空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练
1．（24-25 高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^底面
,
/ /
ABCD BC
平面
,
PAD BC
AB
^
.
(1)证明：平面PAD ^平面PAB.
(2)若AD
AB
=
，PA
BC
=
，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为3
2 ，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正
弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 5 61
61
【详解】（1）
PA ^
Q
底面ABCD ，
Ì
BC
平面ABCD ，
PA
BC
\
^
，
BC
AB
^
Q
，PA
AB
A
=
I
，
,
PA AB Ì 平面PAB ，
BC
\
^平面PAB ，
/ /
BC
Q
平面PAD，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，
Ì
BC
平面ABCD ，
/ /
BC
AD
\
，
AD
\
^平面PAB ，
又AD Ì 平面
,
PAD \平面PAD ^平面PAB.
（2）
/ /
BC
AD
Q
，\直线PD 与直线BC 所成的角为
PDA
Ð
，
PA ^
Q
底面ABCD ，AD Ì 平面ABCD ，
3
,
tan
2
PA
PA
AD
PDA
AD
\
^
\
Ð
=
=
，即
3
2
PA
AD
=
，
设
2
AD =
，则
3
PA = ，
以A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
(0,0,0),
(0,2,0)
A
D
，
(2,3,0)
C
，
(0,0,3)
P
，
( 2, 1,0)
CD
\
= -
-
uuur
，
(0, 2,3)
DP =
-
uuur
，
考点一
已知线线角求其他量
设平面PCD 的法向量为
( , , )
n
x y z
=
r
，则
2
0
2
3
0
n CD
x
y
n DP
y
z
ì ×
= -
-
=
ïí ×
= -
+
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
取
3
x = - ，则
6,
4
y
z
=
=
，得
( 3,6,4)
n = -
r
，
易知平面PAB 的一个法向量为
(0,2,0)
AD =
uuur
，
则
12
6 61
cos
,
61
|
||
|
2
9
36 16
AD n
AD n
AD n
×
á
ñ =
=
=
´
+
+
uuur r
uuur r
uuur
r
，
故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为
2
6 61
5 61
1
61
61
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
2．（24-25 高二上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PB ^ 平面ABCD，
,
AB
AD AB
CD
^
∥
，
且
1,
2,
AB
AD
CD
E
=
=
=
在线段PD 上．
(1)若E 是PD 的中点，试证明：AE ∥平面PBC ；
(2)若异面直线BC 与PD 所成的角为60°，求四棱锥P
ABCD
-
的侧视图的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
55
5
【详解】（1）证法一：在四棱锥P
ABCD
-
中，取PC 的中点F，连接EF
FB
、
，
因为E 是PD 的中点，所以
1
2
EF
CD
AB
P
P
，且EF
AB
=
，
所以四边形AEFB 是平行四边形，则AE
FB
∥
，
而AE 平面
,
PBC FB Ì平面PBC ，
/ /
AE
\
平面PBC ．
证法二：如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，BP 所在直线为z 轴，建立空间
直角坐标系，
设PB
t
= ，则
0,0,
,
1,2,0 ,
1,2,0 ,
1,0,0
P
t
D
C
A
-
-
，
所以
1
1
,1,
,
,1,
2
2
2
2
t
t
E
AE
æ
ö
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
，
设平面PBC 的法向量为
, ,
a
x y z
=
r
，则
0
0
a BC
a BP
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，所以
2
0
0
x
y
tz
+
=
ì
í
=
î
，即
2
0.
x
y
z
= -
ì
í
=
î
取
1
y = - ，得到平面PBC 的法向量为
2, 1,0
a =
-
r
．
所以
0
AE a
×
=
uuur r
，而AE 平面PBC ，则
/ /
AE
平面PBC ．
（2）同（1）法二建立空间直角坐标系，
设
(
0)
PB
t t
=
>
，则
0,0,
,
1,2,0 ,
1,2,0
P
t
D
C
-
，
所以
1,2,
,
1,2,0
PD
t
BC
= -
-
=
uuur
uuur
，
则
2
5
,
5,
PD
t
BC
=
+
=
uuur
uuur
由已知异面直线BC 与PD 成60°角，所以
2
1
cos60
5
5 2
PD BC
PD
BC
t
×
=
×
×
° =
+
×
×
uuur uuur
uuur
uuur
，
又
1 1
2 2
0
3
PD BC
t
×
= - ´ + ´ + -
´
=
uuur uuur
，
所以
2
1
5
5
3
2
t
+
×
×
=
，解得
55
5
t =
，即
55
5
PB =
，
所以侧视图的面积为
1
55
55
2
2
5
5
S =
´ ´
=
．
3．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，已知棱
,
,
AB AD AP 两两垂直，长度分别为1，2，
2，若DC
AB
l
=
uuur
uuur ，且向量PC
uuur
与BD
uuur 夹角的余弦值为15
15
.
(1)求实数λ 值；
(2)求直线PB 与平面PCD所成角的正弦值；
(3)求平面PBD 与平面PCD夹角的余弦值.
【答案】(1)
2
l =
；
(2) 10
5
；
(3)
3
3
.
【详解】（1）依题意，以A 为原点，直线
,
,
AB AD AP 分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系A
xyz
-
，
(1,0,0),
(0,2,0), (0,0,2)
B
D
P
，由DC
AB
l
=
uuur
uuur ，得
( ,2,0)
C l
，则
( ,2, 2)
PC
l
=
-
uuur
，而
( 1,2,0)
BD = -
uuur
，
而
2
4
15
cos
,
15
|
||
|
8
5
PC BD
PC BD
PC
BD
l
l
×
-
á
ñ =
=
=
+ ´
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur
，显然
4
l <
，解得
2
l =
.
（2）由（1）得
(2,2, 2)
PC =
-
uuur
，
(0,2, 2)
PD =
-
uuur
，设平面PCD的法向量
( , , )
n
x y z
=
r
，
则
2
2
2
0
2
2
0
n PC
x
y
z
n PD
y
z
ì ×
=
+
-
=
ïí ×
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
1
z = ，得
(0,1,1)
n =
r
，又
(1,0, 2)
PB =
-
uuur
，
于是
2
10
cos
,
5
|
||
|
5
2
PB n
PB n
PB n
×
-
á
ñ =
=
= -
´
uuur r
uuur r
uuur
r
，
所以直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为10
5
.
（3）由（2）令平面PBD 的法向量
( , , )
m
a b c
=
ur
，则
2
0
2
2
0
m PB
a
c
m PD
b
c
ì
×
=
-
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
1
c = ，得
(2,1,1)
m =
ur
，
设平面PBD 与平面PCD夹角为q ，则
|
|
2
3
cos
| cos
,
|
3
|
||
|
6
2
m n
m n
m n
q
×
=
á
ñ =
=
=
´
ur r
ur r
ur
r
，
所以平面PBD 与平面PCD夹角的余弦值为
3
3
.
4．（24-25 高二上·河北邢台·阶段练习）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
AAC C ^ 平面ABC ，
1
1
AA
AC
=
，
2
AC =
，AC
BC
^
，
1
1
AA
AC
^
.
(1)证明：
1
BB ^ 平面
1A BC ；
(2)若异面直线
1
1
,
AB CA 所成角的余弦值为1
3 ，求BC.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)2 2
【详解】（1）因为平面
1
1
AAC C ^ 平面ABC ，交线为AC ，
AC
BC
^
，
Ì
BC
平面ABC ，
所以BC ⊥平面
1
1
AAC C ，
因为
1
AA Ì 平面
1
1
AAC C ，所以BC ⊥
1
AA ，
因为
1
1
AA
AC
^
，
1AC
BC
C
=
I
，
1 ,
AC BC Ì 平面
1A BC ，
所以
1
AA ^ 平面
1A BC ，
又
1 / /
BB
1
AA ，所以
1
BB ^ 平面
1A BC ；
（2）取AC 的中点P ，连接
1
PA ，因为
1
1
AA
AC
=
，所以
1A P ⊥AC ，
因为平面
1
1
AAC C ^ 平面ABC ，交线为AC ，
1A P Ì 平面
1
1
AAC C ，
所以
1A P ⊥平面ABC ，
取AB 的中点H ，连接PH ，则
/ /
PH
BC ，
因为AC
BC
^
，所以PH ⊥AC ，
故以P 为坐标原点，
1
,
,
PH PC PA 所在直线分别为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系，
因为
2
AC =
，所以
1
1
1
2
A P
AC
=
= ，故
1
0 1,0 ,
0,1,0 ,
0,0,1
A
C
A
-
，
设BC
m
=
，则
,1,0
B m
，设
1
, ,
B s t h ，
由
1
1
AA
BB
=
uuur
uuur
得
0,1,1
,
1,
s
m t
h
=
-
-
，
解得
,
2,
1
s
m t
h
=
=
= ，故
1
,2,1
B m
，
1
1
,3,1 ,
0, 1,1
AB
m
CA
=
=
-
uuur
uuur
，
因为异面直线
1
1
,
AB CA 所成角的余弦值为1
3 ，
所以
1
1
1
1
2
2
1
1
,3,1
0, 1,1
2
1
cos
,
3
9 1
1 1
2
10
AB CA
m
AB CA
AB
CA
m
m
×
×
-
=
=
=
=
×
+
+ ×
+
+
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur
，
解得
2 2
m =
，故
2 2
BC =
.
5．（23-24 高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^平面
,
,
ABCD AB
AD AD
^
∥BC ，
1,
2
AP
AB
AD
BC
=
=
=
=
.
(1)求二面角B
PD
C
-
-
的正弦值；
(2)在棱PC 上确定一点E ，使异面直线PD 与BE 所成角的大小为60o，并求此时点E 到平面PBD 的距离.
【答案】(1) 2 2
3
(2)
2
3
PE
PC
=
uuur
uuur
，
4 3
9
d =
【详解】（1）以
,
,
AB AD AP
uuur uuur uuur
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为
2,
1
BC
AP
AB
AD
=
=
=
= ，
所以
1,0,0 ,
0,0,1 ,
0,1,0 ,
1,2,0
B
P
D
C
，
则
1,0, 1 ,
0,1, 1 ,
1,1,0
PB
PD
DC
=
-
=
-
=
uuur
uuur
uuur
.
设平面PBD 的法向量
1
1
1
1
( ,
,
)
n
x y z
=
ur
，
则
1
1
1
1
1
1
0
0
n PB
x
z
n PD
y
z
ì
×
=
-
=
ïí
×
=
-
=
ïî
ur uuur
ur uuur
，取
1
1
x = 得
1
(1,1,1)
n =
ur
，
设平面PCD的法向量
2
2
2
2
,
,
n
x
y
z
=
uur
，
则
2
2
2
2
2
2
0
0
n
DC
x
y
n
PD
y
z
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uur uuur
uur uuur
，取
2
1
x = 得
2
(1, 1, 1)
n =
- -
uur
，
设二面角B
PD
C
-
-
的大小为q ，则
1
2
1
1
cos
cos ,
3
3
3
n n
q =
=
=
´
ur uur
，
所以
2
2 2
sin
1 cos
3
q
q
=
-
=
.
（2）设
,2 ,
(0
1)
PE
PC
l
l
l
l
l
=
=
-
<
£
uuur
uuur
，则
1,2 ,
1
BE
PE
PB
l
l
l
=
-
=
-
- +
uuur
uuur
uuur
.
因为异面直线PD 与BE 所成角的大小为60o，
所以
2
2
| 2
(
1) |
1
cos60
| cos
,
|
2
2
2(
1)
4
PD BE
l
l
l
l
°
+
-
=
<
> =
=
´
-
+
uuur uuur
，解得
2
3
l =
或
0
l =
（舍去）.
此时
2 4
2
,
,
3 3
3
PE
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
uuur
，
所以点E 到平面PBD 的距离
1
1
4
4 3
3
9
3
PE n
d
n
×
=
=
=
uuur ur
ur
.
6．（2024·广西贺州·一模）某几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分），其中
1
1
1
1
,
,
,
AA BB CC DD 均与底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1 和2，对应的圆心角为120°，E 为弧
1
1
AD
的中点．
(1)证明：
/ /
AB
平面
1
CD E ．
(2)直线
1
AB 与
1
CD 所成角的余弦值为9
10 ．
（i）求直线
1
AB 与平面
1
CD E 所成角的正弦值；
（ii）求二面角
1
C
D E
D
-
-
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）2 285
95
；（ii）4 19
19
.
【详解】（1）设上下底面圆的圆心分别为
1,
O O ，连接
1
1
1
1
1
,
,
,
,
OO OC OB O C O B ，在底面ABCD 内过点O 作
Oy
OD
^
，
以O 为原点，直线
1
,
,
OD Oy OO 分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，设
1
AA
t
= ，
由
1,
2,
1,
120
OC
OA
AB
AOB
=
=
=
Ð
=
° ，得
1
1
3
( 1, 3,0), (
,
,0),
(2,0, ),
(1, 3, )
2
2
A
B
D
t E
t
-
-
，
则
1
1
3
( ,
,0),
(1,
3,0)
2
2
AB
ED
=
-
=
-
uuur
uuuur
，显然
1
2
ED
AB
=
uuuur
uuur
，即
1 / /
ED
AB
uuuur
uuur
，
而点A 不在直线
1
ED ，于是
1
/ /
AB
ED ，又
1
ED Ì平面
1
CD E ，AB 平面
1
CD E ，
所以
/ /
AB
平面
1
CD E .
