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空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练
1．（24-25 高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^底面
,
/ /
ABCD BC
平面
,
PAD BC
AB
^
.
(1)证明：平面PAD ^平面PAB.
(2)若AD
AB
=
，PA
BC
=
，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为3
2 ，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正
弦值.
2．（24-25 高二上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PB ^ 平面ABCD，
,
AB
AD AB
CD
^
∥
，
且
1,
2,
AB
AD
CD
E
=
=
=
在线段PD 上．
(1)若E 是PD 的中点，试证明：AE ∥平面PBC ；
(2)若异面直线BC 与PD 所成的角为60°，求四棱锥P
ABCD
-
的侧视图的面积．
考点一
已知线线角求其他量
3．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，已知棱
,
,
AB AD AP 两两垂直，长度分别为1，2，
2，若DC
AB
l
=
uuur
uuur ，且向量PC
uuur
与BD
uuur 夹角的余弦值为15
15
.
(1)求实数λ 值；
(2)求直线PB 与平面PCD所成角的正弦值；
(3)求平面PBD 与平面PCD夹角的余弦值.
4．（24-25 高二上·河北邢台·阶段练习）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
AAC C ^ 平面ABC ，
1
1
AA
AC
=
，
2
AC =
，AC
BC
^
，
1
1
AA
AC
^
.
(1)证明：
1
BB ^ 平面
1A BC ；
(2)若异面直线
1
1
,
AB CA 所成角的余弦值为1
3 ，求BC.
5．（23-24 高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^平面
,
,
ABCD AB
AD AD
^
∥BC ，
1,
2
AP
AB
AD
BC
=
=
=
=
.
(1)求二面角B
PD
C
-
-
的正弦值；
(2)在棱PC 上确定一点E ，使异面直线PD 与BE 所成角的大小为60o，并求此时点E 到平面PBD 的距离.
6．（2024·广西贺州·一模）某几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分），其中
1
1
1
1
,
,
,
AA BB CC DD 均与底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1 和2，对应的圆心角为120°，E 为弧
1
1
AD
的中点．
(1)证明：
/ /
AB
平面
1
CD E ．
(2)直线
1
AB 与
1
CD 所成角的余弦值为9
10 ．
（i）求直线
1
AB 与平面
1
CD E 所成角的正弦值；
（ii）求二面角
1
C
D E
D
-
-
的余弦值．
7．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，CD ^ 平面PAD，PA
AD
^
．
(1)证明：PA ^平面ABCD；
(2)若底面ABCD 是正方形，
2
AP
AB
=
=
，E 为PB 中点，点F 在棱PD 上，且异面直线AF 与PB 所成的角为
60°．
（ⅰ）求PF 的长度；
（ⅱ）平面AEF 交PC 于点G，点M 在线段PB 上，求EG 与平面MAD 所成角的正弦值的取值范围．
8．（24-25 高二下·江苏南京·期中）如图1，
ABC
V
是底边为2 的等腰三角形，且
3
BA
BC
=
=
，
DAC
△
为等腰直
角三角形，
90
CDA
Ð
=
° ，将
DAC
△
沿AC 翻折到PAC
V
的位置，且点P 不在平面ABC 内（如图2），点F 为线段
PB 的中点．
(1)证明：AC
PB
^
；
(2)当平面PAC ^ 平面ACB 时，求直线PB 与平面ACF 所成角的余弦值；
(3)若直线PC 与AB 所成角的余弦值为
6
4
时，设平面PAC 与平面ABC 的夹角为a ，求cosa 的值．
1．（2025·云南·模拟预测）在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为直角梯形，
/ /
AD
BC ，AD
AB
^
，侧面PAB ^
底面ABCD ，
1
2
2
PA
PB
AD
BC
=
=
=
=
，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，
(1)证明：
/ /
DE
平面PAB ；
(2)若直线PF 与平面ABCD 所成的角为30°，求平面PAB 与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
2．（2025·江西萍乡·三模）已知四棱锥S
ABCD
-
中，二面角S
AD
B
-
-
为直二面角，
4
2
4
4
3
AD
CD
SD
BC
=
=
=
=
，
90
BCD
ADC
ASD
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，M 为棱DA 上一点.
(1)证明：SA
SC
^
；
(2)若M 为DA 中点，求二面角B
SC
M
-
-
的正弦值；
(3)若
//
BM
平面SCD ，点N 在平面SMB 上，若直线AN 与平面SCD 所成角为π
6 ，求MN 的最小值.
考点二
已知线面角求其他量
3．（2025·四川乐山·三模）如图，直五棱柱
1
1
1
1
1
ABCDE
A B C D E
-
中，四边形ABDE 为正方形，
1
4
BD
DC
DD
=
=
=
，二面角
1
1
B
DD
C
-
-
的平面角为
π
0, 2
q q
æ
ö
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，P 为AE 中点.
