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第01章集合与常用逻辑用语、不等式（举一反三综合训练）（全国通用）（解析版）_2027版高中《举一反三》综合训练（数学）

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第一章集合与常用逻辑用语、不等式（举一反三综合训练）
（全国通用）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共58 分）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2026·江苏淮安·模拟预测）已知集合�= −3, −1,0,2,3 , �= {�| �≤2}，则�∩�=（
）
A．0,2
B．−1,0,2
C．−1,2
D．−1,0
【答案】B
【解题思路】化简集合�，根据交集的概念运算即可.
【解答过程】集合�= �| �≤2 = �| −2 ≤�≤2 ，
所以�∩�= −1,0,2 .
故选：B.
2．（5 分）（2026·云南·模拟预测）命题“∃�∈�，�3 −2�−1 < 0”的否定是（
）
A．∀�∈�，�3 −2�−1 ≥0
B．∀�∈�，�3 −2�−1 < 0
C．∃�∈�，�3 −2�−1 ≥0
D．∃�∈�，�3 −2�−1 > 0
【答案】A
【解题思路】由命题的否定的概念选择即可.
【解答过程】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题的否定为“∀�∈�，�3 −2�−1 ≥0”.
故选：A．
3．（5 分）（2026·辽宁沈阳·一模）不等式
�+1
3−�≥1 的解集（
）
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A．1,3
B．1,3
C．−∞, 1
D．1,3 ∪3, + ∞
【答案】B
【解题思路】根据题意，化简不等式为
2(�−1)
�−3 ≤0，结合分式不等式的解法，即可求解.
【解答过程】由不等式
�+1
3−�≥1，可得
�+1
3−�−1 =
�+1−(3−�)
3−�
=
2�−2
3−�≥0，
即
2(�−1)
�−3 ≤0，即2(�−1)(�−3) ≤0，且�−3 ≠0，解得1 ≤�< 3，
所以不等式的解集为1,3 .
故选：B.
4．（5 分）（2026·北京朝阳·一模）设�，�∈�，则“ �< 3 且�< 3”是“�2 + �2 < 9”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用充分条件和必要条件的定义即可得到答案．
【解答过程】若�< 3 且�< 3，则�2 < 9，�2 < 9，所以�2 + �2 < 18，但不能保证�2 + �2 < 9，
例如当�= 2.5，�= 2.5 时，满足�< 3 且�< 3，但�2 + �2 = 12.5 > 9，即充分性不成立；
若�2 + �2 < 9，则�2 < 9，�2 < 9，所以�=
�2 < 3，�=
�2 < 3，即必要性成立，
所以“ �< 3 且�< 3”是“�2 + �2 < 9”的必要不充分条件．
故选：B.
5．（5 分）（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d 满足：�> �> �> �，则下列不等式恒成立的
是（
）
A．�+ �> �+ �
B．�−�< �−�
C．��> ��
D．��> ��
【答案】A
【解题思路】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案．
【解答过程】对于A，由�> �, �> �，两式相加得�+ �> �+ �，故A 正确；
对于B，令�= 4, �= 3, �= 2, �= 1，满足�> �> �> �，
此时�−�= 2, �−�= 2，�−�= �−�，故B 错误；
对于C，令�= 1, �= 0, �=−1, �=−2，满足�> �> �> �，
此时��= 0, ��= 2，��< ��，故C 错误；
对于D，令�= 1, �=−1, �=−2, �=−3，满足�> �> �> �，
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此时��=−2, ��= 3，��< ��，故D 错误.
故选：A.
6．（5 分）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合�= 1,2 ，�= {�|��−2 = 0}，若�⊆�，则由实数�
组成的集合为（
）
A．0,1
B．0,2
C．1,2
D．0,1,2
【答案】D
【解题思路】根据题意，分�= 0 和�≠0，两种情况讨论，结合�⊆�，列出方程，即可求解.