（2）（i）由（1）知，
1
1
3
(
,
, ),
(1,0,0)
2
2
B
t C
-
，则
1
1
1
3
( ,
, ),
(1,0, )
2
2
AB
t CD
t
=
-
=
uuur
uuuur
，
由直线
1
AB 与
1
CD 所成角的余弦值为9
10 ，得
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
|
|
9
2
| cos
,
|
10
|
||
|
1
1
t
AB C D
AB C D
AB
C D
t
t
+
×
á
ñ =
=
=
+
×
+
uuur uuuur
uuur uuuur
uuur
uuuur
，解得
2
t =
，
则
1
1
1
3
( ,
,2),
(1,0,2)
2
2
AB
CD
=
-
=
uuur
uuuur
，而
1
(1,
3,0)
ED =
-
uuuur
，设平面
1
CD E 的法向量
( , , )
n
x y z
=
r
，
则
1
1
2
0
3
0
n CD
x
z
n ED
x
y
ì ×
=
+
=
ïí ×
=
-
=
ïî
uuuur
r
uuuur
r
，令
3
z = -
，得
(2 3,2,
3)
n =
-
r
，
所以直线
1
AB 与平面
1
CD E 所成角的正弦值为
1
1
1
|
|
2 3
2 285
| cos
,
|
95
|
||
|
5
19
n AB
n AB
n
AB
×
á
ñ =
=
=
´
r uuur
r uuur
r
uuur
.
（ii）由（i）知，平面
1
CD E 的法向量
(2 3,2,
3)
n =
-
r
，
1
(0,0,2)
DD =
uuuur
，
设平面
1
DD E 的法向量
( , , )
m
a b c
=
ur
，则
1
1
2
0
3
0
m DD
c
m ED
a
b
ì
×
=
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuuur
r
uuuur
r
，令
1
b = ，得
( 3,1,0)
m =
ur
，
于是
8
4 19
cos
,
19
|
||
|
2
19
m n
m n
m n
×
á
ñ =
=
=
´
ur r
ur r
ur
r
，显然二面角
1
C
D E
D
-
-
为锐角，
所以二面角
1
C
D E
D
-
-
的余弦值为4 19
19
.
7．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，CD ^ 平面PAD，PA
AD
^
．
(1)证明：PA ^平面ABCD；
(2)若底面ABCD 是正方形，
2
AP
AB
=
=
，E 为PB 中点，点F 在棱PD 上，且异面直线AF 与PB 所成的角为
60°．
（ⅰ）求PF 的长度；
（ⅱ）平面AEF 交PC 于点G，点M 在线段PB 上，求EG 与平面MAD 所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）2 ；（ⅱ）
6
3
,
6
3
é
ù
ê
ú
ë
û
【详解】（1）因为CD ^ 平面PAD ，PAÌ 平面PAD，
所以CD
PA
^
，
又因为
,
PA
AD AD
^
Ì 平面ABCD，CD Ì 平面ABCD，AD
CD
D
=
I
，
所以PA ^平面ABCD．
（2）（i）由（1）可知PA ^平面ABCD，所以AB，AD，AP 两两垂直，
故以A 为原点，以AB，AD，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意可得
0,0,0 ,
0,2,0 ,
0,0,2 ,
1,0,1
A
D
P
E
，
所以
1,0,1 ,
0,2, 2 ,
2,0, 2
AE
PD
PB
=
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
，
设
0,2 , 2
, 0
1
PF
PD
l
l
l
l
=
=
-
£
£
uuur
uuur
，
则
0,2 ,2
2
AF
AP
PF
l
l
=
+
=
-
uuur
uuur
uuur
，
因为异面直线AF 与PB 所成角为60°，
所以
2
2
4
4
1
cos60
cos
,
2
4
4
1
2 2
AF PB
AF PB
AF PB
l
l
l
×
-
° =
=
=
=
+
-
´
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
解得
1
2
l =
，所以
1
2
2
PF
PD
=
=
．
（ⅱ）设
0
1
PG
PC
m
m
=
£
£
uuur
uuur
，
则
0,0,2
2,2, 2
2 ,2 ,2
2
AG
AP
PG
AP
PC
m
m
m
m
m
=
+
=
+
=
+
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
1,0,1 ,
0,1,1
AE
AF
=
=
uuur
uuur
，
设平面AEF 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，则
0
0
n AE
n AF
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
0
0
x
z
y
z
+
=
ì
í +
=
î
，
取
1,
1,
1
x
y
z
= -
= -
= ，得
1, 1,1
n = - -
r
，
因为n
AG
^
r
uuur
，所以
0
n AG
×
=
r uuur
，即
2
2
2
2
0
m
m
m
-
-
+
-
=
，解得
1
3
m =
，
所似
2 2 4
,
,
3 3 3
Gæ
ö
ç
÷
è
ø 所以
1 2 1
,
,
3 3 3
EG
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
uuur
因为M 在线段PB 上，所以
2 ,0, 2 , 0
1
PM
tPB
t
t
t
=
=
-
£ £
uuuur
uuur
，
则
2 ,0,2
2 ,
0,2,0 ,
2 ,0,2
2
M
t
t
AD
AM
t
t
-
=
=
-
uuur
uuuur
，
设平面MAD 的法向量
1
1
1
,
,
m
x y z
=
r
，则
0
0
m AD
m AM
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
即
1
1
1
0
1
0
y
tx
t z
=
ì
í
+
-
=
î
取
1
1
1
1,
0,
x
t
y
z
t
= -
=
= ，得
1,0,
m
t
t
=
-
r
，
设EG 与平面MAD 所成角为q ，
则
2
2
2
2
1
1
1
3
3
1
1
sin
cos
,
6
6
2
2
1
1
1
1
2 3
3
2
4
t
t
EG m
EG m
EG m
t
t
t
t
t
q
æ
ö
-
-
+
ç
÷
×
è
ø
=
=
=
=
=
´
-
+
æ
ö
´
-
+
´
-
+
ç
÷
è
ø
uuur r
uuur r
uuur r
，
由于
0,1
t Î
，所以
2
1
1
1 1
,
2
4
4 2
tæ
ö
é
ù
-
+
Î
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
，所以
6
3
sin
,
6
3
q
é
ù
Îê
ú
ë
û
即EG 与平面MAD 所成角的正弦值的取值范围为
6
3
,
6
3
é
ù
ê
ú
ë
û
8．（24-25 高二下·江苏南京·期中）如图1，
ABC
V
是底边为2 的等腰三角形，且
3
BA
BC
=
=
，
DAC
△
为等腰直
角三角形，
90
CDA
Ð
=
° ，将
DAC
△
沿AC 翻折到PAC
V
的位置，且点P 不在平面ABC 内（如图2），点F 为线段
PB 的中点．
(1)证明：AC
PB
^
；
(2)当平面PAC ^ 平面ACB 时，求直线PB 与平面ACF 所成角的余弦值；
(3)若直线PC 与AB 所成角的余弦值为
6
4
时，设平面PAC 与平面ABC 的夹角为a ，求cosa 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
3
3
；
(3)
2
4
.
【详解】（1）取AC 中点为E ，连接PE ，BE ，
Q PA
PC
=
，AB
BC
=
，
\ PE
AC
^
，BE
AC
^
，
又PE
BE
E
Ç
=
，PE 、BE Ì 平面PBE ，
\ AC ^平面PBE ，又PB Ì平面PBE ，
\ AC
PB
^
．
（2）Q平面PAC ^ 平面ACB ，平面PAC I平面ACB
AC
=
，PE
AC
^
，PE Ì 平面PAC ，
\ PE ^ 平面ACB ，易知EA，EP ，EB两两互相垂直，
以E 为原点，以{
,
,
}
EA EB EP
uuur uuur uuur
为基底，建立空间直角坐标系，
\
(1,0,0)
A
，
(0,
2,0)
B
，
( 1,0,0)
C -
，
(0,0,1)
P
，
2 1
(0,
, )
2
2
F
，
\
(0, 2, 1)
=
-
uuur
PB
，
(2,0,0)
CA =
uuur
，
1
(1,
, )
2
2
2
=
uuur
CF
，
设平面ACF 的法向量为
1
1
1
( ,
,
)
m
x y z
=
r
，则
1
1
1
1
2
0
2
1
0
2
2
CA m
x
CF m
x
y
z
ì
×
=
=
ïí
×
=
+
+
=
ïî
uuur r
uuur r
，
取
1
1
y = - ，得
(0, 1, 2)
m =
-
r
，
\
2
2
2 2
cos
,
3
3
3
PB m
PB m
PB m
×
-
-
=
=
= -
´
×
uuur r
uuur r
uuur
r
，
设直线PB 与平面ACF 所成角为q ，则
2 2
sin
3
q =
，又
π
[0,
]
2
q Î
，
\直线PB 与平面ACF 所成角的余弦值为
3
3
.
（3）以E 为原点，以EA为x 轴，EB为y 轴，垂直于平面ABC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，
Q
DAC
△
为等腰三角形，
2
DA
DC
=
=
，
\
1
EP = ，则
(1,0,0)
A
，
(0,
2,0)
B
，
( 1,0,0)
C -
，
设
BEP
q
Ð
=
，则
n
(0,cos
)
,si
P
q
q
，则
( 1, cos , sin )
q
q
= - -
-
uuur
PC
，
( 1, 2,0)
= -
uuur
AB
，
故
1
2 cos
6
cos
,
4
2
3
PC AB
PC AB
PC AB
q
×
-
=
=
=
´
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
\
2
cos
4
q = -
或
5 2
cos
4
q =
（舍），又
π
[0,
]
2
a Î
，
\
2
cos
cos
4
a
q
=
=
．
1．（2025·云南·模拟预测）在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为直角梯形，
/ /
AD
BC ，AD
AB
^
，侧面PAB ^
底面ABCD ，
1
2
2
PA
PB
AD
BC
=
=
=
=
，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，
(1)证明：
/ /
DE
平面PAB ；
(2)若直线PF 与平面ABCD 所成的角为30°，求平面PAB 与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
5
5
.
【详解】（1）取PB 中点M ，连接AM ，EM ，
E
Q
为PC 的中点，
/ /
ME
BC
\
，
1
2
ME
BC
=
，
又∵
/ /
AD
BC ，
1
2
AD
BC
=
，
/ /
ME
AD
\
，ME
AD
=
，
\四边形ADEM 为平行四边形，
/ /
DE
AM
\
，
DE
Q
平面PAB ，AM Ì平面PAB ，
/ /
DE
\
平面PAB ；
（2）取AB 中点G ，连接PG ，
由PA
PB
=
，点G 为AB 中点，可得PG
AB
^
考点二
已知线面角求其他量
因为平面PAB ^平面ABCD ，平面PAB Ç 平面ABCD
AB
PG
=
Ì
，
平面PAB ，
所以PG ^平面ABCD ，
因为直线PF 与平面ABCD 所成的角为30°
1
30
3
2
GFG
GF
AD
BC
\Ð
=
°
=
+
=
，
，
tan30
3
3
PG
PG
\
° =
\
=
，
，又
2,
4
3
1,
2
PA
PB
AG
GB
AB
=
=
\
=
=
-
=
=
，
如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z 轴建立空间直角坐标系，
0,0, 3 ,
1,4,0 ,
1,2,0
P
C
D
\
-
，
1,4,
3 ,
2, 2,0
PC
CD
\
=
-
= -
-
uuur
uuur
，设平面PCD的一个法向量，
1
, ,
n
x y z
=
ur
，
则
1
1
4
3
0
2
2
0
n PC
x
y
z
n CD
x
y
ì
×
=
+
-
=
ïí
×
= -
-
=
ïî
ur uuur
ur uuur
，取
1
y = ，则
1
1,1, 3
n = -
ur
，
平面PAB 的一个法向量可取
2
0,1,0
n =
uur
，
设平面PAB 与平面PCD所成锐二面角为q ，
1
2
1
2
1
5
cos
5
5
n n
n n
q
×
\
=
=
=
ur uur
ur uur
，
所以平面PAB 与平面PCD所成锐二面角的余弦值
5
5
.
2．（2025·江西萍乡·三模）已知四棱锥S
ABCD
-
中，二面角S
AD
B
-
-
为直二面角，
4
2
4
4
3
AD
CD
SD
BC
=
=
=
=
，
90
BCD
ADC
ASD
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，M 为棱DA 上一点.
(1)证明：SA
SC
^
；
(2)若M 为DA 中点，求二面角B
SC
M
-
-
的正弦值；
(3)若
//
BM
平面SCD ，点N 在平面SMB 上，若直线AN 与平面SCD 所成角为π
6 ，求MN 的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
39
8
；
(3)
3 .
【详解】（1）由
90
ADC
Ð
=
° ，得CD
AD
^
，二面角S
AD
B
-
-
为直二面角，即平面SAD ^ 平面ABCD ，
而平面SAD Ç平面ABCD
AD
=
，CD Ì 平面ABCD ，故CD ^ 平面SAD.