(1)当
1
2
tan
3
C PC
Ð
=
时，证明：PD ^ 平面
1
1
CDD C ；
(2)当直线
1
B C 与平面
1
1
DD C C 所成的角为π
6 时，求cosq 的值.
4．（24-25 高二下·广西贵港·期中）如图，边长为2 的正方形ABCD 是圆柱的轴截面，E 为底面圆O 上的点，F 为
线段DE 的中点．
(1)证明：AE ^ 平面BCE ．
(2)证明：
/ /
OF
平面BCE ．
(3)若直线BE 与平面CDE 所成角的正弦值为2 19
19
，求BE 的长．
5．（24-25 高二下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
5
BA
BD
BP
=
=
=
，
1
CD = ，
2
PA
PD
=
=
，PA
PD
^
，E 是棱PA 的中点，且BE∥平面PCD，点F 是棱PD 上的一点．
(1)求证：CD ^ 平面PAD ；
(2)求平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值；
(3)若直线PC 与平面ABF 所成角的正弦值为11 35
105
，求DF 的长．
6．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
,
,
AC
BC
CC
AC
BC E F
=
=
=
^
分别为
1
,
BC BB 的中点.
(1)证明：
1
C E ^平面ACF；
(2)在线段
1
EC 上是否存在点M ，使得直线
1A M 与平面
1
AC E 所成角的正弦值为2
14
21
？若存在，求平面AFM 与
平面
1
AC E 夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.
7．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 平面ABCD ，AD
CD
^
，
/ /
AB
CD ，
2
AB =
，
4
AD
CD
PD
=
=
=
，M 为PC 中点．
(1)求证：
/ /
BM
平面PAD ；
(2)求三棱锥P
ABD
-
的外接球的体积；
(3)线段PA 上（不含端点）是否存在点N ，使得DN 与平面MBD 所成角为4
p ？若存在，确定N 点的位置；若不存
在，请说明理由.
8．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期末）如图，在三棱锥A
BCD
-
中，
2 3
AC
AD
BC
BD
=
=
=
=
，
4
AB
CD
=
=
，点
F 在棱AB 上（不与端点重合），直线AF 与平面FCD所成角的正弦值为2 5
5
．
(1)求异面直线AB ，CD 所成角的正弦值；
(2)求
AF
BF 的值．
1．（2025·山东泰安·模拟预测）在四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，
6
AD
PD
=
=
，
点E 为AP 的中点，点F 在线段PC 上，且PF
PC
l
=
uuur
uuur .
(1)若
1
2
l =
，求证：
^
EF
平面PDB ；
(2)若平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为2
3 ，求l 的值.
2．（24-25 高二下·江苏常州·阶段练习）如图，四棱锥P
ABCD
-
的底面是边长为2 3 的菱形，
π
3
BAD
Ð
=
，
=
PB
PD .
(1)证明：平面PAC ^ 平面ABCD ；
(2)若点P 在平面ABCD 内的投影为
ABD
△
的重心，且直线CP 与平面ABCD 所成角为4
p .
（i）求四棱锥P
ABCD
-
的体积；
（ii）若点M 为棱CP 上的动点（不包括端点），当平面ABM 和平面BCM 所成角的正弦值为15
5
时，求CM
CP 的值.
考点三
已知面面角求其他量
3．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，已知
1
1
2
2
AB
A B
=
=
，
1
2
AA =
，
1
DD
AD
^
，
1
1
B BA
B BC
Ð
= Ð
.
(1)证明：
1
DD ^ 平面ABCD ；
(2)点P 在棱
1
DD 上，当二面角
1
P
AB
C
-
-
的正弦值为3 21
14
时，求DP .
4．（24-25 高二下·福建龙岩·期末）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，AC
BC
^
，
3 2
AC
BC
=
=
，PA ^平面ABC .
(1)求证：平面PBC ^ 平面PAC ；
(2)若AP
AB
=
，F 为线段PC 的中点，点E 为线段PB 的动点，且二面角E
AF
C
-
-
的余弦值为
7
7
，求BE .
