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专题3-4 解三角形大题综合归类
目录
题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 (第一问）......................................................................................................1
题型02 正余弦定理基础：分式型求角 (第一问）..........................................................................................................5
题型03 正余弦定理基础：角度关系证明型 (第一问）....................................................................................................8
题型04 正余弦定理基础：正切型求角 (第一问）........................................................................................................12
题型05 解三角形最值：角与对边型求面积....................................................................................................................16
题型06 解三角形最值：角非对边型求面积....................................................................................................................18
题型07 解三角形最值：周长型最值................................................................................................................................22
题型08 解三角形最值：长度型最值................................................................................................................................25
题型09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型....................................................................................................27
题型10 解三角形最值：四边形面积最值型.....................................................................................................................30
题型11 三大线：中线（重心）型.....................................................................................................................................32
题型12 三大线：角平分线（内心）型............................................................................................................................36
题型13 三大线；高............................................................................................................................................................39
题型14 辅助线型：双三角型............................................................................................................................................42
高考练场.............................................................................................................................................................................. 45
题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 (第一问）
【解题攻略】
正余弦定理求角基础：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S(α＋β)) 正余余正
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S(α－β)) 正余余正 正角 减 余角
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C(α＋β)) 余余正正 偶函数。谁 减 谁 无所谓cos(α－
β)=cos(β－α)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C(α－β))
对于sin（α+β ）与cos（α+β） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1、SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A 与B 的正余或者余正，不够，找
sinC 拆
2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3、cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC]
【典例1-1】（2024 上·天津西青·高三统考）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
；
(3)若
，求
．
1
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【答案】(1)
；(2)
；(3)
.
【分析】（1）由正弦边化角及三角恒等变换可得
结合三角形内角性质求
.
（2）由正弦角化边及余弦定理列方程求a.
（3）由题设及（1）得
，注意
为锐角，应用倍角正余弦、差角正弦公式求目标式的值.
【详解】（1）在
中，由正弦定理及
，
得
，
则
，
而
，则
，又
，所以
.
（2）由
，得
，由（1）及余弦定理
，
得
，解得
，所以
.
（3）由
及正弦定理，得
，则
，
显然
，即
，则A 为锐角，
，
于是
，
，
所以
.
【典例1-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)求角
；
(2)若
为边
上一点，且满足
，
，证明：
为直角三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得
，再利用二倍
角公式即可得到
的值，即可求得答案；
（2）根据
得出
，设
，表示出相关各角，在
利用正弦定理即可求
得
，即可证明结论.
【详解】（1）在
中，由正弦定理得
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
2
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又因为
，
，
，
，
所以
，所以
；
（2）证明：因为
，所以
，
设
，在
中，
，则
．
可得
，
，
在
中，由正弦定理得，
，
又因为
，所以
，
则
，
化简得
，因为
，即
，则
．
所以
是直角三角形．
【变式1-1】（2023 上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在
中，角A、B、C 所
对的边分别为a、b、c，且
.
(1)求角
的大小；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由诱导公式、二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简
，再由三角函数的性
质求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，
，
从而可得
，
，又
为三角形的内角，
所以
，于是
，又
为三角形的内角，因此
.
（2）
，
由
可知，
，
，从而
，
3
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因此
，
故
的取值范围为
.
【变式1-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，且
．
(1)求
；
(2)若
，点
在边
上，
，且
，求
．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B 的大小.
（2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出
，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即
得.
【详解】（1）在
中，由正弦定理及
，
得
，
即
，
则
，而
，于是
，
即
，又
，即有
，则
，所以
.
（2）依题意，
，则
，而
，
于是
，
，
解得
，又
，解得
，
由余弦定理得
，解得
，
所以
.
【变式1-3】（2024 上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考）在
中，角
的对边分别为
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换运算求解即可；
（2）法一：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换以及正弦函数的有界性分析求解；法二：利用余弦
定理结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为
，即
，
可得
又因为
，则
，可得
，
4
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且
，可得
.
（2）法一：由正弦定理可得
，则
，
可得
，
因为
，则
，可得
，
所以
周长的最大值为
法二：由余弦定理可得
，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
解得
，所以
周长的最大值为
.
题型02 正余弦定理基础：分式型求角 (第一问）
【解题攻略】
分式型特征：
1. 分式中分子分母是边的齐次式。
2. 分式中分子分母是正弦的齐次式
3. 如果有余弦，一般情况下不计入次幂计算
4. 可以通过去分母，转化为无分式型齐次，再用正弦定理转化
【典例1-1】（2023 上·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考阶段练习）已知
的内角
，
，
的对边
分别为
，
，，
．
(1)求
；
(2)若角
的平分线
交
于点
，且
，求
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到
，利用正弦定理角转边，得到
，
再利用余弦定理即可求出结果；
（2）利用条件，结合
，得到
，再利用基本不等式，得到
，从而求
出结果.
【详解】（1）由已知
，得
，
在
中，由正弦定理得
，即
．
再由余弦定理得
．
5
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又
，所以
.
（2）因为
是角
的平分线，则
，
又
，
又
，所以
，得到
，
又因为
，得到
，解得
，即
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
即
面积的最小值是
．
【典例1-2】（2023 上·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）已知
的三个内角
所对的边分别是
．已知
(1)求角
；
(2)若点
在边
上，
，请在下列两个条件中任选一个，求边长
．
①
为
的角平分线；②
为
的中线．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式及两角和的正弦公式求得
，即可得答案；
（2）选①，由
，根据三角形面积公式求得
，由余弦定理得
.
选②，得
，平方后利用向量的运算可得
，由余弦定理得
.
【详解】（1）在
中，由正弦定理知
，
所以
，
又
，所以
，
，
又
，
，
化简得
，即
，
又
，所以
．
（2）选①，
为
的角平分线，
由
得：
，
即
，所以
，又
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，所以
.
选②，
为
的中线，
则
，平方得
，
6
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所以
，所以
，又
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，所以
.