因为SA Ì 平面SAD，所以SA
CD
^
，又SA
SD
^
，
SD ，CD Ì 平面SCD ，SD
CD
D
=
I
，故SA ^ 平面SCD ，
又SC Ì 平面SCD ，故SA
SC
^
.
（2）过点S 作SO
AD
^
于点O，连接OB ，由
ADS
SDO
:
△
△
，得
1
OD
BC
=
=
.
又
/ /
OD
BC ，故四边形OBCD 为平行四边形，
因为
90
ADC
Ð
=
° ，所以
90
DOB
Ð
=
° ，即OD
OB
^
，故OA，OB ，OS 两两垂直，
以O 为坐标原点，OA，OB ，OS 所在的直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
0,3,0
B
，
0,0, 3
S
，
1,3,0
C -
，
1,0,0
M
，
故
0, 3, 3
BS =
-
uuur
，
1,0,0
BC = -
uuur
，
2, 3,0
CM =
-
uuuur
，
1,0,
3
SM =
-
uuur
，
设平面SBC 的法向量
1
1
1
,
,
a
x y z
=
r
，则
1
1
1
3
3
0
0
a BS
y
z
a BC
x
ì ×
= -
+
=
ïí ×
= -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
1
1
y = ，则
1
3
z =
，
1
0
x =
，故
0,1, 3
a =
r
为平面SBC 的一个法向量，
设平面SCM 的法向量的
2
2
2
,
,
b
x
y
z
=
r
，则
2
2
2
2
2
3
0,
3
0,
b CM
x
y
b SM
x
z
ì ×
=
-
=
ïí ×
=
-
=
ïî
uuuur
r
uuur
r
令
2
3
z =
，则
2
3
x =
，
2
2
y =
，故
3,2, 3
b =
r
为平面SCM 的一个法向量，
则
5
5
cos ,
2 4
8
a b
a b
a b
×
=
=
=
´
r
r
r
r
r
r
，二面角B
SC
M
-
-
的正弦值为
2
39
1 cos
,
8
a b
-
=
r
r
.
（3）若
/ /
BM
平面SCD ，BM Ì 平面ABCD ，平面ABCD I 平面SCD
CD
=
，则
/ /
BM
CD ，
由（2）知
/ /
OB
DC ，故M 与O 点重合，因为N 在平面SMB 上，
设
0, ,
N
p t ，p，t ÎR ，
3,0,0
A
，则
3, ,
AN
p t
= -
uuur
，
因为
0,0, 3
S
，
1,3,0
C -
，
1,0,0
D -
，则
1,3,
3
SC = -
-
uuur
，
1,0,
3
SD = -
-
uuur
，
设平面SCD 的法向量
, ,
m
x y z
=
r
，则
3
3
0
3
0
m SC
x
y
z
m SD
x
z
ì
×
= - +
-
=
ïí
×
= - -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
3
z =
，则
3
x = - ，
0
y =
，故
3,0, 3
m = -
r
为平面SCD 的一个法向量，
故
2
2
9
3
1
cos
,
2
12
9
t
m AN
m AN
m AN
p
t
+
×
=
=
=
´
+
+
uuur
r
uuur
r
uuur
r
，整理得
2
6 3
18
0
p
t
-
-
=
，
又
2
6 3
18
0
p
t
=
+
³
，故
3
t ³ -
，
由
0, ,
MN
p t
=
uuuur
，故
2
2
2
2
6 3
18
3 3
9
3
MN
p
t
t
t
t
=
+
=
+
+
=
+
-
³
uuuur
，
当且仅当t
3
= -
时等号成立，MN 取得最小值为
3 .
3．（2025·四川乐山·三模）如图，直五棱柱
1
1
1
1
1
ABCDE
A B C D E
-
中，四边形ABDE 为正方形，
1
4
BD
DC
DD
=
=
=
，二面角
1
1
B
DD
C
-
-
的平面角为
π
0, 2
q q
æ
ö
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，P 为AE 中点.
(1)当
1
2
tan
3
C PC
Ð
=
时，证明：PD ^ 平面
1
1
CDD C ；
(2)当直线
1
B C 与平面
1
1
DD C C 所成的角为π
6 时，求cosq 的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
1
5
cos
4
q
+
=
.
【详解】（1）因为
1
1
1
1
1
ABCDE
A B C D E
-
为直五棱柱，所以
1
C C ^平面ABCD ，
又PC
PD Ì
、
平面ABCD ，所以
1
C C
PC
^
，
1
C C
PD
^
，
由
1
2
tan
3
C PC
Ð
=
，得
1
2
3
CC
PC =
，所以
6
PC =
.
因为P 为AE 的中点，在Rt PED
V
中，由勾股定理得
2 5
PD =
.
因为
2 5
PD =
，
4
DC =
，
6
PC =
，
所以
2
2
2
PD
DC
PC
+
=
，故PD
DC
^
，
又
1
C C
PD
^
，
1
CC
DC
C
Ç
=
，
1
CC
DC Ì
、
平面
1
1
1
CD D C ，
所以PD ^ 平面
1
1
1
CD D C .
（2）如图，易知DE ，DB ，
1
DD 两两垂直，以D 为原点，DB
uuur ，ED
uuur ，DC
uuur
为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
因为
1
DD ^ 平面BDC ，DB
DC Ì
、
平面BDC ，所以
1
DD
DB
^
，
1
DD
DC
^
，
所以
BDC
Ð
为二面角
1
1
B
DD
C
-
-
的平面角，所以
BDC
q
Ð
=
，
则
0,0,0
D
，
1 0,0,4
D
，
4cos ,4sin ,0
C
q
q
，
1 4,0,4
B
，
故
1
0,0,4
DD =
uuuur
，
4cos ,4sin ,0
DC
q
q
=
uuur
.
设平面
1
1
DD C C 的法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，
由
1
0,
0,
m DD
m DC
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuuur
r
uuur
r
得
4
0,
4 cos
4 sin
0,
z
x
y
q
q
=
ì
í
+
=
î
取
1
y = ，得
tan
x
q
= -
，故
tan ,1,0
m
q
= -
r
.
又
1
4cos
4,4sin , 4
B C
q
q
=
-
-
uuur
，
1
2
2
2
4sin
4tan
4sin
π
sin
cos
,
6
1
tan
16 cos
1
16sin
16
B C m
q
q
q
q
q
q
-
+
+
=
=
+
×
-
+
+
uuur r
，
即
2
2
2
tan
1
2
1
tan
cos
1
sin
1
q
q
q
q
=
+
×
-
+
+
，
化简可得
2
4cos
2cos
1
0
q
q
-
- =
.
解得
1
5
cos
4
q
+
=
得
1
5
cos
4
q
-
=
（舍去）.
4．（24-25 高二下·广西贵港·期中）如图，边长为2 的正方形ABCD 是圆柱的轴截面，E 为底面圆O 上的点，F 为
线段DE 的中点．
(1)证明：AE ^ 平面BCE ．
(2)证明：
/ /
OF
平面BCE ．
(3)若直线BE 与平面CDE 所成角的正弦值为2 19
19
，求BE 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
3
BE =
．
【详解】（1）依题意可得AB 为圆O 的一条直径，则AE
BE
^
．
因为
^
BC
平面ABE ，AE Ì 平面ABE ，所以BC
AE
^
，
又BE
BC
B
=
I
，
,
BE BC Ì 所以平面BCE ，
所以AE ^ 平面BCE ．
（2）取线段CE 的中点H ，连接FH ，BH ．
在CDE
V
中，FH
CD
∥
，
1
2
FH
CD
=
．
因为AB
CD
∥
，
2
AB
OB
CD
=
=
，所以FH
OB
∥
，FH
OB
=
，
所以四边形FHBO 为平行四边形，则OF
HB
∥
．
因为OF Ì/ 平面BCE ，HB Ì 平面BCE ，
所以
/ /
OF
平面BCE ．
（3）过点E 作圆柱的母线EQ ，则EQ ^ 平面ABE ，所以AE ，BE ，EQ 互相垂直．
以E 为原点，EA
uuur ，EB
uuur ，EQ
uuur
的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设AE
a
=
，BE
b
=
，则
2
2
4
a
b
+
=
，
(0,0,0)
E
，(0, ,2)
C
b
，
( ,0,2)
D a
，所以
(0, ,2)
EC
b
=
uuur
，
( ,0,2)
ED
a
=
uuur
．
设
( , , )
m
x y z
=
r
为平面CDE 的法向量，
所以
2
0,
2
0,
ED m
ax
z
EC m
by
z
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
+
=
ïî
uuur r
uuur r
令z
ab
=
，则
( 2 , 2 ,
)
m
b
a ab
= -
-
r
．
易知直线BE 的一个方向向量为
(0,1,0)
n =
r
．
记直线BE 与平面CDE 所成的角为q ，
则
2
2
2
2
|
|
2
2 19
sin
| cos
,
| |
||
|
19
4
4
m n
a
m n
m n
b
a
a b
q
×
=
á
ñ =
=
=
+
+
r r
r r
r
r
，
结合
2
2
4
a
b
+
=
，解得
1
a = ，
3
b =
，所以
3
BE =
．
5．（24-25 高二下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
5
BA
BD
BP
=
=
=
，
1
CD = ，
2
PA
PD
=
=
，PA
PD
^
，E 是棱PA 的中点，且BE∥平面PCD，点F 是棱PD 上的一点．
(1)求证：CD ^ 平面PAD ；
(2)求平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值；
(3)若直线PC 与平面ABF 所成角的正弦值为11 35
105
，求DF 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
6
6
(3) 32 2
41
或
2
3
【详解】（1）取AD 的中点G ，连接
,
PG BG .
因为
,
2
AP
PD AP
PD
^
=
=
，所以
,
2,
1
PG
AD AD
PG
^
=
= .
在ABD
V
中，
5
BA
BD
=
=
，G 是AD 的中点，
所以
,
5 1
2
BG
AD BG
^
=
- =
.
在PBG
V
中，
1,
2,
5
PG
BG
PB
=
=
=
，所以
2
2
2
PG
BG
PB
+
=
.
所以PG
BG
^
，又
,
PG
AD AD
BG
G
^
Ç
=
，
所以PG ^平面ABCD ，又CD Ì 平面ABCD ，所以CD
PG
^
.
在ABP
V
中，因为BA
BP
=
，E 为AP 的中点，所以PA
BE
^
.
又
/ /
BE
平面PCD，所以PA ^ 平面PCD.
又CD Ì 平面PCD，所以CD
PA
^
.
而PA
PG
P
Ç
=
，
,
PG PA Ì 平面PCD，所以CD ^ 平面PAD .
（2）由（1）知，
,
,
PG
BG PG
AD BG
AD
^
^
^
，所以以G 为原点，以
,
,
GB GD GP所在直线为, ,
x y z 轴建立空间直
角坐标系，如图所示.
那么
0,0,1
P
，
2,0,0
B
，
0, 1,0
A
-
.
由（1）知CD ^ 平面PAD ，而AD Ì 平面PAD ，所以CD
AD
^
.
所以
1,1,0
C
.
所以
0, 1, 1 ,
2,0, 1 ,
1,1, 1
PA
PB
PC
=
- -
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
.
设平面APB 与平面PBC 的法向量分别为
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
,
m
x y z
n
x
y
z
=
=
r
r
.
所以
·
0
·
0
PA m
PB m
ì
=
ïí
=
ïî
uuur r
uuur r
，
·
0
·
0
PC n
PB n
ì
=
ïí
=
ïî
uuur r
uuur r
.
即：
1
1
1
1
0
2
0
y
z
x
z
-
-
=
ì
í
-
=
î
，
2
2
2
2
2
0
2
0
x
y
z
x
z
+
-
=
ì
í
-
=
î
.
令
1
2
2,
2
z
z
=
=
，则
1
1
1,
2
x
y
=
= - ；
2
2
1,
1
x
y
=
= .
所以平面APB 与平面PBC 的法向量分别为
1, 2,2 ,
1,1,2
m
n
=
-
=
r
r
.
所以
·
1 2
4
3
6
cos
,
6
1
4
4
1 1
4
3 6
m n
m n
m n
-
+
=
=
=
=
+
+
´
+ +
r r
r r
r r
.
所以平面APB 与平面PBC 的夹角的余弦值为
6
6
.
（3）设
0, ,1
F
y
y
-
，因为
0, 1,0
A
-
，
2,0,0
B
，
所以
2, 1,0 ,
2, ,1
BA
BF
y
y
= -
-
= -
-
uuur
uuur
，设平面ABF 的法向量为
0
0
0
,
,
t
x
y z
=
r
，
则
0
0
0
0
0
2
0
2
1
0
x
y
x
yy
y z
-
-
=
ì
í-
+
+
-
=
î
，令
0
2
y =
，则
0
0
2
2
1,
1
y
x
z
y
+
= -
=
-
.