【解答过程】当�= 0 时，方程��−2 = 0 无解，即�= ∅，满足�⊆�；
当�≠0 时，由方程��−2 = 0，解得�=
2
�，即�=
2
�，
因为�⊆�，可得
2
�= 1 或
2
�= 2，解得�= 2 或�= 1，
所以由实数�组成的集合为0,1,2 .
故选：D.
7．（5 分）（2026·湖北十堰·一模）已知正数�，�满足�+ �= ��，则�+ 4�的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【解题思路】整理可得
1
�+
1
�= 1，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【解答过程】因为正数�，�满足�+ �= ��，则
1
�+
1
�= 1，
可得�+ 4�=
1
�+
1
�
�+ 4�= 5 +
4�
�+
�
�≥5 + 2
4�
�⋅
�
�= 9，
当且仅当
4�
�=
�
�，即�= 2�= 3 时，等号成立，
所以�+ 4�的最小值为9.
故选：D.
8．（5 分）（2026·广西柳州·二模）已知�> 0，�> 0，则（
）
A．�2 + �2 > 2��B．
1
�+
1
�≥
1
��
C．�+ �>
��
D．
1
�+
1
�≤
2
��
【答案】C
【解题思路】根据基本不等式，结合比较法逐一判断即可.
【解答过程】A：当�= �> 0 时，�2 + �2 = 2��，所以不正确；
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B：
1
�+
1
�−
1
��=
�+�−1
��，
因为�> 0，�> 0，所以当�+ �= 1 时，
1
�+
1
�=
1
��，
当�+ �> 1 时，
1
�+
1
�>
1
��，当�+ �< 1 时，
1
�+
1
�<
1
��，因此不正确；
C：因为�> 0，�> 0，所以有�+ �≥2 ��>
��，正确；
D：因为�> 0，�> 0，所以有
1
�+
1
�−
2
��=
�+�−2 ��
��
=
�−�
2
��
≥0，
即
1
�+
1
�≥
2
��，所以不正确.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（6 分）（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（
）
A．∀�∈�，�2 + 4 > 2�
B．“∃�∈�，|�−1| + 1 < 0”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“∀�∈�，�+ 4�4 ≥0”的否定是“∀�∉�，�+ 4�4 < 0”
【答案】AB
【解题思路】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项.
【解答过程】选项A：将不等式变形：�2 −2�+ 4 > 0，配方得：(�−1)2 + 3 > 0，
对所有实数恒成立，因此选项A 正确；
选项B：由绝对值的非负性，�−1 ≥0，
因此�−1 + 1 > 0，不可能小于0，因此选项B 正确；
选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”，
是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C 错误；
选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变�的取值范围，因此选项D 错误.
故选：AB.
10．（6 分）（2026·河南·三模）下列说法正确的是（
）
A．若
�2
�>
�2
�，则�< �
B．若��> ��，则�> �
C．若�< �< 0，则�−
1
�> �−
1
�
D．若−2 < �< 3，1 < �< 2，则−4 < �−�< 2
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【答案】BD
【解题思路】对于选项A，可根据已知不等式判断�的取值情况，再结合不等式性质判断�与�的大小关系；
对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断�与�的大小关系；
对于选项C，可通过作差法比较�−
1
�与�−
1
�的大小；
对于选项D，可根据不等式的性质求出�−�的取值范围．
【解答过程】选项A，已知
�2
�>
�2
�，因为�2 ≥0，当�= 0 时，
�2
�=
�2
�= 0，不满足
�2
�>
�2
�，所以�≠0，
则�2 > 0．
不等式
�2
�>
�2
�两边同时除以�2，不等号方向不变，可得
1
�>
1
�．
当�> 0, �< 0 时，满足
1
�>
1
�，但此时�> �，所以选项A 错误．
选项B，已知��> ��，因为��和��都有意义，所以�≥0, �≥0．
不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得(��)2 > (��)2，即�3 > �3。
因为函数�= �3 在ℝ上单调递增，所以由�3 > �3 可得�> �，选项B 正确。
选项C，
�−
1
�−�−
1
�= �−�+
1
�−
1
�= �−�+
�−�
��= (�−�) 1 +
1
��，
因为�< �< 0，所以�−�< 0，��> 0，则1 +
1
��> 0，
所以(�−�) 1 +
1
��< 0，即�−
1
�< �−
1
�，选项C 错误．
选项D，已知1 < �< 2，不等式两边同时乘以−1，不等号方向改变，可得−2 <−�<−1，
又因为−2 < �< 3，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变，
可得−2 + ( −2) < �+ ( −�) < 3 + ( −1)，即−4 < �−�< 2，选项D 正确．
故选：BD.