【变式1-1】．（2023 上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知
的内角A，B，C 所对应的边
分别为a，b，c，且满足
(1)求角C 的大小；
(2)若
，点D 为AB 的中点，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角转化分析求解；
（2）根据（1）中关系可得
，进而可知
，利用两角和差公式运算求解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
整理得
，
由余弦定理可得
，
且
，所以
.
（2）由（1）可得：
，则
，即
，
可知
，即
，可得
，
，
所以
.
【变式1-2】（2023 上·江苏常州·高三校联考阶段练习）在
中，
，且
(1)求角
；
(2)若点
为
边上一点，
且
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角的三角函数关系和正弦定理化简原式，结合余弦定理求解
进
而得到答案；
（2）根据已知条件转化为向量关系，通过向量数量积运算得到
，结合余弦定理得到
，两式联立得到
，结合三角形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，
在
中，由正弦定理得，
，即
，
7
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在
中，由余弦定理得，
，又因为
，所以
.
（2）如图所示，
因为
，
所以
因为
，所以
，
所以
，所以
，
即
，即
，又因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得，
，即
，
代入
，解得
（负值舍去），所以
，
所以
.
【变式1-3】（2023 下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，
c，
．
(1)求角C；
(2)若
边上的中线长为1，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件利用正弦定理，余弦定理化简可得
，进而求出
；
（2）由题意可得
，利用向量运算可得
，根据基本不等式可求得
的最大值，
进而得解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
又由余弦定理可得
，
，
，又
，
（2）设
边上的中线为
，由向量关系可得，
，
，又
，
，
，
，
(当且仅当
时取等号)
所以
面积的最大值为
8
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题型03 正余弦定理基础：角度关系证明型 (第一问）
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，
．
(1)求证：
．
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）方法一，由正弦定理得到
，
，结合
化简得到
，证明出结论；
方法二：，由正弦定理得到
，
，
，结合余弦定理得到
，因为
，所以
，证明出结论；
（2）根据
和（1）中结论得到
，
，由正弦定理得到
，利用三角形面积公式求出
答案.
【详解】（1）方法一：
，
由正弦定理得
，
故
，由正弦定理可知
，
又
，所以
，
所以
，
所以
．
因为
，所以
．又
，所以
．又
，所以
．
方法二：由
，由正弦定理得
，
故
，由正弦定理可知
，
因为
，所以
，
即
，所以根据正弦定理，得
．
又
，所以结合余弦定理，得
，
所以
，则
，
即
，由
，可得
，
所以
．又
，所以
．又
，所以
．
（2）由（1）知
，
又
，
，所以
，
．
9
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由正弦定理，知
，所以
，
，
故
的面积
．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）
的内角
的对边分别为
，
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)用正弦定理转化，结合正弦差角公式即可求解.(2)结合第一问的结论和余弦定理求得
的余弦
值，代入面积公式求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
则
.
又
，所以
，
故
，即
.
（2）由（1）可知，
.
因为
，所以
，
则
，
故
的面积
.
【变式1-1】（2023 上·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，满足
(1)求证：
；
(2)若
为锐角三角形，求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.
（2）利用
为锐角三角形，求出
，表示出
，并进行换元转化为二次函数,
进而求得最大值.
【详解】（1）由题
，
由正弦定理：
，
所以
，
整理
，
所以
，
或
（舍）,
.
（2）
为锐角三角形,
解得：
,所以
，
10
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且
由（1）问，
，
令
，则
，
所以
因为
,
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）在锐角
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)证明：
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由
是锐角三角形，可求出
，进而求出
，由正弦定理结合两角和的正
弦定理可得
，令
，
，由
的单调性即可求出答案.
【详解】（1）由
，结合正弦定理得
，
即
，
所以
，
所以
或
（舍去），所以
.
（2）在锐角
中，
，
，
，
即
，所以
.
.
令
，
，
，因为
在
上单调递增，
所以
，
，所以
.
【变式1-3】（2023 上·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，
且
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
的周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据已知结合余弦定理可推得
.进而根据正弦定理边化角以及三角恒等变换，
化简可得
.结合锐角三角形，即可得出证明；
11
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（2）先根据已知得出
.根据三角恒等变换化简得出
，然后根据正弦定理
化简得出
，进而根据余弦函数的取值范围，即可得出答案.
【详解】（1）由余弦定理可得，
.又
，
所以有
，
整理可得
.
由正弦定理边化角可得，
.
又
，
所以，
，
整理可得，
.因为
为锐角三角形，
所以，
，
，所以，
，
.
（2）由（1）知，
，则
.
因为
为锐角三角形，所以，
，解得
.
根据正弦定理
可得，
，
.
因为
，
所以，
，
，所以，
.
因为
，所以
，
，
，所以，
，
所以，
.所以，
的周长的取值范围为
.
题型04 正余弦定理基础：正切型求角 (第一问）
【解题攻略】
分式型与正切型
1.若式子含有
的2 次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”
2.面积和
2 次齐次式，可构造余弦定理
3.正切型，可以“切化弦”，转化为分式型，在进行化简求角
【典例1-1】（2023 上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考）
中，内角
所对的边分别为
12
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，满足
.
(1)求角
；
(2)若
是
边上的一点，且
，
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦，化简得到
，进而得到
，即可求得
的大小；
（2）根据题意，在
中，利用正弦定理得
，进而化简得到
，
即可求解.
【详解】（1）解：由
，可得
，
又由正弦定理得
，
整理得
，
可得
，
因为
，可得
，所以
，即
，
又因为
，所以
.
（2）解：在
中，由正弦定理得
，
因为
，且
，可得
，
又因为
，所以
，
整理得
，所以
.
【典例1-2】（2024 上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
为其外接圆的圆心，
，
．
(1)求
的大小；
(2)若
，求边长
的最值．
【答案】(1)
(2)最大值:
；最小值：
【分析】（1）结合题意对分别对
，
进行化简，从而求解.
（2）根据正弦定理并结合（1）中的结果，求解得出最值.
【详解】（1）延长
交外接圆于点
，如下图所示
则
所以：
，
13
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由
，
得：
，
解之得：
，因为：
，所以：
.