所以平面ABF 的法向量为
2
2
1,2,
1
y
t
y
æ
ö
+
= -
ç
÷
-
è
ø
r
.而
1,1, 1
PC =
-
uuur
所以
2
2
2
2
3
1
2
·
11 35
1
1
cos
,
105
2
2
2
2
3
5
3
5
1
1
y
y
PC t
y
y
PC t
PC t
y
y
y
y
+
- -
- +
-
-
-
=
=
=
=
æ
ö
æ
ö
+
+
´
+
´
+
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
uuur r
uuur r
uuur r
.
化简得
2
123
109
18
0
y
y
-
+
=
，解得
9
41
y =
或者
2
3
y =
根据相似可得1
2
y
PF
=
，所以
9 2
2
41
PF
y
=
=
或者
2 2
2
3
PF
y
=
=
.
所以
9 2
32 2
2
41
41
DF =
-
=
或者
2 2
2
2
3
3
DF =
-
=
.
6．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
,
,
AC
BC
CC
AC
BC E F
=
=
=
^
分别为
1
,
BC BB 的中点.
(1)证明：
1
C E ^平面ACF；
(2)在线段
1
EC 上是否存在点M ，使得直线
1A M 与平面
1
AC E 所成角的正弦值为2
14
21
？若存在，求平面AFM 与
平面
1
AC E 夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
30
10
【详解】（1）在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AC
BC
^
，则直线
1
,
,
CA CB CC 两两垂直，
以C 为原点，直线
1
,
,
CA CB CC 分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，
则
1
1
1
(2,0,0), (0,2,0), (0,0,0),
(2,0,2),
(0,2,2),
(0,0,2),
(0,1,0),
(0,2,1)
A
B
C
A
B
C
E
F
，
1
(0,1, 2),
( 2,0,0),
( 2,2,1)
C E
AC
AF
=
-
= -
= -
uuuur
uuur
uuur
，
于是
1
0
2
1 0
2
0
0
C E AC
×
=
´ -
+ ´ + -
´
=
uuuur uuur
，
1
C E
AC
^
，
1
0
2
1 2
2
1
0
C E AF
×
=
´ -
+ ´ + -
´ =
uuuur uuur
，
1
C E
AF
^
，
而AC 和AF 是平面ACF 内两条相交直线，
所以
1
C E ^平面ACF.
（2）设点M 存在，
1
(0,
,2 )
EM
tEC
t
t
=
=
-
uuuur
uuuur
，
(0,1
,2 ),
[0,1]
M
t
t t
-
Î
，
1
1
( 2,1
,2
2),
( 2,0,2),
( 2,1,0)
A M
t
t
AC
AE
= -
-
-
= -
= -
uuuur
uuuur
uuur
，
设平面
1
AC E 法向量为
( , , )
n
x y z
=
r
，则
1
2
2
0
2
0
n AC
x
z
n AE
x
y
ì ×
= -
+
=
ïí ×
= -
+
=
ïî
uuuur
r
uuur
r
，
取
1
x = ，得
(1,2,1)
n =
r
，
设
1A M 与平面
1
AC E 所成角为q ，
1
2
2
1
|
|
sin
|
||
|
4
(1
)
(2
2)
6
2
A M n
A M
n
t
t
q
×
=
=
+
-
+
-
×
uuuur r
uuuur
r
，
由
2
2
4
2
2
1
21
4
(1
)
(2
2)
6
t
t
=
+
-
+
-
×
，解得
1
2
t =
，
即M 为
1
EC 中点，坐标为
1
(0,
,1)
2
，
1
( 2,
,1),
( 2,2,1)
2
AM
AF
= -
= -
uuuur
uuur
，设面AFM 法向量
( , , )
m
a b c
=
ur
，
则
1
2
0
2
2
2
0
m AM
a
b
c
m AF
a
b
c
ì
×
= -
+
+
=
ïí
ï
×
= -
+
+
=
î
uuuur
r
uuur
r
，取
1
a = ，得
(1,0,2)
m =
ur
，
设平面AFM 与平面
1
AC E 的夹角为b ，则
|
|
1 0
2
30
cos
|
||
|
10
6
5
n m
n
m
b
×
+
+
=
=
=
´
r r
r
r
，
所以平面AFM 与平面
1
AC E 夹角的余弦值
30
10
.
7．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 平面ABCD ，AD
CD
^
，
/ /
AB
CD ，
2
AB =
，
4
AD
CD
PD
=
=
=
，M 为PC 中点．
(1)求证：
/ /
BM
平面PAD ；
(2)求三棱锥P
ABD
-
的外接球的体积；
(3)线段PA 上（不含端点）是否存在点N ，使得DN 与平面MBD 所成角为4
p ？若存在，确定N 点的位置；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)36π ；
(3)存在N 为PA 靠近P 的1
8 处或中点，满足要求.
【详解】（1）若E 是PD 的中点，连接
,
EM AE ，又M 为PC 中点，则
/ /
EM
CD ，
1
2
EM
CD
=
，
由
/ /
AB
CD 且
1
2
AB
CD
=
，所以
/ /
AB
EM ，AB
EM
=
，
所以四边形ABME 为平行四边形，则
/ /
AE
BM ，
AE Ì 平面PAD ，BM 平面PAD ，则
/ /
BM
平面PAD ；
（2）由PD ^ 平面ABCD ，即PD ^ 平面ABD ，AB Ì 平面ABD ，则PD
AB
^
由AD
CD
^
，
/ /
AB
CD ，则AD
AB
^
， AD
PD
D
=
且都在平面PAD 内，
所以AB ^平面PAD ，易知P
ABD
-
是长宽高分别为
,
,
AB AD PD 的长方体的一部分，
所以PB 为长方体的体对角线，且P
ABD
-
与该长方体的外接球重合，故
2
2
2
4
2
4
6
PB =
+
+
=
，
所以外接球半径
3
2
PB
R =
=
，则外接球的体积为
3
4 π
36π
3 R =
；
（3）构建如上图示的空间直角坐标系D
xyz
-
，则
(4,2,0),
(0,2,2),
( ,0,4
)
B
M
N n
n
-
且0
4
n
<
<
，
所以
(4,2,0),
(0,2,2),
( ,0,4
)
DB
DM
DN
n
n
=
=
=
-
uuur
uuuur
uuur
，
若
( , , )
m
x y z
=
ur
是平面BDM 的一个法向量，则
2
2
0
4
2
0
m DM
y
z
m DB
x
y
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
+
=
ïî
uuuur
r
uuur
r
，取
2
y = - ，则
(1, 2,2)
m =
-
ur
，
由DN 与平面MBD 所成角为4
p ，则
2
2
8
2
cos
,
2
3
(4
)
m DN
n
m DN
m DN
n
n
×
-
=
=
=
´
+
-
uuur
r
uuur
r
uuur
r
，
所以
2
2
(8
)
1
9(
4
8)
n
n
n
-
=
-
+
，可得
2
2
5
2
0
n
n
-
+
=
，可得
1
2
n =
或
2
n =
，
综上，存在N 为PA 靠近P 的1
8 处或中点时，DN 与平面MBD 所成角为4
p .
8．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期末）如图，在三棱锥A
BCD
-
中，
2 3
AC
AD
BC
BD
=
=
=
=
，
4
AB
CD
=
=
，点
F 在棱AB 上（不与端点重合），直线AF 与平面FCD所成角的正弦值为2 5
5
．
(1)求异面直线AB ，CD 所成角的正弦值；
(2)求
AF
BF 的值．
【答案】(1)1
(2) 1
3 或3
【详解】（1）如图，取CD 的中点E ，连接
,
AE BE ，
因为AC
AD
BC
BD
=
=
=
，所以AE
CD
^
，BE
CD
^
，
因为AE
BE
E
=
，AE ，BE Ì 平面ABE ，
所以CD ^ 平面ABE ，又AB Ì 平面ABE ，所以CD
AB
^
，
所以异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为sin90
1
° = ．
（2）如图，因为AC
AD
BC
BD
=
=
=
，易知
ACD
BCD
△
△
，则AE
BE
=
，
取AB 的中点G ，连接GE ，易知GE
AB
^
，又CD ^ 平面ABE ，易知
,
,
CD GE AB 两两垂直，
以G 为坐标原点，分别以
,
GE GA 所在直线为y 轴，z 轴，过点G 作CD 的平行线为x 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系．
由题设，易得
2 2
AE =
，
2
GE =
，则
(0
)
,0,2
A
，
(0 0
2)
, ,
B
-
，
(2
)
,2,0
C
，
( 2,2 0)
,
D -
，
则
0,0,
4
AB =
-
uuur
，
4,0,0
DC =
uuur
，设
0,0,
4
AF
AB
l
l
=
=
-
uuur
uuur
，0
1
l
<
< ，
则
)
, ,
(0 0 2
4
F
l
-
，故
2,2,4
2
FC
l
=
-
uuur
，
设平面FCD的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，则
4
0
2
2
4
2
0
n DC
x
n FC
x
y
z
l
ì ×
=
=
ïí ×
=
+
+
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
1
z = - ，则
0,2
1, 1
n
l
=
-
-
r
，设直线AF 与平面FCD所成角为q ，
则
2
4
2 5
sin
cos
,
5
4
2
1
1
AF n
AF n
AF n
l
q
l
l
×
=
=
=
=
×
-
+
uuur r
uuur r
uuur r
，
解得
1
4
l =
或
3
4
l =
，
所以使得直线AF 与平面FCD所成角的正弦值为2 5
5
，
则点F 位于棱AB 上靠近点A 或点B 的四等分点处，
所以
1
3
AF
BF =
或3.
1．（2025·山东泰安·模拟预测）在四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，
6
AD
PD
=
=
，
点E 为AP 的中点，点F 在线段PC 上，且PF
PC
l
=
uuur
uuur .
(1)若
1
2
l =
，求证：
^
EF
平面PDB ；
(2)若平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为2
3 ，求l 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
3
【详解】（1）
连接AC ，
1
2
l =
Q
，
F
\
为线段PC 的中点.
E
Q
为AP 的中点，
//
EF AC
\
，
PD ^
Q
底面ABCD ，AC Ì 底面ABCD ，所以PD
AC
^
，
Q底面ABCD 为正方形，
BD
AC
\
^
.
BD
PD
D
Ç
=
Q
，BD Ì 面PDB ，PD Ì 面PDB ，
AC
\
^ 平面PDB ，
//
EF AC
Q
，
EF
\
^ 平面PDB .
（2）
由题意，
,
,
DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，
,
,
DA DC DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
标系.
考点三
已知面面角求其他量
则
(6,0,0)
A
，
(0,6,0)
C
，
(0,0,0)
D
，
(0,0,6)
P
，
所以
(0,0,6)
DP =
uuur
，
(0,6, 6)
PC =
-
uur
，
E
Q
为AP 的中点，
(3,0,3)
E
\
，
(3,0,3)
DE =
\
uuur
，
PF
PC
l
=
uur
uur
Q
，
(0,0,6)
(0,6, 6)
(0,6 ,6
6 )
DF
DP
PF
l
l
l
\
=
+
=
+
-
=
-
uuur
uuur
uuur
，
设平面DEF 的法向量为
1
( , , )
n
x y z
=
ur
，则
1
1
0
0
n DE
n DF
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
ur uuur
ur uuur
，即
3
3
0
6
(6
6 )
0
x
z
y
z
l
l
+
=
ì
í
+
-
=
î
，
令
6
z
l
=
，得
1
( 6 ,6
6,6 )
n
l
l
l
= -
-
ur
，
易得平面ABCD 的一个法向量为
2
(0,0,1)
n =
uur
，
设平面DEF 与平面ABCD 的夹角为q ，则
1
2
2
2
2
6
2
cos
cos
,
3
6
6
6
6
n n
l
q
l
l
l
=
<
> =
=
-
+
-
+
ur uur
，
化简得
2
3
8
4
0
l
l
-
+
=
，解得
2
3
l =
或
2
l = - ，
Q点F 在线段PC 上，
0
1
l
\ £
£ ，
2
3
l
\
=
.
2．（24-25 高二下·江苏常州·阶段练习）如图，四棱锥P
ABCD
-
的底面是边长为2 3 的菱形，
π
3
BAD
Ð
=
，
=
PB
PD .
(1)证明：平面PAC ^ 平面ABCD ；
(2)若点P 在平面ABCD 内的投影为
ABD
△
的重心，且直线CP 与平面ABCD 所成角为4
p .
（i）求四棱锥P
ABCD
-
的体积；
（ii）若点M 为棱CP 上的动点（不包括端点），当平面ABM 和平面BCM 所成角的正弦值为15
5
时，求CM
CP 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）8 3 （ii）
1
2
CM
CP =
【详解】（1）证明：连接BD 交AC 与点O ，连接OP .因为ABCD 为菱形，所以BD
AC
^
.
O 为BD 中点，且
=
PB
PD ，所以BD
OP
^
.
又因为AC
OP
O
=
I
，AC Ì 平面PAC ，OP Ì 平面PAC ，
所以BD ^ 平面PAC .
因为BD Ì 平面ABCD ，
所以平面PAC ^ 平面ABCD .