5．（24-25 高二下·浙江嘉兴·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PCD ^ 平面ABCD ，底面ABCD 是平行四
边形，
2
2
AD
AB
=
=
，
60
BCD
Ð
=
° ，AB
AP
^
，点E 满足
2
PE
EA
=
uuur
uuur ，点F 是线段AD 的中点．
(1)证明：BD ^ 平面PCD；
(2)若二面角E
BF
C
-
-
的大小为135°时，求四棱锥P
ABCD
-
的体积．
6．（24-25 高二下·河南周口·期末）如图（1），在菱形ABCD 中，
2
AB =
，
60
BAD
Ð
=
o ，EAD
V
是以AD 为斜边的
等腰直角三角形．将EAD
V
沿直线AD 折起，落到
PAD
△
的位置，此时
7
PB =
，如图（2）．
(1)求证：AD
PB
^
；
(2)求四棱锥P
ABCD
-
的体积；
(3)设F 为线段PB 上的点，平面ADF 与平面PBC 的夹角为a ，若
7
cos
14
a =
，求PF
PB 的值．
7．（24-25 高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
1
,
,
1,
2,
5
2
AB
AD CD
AD AB
AD
PD
CD
PA
PC
^
^
=
=
=
=
=
=
，点Q 为棱PC 上一点．
(1)用几何法证明：PD ^ 平面ABCD ；
(2)当点Q 为棱PC 的中点时，求
①四棱锥Q
ABCD
-
的体积；
②直线PA 与平面BDQ 所成角的正弦值；
(3)当二面角P
BD
Q
-
-
的余弦值为
3
3
时，求PQ
PC ．
8．（24-25 高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD ^平面ABCD ，
PAD
△
是边长为2 的等边
三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中
//
BC AD ，AB
AD
^
，
1
AB
BC
=
= ．
(1)求证：AB
PD
^
．
(2)求线段PA 中点M 到平面PCD的距离．
(3)线段PD 上是否存在一点E ，使得平面EAC 与平面DAC 夹角的余弦值为10
5
？若存在，求出PE
PD 的值；若不存
在，请说明理由．
1．（24-25 高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中．底面ABCD 为矩形，侧棱PD ^ 底面ABCD ，
2
2
PD
DC
AD
=
=
=
，E 是PC 的中点．
(1)求证：PA∥平面EDB ；
(2)求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；
(3)若
0
1
BF
BP
l
l
=
<
<
uuur
uuur
，且点F 到平面EDB 的距离为
6
6
，求l 的值．
2．（24-25 高二下·广东广州·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是矩形，PA ^底面ABCD ，
2
PA
AB
=
=
，
4
=
AD
，E 是PD 的中点．
(1)求证：
/ /
PB
平面AEC ；
(2)求直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值；
(3)若点F 在棱PC 上运动，当点F 到平面AEC 的距离为2
3 时，求PF 的长度．
考点四
已知空间距离求其他量
3．（24-25 高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，E
F
、
分别为
1
BD
CC
、
的中点，
点G 是平面
1
1
ADD A 上的点.
(1)若点G 是
1
AD 的中点，证明：GF
uuur 与AB
uuur 、AD
uuur 共面；
(2)求平面ADG 与平面BDF 所成的锐二面角的余弦值；
(3)若点G 满足
1
,
0,1
DG
DA
DD
l
l
=
Î
，且点G 到平面BDF 的距离为
6
3
，试确定点G 的位置，使得GE 与
平面BDF 所成的角取得最大值.
4．（24-25 高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面边长为2，侧棱长为
3 ，D 是BC 的中
点．
(1)证明：
1
/ /
A B
平面
1
ADC ；
(2)求直线
1
1
A B 与平面
1
ADC 所成角的正弦值；
(3)在线段
1
1
AC 上是否存在一点E，使得点
1B 到平面ADE 的距离为2 21
7
?若存在，请求出
1
1
1
A E
AC 的值；若不存在，
请说明理由．
5．（24-25 高二下·广东广州·期末）如图，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，
90
ADC
BAD
Ð
= Ð
=
°，F 为线
段PA 上一点，
2
PD =
，
1
1
2
AB
AD
CD
=
=
= ，四边形PDCE 为矩形．
(1)若F 是PA 的中点，求证：
/ /
AC
平面DEF ；
(2)求直线AP 与平面BCP 所成角的余弦值
(3)若点F 到平面BCP 的距离为3
7 ，求PF 的长．
6．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 为矩形，E 为棱
1
BB 的中
点．
(1)若AB
AD
=
，证明：
1
AC
D E
^
．
(2)设
1
AD = ，
2
AB =
，
1
4
AA =
，
1
1
0
D F
D E
l
l
=
>
uuuur
uuuur
，且点F 到平面
1
1
A BC 的距离为
21
21 ，求λ 的值．
7．（24-25 高二下·河北邯郸·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PAB ^平面ABCD ，平面PAD ^平面
ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，
2
2
AD
BC
=
=
，CD
BC
^
，AC 与BD 相交于点N ，点M 满足
2
PM
MC
=
uuuur
uuuur
，且
BM
AC
^
.
(1)求证：PA ^平面ABCD ；
(2)求CD 的长度；
(3)若点B 到平面PCD的距离为
2
2 ，求BD 与平面PBC 所成角的正弦值.
8．（24-25 高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PDC ^ 平面ABCD ，
,
AD
DC
^
1
//
,
1,
2
AB DC AB
CD
AD
=
=
=
M 为棱PC 的中点.
(1)证明：
//
BM
平面PAD ；
(2)若
5,
1,
PC
PD
=
=
（i）求二面角B
MD
C
-
-
的正弦值；（ii）在线段PA 上是否存在点Q，使得点Q 到平面BDM 的距离是
6
4
？若存
在，求出PQ 的值；若不存在，说明理由.