故答案为：
（2）在
中，由正弦定理得
，
所以：
，
因为：
，所以：
，所以：
，
所以：边长
的最大值为
，最小值为
.
故答案为：最大值：
；最小值：
.
【变式1-1】（2023 上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
.
(1)求
的大小；
(2)若
.
①求的值；
②求
的值：
【答案】(1)
(2)①12；②
【分析】（1）根据正弦定理和
化简计算可得
，即可求解；
（2）由（1），根据余弦定理计算即可求出c；由正弦定理求出
，根据同角的三角函数关系求出
，
利用二倍角的正弦、余弦公式求出
，结合两角和的正弦公式计算即可求解.
【详解】（1）由正弦定理
，
原式可化为：
，
整理得：
，
14
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因为
，所以
，
所以
，又
，所以
.
（2）由余弦定理
，即
，解得
.
由正弦定理
，解得
，
因为
，所以A 为锐角，
，
所以
，
.
【变式1-2】（2023 上·海南海口·高三校考阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求角
：
(2)已知
是边
的中点，且
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对已知条件用正弦定理，并化为正余弦即可；
（2）由面积关系和余弦定理可解得各边长，再向量化即可.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
可知
，
又因为
，所以
．
（2）因为
是边
的中点，所以
，
故
，故
．
由余弦定理得
，故
，
因为
，所以
．又因为
，
平方得
，
所以
，故
的长为
．
【变式1-3】（2023 上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）已知
的内角
，
，
的对边分别为
15
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、
、，
.
(1)求
；
(2)已知
为
边上的中线，
，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式，化简已知算式，求出
；
（2）已知出
和
，利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式解得
，由正弦定理有
，设
，
，由余弦定理得
，在
中，由余弦定理解出
，得到
，
面积公式求
的面积.
【详解】（1）
，
由
，
，
，
，
所以
，即
，
由于
，所以
.
（2）在
中，由
，得
，由
，得
，
.
则
，
由正弦定理得，
，
设
，
，由余弦定理得
，故
，
在
中，由余弦定理得，
，
即
，解得
，则
，
所以
的面积
.
题型05 解三角形最值：角与对边型求面积
【解题攻略】
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解三角形：最值范围
1. 可以用余弦定理+均值不等式来求解。
2. 可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最
值与范围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
【典例1-1】已知锐角三角形
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，角
与角
的内角平分线相交于点
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得
，再根据
的范围进而即得
的大小；
（2）设
,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得
，然后
利用三角函数的性质即得.
【详解】（1）根据正弦定理有
即
展开化简得
,
，
，
，
，
,
,
，
.
（2）由题意可知
,设
,
,又
，在
中,由正弦定理可得:
.
即:
，
，
,
，
所以三角形面积的取值范围为
.
【典例1-2】已知
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)若
，求
外接圆的面积；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得
，利用余弦定理，求得
，即可求得
，再由正弦定理与圆的面积公式即可求解；
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（2）由（1）得
，根据
为锐角三角形，求得
，利用正弦定理和面积公式，以及三角
恒等变换的公式化简得到
，进而求得面积的取值范围.
【详解】（1）由题知：
，
由正弦定理可化为
，即
，由余弦定理知
，又
，故
.
设
外接圆的半径为R，则
，所以
，
所以
外接圆的面积为
.
（2）由（1）知：
，所以
，因为
为锐角三角形，所以
，解得
，
又由正弦定理
，得
，
所以
.
又
，则
，所以
，
故
面积的取值范围是
.
【变式1-1】记
的内角
所对的边分别为
，已知
.
(1)求证：
(2)若
的面积
，求
的最大值，并证明：当
取最大值时，
为直角三角形.
【答案】(1)证明见解析(2)
，证明见解析
【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；(2)利用三角形的面积公式结合基本不等式即可
求解.
【详解】（1）证明：由
，得
，
代入
，得
，所以
，
由余弦定理，得
，
所以
，
所以
.
18
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（2）由(1)知
，所以
的面积
，
所以
，
当且仅当
时取等号，所以
的最大值为
.
下面证明当
，即
时，
为直角三角形.
把
代入
，得
，
两边平方，得
，所以
，
因为
，所以
，即
，所以
为直角三角形.
【变式1-2】已知△ABC 的三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
．
(1)若
，求B 的大小；
(2)若△ABC 不是钝角三角形，且
，求△ABC 的面积取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用三角公式得到
或
.由
求出
；
（2）先判断出△ABC 是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC 的面积取值范围.
【详解】（1）因为
，所以
，即
.
因为A，B，C 为△ABC 的内角，所以
或
.
因为
，所以
（
不合题意，舍去）.
所以
，而
，所以
.
（2）由（1）可知：
或
.
当
时，有
，这与△ABC 不是钝角三角形相矛盾，不合题意，舍去；
当
时，
，所以△ABC 是直角三角形，所以
，即
.
而
.
因为
，所以
（当且仅当
时等号成立）.
又
，所以
，所以
，即△ABC 的面积取值范围为
.
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题型06 解三角形最值：角非对边型求面积
【解题攻略】
角非对边求面积
1.角非对边，面积要用所给的角度，所给的边用上，正好面积中余下一个不确定的“范围边”。把面积范
围转化为“范围边”。
2.再用正弦定理，去除掉给角的边，用知道长度的边的正弦式子。这样正好能转化。
3.对于“范围边”的函数，消角，要消去分子的角度，保留分母的角度为变量，计算简单。
4.对“消角”后的式子，恒等变形求范围最值，注意是否有锐角三角形等限制角的范围的条件
【典例1-1】已知锐角三角形
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，向量
，
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得出
，利用正弦定理化简可得出
的值，结合角
为锐
角可得角
的值；
（2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出
，求出角
的取值范围，可求得
的取
值范围，再利用三角形的面积公式可求得
面积的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得
，由正弦定理可得
，
、
均为锐角，则
，故
，因此，
.
（2）解：由（1）可知，
，故
，又因为
，
所以
，
又因为
，
，所以
，故
，
即有
，则
，
又由
.
所以
面积的取值范围是
.