（2）（i）过P 作PH
AC
^
于点H，
因为平面PAC ^ 平面ABCD，平面PAC I平面ABCD
AC
=
，PH Ì 平面PAC，
所以PH ^平面ABCD，
因为点P 在平面ABCD 内的投影为
ABD
△
的重心，所以H 即为
ABD
△
的重心，且
1
OH = ，
PCH
Ð
为直线CP 与平面ABCD 所成角，即
4
Ð
=
PCH
p ，故PH
CH
=
，
底面是边长为2 3 的菱形，
π
3
BAD
Ð
=
，故
,
ABD CBD
V
V
均为等边三角形，
故
3
2 3
3
2
AO
CO
=
=
´
= ，所以
3 1
4
CH =
+ =
，所以
4
PH
CH
=
=
.
故菱形ABCD 的面积为
2
3
2
(2 3)
6 3
4
S =
´
´
=
，
所以四棱锥P
ABCD
-
的体积
1
1
6 3
4
8 3
3
3
V
S PH
=
×
=
´
´
=
.
（ii）以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 点作平面ABCD 的垂线作为z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系.
则
(0, 3,0)
A
-
，
(0,3,0)
C
，
( 3,0,0)
B
，
(
3,0,0)
D -
，
(0, 1,4)
P
-
.
设
(0, 4,4)
(0, 4 ,4 )
CM
mCP
m
m
m
=
=
-
=
-
uuuur
uuur
，故
(0,3
4 ,4 )(0
1)
M
m
m
m
-
<
<
.
设平面ABM 的一个法向量为
( , , )
m
x y z
=
ur
，
( 3,3,0)
AB =
uuur
，
(0,6
4 ,4 )
AM
m
m
=
-
uuuur
，
则
3
3
0
(6
4 )
4
0
AB m
x
y
AM m
m y
mz
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
-
+
=
ïî
uuur r
uuuur r
，取
3
y
m
= -
，则
9
3 3 , 3 ,
3
2
m
m
m
m
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
r
.
设平面BCM 的一个法向量为
0
0
0
,
,
n
x
y
z
=
r
，
( 3, 3,0)
CB =
-
uuur
，
(0, 4 ,4 )
CM
m
m
=
-
uuuur
，
则
0
0
0
0
3
3
0
( 4 )
4
0
CB n
x
y
CM n
m y
mz
ì
×
=
-
=
ïí
×
= -
+
=
ïî
uuur r
uuuur r
，取
0
3
x =
，则
( 3,1,1)
n =
r
，
设平面ABM 和平面BCM 所成角为q ，
则
2
2
9
3
|
|
3
2
2
cos
| cos
,
|
81
5 20
12
9
5 45
27
4
m
m n
m
m n
m n
m
m
m
m
q
+
×
+
=
=
=
=
-
+
-
+
ur r
ur r
ur r
，
因为
15
sin
5
=
θ
，所以
10
cos
5
q =
.所以
2
3
2
10
5
5 20
12
9
m
m
m
+
=
-
+
，
化简得
2
4
4
1
0
m
m
-
+ =
，解得
1
2
m =
，所以
1
2
CM
CP =
.
3．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，已知
1
1
2
2
AB
A B
=
=
，
1
2
AA =
，
1
DD
AD
^
，
1
1
B BA
B BC
Ð
= Ð
.
(1)证明：
1
DD ^ 平面ABCD ；
(2)点P 在棱
1
DD 上，当二面角
1
P
AB
C
-
-
的正弦值为3 21
14
时，求DP .
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
3
【详解】（1）连接BD ，交AC 于点E ，连接
1
B E ，
1
1
B D .
由题意得
1
1//
B D
BD ，且
1
1
2
=
B D
，
2 2
BD =
，E 为BD 中点，
在
1
B BA
V
和
1
B BC
V
中，BA
BC
=
，
1
1
B BA
B BC
Ð
= Ð
，
1
B B 是公共边，
故
1
1
B BA
B BC
≌
V
V
，故有
1
1
B A
B C
=
，
又E 是AC 中点，所以
1
B E
AC
^
.
结合①可得
1
DD
AC
^
. 又
1
DD
AD
^
，
且AC
AD
A
=
I
，
,
AC AD Ì 面ABCD ，故
1
DD ^ 平面ABCD .
（2）在梯形
1
1
A ADD 中，取AD 中点F ，连接
1A F ，则
1
AF = ，
易证四边形
1
1
A FDD 是矩形，故
1
1
DD
A F
=
，
1A F
AD
^
.
在
1
Rt
A FA
△
中，由勾股定理得
1
1
A F = ，故
1
1
DD = .
以D 为坐标原点，DA
uuur 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D
xyz
-
，
则
(2,0,0)
A
，
(2,2,0)
B
，
1(1,1,1)
B
，设
(0,0, )
P
t ，0
1
t
£ £ ，
则
1
( 1,1,1),
( 2,0, ),
(2,2,0)
AB
AP
t DB
= -
= -
=
uuur
uuur
uuur
，
由（1）知
1
DD ^ 平面ABCD ，故
1
DD
DB
^
，
又
1
1
/ /
DD
B E ，故
1
DB
B E
^
，又DB
AC
^
，且
1
AC
B E
E
Ç
=
，
1
,
AC B E Ì 面
1
AB C ，故DB ^ 平面
1
AB C ，
故可取
1
1,1,0
2
m
DB
=
=
uuur
r
为平面
1
AB C 的一个法向量.
设
, ,
n
x y z
=
r
为平面
1
PAB 的法向量，
则
1
0
0
n AB
n AP
ì ×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
0
2
0
x
y
z
x
tz
- +
+
=
ì
í -
+
=
î
，可取
,
2,2
n
t t
=
-
r
.
设二面角
1
P
AB
C
-
-
的大小为q ，则
3 21
sin
14
q =
，故
2
7
cos
1 sin
14
q
q
=
-
=
，
所以
2
2
2
2
7
cos
cos
,
14
2
(
2)
4
m n
t
m n
m
n
t
t
q
×
-
=
=
=
=
×
´
+
-
+
r r
r r
r
r
，
整理得
2
9
18
8
0
t
t
-
+
=
，解得
2
3
t =
或
4
3
t =
（舍），故
2
3
DP =
.
4．（24-25 高二下·福建龙岩·期末）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，AC
BC
^
，
3 2
AC
BC
=
=
，PA ^平面ABC .
(1)求证：平面PBC ^ 平面PAC ；
(2)若AP
AB
=
，F 为线段PC 的中点，点E 为线段PB 的动点，且二面角E
AF
C
-
-
的余弦值为
7
7
，求BE .
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
2
BE =
【详解】（1）∵PA ^平面ABC ，
Ì
BC
平面ABC ，∴PA
BC
^
，
又∵AC
BC
^
，PA
AC
A
=
I
，
,
PA AC Ì 平面PAC ，
∴
^
BC
平面PAC ，
Ì
BC
平面PBC ，
∴平面PBC ^ 平面PAC .
（2）过A 在平面ABC 内作AS
AB
^
，
以A 为原点，以AS ，AB ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图
∵AC
BC
^
，
3 2
AC
BC
=
=
，∴
6
AB
AP
=
=
，
∴
3,3,0
C
，
0,6,0
B
，
0,0,6
P
，∵F 为PC 中点，∴
3 3
,
,3
2 2
AF
æ
ö
= ç
÷
è
ø
uuur
，
设BP
BE
l
=
uuur
uuur
，
1
1
6
0,6,0
0, 6,6
0,6 1
,
AE
AB
BE
l
l
l
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
，
设平面AEF 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
∴
3
3
3
0
2
2
1
6
6
1
0
AF n
x
y
z
z
AE n
y
l
l
ì
×
=
+
+
=
ïïí
æ
ö
ï
×
=
-
+
=
ç
÷
ï
è
ø
î
uuur r
uuur r
，
令
1
y = ，
2
3
x
l
=
- ，
1
z
l
= -
，即
2
3,1,1
n
l
l
=
-
-
r
，
由（1）知
^
BC
平面PAC ，∴
3, 3,0
BC =
-
uuur
为平面PAC 的一个法向量，
设平面PAC 与平面AEF 所成角为q ，
∴
2
.
6
12
7
cos
cos
,
7
3 2 5
14
11
BC n
BC n
BC n
l
q
l
l
-
=
=
=
=
-
+
uuur r
uuur r
uuur r
，
解得
3
l =
或
5
3
l =
，
由（1）知，当E 为PB 中点即
2
l =
时EF
BC
∥
，∴
^
EF
平面AEF ，
又∵二面角E
AF
C
-
-
的余弦值为
7
7
，∴二面角E
AF
C
-
-
为锐角，
∴
2
l >
∴
3
l =
，∴
1
6
0,6 1
,
0,4,2
AE
l
l
æ
ö
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
，
∴
0, 2,2
BE
AE
AB
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
，∴
2
2
BE =
.
5．（24-25 高二下·浙江嘉兴·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PCD ^ 平面ABCD ，底面ABCD 是平行四
边形，
2
2
AD
AB
=
=
，
60
BCD
Ð
=
° ，AB
AP
^
，点E 满足
2
PE
EA
=
uuur
uuur ，点F 是线段AD 的中点．
(1)证明：BD ^ 平面PCD；
(2)若二面角E
BF
C
-
-
的大小为135°时，求四棱锥P
ABCD
-
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）
连结BD ，在
BCD
△
中，
2
BC =
，
1
CD = ，
60
BCD
Ð
=
° ，
由余弦定理
2
1
4
2 1 2 cos60
3
BD = +
- ´ ´ ´
° =
，即
3
BD =
，
此时
2
2
2
BD
DC
BC
+
=
，
BD
DC
\
^
，
又平面PCD ^ 平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD
CD
=
，
BD Ì 平面ABCD ，\ BD ^ 平面PCD．
（2）解法1：如图2 建系，
以D 为原点，CD
uuur ，DB
uuur 方向为,x y 轴，垂直于xDy 平面向上方向为z 轴，
设
( ,0, )
P x
z ，则
1
3
(0,0,0), (1, 3,0), (0, 3,0),
,
,0
2
2
D
A
B
F æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
\
(
1,
3, ),
( 1,0,0)
AP
x
z
AB
=
-
-
= -
uuur
uuur
，由AB
AP
^
得
0
AB AP
×
=
uuur uuur
，即
1
x = ，
由
2
PE
EA
=
uuur
uuur ，得
2 3
1,
,
3
3
z
E æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
1
3
3
,
,0 ,
1,
,
2
2
3
3
z
BF
BE
æ
ö
æ
ö
\
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
，
设
1
( , , )
n
a b c
=
ur
是平面BEF 的法向量，
1
1
3
0
0
3
0
3
0
2 3
0
0
3
3
a
b
n BF
a
b
cz
n BE
b
cz
a
b
ì
ì -
=
ì
×
=
-
=
ï
ï
ï
Þ
Þ
í
í
í
×
=
+
=
-
+
=
ï
ï
ï
î
î
î
ur uuur
ur uuur
，
取
2 3,
,
3
c
b
z a
z
=
= -
= -
，得
1
( 3 , , 2 3)
n
z z
=
-
ur
，
平面ABF 的法向量为
2
(0,0,1)
n =
uur
，二面角E
BF
C
-
-
的大小为135°，
则
1
2
2
1
2
2 3
cos135
4
12
n n
n
n
z
×
° =
=
×
+
ur uur
ur
uur
，解得
3
z =
，
1
1
3
2
sin
2
2 1
3
2
2
2
ABCD
S
BC CD
BCD
= ´
×
×
Ð
= ´ ´ ´ ´
