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专题5-2 数列递推及通项应用
目录
题型01 递推基础：等差数列定义型...................................................................................................................................1
题型02 递推基础：等比数列定义型...................................................................................................................................3
题型03 累加法求通项...........................................................................................................................................................5
题型04 累加法求通项：裂项型..........................................................................................................................................7
题型05 累加法求通项：换元型...........................................................................................................................................9
题型06 累积法求通项........................................................................................................................................................11
题型07 待定系数型等比求通项.........................................................................................................................................15
题型08 分式型求通项.........................................................................................................................................................17
题型09 不动点方程求通项.................................................................................................................................................18
题型10 前n 项和型求通项................................................................................................................................................. 22
题型11 前n 项积型求通项................................................................................................................................................. 23
题型12 因式分解型求通项.................................................................................................................................................25
题型13 同除型构造等差数列求通项.................................................................................................................................27
题型14 同除型构造等比数列求通项.................................................................................................................................28
题型15 周期数列求通项：分段型.....................................................................................................................................29
题型16 周期数列求通项：三阶型.....................................................................................................................................31
题型17 奇偶各自独立型求通项.........................................................................................................................................32
高考练场.............................................................................................................................................................................. 34
题型01 递推基础：等差数列定义型
【解题攻略】
等差数列的判定方法
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；
②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；
③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
【典例1-1】（2024 上·山东威海·高三统考）已知数列
，对
都有
，且
，则
.
【答案】
【分析】分析题意，构造等差数列，求其前
项和即可.
【详解】令
，可得
，
故
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，则
，故
，
，
，
，
故
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
设
前
项和为
，则
.
故答案为：
【典例1-2】（2024 上·天津·高三天津市第一百中学校联考期末）在数列
中，
，且
，则
.
1
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【答案】
【分析】根据等差数列的定义可证明
为等差数列，即可求解.
【详解】由
得
，
所以
为等差数列，且公差为1，首项为3，
故
，进而
，
故答案为:
【变式1-1】（2023 下·全国·高三校联考阶段练习）已知数列
满足
，则
，
.
【答案】
3
【分析】由题意，根据等差数列的定义可知数列
为首项为1 公差为3 的等差数列，结合通项公式求出
，进而
，代入化简可得答案.
【详解】由题意，得
，则数列
为首项为1 公差为3 的等差数列，
所以
，得
，则
；
由
，得
，即
，
所以
.
故答案为：
；3
【变式1-2】（2024 上·海南海口·高三海南中学校考）在数列
中，
，则
．
【答案】
/
【分析】根据数列递推式，判断
为等差数列，即可求出
的表达式，从而可求得答案.
【详解】因为
，
，所以
为等差数列，公差为1，首项为
，
故
，所以
，而
，故
，
2
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故
，故答案为：
【变式1-3】（2023 上·四川成都·高三校联考阶段练习）已知各项均不为0 的数列
满足
，
且
，则
．
【答案】
/
【分析】将
取倒数化简可得
，即判断
为等差数列，即可求得
的通项公式，
即可得答案.
【详解】由题意知数列
满足
，即
，即
，
即
为首项是
，公差为1 的等差数列，
故
，
故
，故答案为：
题型02 递推基础：等比数列定义型
【解题攻略】
等比数列的判定方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0 的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
【典例1-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知正项数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
化简为
，再利用和与项的关系可得
，从而确定
数列
从第二项起，构成以
为首项，公比
的等比数列，根据等比数列的前
项和公式即可求
解.
【详解】因为
，
所以
，即
，
所以
，
因为数列
的各项都是正项，即
，
所以
，即
，
所以当
时，
，
3
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所以数列
从第二项起，构成以
为首项，公比
的等比数列.
所以
.故选：C
【典例1-2】（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列
满足：对任意的m，
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过赋值分析可得数列
是以首项为
，公比为
的等比数列，根据题意结合等比数列通项公
式运算求解.
【详解】对于
，
令
，则
，
再令
，则
，可知
，
故数列
是以首项为
，公比为
的等比数列，则
，
∴
.
故选：C.