【典例1-2】在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差化积公式转化条件得
，进而求得解；
（2）由题意
，由正弦定理结合
得
，根据
为锐角三角形求得
，即可求得
，即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得
即
又
所以
即
又
，
，
即
，即
又
，
，即
（2）由题意得：
，
由正弦定理得：
，
又
为锐角三角形，∴
，
故
，∴
，∴
，
从而
.
【变式1-1】在
中，角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
为锐角三角形，求
的面积的取值范围．
【答案】(1)B
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得
，再结合三角恒等变换得
，
进而得答案；
（2）结合题意得
，再根据正弦定理得
，进而根据面积公式与
三角恒等变换得
，再求范围即可.
【详解】（1）解：∵
，
由正弦定理可得：
，
又∵
，
∴
，即：
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∵
，∴
，即
（2）解：
为锐角三角形，所以
，解得
，
∵
，由正弦定理得
，即
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，∴
．
∴
的面积的取值范围为
．
【变式1-2】已知
是锐角三角形，内角
所对的边分别为
，面积为，
(1)求角
；
(2)若
，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由正弦定理将边化为角，然后用恒等变换公式化简即可求得角
;(2)根据正弦定理以及三角形
面积公式转化为关于角度的函数关系式，从而求得面积的范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得，
，且
且
故
所以，
.
（2）由正弦定理可得，
，且
则
，由(1)知
，则
，且
是锐角三角形，即
，
，所以
，即
，
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.
题型07 解三角形最值：周长型最值
【解题攻略】
周长最值
1.“齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大
2.如果利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
【典例1-1】（2023 春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）在
中，内角
的对边
分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)点
是
上的一点，
，且
，求
周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得
的值，即可求得答
案.
（2）利用正弦定理推出
，设
，确定t 的范围，再利用余弦定理推得
，谈论
和
时两种情况，即可求得答案.
【详解】（1）由
得
，
故
，
因为
，故
，
则
，
而
，
故
，则
；
（2）由于
，则
，
在
中，
；
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在
中，
；
而
，故
，设
，
则
，即
，
在
中，
，
即
，于是
，故
，
分别在
利用余弦定理得
，
两式相减得
，
当
时，上式恒成立，此时
为正三角形，周长为
；
当
时，
，于是
，
故
，
由于
，故当
时，
取最小值
，
故
周长的最小值为
.
【典例1-2】．（2023 秋·广东云浮·高三校考阶段练习）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
．
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到
，再由三角形的
面积公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
则
，所以
，
即
，因为
，所以
，
又易知
，所以
，因为
，所以
．因为
，
，
，
所以
．
（2）在
中，
，
，由余弦定理得
，
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所以
，即
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立，又
，所以
，
所以
，故
周长的取值范围是
．
【变式1-1】（2022 秋·重庆綦江·高三统考阶段练习）记
的内角，A，B，C 的对边分别是a，b，c，
已知
．
(1)求a；
(2)若
，求
的周长l 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合二倍角公式与正弦定理，化简已知等式，即可得解；
（2）解法一：由余弦定理得
，结合基本不等式与完全平方公式可得
，再由三角形
三边关系可得周长取值范围；解法二：由正弦定理可得
，
，再利用三角恒等变换
公式推出
，然后根据正弦函数的图象与性质求解．
【详解】（1）因为
，
所以
，
又
，
，所以
，
根据正弦定理可得
，所以
．
（2）解法一：因为
，
，所以由余弦定理可得
，即
．
因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时，取到最值
又
，所以
，即
周长l 的取值范围为
．
解法二：由正弦定理知，
，所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，所以
,
，
所以
,
，所以
,
，故
的周长的取值范围为
,
．
【变式1-2】（2023 春·湖南益阳·高三安化县第二中学校考阶段练习）已知锐角
中，角
，
，
所
对的边分别为
，
，，且三角形的外接圆面积为
，三角形的面积为
．
(1)求角
的大小；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面积公式及余弦定理求出
，即可得解；
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（2）先求出外接圆半径，然后利用正弦定理求出
，的关系式，然后利用辅助角公式化简，由三角形为
锐角三角形求出
的范围，根据正弦函数的性质即可求解．
【详解】（1）因为三角形的面积为
，
则
，
所以
，又
，则
；
（2）因为三角形的外接圆面积为
，设外接圆半径为
，则
，所以
（负值舍去），
由正弦定理可得
，所以
，
，
则
，又三角形
为锐角三角形，则
，且
，
解得
，所以
，
则
，所以
．
.
题型08 解三角形最值：长度型最值
【典例1-1】．（2023 秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别
为a，b，c，
.
(1)若
，求
的值；
(2)
的面积
，求b 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合角
的范围即可得
出结果；
（2）根据面积公式结合题中等式可建立关于
的等式，根据等式求出
的最小值.
【详解】（1）因为
，在
中由正弦定理可得
，
代入
可得：
，
又
，所以
或
，
又因为
，所以
，故
；
（2）因为
，所以
，所以
，因为
，
所以
，所以
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，因为
，所以
，
所以
，所以当
，
即
时，
，
.
【典例1-2】（2023 春·安徽芜湖·高三安徽省无为襄安中学校考）在锐角
中，角A，B，C 的对边分
别为a，b，c，
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，边化为角，再结合三角函数恒等变换，即可求解；
（2）根据正弦定理，转化为
，再根据三角恒等变换，结合三角函数的性质，即
可求解.
【详解】（1）根据正弦定理，边化角，得
，
即
，
因为
，所以
，
，且
为锐角三角形，所以
；
（2）由（1）知，
，
,
所以
,
,
,
因为
是锐角三角形，所以
，
则
,则
,
的范围为
，所以
的取值范围为
.
【变式1-1】（2023 秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求角A；
(2)若
的面积为1，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设恒等式利用正弦定理将边化为正弦，再逆用和角公式合并化简，即可求得角A.
（2）先根据面积公式求出
，再代入余弦定理公式，结合基本不等式求得
的最小值.
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【详解】（1）由已知
，
，
由正弦定理
，
所以
，即
，
又
，所以
，解得
.