11．（6 分）（2026·河南·模拟预测）已知�> 0，�> 0，(2�+ 1)(�+ 1) = 4，下列说法正确的是（
）
A．
1
2�+1 +
1
�+1的最大值为1
B．2�+ �的最小值为2
C．ab 的最大值为
1
4
D．�2 +
3
4 (�+ 1)的最小值为2
【答案】BD
【解题思路】A 直接利用基本不等式；B 利用基本不等式求2�+ 1 + �+ 1 −2 的最值；C 对2��+ 2�+ �= 3
利用基本不等式；D 利用消元法求解.
【解答过程】对于A，因为�> 0，�> 0，(2�+ 1)(�+ 1) = 4，
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所以
1
2�+1 +
1
�+1 ≥2
1
2�+1 ×
1
�+1 = 2
1
4 = 1，
当且仅当
1
2�+1 =
1
�+1，即�=
1
2，�= 1 时，等号成立，
此时是最小值不是最大值，故A 不正确；
对于B，2�+ �= 2�+ 1 + �+ 1 −2 ≥2 (2�+ 1)(�+ 1) −2 = 2，
当且仅当2�+ 1 = �+ 1，即�=
1
2，�= 1 时，等号成立，故B 正确；
对于C，因为(2�+ 1)(�+ 1) = 4，所以2��+ 2�+ �= 3，
因为�> 0，�> 0，所以2�+ �≥2 2��，所以3 ≥2��+ 2 2��，
令2��= �> 0，所以3 ≥�2 + 2�，即�2 + 2�−3 ≤0，所以−3 ≤�≤1，
所以2��≤1，所以��≤
1
2，
当且仅当2�= �，即�=
1
2，�= 1 时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为(2�+ 1)(�+ 1) = 4，所以�+ 1 =
4
2�+1，
所以�2 +
3
4
�+ 1 = �2 +
3
4 ×
4
2�+1 =
4�2+3
2�+1 ，
令2�+ 1 = �> 1，所以4�2 = �2 −2�+ 1，
所以
4�2+3
2�+1 =
�2−2�+4
�
= �+
4
�−2 ≥2，
当且仅当�=
4
�，即�= 2，所以�=
1
2 , �= 1 时，等号成立，故D 正确.
故选：BD.
第II 卷（非选择题共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（5 分）（2026·新疆·三模）不等式
�−3
�−1 >−1 的解集为__________.
【答案】��< 1 或�> 2 .
【解题思路】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.
【解答过程】由
�−3
�−1 >−1 可得
�−3
�−1 +
�−1
�−1 > 0 ⇒
2�−4
�−1 > 0 ⇒�−1
2�−4 > 0，
故�> 2 或�< 1，
故不等式的解集为��< 1 或�> 2 .
故答案为：��< 1 或�> 2 .
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13．（5 分）（2026·山东德州·一模）设集合�= 1, �, �, �= �2, �, ��，若�= �，则�3 + �3 =__________.
【答案】−1
【解题思路】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.
【解答过程】∵�= 1, �, �, �= �2, �, ��，�= �，∴�≠1 且�≠1 且�≠0 且�≠�，
∴�2 = 1
��= �或�2 = �
��= 1 ，
当�2 = 1
��= �时，∵�≠1 且�≠1，∴�=−1
�= 0 ，∴�3 + �3 =−1.
当�2 = �
��= 1 时，解得�= 1
�= 1 ，∵�≠1 且�≠1，∴�= 1
�= 1 不成立.
