或范
围.
【典例1-1】（2023 上·全国·高三专题练习）在△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝3
，tan2B＝tan A·tan
C，则角B 等于（ ）
A．30°
B．45°
C．120°
D．60°
【答案】D
【分析】由两角和的正切公式，结合诱导公式可证tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，再结合已知条
件求得tan B＝
，进而得解.
【详解】由两角和的正切公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C，
26
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∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3
.
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3
，∴tan B＝
，B＝60°.故选：D.
【典例1-2】（2023 上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知
且
，
则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出
的值，再判断
的范围即可得解.
【详解】因
，则
，
，
因
，
，则
，又
，有
，
于是得
，因此，
，所以
.故选：C
【变式1-1】（2023 上·山东·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对已知等式化简结合
可求出
，则可求出
，然后对
变形化简可得
，从而可求出
的值.
【详解】因为
，
所以
，所以
．
因为
，所以
，
因为
，所以
，
，所以
．
由
，得
，
即
，
所以
，
所以
．
27
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又
，所以
．故选：C
【变式1-2】（2023 上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化切为弦，结合
，得到
，因为
，
所以
，故
，求出
.
【详解】
，即
，
故
，所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，因为
，所以
，
故
，解得
故选：C
【变式1-3】（2023 上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出
，再借助正弦函数的单调性求解作
答.
【详解】由
，得
，
两边平方得
，即
，
由
，知
，又
，即
，
即有
，因此
，所以
故选：C
题型12 恒等变形：拆角求值（分式型）
【解题攻略】
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
【典例1-1】（2021·广西·统考一模）
＝ （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
28
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【解析】先求出
，然后，利用
，代入
的值求解即可
【详解】
，
令
，得
，
，
，所以，
，
所以，
故选：A
【典例1-2】（2022 上·云南昆明·高三东川明月中学校考）若
，则
的值为（ ）
A．1
B．4
C．
D．2
【答案】B
【分析】依题意可得
，再利用辅助角公式、二倍角公式及诱导公式计算
可得；
【详解】解：因为
，所以
，即
，即
，所以
，即
，所以
，所以
；
故选：B
【变式1-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.
【详解】
.故选：A.
【变式1-2】（2023 上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得.
29
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【详解】
，故选：B.
【变式1-3】（20219 上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求
的值（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】化切为弦，通分后变形，利用两角和的正弦及余弦求解．
【详解】解：
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）
【解题攻略】
求复合型角，
1. 以给了函数值的角度为基角来拆角。
2. 讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
3. 所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
【典例1-1】（2023 上·云南昆明·高三统考）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得
，利用两角和差余弦公式可依次求得
和
.
【详解】
，
，
，
，
，则
，
，
，
30
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.故选：D.
【典例1-2】（2023 上·陕西渭南·高三统考）已知
,
都是锐角,
,
,则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意判断
的范围,从而求出
的值,将
写为
,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.
【详解】由于
,
都是锐角,则
,
,
因为
,
,所以
,
,
所以
,
,所以
.故选:B
【变式1-1】（2020 上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若
均为锐角且
，则
【答案】
【分析】根据
求出
，根据
可求得结果.
【详解】因为
均为锐角且
，
所以
，
，
所以
，
所以
.故答案为：
.
【变式1-2】（2022 下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知
，
且
，则
．
【答案】
/－0.8
【分析】已知等式变形为
，引入函数
，即有
，根据正弦函数性质得
的关系，再结合
31
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可得
的表达式，从而利用诱导公式、二倍角公式求得结论．
【详解】由
得
，
设
，其中
，
，
为锐
角，
已知条件即为
，
所以
，或
，
，
若
，
，则
，
与已知矛盾，
所以
，
，
，
则
，
故答案为：
．
【变式1-3】（2023 上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若
，
，
，
，则
.
【答案】
【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出
，
的角度值，进而可求
【详解】由
，
，则
，
，所以
或
，
，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
又
，.故
.
故答案为：
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
【典例1-1】（2023 上·全国·高三专题练习）已知
，则
（ ）
32
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得
，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．
【详解】
，
，
，则
，
．
故选：D．
【典例1-2】（2023 下·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．-2
【答案】C
【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由
可得
，再根据
可得
，进而求解即可.
【详解】由
可得
，即
，故
.
又
，故
，即
，代入
可得
.
故
.故选：C
【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】确定
，计算得到
，
，计算得到答案.
【详解】
，化简得
，
故
，解得
，
又
，则
，
故
.
故选：D.
【变式1-2】（2023 上·全国·高三专题练习）已知角
，且
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】由两角和与差公式化简后求解．
【详解】由
，可得
，即
，故
.又
，故
，
即
，代入
可得
.
故
故选：D
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，进行计算即可求解.
【详解】根据
，
，
得
，
．
两式分别相加、减，可得
，
．
易得
，
，
，所以上述两式相除，得
．故选：D．
高考练场
1.（2023·江西九江·统考二模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
周期为π，在
上单调递减
B．
周期为
，在
上单调递减
C．
周期为π，在
上单调递增
D．
周期为
，在
上单调递增
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的正负性、单调性，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】当
时，即
，
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，
显然该函数此时在
上单调递减，
当
时，即
，
，
因此函数的周期为
，在
上单调递减，故选：B
2.（2023 下·江西九江·高三校考）函数
的周期不
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
、
、中的两个等于零分类，结合三角函数最小正周期，即可判断选项A，B，D；
而若
时，
，
，即可化简得出
，再分类为
与
判断其
周期，与假设矛盾，即可证明最小正周期不可能是
.