（2）由题
，得
，
又
（
时取“=”）
所以，
即
的最小值是
，
时取等号.
【变式1-2】（2023 秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在
中，a，b，c 分别是角A，B，C
的对边，若
，请完成以下问题：
(1)求角B 的大小；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即可作答.
（2）利用正弦定理把
表示为角
的函数，再利用三角函数的性质求解作答.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理得：
，
，
整理得
，而
，
，于是
，
所以
.
（2）在
中，
，
，由正弦定理
，得
，同理
，
因此
由锐角
，得
，解得
，则
，
，
于是
在
上单调递增，则
所以
的取值范围为
.
.
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题型09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型
【解题攻略】
变系数不一致型
1.“非对称”型，无法用均值求解范围，多用正弦定理来“边化角”。
2.最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限
制条件时。
【典例1-1】（2023 春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔中学校考）已知在锐角
中，内角A，B，C 所
对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求A；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由商数关系结合两角和得正弦公式化简即可得解；
（2）先利用正弦定理求出
，再利用三角函数即可得解.
【详解】（1）由
，
得
，
即
，
又
，则
，所以
，又
，所以
；
（2）由正弦定理得
，
所以
，所以
，
由
为锐角三角形，得
，所以
，
所以
，所以
.
【典例1-2】．（2023 春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）在
中，角
所对的边
分别为
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
的最大值.
【答案】(1)
或
或
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，二倍角公式解决；
（2）利用正弦定理转化为三角函数的最值问题.
【详解】（1）由
得
，
，
或
，所以
或
或
；
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（2）由
为锐角三角形，
，根据正弦定理,
所以
,
其中
为锐角，
.
所以当
即
时，
有最大值1.
所以
的最大值为
.
【变式1-1】（2023 春·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，且
．
(1)求B；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到角
的余弦值，即可求出答案；
（2）利用正弦定理表示出
，
，利用三角函数求出最值.
【详解】（1）在
中，由正弦定理，且
，
则
，
，
由
，则
，
，
由
，则
，
，
，
，
，由锐角
中，
，则
.
（2）由（1）可知
，则
，
在
中，由正弦定理可得：
，由
，则
，
解得
，
，
，
由
，且
，则
，
，
由锐角
，
，
，则
，解得
，
由余弦函数的单调性，可得
，解得
.
【变式1-2】（2023 春·江苏徐州·高三统考）已知锐角
三个内角
、
、
的对应边分别为
、
、
，
．
(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围．
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可出
关于角
的函数关系式，求出角
的取值范围，利用正弦
型函数的基本性质可求得
的取值范围.
【详解】（1）解：因为
，
由正弦定理得
，又因为
，所以，
，
所以，
，
即
，所以，
，
又因为
，则
，所以，
，
又因为
，则
，所以，
，故
.
（2）解：由正弦定理知
，则
，
，
所以，
，
因为
为锐角三角形，且
，则
，解得
，
所以，
，则
，所以，
，
因此，
的取值范围是
．
题型10 解三角形最值：四边形面积最值型
【解题攻略】
四边形面积最值型
四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自用
余弦定理，构建数量关系
【典例1-1】（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为
，
△ABC 的面积为S，且
．
31
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(1)求角B 的大小；
(2)若
为平面ABC 上△ABC 外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理计算可得；
（2）在
中，由余弦定理得到
，从而得到
，再由
从而
得到
，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
(1)解：在
中，由
，有
，则
，
即
，∵
，所以
．
(2)解：在
中，
，∴
，
又
，则
为等腰直角三角形，
，
又
，
∴
，
当
时，四边形
的面积最大值，最大值为
．
【典例1-2】（2022·湖北·模拟预测）在
中，若
.
(1)求
的值；
(2)如图，若
，
为
外一点，且
，
，
，求
的最大值及相
应的
.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得；
（2）利用余弦定理及面积公式可得
，然后利用三角函数的性质即得.
32
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(1)∵
，由条件知
，
∴
，
，∴
.
(2)若
，所以
为等边三角形，在
中，
，
，
，
∴
，故
，∴
，
，∴
，当且仅当
，即
取等号，
所以
时，
的最大值为
.
【变式1-1】（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形
中，
.
(1)证明：
；
(2)记
与
的面积分别为
和
，求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)14
【分析】（1）分别在
和
中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解；
（2）结合（1）得到
，利用二次函数的性质求解.
(1)证明：在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
∴
，所以
，即
.
(2)
，
，
则
由（1）知：
，
代入上式得
，
，
，
∴当
时，
取到最大值14.
33
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【变式1-2】（2022·福建·上杭一中模拟预测）如图，在四边形
中，
．
(1)证明：
为直角三角形；
(2)若
，求四边形
面积S 的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)12
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简
即可；
（2）由
与
，结合
与基本不等式求解即可
（1）∵
，由
与余弦定理∴
，整理得，
，∴
．∴
为直角三角形．
（2）∵
，∴
．由
，得
．
．（当且仅当
时
取等号）所以四边形
面积S 的最大值为12．
.
题型11 三大线：中线（重心）型
【解题攻略】
.中线的处理方法
1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
34
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如图设
，
在
中，由余弦定理得
，①
在
中，由余弦定理得
，②
因为
，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4. 中线分割的俩三角形面积相等
【典例1-1】（2023 秋·江西南昌·高三南昌十中校考阶段练习）已知三角形
中，三个内角
的
对应边分别为
，且
.
（1）若
，求；
（2）设点
是边
的中点，若
，求三角形
的面积.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得；
（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，
转化为正弦后可得三角形面积．
【详解】（1）由余弦定理可得
.
（2）由题意可得
，
，
又
，
，
∴
，即
，∴
，
∴
，由
，
35
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∴
.
【典例1-2】（2018 秋·宁夏银川·高三六盘山高级中学校考）在三角形
中，
为
的中点，
（1）求
的值；
（2）若
,求三角形
的面积.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）根据和差公式
，计算得到答案.
（2）设
，
，
，根据勾股定理得到
，计算面积得到答案.
【详解】（1）
，故
，
，故
，
故
.
（2）
，设
，
，
，
.