=
，
\
1
1
3
P ABCD
ABCD
V
z S
-
=
× ×
= ．
解法2：过点P 作PG
CD
^
，交CD 的延长线于G ，连接AG ，
Q平面PCG ^平面ABCG ，平面PCG I平面ABCG
CG
=
，
PG Ì 平面ABCG ，\ PG ^平面ABCG ，
Q PA
AB
^
，CD
AB
∥
，
PA
CD
\
^
，
AG Ì平面PAG ，PG Ì 平面PAG ，又AG
PG
G
Ç
=
，
\ CD ^ 平面PAG ，AG Ì平面PAG ，
CG
AG
\
^
，
如图3所示，以
,
GC GP
uuur uuur
方向为,y z 轴，垂直于PGC 平面方向为x 轴建系，
设
(0,0, ),
(0, ,0),
(0,
1,0),
( 3,
1,0),
( 3, ,0)
P
z D
y
C
y
A
y
B
y
+
-
，
则
(0,1,0)
AB =
uuur
，
(
3,1
, )
AP
y z
= -
-
uuur
，
Q AB
AP
^
，
1
0
AB AP
y
\
×
= -
=
uuur uuur
，得
1
y = ，
3 1
( 3,1,0),
,
,0
2
2
B
F æ
ö
\
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
由
2
PE
EA
=
uuur
uuur ，得
2 3
3
1
3
,0,
,
,
,0 ,
, 1,
3
3
2
2
3
3
z
z
E
BF
BE
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
= -
-
= -
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
uuur
uuur
，
设
1
( , , )
n
a b c
=
ur
是平面BEF 的法向量，
1
1
3
0
0
3
0
3
0
2 3
0
0
3
3
a
b
n BF
a
b
cz
n BE
a
cz
a
b
ì
ì
+
=
ì
×
=
+
=
ï
ï
ï
Þ
Þ
í
í
í
×
=
+
=
-
-
+
=
ï
ï
ï
î
î
î
ur uuur
ur uuur
，
取
2 3,
,
3
c
a
z b
z
=
= -
=
，得
1
(
, 3 ,2 3)
n
z
z
= -
ur
，
平面ABF 的法向量为
2
(0,0,1)
n =
uur
，二面角E
BF
C
-
-
的大小为135°，
则
1
2
2
1
2
2 3
cos135
4
12
n n
n
n
z
×
° =
=
×
+
ur uur
ur
uur
，解得
3
z =
，
1
1
3
2
sin
2
2 1
3
2
2
2
ABCD
S
BC CD
BCD
= ´
×
×
Ð
= ´ ´ ´ ´
=
，
1
1
3
P ABCD
ABCD
V
PG S
-
\
=
×
×
= ．
解法3：过点P 作PG
CD
^
，交CD 的延长线于G ，连接
,
DG AG ，
Q PA
AB
^
，CD
AB
∥
，
PA
CD
\
^
，
AG Ì平面PAG ，PG Ì 平面PAG ，又AG
PG
G
Ç
=
，
\ CD ^ 平面PAG ，AG Ì平面PAG ，
CG
AG
\
^
，
由平面PCG ^平面ABCG ，平面PCG I平面ABCG
CG
=
，PG Ì 平面ABCG ，
\ PG ^平面ABCG ，
因为
2
PE
EA
=
uuur
uuur ，所以E 为线段AP 上靠近点A 的三等分点，
设线段AG 上靠近点A 的三等分点为H ，连EH ，HF ，
则EH
PG
∥
，EH ^平面ABCG ，BG Ì平面ABCG ，所以EH
BG
^
，
在Rt ADG
V
中，
2
AD =
，
60
ADG
Ð
=
°，
3
AG
\
=
，
1
GD =
\四边形ABDG 是矩形，
2
BG
AD
=
=
，
在
HGF
△
中，
30
HGF
Ð
=
°，
2 3
3
GH =
，
1
GF = ，
因为
2
2
2
cos
2
GH
GF
HF
HGF
GH GF
+
-
Ð
=
×
，即
2
4 1
3
3
2
4 3
3
HF
+ -
=
，
解得：
3
3
FH =
，所以
2
2
2
HF
GF
GH
+
=
，所以HF
BG
^
，
EH Ì 平面EHF ，HF Ì 平面EHF ，EH
HF
H
Ç
=
，
BG
\
^ 平面EHF ，EF Ì 平面EHF ，
EF
BG
\
^
，
\
EFH
Ð
是二面角E
BF
C
-
-
的平面角的补角，即
45
EFH
Ð
=
°，
EHF
\V
为等腰直角三角形 ，
3
3
EH
FH
\
=
=
，从而
3
3
PG
EH
=
=
，
1
1
3
2
sin
2
2 1
3
2
2
2
ABCD
S
BC CD
BCD
= ´
×
×
Ð
= ´ ´ ´ ´
=
，
1
1
3
P ABCD
ABCD
V
PG S
-
=
×
×
= ．
6．（24-25 高二下·河南周口·期末）如图（1），在菱形ABCD 中，
2
AB =
，
60
BAD
Ð
=
o ，EAD
V
是以AD 为斜边的
等腰直角三角形．将EAD
V
沿直线AD 折起，落到
PAD
△
的位置，此时
7
PB =
，如图（2）．
(1)求证：AD
PB
^
；
(2)求四棱锥P
ABCD
-
的体积；
(3)设F 为线段PB 上的点，平面ADF 与平面PBC 的夹角为a ，若
7
cos
14
a =
，求PF
PB 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
3
(3)
1
3
PF
PB =
或
8
21
PF
PB =
【详解】（1）取AD 的中点E ，连接BE 、PE 、BD ，如下图所示：
因为EAD
V
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，E 为AD 的中点，故AD
PE
^
，
因为四边形ABCD 为菱形，且
60
BAD
Ð
=
o ，故
ABD
△
为等边三角形，
因为E 为AD 的中点，则BE
AD
^
，
因为PE
BE
E
Ç
=
，PE 、BE Ì 平面PBE ，所以AD ^ 平面PBE ，
因为PB Ì平面PBE ，因此，AD
PB
^
.
（2）因为
ABD
△
是边长为2 的等边三角形，E 为AD 的中点，所以BE
AD
^
，
且
3
sin 60
2
3
2
BE
AB
=
=
´
=
o
，
因为
PAD
△
是以
APD
Ð
为直角的等腰直角三角形，故PE
AD
^
，
1
1
2
PE
AD
=
= ，
由余弦定理可得
2
2
2
3 1 7
3
cos
2
2
2 3 1
BE
PE
PB
BEP
BE PE
+
-
+ -
Ð
=
=
= -
×
´
，
因为0
180
BEP
£ Ð
£
o
o，故
150
BEP
Ð
=
o ，
过点P 在平面PBE 内作PG
BE
^
，垂足为点G ，如图所示：
因为BE
AD
^
，PE
AD
^
，BE
PE
E
Ç
=
，BE 、PE Ì 平面PBE ，
所以AD ^ 平面PBE ，
因为PG Ì 平面PBE ，所以PG
AD
^
，
因为PG
BE
^
，AD
BE
E
=
I
，AD 、BE Ì 平面ABCD ，故PG ^平面ABCD ，
因为
1
sin30
2
PG
PE
=
=
o
，
2
2
3
2 3
ABD
ABCD
S
S
AD BE
=
=
×
=
´
=
△
菱形
。
因此
1
1
1
3
2 3
3
3
2
3
P ABCD
ABCD
V
S
PG
-
=
×
=
´
´
=
菱形
.
（3）因为PG ^平面ABCD ，BE
AD
^
，
以点E 为坐标原点，EA
uuur 、EB
uuur 、GP
uuur
的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
1,0,0
A
、
1,0,0
D -
、
0, 3,0
B
、
2, 3,0
C -
、
3 1
0,
,
2
2
Pæ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
设平面PBC 的一个法向量为
1
1
1
,
,
m
x y z
=
r
，
2,0,0
CB =
uuur
，
3 3 1
0,
,
2
2
BP
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，
所以
1
1
1
2
0
3 3
1
0
2
2
m CB
x
m BP
y
z
ì
×
=
=
ïí
×
= -
+
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，取
1
1
y = ，可得
0,1,3 3
m =
r
，
设
3 3
1
3 3
0,
,
0,
,
2
2
2
2
PF
PB
l
l
l
l
æ
ö
æ
ö
=
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
，其中0
1
l
≤
≤，
则
3 1
3 3
3 3
3 1
1,
,
0,
,
1,
,
2
2
2
2
2
2
AF
AP
PF
l
l
l
l
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
=
+
= - -
+
-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
，
2,0,0
DA =
uuur
，设平面ADF 的一个法向量为
2
2
2
,
,
n
x
y
z
=
r
，
则
2
2
2
2
2
0
3 3
3
1
0
2
2
n DA
x
n AF
x
y
z
l
l
ì ×
=
=
ïí
-
-
×
= -
+
+
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
取
2
1
y
l
=
- ，可得
0,
1,3 3
3
n
l
l
=
-
-
r
，
所以
2
2
28
10
7
cos
cos
,
14
2 7
1
3 3
1
m n
m n
m
n
l
a
l
l
×
-
=
=
=
=
×
´
-
+
-
r r
r r
r
r
，
整理可得
2
63
45
8
0
l
l
-
+
=
，即
3
1 21
8
0
l
l
-
-
=
，
因为0
1
l
≤
≤，解得
1
3
l =
或
8
21
l =
.
故当
7
cos
14
a =
时，
1
3
PF
PB =
或
8
21
PF
PB =
.
7．（24-25 高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
1
,
,
1,
2,
5
2
AB
AD CD
AD AB
AD
PD
CD
PA
PC
^
^
=
=
=
=
=
=
，点Q 为棱PC 上一点．
(1)用几何法证明：PD ^ 平面ABCD ；
(2)当点Q 为棱PC 的中点时，求
①四棱锥Q
ABCD
-
的体积；
②直线PA 与平面BDQ 所成角的正弦值；
(3)当二面角P
BD
Q
-
-
的余弦值为
3
3
时，求PQ
PC ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①1
4 ；②
3
6 ；
(3)
1
2 .
【详解】（1）在四棱锥P
ABCD
-
中，由
1,
2,
5,
2
PD
AD
CD
PC
PA
=
=
=
=
=
，
得
2
2
2
PD
CD
PC
+
=
，
2
2
2
PD
AD
PA
+
=
，则
,
CD
PD AD
PD
^
^
，
又CD
AD
D
=
I
，且
,
CD AD Ì 平面ABCD ，所以PD ^ 平面ABCD .
（2）①在四边形ABCD 中，
,
AB
AD CD
AD
^
^
，则
/ /
AB
CD ，而
1
1
2
AB
AD
CD
=
=
= ，
则梯形ABCD 的面积
1
3
(1
2) 1
2
2
ABCD
S
=
+
´ =
，由点Q 为棱PC 的中点，
得点Q 到平面ABCD 的距离为1
1
2
2
PD =
，所以四棱锥Q
ABCD
-
的体积
1
3
1
1
3
2
2
4
V =
´
´
=
.
②由（1）知
,
,
PD AD DC 两两垂直，以D 为原点，直线
,
,
DA DC DP 分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，
则
(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1),
(0,2,0)
D
A
B
P
C
，由Q 为棱PC 的中点，得
1
(0,1, )
2
Q
，
1
(1,0, 1),
(1,1,0),
(0,1, )
2
PA
DB
DQ
=
-
=
=
uuur
uuur
uuur
，设平面BDQ 的法向量
0
0
0
(
,
,
)
m
x
y
z
=
ur
，
则
0
0
0
0
0
1
0
2
DB m
x
y
DQ m
y
z
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
+
=
ïî
uuur r
uuur r
，取
0
1
x = ，得
(1, 1,2)
m =
-
ur
，设直线PA 与平面BDQ 所成角为q ，
则
|
|
3
sin
| cos
,
|
6
|
||
|
6
2
1
m PA
m PA
m PA
q
×
=
á
ñ =
=
=
´
uu
r
r
u
u
ur
uuu
u
r
r
uu
r
u
，
所以直线PA 与平面BDQ 所成角的正弦值为
3
6 .
