第一章集合与常用逻辑用语、不等式（举一反三综合训练）
（全国通用）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共58 分）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2026·江苏淮安·模拟预测）已知集合�= −3, −1,0,2,3 , �= {�| �≤2}，则�∩�=（
）
A．0,2
B．−1,0,2
C．−1,2
D．−1,0
2．（5 分）（2026·云南·模拟预测）命题“∃�∈�，�3 −2�−1 < 0”的否定是（
）
A．∀�∈�，�3 −2�−1 ≥0
B．∀�∈�，�3 −2�−1 < 0
C．∃�∈�，�3 −2�−1 ≥0
D．∃�∈�，�3 −2�−1 > 0
3．（5 分）（2026·辽宁沈阳·一模）不等式
�+1
3−�≥1 的解集（
）
A．1,3
B．1,3
C．−∞, 1
D．1,3 ∪3, + ∞
4．（5 分）（2026·北京朝阳·一模）设�，�∈�，则“ �< 3 且�< 3”是“�2 + �2 < 9”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d 满足：�> �> �> �，则下列不等式恒成立的
是（
）
A．�+ �> �+ �
B．�−�< �−�
C．��> ��
D．��> ��
6．（5 分）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合�= 1,2 ，�= {�|��−2 = 0}，若�⊆�，则由实数�
组成的集合为（
）
A．0,1
B．0,2
C．1,2
D．0,1,2
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7．（5 分）（2026·湖北十堰·一模）已知正数�，�满足�+ �= ��，则�+ 4�的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
8．（5 分）（2026·广西柳州·二模）已知�> 0，�> 0，则（
）
A．�2 + �2 > 2��B．
1
�+
1
�≥
1
��
C．�+ �>
��
D．
1
�+
1
�≤
2
��
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（6 分）（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（
）
A．∀�∈�，�2 + 4 > 2�
B．“∃�∈�，|�−1| + 1 < 0”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“∀�∈�，�+ 4�4 ≥0”的否定是“∀�∉�，�+ 4�4 < 0”
10．（6 分）（2026·河南·三模）下列说法正确的是（
）
A．若
�2
�>
�2
�，则�< �
B．若��> ��，则�> �
C．若�< �< 0，则�−
1
�> �−
1
�
D．若−2 < �< 3，1 < �< 2，则−4 < �−�< 2
11．（6 分）（2026·河南·模拟预测）已知�> 0，�> 0，(2�+ 1)(�+ 1) = 4，下列说法正确的是（
）
A．
1
2�+1 +
1
�+1的最大值为1
B．2�+ �的最小值为2
C．ab 的最大值为
1
4
D．�2 +
3
4 (�+ 1)的最小值为2
第II 卷（非选择题共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（5 分）（2026·新疆·三模）不等式
�−3
�−1 >−1 的解集为__________.
13．（5 分）（2026·山东德州·一模）设集合�= 1, �, �, �= �2, �, ��，若�= �，则�3 + �3 =__________.
14．（5 分）（2026·山西吕梁·一模）正数�, �满足�+ �= ��，则�+ 9�的最小值是__________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2026·上海闵行·一模）已知�∈R，集合�= �|
2−�
�+1 ≤0 , �= �|�2 + 3 −��−3�< 0 .
(1)当�=
1
3时，求�和�；
(2)已知�∪�= �，求实数�的取值范围.
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16．（15 分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知集合�= {�1 ≤�≤4 }，�= {�2 −�≤�≤2 + �}.
(1)若�∩�= �，求实数m 的取值范围；
(2)设�: �∈�，�: �∈�，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
17．（15 分）（25-26 高一上·江苏盐城·期中）若�> 1，�> 1，且满足�+ �−��+ 3 = 0
(1)求�+ �的最小值；
(2)求
(�−1)(�−1)
2�+�−3 的最大值.
18．（17 分）（25-26 高一上·四川成都·阶段检测）已知函数�= ��2 + �−2 �−2.
(1)若关于�的不等式�> 0 的解集为∅，求实数�的取值构成的集合；
(2)若当�> 0 时，关于�的不等式�≤�+ 2 �2 −2�恒成立，求实数�的取值范围；
(3)求关于�的不等式�> 0 的解集.
19．（17 分）（2026·北京顺义·二模）已知集合�= 1,2,3, ⋯, 16 ，集合�是集合�的一个含�(�< 16)个元
素的子集.若集合�满足如下两个性质，则称集合�为集合�的完美子集：
①集合�的任意两个不同子集的元素之和不相等；
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②对任意�∈�且�∉�，令�= �∪�，且集合�存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
(1)若�1 = 1,3,5 , �2 = 1,2,4,9 ，判断�1, �2是否为集合�的完美子集；
(2)若集合�为集合�的完美子集，证明：集合�的元素之和的最小值为16；
(3)若集合�为集合�的完美子集，证明：�≤5.
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