在
中，根据勾股定理：
，解得
，故
.
【变式1-1】（2023 秋·浙江温州·高三乐清市知临中学校考开学考试）已知
的内角A，B，C 的对边
分别为a，b，c，且
.
(1)求角B 大小；
(2)若
，
，
为
的重心，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，再利用辅助角公式化简可得
，解三角方程可得
；
（2）由
为
的重心，得到点
到线段
的距离与点
到线段
的距离的比值，再将其转化为面
积比，则面积可求.
【详解】（1）
由正弦定理可得
，
，
，
，
又三角形中
,可得
，
，又
，可得
,
又
即
，可得
，则
.
（2）连接
并延长使其交
与点
，如图，
36
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因为
为
的重心，所以
,
则点
到线段
的距离是点
到线段
的距离的
，
则
.
【变式1-2】（2023 秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）如图，在△ABC 内任取一点P，直线AP、
BP、CP 分别与边BC、CA、AB 相交于点D、E、F．
(1)试证明：
(2)若P 为重心，
，求
的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用正弦定理及角的互补关系即可证结论；
（2）由题意
为中线，可得
，再由
、
、
，求
，进而求对应正弦值，
结合
及三角形面积公式求面积.
【详解】（1）
中
，则
，
中
，则
，
又
则
，
所以
，得证.
（2）由
是重心，则
为中线，又
，
所以
，
而
，则
，
所以
，可得
，且
，所以
，
同理
，
，可得
，
，
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所以
，
，
则
.
题型12 三大线：角平分线（内心）型
【解题攻略】
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
【典例1-1】（2023 秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考开学考试）已知
中，内角A、B、C 所对的边分
别为a，b，c，
，D 是
边AC 上的一点，且
．
(1)若
，
，求AD；
(2)若BD 为
的角平分线，求
面积的最小值．
【答案】(1)1(2)
【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，可得
，
，则
，
中，
由余弦定理求AD；
（2）
， BD 为
的角平分线，则有
，由
，得
，利用基本不等式求出
的最小值，代入面积公式求
面积的最小值．
【详解】（1）
，由正弦定理得
，
由
，
，
则
，即
，
解得
，由
，即得
，如图所示.
38
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由
，则
，
中，由余弦定理，
，解得
.
（2）
， BD 为
的角平分线，且
，如图所示，
则有
，
，
则
，
即
，且
，
则
，可得
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
故
面积的最小值为
．
【典例1-2】（2023 秋·广西钦州·高三校考开学考试）《几何原本》是古希腊数学家欧几德得所著的一部数
学著作，在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的
角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在
中（图1），
为
的平分线，则有
.
(1)试证明角平分线定理；
(2)如图2，已知
的重心为
，内心为
，若
的连线
.求证：
.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）过点
作
交
延长线于点
，利用三角形相似即可得证；
（2）利用三角形重心得到
，再利用平行线分线段成比例与三角形内心的性质，结合角平分线定理
证得
与
，从而得证.
【详解】（1）过点
作
交
延长线于点
.
39
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因为
，所以
，
因为
,所以
,则
，
又
，所以
，
所以
，则
,即
.
（2）不妨设
的延长线交
于
，连接
，
因为
为
的重心，所以
，
因为
，所以
，
因为
为
的内心，所以
是
的角平分线，即
是
的角平分线，
所以在
中，利用角平分线定理得
，即
，
同理在
中，
，
所以
.
【变式1-1】（2023 秋·江苏淮安·高三统考开学考试）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，D
为边BC 上一点，
．
(1)若
的面积
，求a；
(2)若D 为
的角平分线与边BC 的交点，
，求a.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得
的高，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）由题意设
，再根据三角形性质可解得
，最后根据正弦定理求解a 即可.
【详解】（1）
的高
，
所以
，则
．
（2）因为AD 是
的角平分线，所以
，
设
，则
．
40
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在
中，因为
，所以
，
由内角和定理，
，所以
．
在
中，由正弦定理得
，则
．
【变式1-2】（2023 秋·浙江·高三校联考开学考试）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
且
．
(1)求角A；
(2)若
，
，
的角平分线交BC 于D，求AD 的长．
【答案】(1)
；(2)2
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）先利用余弦定理可得
，再结合面积关系运算求解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得：
，
且
，
即
，
又因为
，则
，可知
，可得
，
又因为
，所以
.
（2）由余弦定理可得
，即
，
则
，且
，解得：
，
根据面积关系可得
，
即
，
解得：
．
题型13 三大线；高
【解题攻略】
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
41
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【典例1-1】在三角形
中，已知角
的对边分别为
，且
.
（1）求角
的大小；
（2）设三角形
的
边上的高为，且
，求
的值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理可转化原式为
，结合余弦定理可得解；
（2）由于
又
，可得解a,利用余弦定理可解
的值.
【详解】（1）设三角形
的外接圆的直径长为
由正弦定理和已知
得:
所以
，即
由余弦定理得，
因为
，所以
（2）因为
，所以
因为
，所以
由余弦定理得，
【典例1-2】已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
边上的高为
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；
（2）利用面积公式可得
，再利用正弦定理边角互化即可求解.
【详解】（1）由题意可得
，
根据正弦定理可得
，所以
，
又根据余弦定理可得
，
因为
，所以
.
（2）因为
，即
，
由正弦定理可得
，所以
.
42
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【变式1-1】在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
.
(1)求B 的值；
(2)若
与
边上的高之比为3∶5，且
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦的额倍角公式和诱导公式即可求解；（2）根据余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）由
，
由内角和定理得：
，
由内角和定理得：
，
进而得：
，B 为三角形内角，
解得：
，
（舍去），
从而得
.
（2）由题设知
，不妨设
，
，
由余弦定理得：
，
联立得：
， 即
，
，
，
故
，从而
的面积
.
【变式1-2】
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
.
(1)求
及
；
(2)若
，求
边上的高.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）正弦边角关系及和角正弦公式得
，结合三角形内角的性质求
，再应
用二倍角公式有
，进而确定
大小；
（2）应用余弦定理及
求得
、
，正弦定理求
，即可求
边上的高.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
所以
，又
，
所以
，又
，则
.