【变式1-1】．（2022 上·山东日照·高三统考）正项数列
中，
（k 为常数），若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．[3，9]
C．
D．[3，15]
【答案】A
【分析】根据递推公式，求出
，然后化简
，
令
，得到关于的一个函数，根据函数的性质求其取值即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
令
，化简可得
，
令
，所以
．故选：A．
【变式1-2】（2022·陕西·校联考模拟预测）在数列
中，
，数列
是公比为2 的等比数列，
设
为
的前
项和，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
4
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C．数列
为递减数列
D．
【答案】B
【分析】由已知结合等比数列通项公式可求
，进而可求
，然后结合单调性定义及数列的求和分别
检验各选项即可判断和选择.
【详解】因为
，数列
是公比为2 的等比数列，
则
，所以
，故A 正确，B 错误；
因为
是单调增函数，故
是单调减函数，
故数列
是减数列，故C 正确；
，故D 正确.
故选：B.
【变式1-3】（2022·山西吕梁·统考一模）已知
为数列
的前n 项和，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据递推公式和等比数列的定义，可证明
是等比数列，进而可得
，再根
据等比数列的前
项和公式，即可求出结果.
【详解】由
得，
.
又
所以
为首项为
，公比为
的等比数列，所以
即
，
所以
.
故选：D.
题型03 累加法求通项
【解题攻略】
对于递推公式为
，一般利用累加法求出数列的通项公式；
【典例1-1】已知数列
满足
，
，则
的最小值为（ ）
A．2
-1
B．
C．
D．
【答案】C
5
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【解析】先根据累加法得
，进而得
，再结合函数
的单调性即
可得当
时，
的最小值为
.
【详解】解：由
得
，
所以
，
，
，
，
，
，
累加上述式子得：
，
所以
，
，
检验已知
时，
满足.
故
，
，
由于函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
，当
时，
，当
时，
，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【典例1-2】已知数列
中，
，
时，
，
______.
【答案】
【分析】
首先递推公式变形为
，再利用累加法求和.
【详解】
当
时，
，
，
，
，
……………，
，这
个式子相加得：
，
解得
，
当
时，
成立，
所以
.
故答案为：
【变式1-1】（2023 下·北京·高三北京八中校考）若数列
满足
，则通项公
式为
.
【答案】
【分析】根据题意，利用累加法即可求解.
6
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【详解】因为
，
所以当
时，
，
当
时，
，满足
，所以
，
故答案为：
.
【变式1-2】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知数列
满足
，
，则数
列
的前100 项和
．
【答案】
【分析】叠加法求解
，再裂项相消法求和即可.
【详解】∵
，∴
时，
．
∴
（
），
当
时
也满足上式，∴
（
）
∴
，（
）
∴数列
的前
项和
（
）
所以数列
的前100 项和
．
故答案为：
．
【变式1-3】．（2020 上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设数列
满足
，
，
，则数列
的前50 项和是 ．
【答案】1300
【分析】利用累加法可求得数列
的通项公式
，再并项求和求解前50 项和即可.
【详解】因为
，
，且
，
故
时，
，
，…，
，
累加可得
，
，
满足上式，即
，
故
的前50 项和，即
．
7
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故答案为：1300.
题型04 累加法求通项：裂项型
【解题攻略】
形如：
的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
利用累乘法求通项：
【典例1-1】（2022·北京·清华附中高三开学考试（理））已知数列
满足
，
，则
的通项公式为__．
【答案】
【分析】首先根据题意得到
，即
是首项为2，公差为1 的等差数列，再求通项公式即可.
【详解】
数列
满足
，
，
时，
，
，
是首项为2，公差为1 的等差数列，
，
．
的通项公式为
．
故答案为：
．
【典例1-2】（2023 上海市南洋模范中学高三阶段练习）数列
中，
，
，
则数列
的通项公式
________.
【答案】
【分析】在等式
两边同时除以
，得
，然后利用累加法求出数列
的通项公式，由此可得出
.
【详解】在等式
两边同时除以
，得
，即
.
，
，
，
.
上述等式全部相加得
，
，因此，
.