【详解】当
，
时，函数
，最小正周期为
，故选项A 可能；
当
，
时，函数
，最小正周期为
，故选项B 可能；
当
，
时，函数
，最小正周期为
，故选项C 可能；
而对于选项D：
，
则若
时，
，
令
，
所以
与题设矛盾，故函数
的最小正周期不可能是
；
故选：D.
3.（2021 秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数
的图像，只需将函数
的图像上所有点的
A．横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变），再向左平移
个单位长度
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B．横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变），再向右平移
个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变），再向右平移
个单位长度
【答案】C
【分析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出结果
【详解】因为
，所以将函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2
倍(纵坐标不变），再向左平移
个单位长度，就可得到函数
的图像.
故选C．
4.将函数f ( x)=sin 2 x的图象向右平移φ(0<φ< π
2 )个单位后得到函数g( x)的图象，若对满足
|f ( x1)−g( x2)|=2的x1、x2有| x1−x2|min= π
3 ，则φ =______．
【答案】π
6
【分析】
函数f ( x)=sin 2 x的图象向右平移φ(0<φ< π
2 )个单位后,得到函数g(x)=sin(2 x−2φ)的图象．若对满足
|f ( x1)−g( x2)|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，讨论x1= π
4 ，x2= 7 π
12 与x1= 3 π
4 ，
x2= 5 π
12 两种情况，分别求出φ值，检验是否符合条件即可.
【详解】因为函数f ( x)=sin 2 x的周期为π，函数f ( x)=sin 2 x的图象向右平移φ(0<φ< π
2 )个单位后,
得到函数g( x)sin(2 x−2φ)的图象．满足|f ( x1)−g( x2)|=2的可知，f (x1)、g( x2)一个取最大值一个
取最小值
因为x1−x2|min= π
3 ，若x1= π
4 ，x2= 7 π
12 ，
f ( x)在x1= π
4 取最大值，g( x)在x2= 7 π
12 取得最小值，sin(2× 7 π
12 −2φ)=−1，
此时φ =−π
6 ，不合题意，x1= 3 π
4 ，x2= 5 π
12 ，f ( x)在x1= 3 π
4 取最小值，g( x)在x2= 5 π
12 ，取得最大值，
sin(2× 5 π
12 −2φ)=1，此时φ= π
6 ，满足题意．故答案为π
6 ．
5.（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知函数
的图象的
一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为
，将
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的
图象．若函数
的图象在区间
上是增函数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离求出
，由平移得
利用单
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调性列出
的不等式求解即可
【详解】由题意，知
，∴
，∴
，∴
，∴
，
由
，
得
，即
的增区间为
，∴
，
∴
，
，
∴
．∵
，∴
，故选：B．
6.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数
在
处取得最大值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.
【详解】
，其中
为锐角，
.
因为当
处取得最大值，所以
，
，即
，
，
所以
.故选：A
7.（福建省2021 届高三毕业班总复习数学试题）已知直线
与函数
和函数
的图象分别交于
两点，若
，则线段
中点的纵坐标为_________.
【答案】
【详解】
由题意，知
，则线段
的中点为
.
而
.① ；设
，②
①、②两式分别平方，相加，得
，解得
.
又
，所以
，故取
.
所以线段
中点的纵坐标为
.
8.（2021 下·高三课时练习）函数
，
的值域为______.
【答案】
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【分析】利用平方关系将函数化为
的二次函数，配方求值域即可.
【详解】
，
，
故
的值域为
，故答案为：
.
9.（学海导航全国卷大联考2021 届高三数学（理）试题）已知函数
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据换元法将函数
的最小值与函数
在区间
的最小
值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.
【详解】
，
令
，则
，
因此函数
的最小值与函数
在区间
的最小值相同，
又因为
，当且仅当
即
时等号成立，
所以函数
的最小值2.故选：B
10.（2021·全国·高三专题练习）设
，
均为锐角，且
，则
的最
大值是（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得
，而目标三角函数式可化为
，结
合基本不等式即可求其最大值.
【详解】由题意，
，得
，即
，
∴由
为锐角，
，当且仅当
，即
时等号成立．故
的最大值是
．故选：B.
11.．（2023 下·安徽亳州·高三亳州二中校考）若
，
，且
，
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，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有
，根据三角函
数值确定
的值.
【详解】
，
符号相同，
又
，
，
，
由
可得
，
又
，
，
，
所以
，
，
，
由
，
，得
，
，故选：A．
12.（2022 上·辽宁·高三校联考开学考试）化简
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】由三角恒等变换与诱导公式求解即可
【详解】
，
故选：D.
13.（2023 上·山东青岛·高三青岛二中校考）已知角
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
，
，
又
，
所以
，
所以
，
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所以
.故选：C.
14.（2023 上·上海奉贤·高三校考）若
是第三象限角，且
，则
等于 .
【答案】
【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出
，再利用平方关系求出
，进而求出
.
【详解】
，
，
是第三象限角，
，
.故答案为：
.
40