因为
，即
，又
，所以
，
因为
，所以
.
43
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（2）由（1）及余弦定理
，得
.
将
，代入
，得
，
解得
或
（舍去），则
.
因为
，所以
，
设
边上的高为，则
.
题型14 辅助线型：双三角型
【典例1-1】（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上一点，
∠ABC 为钝角，∠DBC=90°．
(1)证明：
；
(2)若
，
，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD 的面积．
①
；②
．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；
（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出
，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的
定义，结合三角形的面积公式即可求解；
选②，设出
，根据勾股定理，得出
，结合已知条件得出
，
，
，利用锐角三角函数的定
义，得出角
，进而得出角
，再利用三角形的面积公式即可求解．
（1）解：因为
，
所以
，
故
；
（2）选①，
．因为
，所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
由正弦定理可得
，所以
，因为角
为锐角，故
，
在
中，因为
，所以
，
又
，所以
；
选②，
，设
，则
，
在
中，
，
44
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由（1）
得，
，
解得
，即
，
在
中，
，
所以
，
所以
，
所以
．
【典例1-2】（2022·湖南·模拟预测）如图，在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
的值；
(2)在
的延长线上有一点D，使得
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦定理边化角可求得
，进而结合同角基本关系的平方关系即可求出
结果.
（2）求出
，进而在
中结合正弦定理即可求出结果.
(1)
在
中，由正弦定理得
，
又在
中，
，
所以上式可化为
．
因为
，所以
，
又因为
是锐角三角形，
．解得
．
(2)
由（1）得：
，又
是锐角三角形，所以
，
所以
．
在
中，
45
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由正弦定理得：
，即
，
解得
．
【变式1-1】.（2022·湖南师大附中三模）在
中.
，D 为BC 边上的一点，
，再从
下列三个条件中选择两个作为已知，求
的面积及BD 的长.
①
；②
；③
.
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
【答案】
，
.
【分析】根据所选条件，结合余弦定理求
、
，即可得BD 的长，结合二倍角余弦公式或直角三角形
求
，最后利用三角形面积公式求面积.
【详解】选①②：因为
，
，
所以
，
，
.
所以
，且
.
在
中，
，
所以
，
所以
的面积为
.
选择①③：因为
，
，
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，则
的面积为
.
选择②③：因为
，
，
所以
，
因为
，
，则
，
所以
，故
，
所以
的面积为
.
【变式1-2】在
中，
，
，
，点M､N 是边AB 上的两点，
.
46
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(1)求
的面积；
(2)当
，求MN 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理
，可求得
，根据
结合面积公式求解；
（2）在
中利用余弦定理求
，在直角
中根据
求解．
(1)在
中，
，则
由正弦定理得：
，
，则
因为
，则
或
（不合题意，舍去），
则
。
的面积为
(2)在
中，
，
，
由余弦定理可得
则有
，所以
在直角
中，
，
，则
.
高考练场
1.（2023·河南·统考模拟预测）已知
的三个角
的对边分别为
，且
(1)求 B；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）在
中，因为
由正弦定理可得：
所以
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所以
整理得
又
， 所以
，
所以
得
因为
，所以
；
（2）由（1）知，
，又
，
在
中， 由余弦定理
，得
，
所以
，解得
或
（舍去），
所以
的面积
.
2.（2023 上·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知
满足
.
(1)求证：
；
(2)若
为锐角，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用反证法，先假设角
为直角；再根据题目条件证明假设不成立即可证明.
（2）先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简，得
；再根据
为锐角和余弦定理，得
；最后两者结合得到关于
和的不等式，即可求出结果.
【详解】（1）假设角
为直角，则
，所以
.
因为
，
所以
，
所以
，所以
，
显然
，所以矛盾，故假设不成立，
所以角
不可能为直角.
（2）因为
，
所以
.
由正弦定理可得：
，
由余弦定理可得：
，
化简得：
.因为
为锐角，所以
，则
，即
.
所以
.因为
所以
，即
.
令
，则有
，解得：
，
所以
的取值范围为
.
3.（2021 下·辽宁大连·高三辽师大附中校考阶段练习）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，
48
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c，
．
(1)求角A；
(2)若O 是△ABC 内一点，∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，b＝1，c＝3，求tan∠ABO．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理边化角，化简可得
.根据两角和的正弦化简得出
，结合
的范围，即可得出答案；
（2）由已知推得∠OAC＝∠ABO，
.然后在△ABO 中以及△ACO 中，根据正弦定理得
出
，进而即可得出答案.
【详解】（1）由已知
结合正弦定理边化角可得，
.
又
，
所以有
.
又
，所以
.因为
，所以，
.
（2）
由（1）结合图象可知，∠OAC+∠OAB＝60°，∠OAB+∠ABO＝180°﹣∠AOB＝60°，
所以∠OAC＝∠ABO，
所以
.
在△ABO 中，有
，所以，
.
在△ACO 中，有
，所以，
.
所以有，
.展开整理可得，
，
所以，
.
4.（2023·全国·模拟预测）已知在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
．
(1)求角
．
(2)若
的周长为15，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
49
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【分析】（1）结合题干，先边角互化，再利用余弦定理，可求出
的值，进而求得角
的大小；
（2）根据
的周长，以及
，结合第一问可求得
的值，再利用面积公式，进而求得其
面积.
【详解】（1）由题意可得，
所以
．
由正弦定理，得
，
则
，所以
．
又
，所以
．
（2）因为
的周长为15，所以
则
．
因为
，所以
，
即
，解得
或
．
因为
，
，所以
，
所以
，
，
，所以
．
5.在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积的最大值，并指出此时三角形的形状．
江苏省南京市第二十七高级中学2022-2023 学年高三上学期测试数学试题
【答案】(1)
(2)最大值为
，
为正三角形
【分析】（1）利用正弦定理结合三角形恒等变换即可求解；
（2）利用余弦定理可得
，结合基本不等式可得
，利用三角形的面积公式即可求解.