综上可得，�3 + �3 =−1.
故答案为：−1.
14．（5 分）（2026·山西吕梁·一模）正数�, �满足�+ �= ��，则�+ 9�的最小值是__________.
【答案】16
【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】由正数�, �满足�+ �= ��，得
1
�+
1
�= 1，
则�+ 9�= (
1
�+
1
�)(�+ 9�) = 10 +
�
�+
9�
�≥10 + 2
�
�⋅
9�
�= 16，
当且仅当
�
�=
9�
�，即�= 3�= 4 取等号，
所以�+ 9�的最小值是16.
故答案为：16.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2026·上海闵行·一模）已知�∈R，集合�= �|
2−�
�+1 ≤0 , �= �|�2 + 3 −��−3�< 0 .
(1)当�=
1
3时，求�和�；
(2)已知�∪�= �，求实数�的取值范围.
【答案】(1) �|�<−1 或�≥2 ，�| −3 < �<
1
3
(2) �|�≤−1
【解题思路】（1）解分式不等式和一元二次不等式即可求解；
（2）由集合运算转化为子集关系，再讨论空集和非空子集，来求解参数范围.
【解答过程】（1）由
2−�
�+1 ≤0，得
2 −�
�+ 1 ≤0
�≠−1
，解得�<−1 或�≥2，
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则�= �|�<−1 或�≥2 ；
由�= �|�2 + 3 −��−3�< 0 = �| �+ 3
�−�< 0 ；
当�=
1
3时，�= ��+ 3
�−
1
3 < 0 ，解得�= �| −3 < �<
1
3 .
（2）由�∪�= �，得�⊆�，由�= �| �+ 3
�−�< 0 ，
①当�= ∅时，得�=−3，符合题意；
②当�≠∅时，若�>−3，则�= �| −3 < �< �，
由�⊆�，�= �|�<−1 或�≥2 ,
可得�≤−1，此时−3 < �≤−1；
若�<−3，则�= �|�< �<−3 ，此时�⊆�恒成立，故�<−3 符合题意；
综上所述，实数�的取值范围为�|�≤−1 .
16．（15 分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知集合�= {�1 ≤�≤4 }，�= {�2 −�≤�≤2 + �}.
(1)若�∩�= �，求实数m 的取值范围；
(2)设�: �∈�，�: �∈�，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) −∞, 1
(2) 2, + ∞
【解题思路】（1）由�∩�= �可得�⊂�，分�= ∅和�≠∅两种情况讨论即可；
（2）由p 是q 的充分不必要条件可得�真包含于�，根据包含关系列出不等式组即可.
【解答过程】（1）由�∩�= �可得�⊂�，
当�= ∅时，则2 −�> 2 + �，解得�< 0；
当�≠∅时，则
2 −�≤2 + �
2 −�≥1
2 + �≤4
，解得0 ≤�≤1.
综上，实数�的取值范围是−∞, 1 .
（2）若p 是q 的充分不必要条件，则�真包含于�，这等价于�⊆�且�≠�，
由�⊆�可得{2 −�≤1
2 + �≥4，解得�≥2，
又�= �（即2 −�= 1 且2 + �= 4）无解，故�≠�恒成立，
所以实数�的取值范围是2, + ∞.
17．（15 分）（25-26 高一上·江苏盐城·期中）若�> 1，�> 1，且满足�+ �−��+ 3 = 0
(1)求�+ �的最小值；
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(2)求
(�−1)(�−1)
2�+�−3 的最大值.
【答案】(1)6；
(2)
2
2 .
【解题思路】（1）将给定等式变形为�+ �+ 3 = ��，再利用基本不等式求出最小值.