（3）由（2）知
(0,0,1),
(1,1,0),
(0,2, 1)
DP
DB
PC
=
=
=
-
u
uuu
u
u
r
r
u r
u u
，
设
(0,2 ,
)(0
1)
PQ
PC
l
l
l
l
=
=
-
£
£
uuur
uuur
，则
(0,2 ,1
)
DQ
DP
PQ
l
l
=
+
=
-
uuur
uuur
uuur
，
设平面BDQ 的法向量
1
1
1
1
( ,
,
)
n
x y z
=
ur
，则
1
1
1
1
1
1
0
2
(1
)
0
DB n
x
y
DQ n
y
z
l
l
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
+
-
=
ïî
uuur ur
uuur ur
，令
1
1
y
l
=
- ，得
1
(1
,
1,2 )
n
l l
l
=
-
-
ur
，
设平面BDP 的法向量为
2
2
2
2
(
,
,
)
n
x
y
z
=
uur
，由
2
2
2
2
2
0
0
DB n
x
y
DP n
z
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
=
ïî
uuur uur
uuur uur
，令
2
1
y = - ，得
2
(1, 1,0)
n =
-
uur
，
由二面角P
BD
Q
-
-
的余弦值为
3
3
，得
1
2
2
3
2
2
3
| cos
,
|
6
4
2
2
n n
l
l
l
-
á
ñ =
=
-
+
×
ur uur
，
即
2
3
|
1|
3
3
2
1
l
l
l
-
=
-
+
，整理得2
1
0
l - =
，解得
1
2
l =
，
所以
1
2
PQ
PC =
．
8．（24-25 高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD ^平面ABCD ，
PAD
△
是边长为2 的等边
三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中
//
BC AD ，AB
AD
^
，
1
AB
BC
=
= ．
(1)求证：AB
PD
^
．
(2)求线段PA 中点M 到平面PCD的距离．
(3)线段PD 上是否存在一点E ，使得平面EAC 与平面DAC 夹角的余弦值为10
5
？若存在，求出PE
PD 的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
21
7
(3)存在，
1
3
PE
PD =
【详解】（1）由于平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，
AB
AD
^
Q
且AB Ì 平面ABCD ，
AB
\
^ 平面PAD ，
PD Ì
Q
平面PAD ，
AB
PD
\
^
．
（2）取AD 的中点O ，连接PO ，OC ，由
PAD
△
为等边三角形，得PO
AD
^
，
而平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，PO Ì 平面PAD ，
则
^
PO
平面ABCD ，由
1
AO
BC
=
= ，
//
AO BC ，得四边形ABCO 是平行四边形，
于是
//
OC AB ，而AB
AD
^
，则OC
AD
^
，直线OC ，OD ，OP 两两垂直，
以O 为坐标原点，直线OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则
0, 1,0
A
-
，
0,1,0
D
，
1,0,0
C
，
1, 1,0
B
-
，
0,0, 3
P
，
1
3
0,
,
2
2
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
1
3
1,
,
2
2
CM
æ
ö
= - -
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuuur
，
1,0, 3
CP = -
uuur
，
1,1,0
CD = -
uuur
，
设平面PCD的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，则
3
0
0
n CP
x
z
n CD
x
y
ì ×
= - +
=
ïí
×
= - +
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
取
1
z = ，得
3, 3,1
n =
r
，
所以M 到平面PCD的距离
3
21
7
7
CM n
d
n
×
=
=
=
uuuur r
r
．
（3）令
0, ,
3
PE
PD
l
l
l
=
=
-
uuur
uuur
，
0,1
l Î
，
0,1, 3
0, ,
3
0,1
, 3
3
AE
AP
PE
l
l
l
l
=
+
=
+
-
=
+
-
uuur
uuur
uuur
，
1,1,0
AC =
uuur
，
设平面EAC 的法向量为
, ,
m
a b c
=
r
，则
0
1
3
3
0
m AC
a
b
m AE
b
c
l
l
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
+
+
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
取
3
1
b
l
=
-
，得
3 1
, 3
1 ,
1
m
l
l
l
=
-
-
+
r
，
易知平面DAC 的一个法向量为
0,0, 3
OP =
uuur
，
于是，
2
3
1
10
cos
,
5
3 7
10
7
OP m
OP m
OP m
l
l
l
×
+
=
=
=
-
+
uuur r
uuur r
uuur r
，
化简得
2
3
10
3
0
l
l
-
+
=
，又
0,1
l Î
，解得
1
3
l =
，即
1
3
PE
PD =
，
所以线段PD 上存在点E ，使得平面EAC 与平面DAC 夹角的余弦值为10
5
，此时
1
3
PE
PD =
．
1．（24-25 高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中．底面ABCD 为矩形，侧棱PD ^ 底面ABCD ，
2
2
PD
DC
AD
=
=
=
，E 是PC 的中点．
(1)求证：PA∥平面EDB ；
(2)求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；
(3)若
0
1
BF
BP
l
l
=
<
<
uuur
uuur
，且点F 到平面EDB 的距离为
6
6
，求l 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
6
6
；
(3)
1
2
l =
．
【详解】（1）如图，连结AC ，交BD 于点O ，连结OE ，
因为点E 是PC 的中点，底面ABCD 为矩形，
所以点O 是AC 的中点，
所以PA
OE
∥
，
因为OE Ì 平面EDB ，PA 平面EDB ，
所以
/ /
PA
平面EDB ；
（2）如图，以向量
,
,
DA DC DP
uuur uuur uuur
为, ,
x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
0,0,0
D
，
(0,0,2),
(0,2,0)
1,2,0
B
P
C
，
，
0,1,1
E
，
则
1,2,0
DB =
uuur
，
0,1,1
DE =
uuur
，
设平面EDB 的法向量
, ,
m
x y z
=
r
，
则
2
0
0
DB m
x
y
DE m
y
z
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
+
=
ïî
uuur r
uuur r
，令
1
y = - ，
2
x =
，
1
z = ，
所以平面EDB 的法向量
2, 1,1
m =
-
r
，
考点四
已知空间距离求其他量
且平面PAD 的一个法向量为
0,1,0
n =
r
，
设平面EDB 和平面PAD 的夹角为q ，
则
1
6
cos
cos
,
6
6
m n
m n
m n
q
×
=
=
=
=
r r
r r
r r
，
所以平面EDB 和平面PAD 的夹角的余弦值为
6
6
.
（3）由（2）可得
0,0,0
D
，
1,2,0
B
，
0,1,1
E
，
0 0 2
P
, ,
，
1,1, 1
EB =
-
uuur
，
1, 2,2
BP = - -
uuur
，平面EDB 的法向量
2, 1,1
m =
-
r
，
故
, 2 ,2
0
1
BF
BP
l
l
l
l
l
=
= -
-
<
<
uuur
uuur
，
设点F 与平面EDB 的距离为d ，
则
2
6
6
6
BF m
d
m
l
×
=
=
=
uuur r
r
，解得
1
2
l =
．
2．（24-25 高二下·广东广州·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是矩形，PA ^底面ABCD ，
2
PA
AB
=
=
，
4
=
AD
，E 是PD 的中点．
(1)求证：
/ /
PB
平面AEC ；
(2)求直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值；
(3)若点F 在棱PC 上运动，当点F 到平面AEC 的距离为2
3 时，求PF 的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
6
9
(3)
6
【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，如图1 所示，
因为底面ABCD 是矩形，所以O 是BD 的中点，
因为E 是PD 的中点，所以在
PBD
△
中，
OE 是中位线，所以
/ /
OE
PB ，
因为OE Ì 平面
,
AEC PB 平面AEC ，
所以
/ /
PB
平面AEC ；
（2）如图2，因为PA ^底面ABCD ，所以PA
AB
^
，PA
AD
^
，
又在矩形ABCD 中，AB
AD
^
，所以
,
,
AP AB AD 两两垂直．以点A 为原点，分别以
,
,
AB AD AP 所在直线为x 轴，
y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则
0,0,0 ,
2,0,0 ,
2,4,0 ,
0,0,2 ,
0,4,0
A
B
C
P
D
，
因为E 是PD 的中点，所以
0,2,1
E
所以
0,2,1 ,
2,4,0
AE
AC
=
=
uuur
uuur
，
设平面AEC 的法向量为
1
1
1
,
,
n
x y z
=
r
，则
0
0
n AE
n AC
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
1
1
1
1
2
0
2
4
0
y
z
x
y
+
=
ì
í
+
=
î
，
令
1
1
y = ，则
1
1
2,
2
z
x
= -
= - ，所以
2,1, 2
n = -
-
r
，
2,4, 2
PC =
-
uuur
，
设直线PC 与平面AEC 所成的角为q ，
则
2 2 1 4
2
2
4
PC n
×
= - ´ + ´ + -
´ -
=
uuu r
r
，
2
2
2
2
4
2
24
2 6
PC =
+
+ -
=
=
uuur
，
2
2
2
2
1
2
3
n =
-
+
+ -
=
r
，
所以
4
6
sin
cos
,
9
2 6
3
PC n
PC n
P
n
C
q
×
=
=
=
=
´
uuur
uuur
uuu
r
r
r
r
即直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为
6
9
；
（3）由（2）知平面AEC 的一个法向量为
2,1, 2
n = -
-
r
，
设
0
1
PF
tPC
t
=
£ £
uuur
uuur
，
2
2
2
,
,
F x
y
z
，
则
2
2
2
,
,
2
PF
x
y
z
=
-
uuur
，又
2,4, 2
PC =
-
uuur
，
则
2 ,4 , 2
PF
t
t
t
=
-
uuur
，所以
2 ,4 ,2
2 ,
2 ,4 ,2
2
F
t
t
t
AF
t
t
t
-
=
-
uuur
，
4
4
2 2
2
4
4,
3
AF n
t
n
t
t
t
×
= -
+
-
-
=
-
=
uuur
r
r
，
设点F 到平面AEC 的距离为d ，
则
4
4
2
3
3
AF n
t
d
n
×
-
=
=
=
uuur
r
r
，得4
4
2
t -
=
，
解得
1
2
t =
或
3
2
t =
（舍去），
又
2 6
PC =
uuur
，故
1
2 6
6
2
PF
t PC
=
=
´
=
uuur
uuur
，
所以PF 的长度为
6 ．
3．（24-25 高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，E
F
、
分别为
1
BD
CC
、
的中点，
点G 是平面
1
1
ADD A 上的点.
(1)若点G 是
1
AD 的中点，证明：GF
uuur 与AB
uuur 、AD
uuur 共面；
(2)求平面ADG 与平面BDF 所成的锐二面角的余弦值；
(3)若点G 满足
1
,
0,1
DG
DA
DD
l
m
l m
=
+
Î
，且点G 到平面BDF 的距离为
6
3
，试确定点G 的位置，使得GE 与
平面BDF 所成的角取得最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
6
6
；
(3)
1
3
1
5
5
DG
DA
DD
=
+
uuur
uuur
uuuur
时，GE 与平面BDF 所成的角取得最大值.
【详解】（1）因为GF
GA
AB
BF
=
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur
且
1
1
2
GA
AD
AA
= -
+
uuur
uuur
uuur
，
1
1
1
1
2
2
BF
BC
CF
AD
CC
AD
AA
=
+
=
+
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuur
uuur
uuur
，
所以
1
1
1
1
1
2
2
2
GF
AD
AA
AB
AD
AA
AD
AB
= -
+
+
+
+
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
因此GF
uuur 与
,
AD AB
uuur uuur
共面；
（2）以点D 为坐标原点，
1
,
,
DA DC DD 所成直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，
则
1
0,0,0 ,
0,0,2 ,
2,0,0 ,
2,2,0 ,
0,2,0 ,
0,2,1 ,
1,1,0
D
D
A
B
C
F
E
，
所以
1
2,2,0 ,
0,2,1 ,
2,0,0 ,
0,0,2
DB
DF
DA
DD
=
=
=
=
uuur
uuur
uuur
uuuur
，
设平面BDF 的一个法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
·
2
2
0
·
2
0
n DB
x
y
n DF
y
z
ì
=
+
=
ïí
=
+
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
1
x = ，则
1,
2
y
z
= -
=
，
所以平面BDF 的一个法向量为
1, 1,2
n =
-
r
，
平面ADG 的一个法向量是
0
0,1,0
n =
uur
则
0
0
0
1
6
cos
,
6
6 1
n n
n n
n
n
×
-
=
=
= -
´
×
r uur
r uur
r
uur
，
设平面ADG 与平面BDF 所成的锐二面角为a ，则
0
6
cos
cos
,
6
n n
a
=
=
r uur
，
所以平面ADG 与平面BDF 所成的余弦值为
6
6
；
（3）
1
2,0,0
0,0,2
2 ,0,2
DG
DA
DD
l
m
l
m
l
m
=
+
=
+
=
uuur
uuur
uuuur
，
1, 1,2
n =
-
r
，
从而点G 到平面BDF 的距离为
2
4
6
3
1 1
4
DG n
n
l
m
×
+
=
=
+ +
uuur r
r
，
由
,
0,1
l m Î
可化简得
2
1
l
m
+
= ，
2
1, 1,2
EG
l
m
=
-
-
uuur
，
设GE 与平面BDF 所成角为
π
0, 2
q
é
Î
ù
ê
ú
ë
û ，
则
2
2
2
2
1
6
2
1 1
4
3
sin
2
1
1
4
1 1
4
2
1
1
4
EG n
EG n
l
m
q
l
m
l
m
×
- + +
=
=
=
-
+ +
+ +
-
+ +
uuur r
uuur r
，
令
2
2
2
1
1
4
t
l
m
=
-
+ +
，则
2
2
2
2
3
6
6
4
4
2
1
5
6
3
5
5
5
5
t
l
l
l
l
l
l
æ
ö
=
-
+
+
-
=
-
+
=
-
+
³
ç
÷
è
ø
，（当
3
5
l =
时取等号），
所以
2
2
1
6
5
3
sin
3
2
1
1
4
q
l
m
=
£
-
+ +
，
因为
π
0, 2
q
é
Î
ù
ê
ú
ë
û 时，
sin
y
q
=
严格增，
所以当
3
5
l =
时，GE 与平面BDF 所成的角取得最大值，
此时
3
1
,
5
5
l
m
=
=
，即
1
3
1
5
5
DG
DA
DD
=
+
uuur
uuur
uuuur
时，
GE 与平面BDF 所成的角取得最大值.