（1）
解：∵
，由正弦定理可得
，
∵
，
∴
，
∵
，∴
，从而
，即
，
∵
，∴
．
（2）
解：∵
，
，由余弦定理得：
，
即
，由于
（当且仅当
时取等号）
所以
，
即
（当且仅当
时取等号）
50
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∴
（当且仅当
时取等号）
∴当
时，
的面积最大，且最大值为
，
由于
，所以此时
为正三角形．
6.（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再借助余弦定理计算作答.
（2）利用正弦定理将周长表示为角C 的函数，由（1）及锐角三角形条件结合三角函数变换和性质求解作
答.
(1)
在
中，由正弦定理及
得：
，
整理得：
，由余弦定理得：
，而
，解得
，
所以
.
(2)
由（1）知
，即
，因
为锐角三角形，即
，解得
，
由正弦定理
得：
，
则
，
当
时，
，
，而
，
即
，因此，
，则
，
所以
周长的取值范围是
.
6.（2024 上·湖北恩施·高三利川市第一中学校联考）在锐角
中，角
所对应的边分别为
，
已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
面积的取值范围．
51
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.
（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得
，结合角的范围即可得解.
【详解】（1）
，由正弦定理得
，即
，
由余弦定理得
，因为
，所以
．
（2）在锐角
中，
，记
的面积为．
由正弦定理得
，即
．
所以
．
因为在锐角
中，
，所以
，
解得
，
则
，故
．
7.（2023 春·江苏镇江·高三校联考阶段练习）锐角
中，内角
、
、
对边长分别为
、
、，满
足
(1)求角
；
(2)若
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出
，求出角
的取值范围，结合正
弦型函数的基本性质可得出
周长的取值范围.
【详解】（1）解：因为
，由正弦定理可得
，则
，
因为
、
，则
，
，因此，
.
（2）解：由正弦定理可得
，
所以，
52
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，
因为
为锐角三角形，且
，则
，解得
，
所以，
，则
，所以，
.
因此，
周长的取值范围为
.
8.（2022 春·浙江嘉兴·高三校联考）在以下条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.
①
②
③
在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知___________.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求边的最小值.
【答案】(1)
(2)最小值为4
【分析】（1）选①，由余弦定理求出
得解；选②，根据正弦定理化简可得
，即可求解；选③，
由面积公式及余弦定理化简求
得解；
（2）由余弦定理及均值不等式求最值.
【详解】（1）若选①，由已知条件结合余弦定理推论得：
，
又
，所以
.
若选②，由已知条件结合正弦定理得：
，得
，
又
，所以
.
若选③，由已知条件结合面积公式､余弦定理推论得：
，
得
，又
，所以
.
（2）由余弦定理得：
，
当且仅当
时等号成立，即
，所以边的最小值为4.
9.（2023 秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在
中，
分别是角
所对的
边，已知
，且
.
(1)若
的面积为
，求
的值；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）根据垂直向量数量积为0 求解可得
，再根据三角形面积公式与余弦定理求解即可；
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（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得
，再根据三角函数取值范围求解即可.
【详解】（1）由
可得
，故
，显然
，故
.
又
，故
.
由三角形面积公式可得
，故
.
由余弦定理可得
，即
，故
.
（2）由（1）
，故
，故
，
.
故
.
因为
，故
，故
，
.
故
的取值范围为
.
10.如图所示，BD 为四边形ABCD 的对角线，设AB＝AD＝1，△BCD 为等边三角形．记
．
(1)当
时，求
的值；
(2)设S 为四边形ABCD 的面积，用含有
的关系式表示S，并求S 的最大值．
上海市普陀区2023 届高考一模数学试题
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求；
（2）由余弦定理得
，
，结合三角形面积公式即可求.
【详解】（1）由余弦定理得，
，
，故
；
（2）由余弦定理得，
，
，
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则当
时，S 的最大值为
11.（2023 春·安徽合肥·高三合肥市第七中学校考阶段练习）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，且
(1)求角A 的大小；
(2)若
，点G 是
的重心，且
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，利用辅助角公式求解即可；
（2）由点G 是
的重心，求出边，然后由三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得：
，
所以
.
所以
，
因为
，所以
，所以
，
即
，又
，所以
，
所以
，所以
.
（2）因为点G 是
的重心，所以
，
所以
，
即
，解得：
或
（舍）.
则
.
12.（2023 春·山东青岛·高三校联考）在
中，
．
(1)若
为边
中点，求
长；
(2)若
为角
的角平分线，求
长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角得到
，结合
为边
中点得到
，通过向量平
方转化求解即可；
（2）根据等面积法直接代入计算即可.
【详解】（1）在
中，由正弦定理得，
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，因为
，所以
，
55
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所以
，因为
，所以
.
因为
为边
中点，所以
，
则
，
又因为
，所以
，
即
长为
（2）因为
为角
的角平分线，所以
，
所以
，
所以
，则
13.在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
为
边上的高，若
，求
的最大值．
北京市对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）2023 届高三上学期数学期末复习试题
【答案】(1)
；(2)1.
【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系化简已知等式，可得
，
结合
即可求解；
(2)根据三角形的面积公式可得
，利用余弦定理和基本不等式求出ac 的最大值，即可求解.
【详解】（1）
，由正弦定理，
得
，
由
，
得
，又
，
所以
，有
，即
，
又
，所以
；
（2）由
，得
，
由余弦定理及
，
得
，
当且仅当
时取到等号.
所以
，故
，
即
的最大值为1.
14.（2022·全国·高三专题练习）在锐角
中，角
所对的边分别为
.
(1)求
的值；
(2)点
分别在边
上，
的面积是
面积的2 倍.求
的最小值.
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意
，进而结合正弦定理得
，
，再结合
求解即可；
（2）结合（1）得
，进而根据面积关系得
，最后结合基本不等式与余弦定理得
，进而得答案.
(1)
解：
是锐角三角形，
.
在
中，
，由正弦定理得
，
.
，
(2)
解：由（1）知，
.
由题意得
.
由余弦定理得，
，
当且仅当
时“
”成立.
所以
的最小值为
.
57