（2）将给定等式变形为(�−1)(�−1) = 4，再利用基本不等式求最大值．
【解答过程】（1）由�> 1, �> 1，�+ �−��+ 3 = 0，得�+ �+ 3 = ��≤(
�+�
2 )2，
即(�+ �)2 −4(�+ �) −12 ≥0，整理得(�+ �+ 2)(�+ �−6) ≥0，解得�+ �≥6，
当且仅当�= �时取等号，由
�= �
�+ �−��+ 3 = 0 ，得�= �= 3，
所以当�= �= 3 时，�+ �取得最小值6.
（2）由�> 1, �> 1，�+ �−��+ 3 = 0，得(�−1)(�−1) = 4，
因此
(�−1)(�−1)
2�+�−3
=
4
2(�−1)+(�−1) ≤
4
2 2(�−1)⋅(�−1) =
2
2 ，
当且仅当2(�−1) = �−1 时取等号，由
2(�−1) = �−1
(�−1)(�−1) = 4 ，得�=
2 + 1, �= 2 2 + 1 时取等号，
所以当�=
2 + 1, �= 2 2 + 1 时，
(�−1)(�−1)
2�+�−3 取得最大值
2
2 .
18．（17 分）（25-26 高一上·四川成都·阶段检测）已知函数�= ��2 + �−2 �−2.
(1)若关于�的不等式�> 0 的解集为∅，求实数�的取值构成的集合；
(2)若当�> 0 时，关于�的不等式�≤�+ 2 �2 −2�恒成立，求实数�的取值范围；
(3)求关于�的不等式�> 0 的解集.
【答案】(1){ −2}；
(2)�≤4；
(3)答案见解析.
【解题思路】（1）问题转化为��2 + �−2 �−2 ≤0 恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式求参数；
（2）参变分离得到�≤2 �+
1
�，由基本不等式求出2 �+
1
�的最小值，得到答案；
（3）因式分解得到��−2
�+ 1 > 0，分�= 0，�<−2，�=−2，−2 < �< 0，�> 0，求出不等式的解
集.
【解答过程】（1）由题意，�∈R 上��2 + �−2 �−2 ≤0 恒成立，
显然�= 0 时−2�−2 ≤0 在R 上不恒成立，
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所以
�< 0
Δ = (�−2)2 + 8�≤0 ，则
�< 0
(�+ 2)2 ≤0 ⇒�=−2，
综上，�∈{ −2}；
（2）由�≤�+ 2 �2 −2�，得��≤2�2 + 2，又�> 0，所以�≤2 �+
1
�恒成立.
当�> 0 时，2 �+
1
�≥2 × 2 �⋅
1
�= 4，当且仅当�= 1 时取等号，
所以�≤4，即实数�的取值范围为�≤4；
（3）当�= 0 时，不等式为−2�−2 > 0，其解集为��<−1 ；
当�≠0 时，不等式可化为��−2
�+ 1 > 0，其方程对应的两根分别为−1，
2
�.
若�<−2，此时−1 <
2
�，不等式解集为�−1 < �<
2
�；
若�=−2，不等式可化为−2 �+ 1 2 > 0，此时不等式解集为∅；
若−2 < �< 0，此时
2
�<−1，不等式解集为�
2
�< �<−1 ；
若�> 0，此时−1 <
2
�，不等式解集为{�|�>
2
�或�<−1 .
综上，
当�<−2 时，不等式解集为�−1 < �<
2
�；
当�=−2 时，不等式解集为∅；
当−2 < �< 0 时，不等式解集为�
2
�< �<−1 ；
当�= 0 时，不等式解集为��<−1 ；
当�> 0 时，不等式解集为{�|�>
2
�或�<−1 .
19．（17 分）（2026·北京顺义·二模）已知集合�= 1,2,3, ⋯, 16 ，集合�是集合�的一个含�(�< 16)个元
素的子集.若集合�满足如下两个性质，则称集合�为集合�的完美子集：
①集合�的任意两个不同子集的元素之和不相等；
②对任意�∈�且�∉�，令�= �∪�，且集合�存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
(1)若�1 = 1,3,5 , �2 = 1,2,4,9 ，判断�1, �2是否为集合�的完美子集；
(2)若集合�为集合�的完美子集，证明：集合�的元素之和的最小值为16；
(3)若集合�为集合�的完美子集，证明：�≤5.