4．（24-25 高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面边长为2，侧棱长为
3 ，D 是BC 的中
点．
(1)证明：
1
/ /
A B
平面
1
ADC ；
(2)求直线
1
1
A B 与平面
1
ADC 所成角的正弦值；
(3)在线段
1
1
AC 上是否存在一点E，使得点
1B 到平面ADE 的距离为2 21
7
?若存在，请求出
1
1
1
A E
AC 的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
4
．
(3)存在，
1
1
1
1
3
A E
AC =
【详解】（1）
如图，连接
1AC 交
1
AC 于点O，连接OD ，
则点O 为
1AC 的中点，且D 是BC 的中点，
则OD 为
1A BC
V
的中位线，所以
1
OD
AB
∥
．
又因为OD Ì平面
1
ADC ，
1
A B
平面
1
ADC ，
所以
1
/ /
A B
平面
1
ADC ．
（2）因为在正
ABC
V
中，D 是BC 的中点，故AD
BC
^
，
以D 为坐标原点，取
1
1
B C 的中点F，分别以DA
DB
DF
、
、
为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系，
则
(0,0,0)
D
，
( 3,0,0)
A
，
(0, 1,0)
C
-
，
(0,1,0)
B
，
1( 3,0, 3)
A
，
1(0, 1, 3)
C
-
，
1(0,1, 3)
B
．
故
1
1
3,1,0
A B = -
uuuur
，
3,0,0
DA =
uuur
，
1
0, 1, 3
DC =
-
uuuur
，
设平面
1
ADC 的法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，
则
1
3
0,
3
0,
m DA
x
m DC
y
z
ì
×
=
=
ïí
×
= - +
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
取
0, 3,1
m =
r
．
设直线
1
1
A B 与平面
1
ADC 所成角为q ,
可得
1
1
3
3
sin
cos
,
2 2
4
A B m
q =
=
=
´
uuuur
，
所以直线
1
1
A B 与平面
1
ADC 所成角的正弦值为
3
4
．
（3）存在点E，理由如下：
设
1
1
1
3 ,
,0
A E
AC
l
l
l
=
= -
-
uuur
uuuur
，其中
0,1
l Î
，
所以
1
1
3,0, 3
3 ,
,0
3
3 ,
, 3
DE
DA
A E
l
l
l
l
=
+
=
+ -
-
=
-
-
uuur
uuuur
uuur
，
( 3,0,0)
DA =
uuur
，
设平面ADE 的法向量为
, ,
n
a b c
=
r
，
则
3
0,
( 3
3 )
3
0,
n DA
a
n DE
a
b
c
l
l
ì ×
=
=
ïí
×
=
-
-
+
=
ïî
uuur
r
uuur
r
取
0, 3,
n
l
=
r
．
且
1
0,1, 3
DB =
uuuur
，
则点
1B 到平面ADE 的距离
1
2
3
3
2 21
7
3
DB n
d
n
l
l
×
+
=
=
=
+
r
r
uuuur
∣
∣∣
∣
∣∣
，
化简得
2
3
14
5
0
l
l
+
-
=
，解得
1
3
l =
或
5
l = - （舍去）．
综上，存在点E 使得点
1B 到平面ADE 的距离为2 21
7
．此时
1
1
1
1
3
A E
AC =
．
5．（24-25 高二下·广东广州·期末）如图，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，
90
ADC
BAD
Ð
= Ð
=
°，F 为线
段PA 上一点，
2
PD =
，
1
1
2
AB
AD
CD
=
=
= ，四边形PDCE 为矩形．
(1)若F 是PA 的中点，求证：
/ /
AC
平面DEF ；
(2)求直线AP 与平面BCP 所成角的余弦值
(3)若点F 到平面BCP 的距离为3
7 ，求PF 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
33
6
(3) 6 3
7
【详解】（1）证明：设DE ，PC 交于点G ，连接GF ，
因为四边形PDCE 为矩形，所以G 是PC 中点，
又因为F 是PA 的中点，所以在PAC
V
中，
//
FG
AC ，
因为FG Ì平面DEF ，AC Ì/ 平面DEF ，
所以
/ /
AC
平面DEF ．
（2）因为直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，DA ，DC Ì 平面ABCD ，
90
ADC
Ð
=
° ，
所以DA ，DC ，DP 两两垂直，
以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系，
由题意可知
(1,0,0),
(1,1,0),
(0,2,0)
A
B
C
，
(0,2,
2)
E
，
(0,0,
2)
P
，
所以
1,0,
2
AP = -
uuur
，
( 1,1,0)
BC = -
uuur
，
(0, 2,
2)
CP =
-
uuur
，
设平面BCP 的法向量
( , , )
n
x y z
=
r
，
则
BC
n
CP
n
ì
^
ïí
^
ïî
uuur
r
uuur
r ，则
0
2
2
0
BC n
x
y
CP n
y
z
ì
×
= - +
=
ïí
×
= -
+
=
ïî
uuur r
uuur r
，
取
1
x = 可得平面BCP 的一个法向量
(1,1,
2)
n =
r
，
设直线AE 与平面BCP 所成角为a ，
则
1
3
sin
cos
,
6
3
2
AP n
AP n
AP n
a
×
=
=
=
=
´
uuur r
uuur r
r
n
uuu
n
，
所以
2
33
cos
1 sin
6
a
a
=
-
=
，
故直线AE 与平面BCP 所成角的余弦值为
33
6
．
（3）在（2）所建空间直角坐标系中
(1,0,
2)
PA =
-
uuur
，
设
( ,0,
2 )(0
1)
PF
PA
l
l
l
l
=
=
-
£
£
uuur
uuur
，
由（2）可知平面BCP 的一个法向量
(1,1,
2)
n =
r
，
所以点F 到平面BCP 的距离
3
2
7
PF n
d
n
l
×
=
=
=
uuur r
r
，解得
6
7
l =
，
又因为|
|
3
PA =
uuur
，所以
6
6 3
7
7
PF
PA
=
=
uuur
uuur
，
即PF 的长为6 3
7
．
6．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 为矩形，E 为棱
1
BB 的中
点．
(1)若AB
AD
=
，证明：
1
AC
D E
^
．
(2)设
1
AD = ，
2
AB =
，
1
4
AA =
，
1
1
0
D F
D E
l
l
=
>
uuuur
uuuur
，且点F 到平面
1
1
A BC 的距离为
21
21 ，求λ 的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
1
2
l =
或5
6
【详解】（1）连接BD，
1
1
B D ，
因为AB
AD
=
，底面ABCD 为矩形，
所以底面ABCD 为正方形，所以AC
BD
^
，
在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
BB ^ 底面ABCD，则
1
BB
AC
^
，
因为
1
BB ，BD Ì 平面
1
1
BDD B ，所以AC ^平面
1
1
BDD B ．
又
1
D E Ì 平面
1
1
BDD B ，所以
1
AC
D E
^
．
（2）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则
1 1,0,4
A
，
1,2,0
B
，
1 0,2,4
C
，
1 0,0,4
D
，
1,2,2
E
，
则
1
1
1,2,0
AC = -
uuuur
，
1
0,2, 4
A B =
-
uuur
，
1
1,2, 2
D E =
-
uuuur
,
设平面
1
1
A BC 的法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，
则
1
1
1
2
0,
2
4
0,
m AC
x
y
m A B
y
z
ì
×
= - +
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuuur
r
uuur
r
令
1
z = ，得
4,2,1
m =
r
,
由
1
1
1,0,0
A D = -
uuuur
，
1
1
,2 , 2
D F
D E
l
l
l
l
=
=
-
uuuur
uuuur
，
所以
1
1
1
1
1,2 , 2
A F
A D
D F
l
l
l
=
+
=
-
-
uuuur
uuuur
uuuur
，
所以点F 到平面
1
1
A BC 的距离
1
6
4
21
21
21
m A F
d
m
l
×
-
=
=
=
uuuur
r
r
，
解得
1
2
l =
或5
6 ．
7．（24-25 高二下·河北邯郸·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PAB ^平面ABCD ，平面PAD ^平面
ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，
2
2
AD
BC
=
=
，CD
BC
^
，AC 与BD 相交于点N ，点M 满足
2
PM
MC
=
uuuur
uuuur
，且
BM
AC
^
.
(1)求证：PA ^平面ABCD ；
(2)求CD 的长度；
(3)若点B 到平面PCD的距离为
2
2 ，求BD 与平面PBC 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
(3) 2
3
【详解】（1）因为底面ABCD 为直角梯形，且CD
BC
^
，所以AD
BC
∥
，所以，CD
AD
^
又平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，CD Ì 平面ABCD ，
所以CD ^ 平面PAD ，
又因为PAÌ 平面PAD ，所以CD
PA
^
，
过点D 可以作DH
AB
^
于点H ，
因为平面PAB ^平面ABCD ，平面PAB Ç 平面ABCD
AB
=
，DH Ì 平面ABCD ，
所以DH ^ 平面PAB ，
又因为PAÌ 平面PAB ，所以DH
PA
^
，
又DH
CD
D
Ç
=
，DH ，CD Ì 平面ABCD ，
所以PA ^平面ABCD .
（2）由（1）可知PA ^平面ABCD ，AC Ì 平面ABCD ，所以PA
AC
^
，
在梯形ABCD 中，由BC ∥AD ,得
BNC
DNA
∽
△
△
，
所以
:
:
2:1
:
AN NC
AD BC
PM MC
=
=
=
，
所以MN ∥PA ，
所以MN
AC
^
，
又因为BM
AC
^
，MN
BM
M
Ç
=
，
,
MN BM Ì平面MBN ，
所以AC ^平面MBN ，
又BD Ì 平面MBN ，所以AC
BD
^
，
所以ADC
DCB
V
V
∽
，
可得AD
DC
CD
BC
=
，
又因为
2
2
AD
BC
=
=
，所以2
1
DC
CD =
，即
2
CD =
.
（3）以A 为坐标原点，DC
uuur
，AD
uuur ，AP
uuur 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系
A
xyz
-
，
则
2,1,0
B
，
2,2,0
C
，
0,2,0
D
，设
0,0,
P
h ，
2,0,0
DC =
uuur
，
0,2,
PD
h
=
-
uuur
，
0,1,0
BC =
uuur
，
2, 1,
BP
h
= -
-
uuur
，
2,1,0
BD = -
uuur
，
设平面PCD的法向量为
1
1
1
,
,
m
x y z
=
r
，则
0
0
m DC
m PD
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
1
1
1
2
0
2
0
x
y
hz
ì
=
ïí
-
=
ïî
，
令
1
2
z =
，则
0, ,2
m
h
=
r
，
点B 到平面PCD的距离为
2
2
2
4
BC m
h
m
h
×
=
=
+
uuur r
r
，解得
2
h =
，
设平面PBC 的法向量为
2
2
2
,
,
n
x
y
z
=
r
，
则
0
0
n BC
n BP
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
2
2
2
2
0
2
2
0
y
x
y
z
=
ìïí-
-
+
=
ïî
，令
2
1
z = ，则
2,0,1
n =
r
，
设BD 与平面PBC 所成角为q ，
则
2
2
sin
cos ,
3
3
3
n BD
q
-
=
=
=
´
uuur
r
，即BD 与平面PBC 所成角的正弦值为2
3 .
8．（24-25 高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PDC ^ 平面ABCD ，
,
AD
DC
^
1
//
,
1,
2
AB DC AB
CD
AD
=
=
=
M 为棱PC 的中点.
(1)证明：
//
BM
平面PAD ；
(2)若
5,
1,
PC
PD
=
=
（i）求二面角B
MD
C
-
-
的正弦值；（ii）在线段PA 上是否存在点Q，使得点Q 到平面BDM 的距离是
6
4
？若存
在，求出PQ 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
30
6
；（ii）存在，
2
2
PQ =
【详解】（1）取PD 的中点N， 连接AN， MN， 如图所示：
M
Q
为棱PC 的中点，
1
//
,
.
2
MN CD MN
CD
\
=
1
//
,
,
//
,
.
2
AB CD AB
CD
AB MN AB
MN
=
\
=
Q
\四边形ABMN 是平行四边形，
//
,
BM AN
\
又BM 平面PAD ， AN Ì 平面PAD ，
/ /
BM
\
平面PAD .
（2）
2
2
2
5,
1,
2,
,
,
PC
PD
CD
PC
PD
CD
PD
DC
=
=
=
\
=
+
\
^
Q
Q平面PDC ^ 平面ABCD ， 平面PDC Ç 平面ABCD
DC
=
， PD Ì 平面PDC ，
PD
\
^ 平面ABCD ，
又
,
AD CD Ì 平面ABCD，
,
,
PD
AD PD
CD
\
^
^
又
,
AD
DC
^
\以点D 为坐标原点，
,
,
DA DC DP
所在直线分别为, ,
x y z 轴建立直角坐标系，如图，
则
(0,0,1),
(0,0,0), (1,0,0),
(0,2,0).
P
D
A
C
M
Q
为棱PC 的中点，
1
(0,1, ),
(1,1,0).
2
M
B
\
（i）
1
(0,1, ),
(1,1,0),
2
DM
DB
=
=
uuuur
uuur
设平面BDM 的一个法向量为
( , , ),
n
x y z
=
r
则
1
0
2
,
0
n DM
y
z
n DB
x
y
ì ×
=
+
=
ïí
ï
×
=
+
=
î
uuuur
r
uuur
r
令
2,
z =
则
1,
1.
y
x
= -
=
(1, 1,2),
n
\
=
-
r
平面CDM 的一个法向量为
(1,0,0),
DA =
uuur
1
6
cos
,
,
6
1
6
n DA
n DA
n DA
×
\
=
=
=
´
uuur
r
uuur
r
uuur
r
根据图形得二面角P
DM
B
-
-
为钝角，则二面角P
DM
B
-
-
的余弦值为
6
6
-
，
所以二面角P
DM
B
-
-
的正弦值为
2
6
30
1
6
6
æ
ö
- -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
（ii） 假设在线段PA 上存在点Q，使得点Q 到平面BDM 的距离是
6
4
，
设
,0
1,
PQ
PA
l
l
=
£
£
uuur
uuur
则
( ,0,1
),
(
1, 1,1
).
Q
BQ
l
l
l
l
-
=
-
-
-
uuur
由（i）知平面BDM 的一个法向量为
(1, 1,2),
1 1
2(1
)
2
.
n
BQ n
l
l
l
=
-
×
=
- + +
-
=
-
uuur
r
r
\点Q 到平面BDM 的距离是
2
2
2
6
1
1
1
2
2
,
,
1
1
,
.
4
2
2
2
2
2
6
BQ n
PQ
PA
PQ
n
l
l
×
-
=
=
\
=
=
=
+
=
\
=
uuur r
uuur
uuur
r