【答案】(1)�1不是�的完美子集，�2是�的完美子集
(2)证明见解析
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(3)证明见解析
【解题思路】（1）验证两个条件即可；
（2）用反证法证明；
（3）根据集合的新定义结合反证法证明即可.
【解答过程】（1）�1 = 1,3,5 中任意子集之和可以是0,1,3,5，1 + 3 = 4，1 + 5 = 6，3 + 5 = 8，1 + 3 + 5 = 9，
均互不相等，满足性质①，
�1 = �1 ∪�是�1再添一个不在�1中但在�= 1,2,3, ⋯, 16 中的元素，取�= 10，�= {1，3，5，10}，
�的不同子集元素和分别为：0，1,3,5,10,1 + 3 = 4,1 + 5 = 6，1 + 10 = 11,3 + 5 = 8,3 + 10 = 13,5 +
10 = 15,
1 + 3 + 5 = 9,1 + 3 + 10 = 14,3 + 5 + 10 = 18,1 + 5 + 10 = 16,1 + 3 + 5 + 10 = 19，
没有和相等的子集，所以不满足性质②，�1不是�的完美子集；
�2 = 1,2,4,9 的任意子集之和可以是0,1,2,4,9，1 + 2 = 3,1 + 4 = 5,1 + 9 = 10 2 + 4 = 6,2 + 9 = 11,4 +
9 = 13,
1 + 2 + 4 = 7,1 + 4 + 9 = 14,2 + 4 + 9 = 15,1 + 2 + 9 = 12, 1 + 2 + 4 + 9 = 16 均互不相等，满足性质①，
对于性质②，对任意�，�2 = �2 ∪�，�2任意子集之和组成的集合为1,2,3, ⋯, 7 ∪9,10, ⋯, 16
当�≠8,存在�2的子集�3的元素和等于�，只要取�2的两个子集为�3 、�，
即可满足条件，而当�= 8，�2 = {1,2,4,8,9}，取子集{1,8}和{9}即可，
所以�2是�的完美子集；
（2）反证法：设A 的元素和为S,若�< 16,考察包含A 的�+ 1 元子集�= �∪16 .
由于A 的任意两个子集元素之和不等，且B 的任意一个包含16 的子集元素和比B 的任意个不包含16 的子
集元素和大，
从而B 的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而�≥16.
又�= 1,2,4,9 满足条件，此时�= 16，从而�的最小值为16.
（3）�= 1,2,3, ⋅⋅⋅, 16 ，
假设若�≥7，则�的非空子集有2�−1 个，
而其中每个子集元素和不超过16�，但2�−1 > 16�，必有两个子集的和相等，矛盾．
假设若�= 6，考虑�的一、二、三、四元子集，共有6 + 15 + 20 + 15 = 56 个不同的子集，其元素和都在
区间[1,57]内
(因为任意一个这样的和小于16 + 15 + 14 + 13 = 58，且由13 + 16 = 14 + 15 知：13，14，15，16 不同
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时属于�)
若1 ∈�，则由1 + 15 = 16 知，15，16 不同时属于�，
由1 + 13 = 14 知，13，14 不同时属于�，
由1 + 11 = 12 知，11，12 不同时属于�，
所以此时最大的和不大于16 + 14 + 12 + 10 = 52.
而56 > 52，则必有两个子集的和相等，矛盾．
若2 ∈�.则由2 + 14 = 16 知．14，16 不同时属于�，
由2 + 13 = 15 知，13，15 不同时属于�，
由2 + 10 = 12 知，10，12 不同时属于�，
所以此时最大的和不大于16 + 15 + 12 + 9 = 52.
而56 > 52，则必有两个子集的和相等，矛盾，
若1 和2 都不属于�，则最小的和不小于3.于是，其和都属于区间[3,57]，最多有55 个不同的和．
而56 > 55，则必有两个子集的和相等，矛盾．
综上所述，�≤5．
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