故答案为
.
【变式1-1】（2023 下·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考）已知数列
满足
，则
=（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用累加法以及裂项求和法求得正确答案.
【详解】依题意，
，
所以
.故选：C.
【变式1-2】（2023 下·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知数列
满足
，
，则
的通项为（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【详解】先把
，利用累加法和裂项相消法可求答案.
【分析】因为
，所以
，
则当
，
时，
，
将
个式子相加可得
，
因为
，则
，
当
时，
符合上式，
所以
，
，
，故选：D.
【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，利用累加法先求出
，进而求得
即可.
【详解】由题意得，
，
9
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则
，
…，
，
由累加法得，
，
即
，则
，所以
，故选：D
题型05 累加法求通项：换元型
【典例1-1】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列
满足
,数列
的
通项公式为
___________.
【答案】
【分析】把
化为
，利用累加法和裂项
相消法可求通项公式.
【详解】因为
，所以
，
两边同时除以
得到
，
整理得到：
即
，
累加得到
即
，
所以
，其中
，
又
时，
符合，故数列
的通项公式为
，故填
.
【典例1-2】（2021 上·陕西西安·高三西安市铁一中学校考阶段练习）数列
满足
，且
，则
( )
A．－1
B．20
C．21
D．22
【答案】B
【分析】根据题意，将
变形可得
，由累加法分析可得
﹒
【详解】根据题意，数列
满足
，且
，
变形可得
，
则有，
10
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则
，故
；
故选：B．
【变式1-1】（2021 上·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）已知数列
的首项为，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用累加法可求得数列
的通项公式，利用数列
的单调性即可得解.
【详解】因为
，设
，则
，
所以
，
又
符合上式，所以
，
则
，故
的最小值为
.故选：B.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知
，且
，则数列
的通项公式为
.
【答案】
【分析】由已知可得
，构造
应用累加法求其通项公式，
进而可得
的通项公式.
【详解】等式两侧同除
，得
，
所以
，
令
，所以
，
则
，
，
，……，
，
累加得：
，而
，故
，
即
，整理得
.
故答案为：
【变式1-3】（2022·甘肃白银·高三）已知数列
中，
，当
时，
，设
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据递推关系式得到
，进而利用累加法可求得结果．
【详解】
数列
中，
，当
时，
，
11
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，
，
，且
，
，故选：A．
.
题型06 累积法求通项
【解题攻略】
累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：
的关系，可用“累乘法”求通项.
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
则下列有可能成立的是（ ）
A．若
为等比数列，则
B．若
为递增的等差数列，则
C．若
为等比数列，则
D．若
为递增的等差数列，则
【答案】B
【分析】若
为等比数列，可得
，进而可得
可判断AC；若
为递增的等
差数列，利用累乘法可得
，再利用裂项相消法可得
，利用累加法可得
，进而可得
，可判断BD.
【详解】因为
，∴
，即
，
若
为等比数列，则
的公比为
，∴
，
由
，可得
，∴
，故AC 错误；
若
为递增的等差数列，
，公差
，由
则
，
∴
，∴
，即
，
∴
，
∴
12
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，
又
，
∴
，又
则
，
∴当
时，不等式
恒成立，
故
，故B 正确，D 错误.故选：B.
【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知数列
中，
，
.记
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用累加法和累乘法得到
，
，再利用数列的单调性计算得到答案.
【详解】
，则
，故
，
；
，故
，
，
故
，A，B 错误；
，
，
，
，故
，
，
D 错误C 正确.
故选：C.
【变式1-1】（2023 秋·湖北·高三校联考阶段练习）定义：在数列
中，
，其中d
为常数，则称数列
为“等比差”数列.已知“等比差”数列
中，
，
，则
（ ）
A．1763
B．1935
C．2125
D．2303
【答案】B
【分析】运用累和法和累积法进行求解即可.
13
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【详解】因为数列
是“等比差”数列，
所以
，
因为
，
，
所以
，
所以有
，
累和，得
，
因此有
，
累积，得
，
所以
，
故选：B
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列
重新编辑，编辑新序列为
，它的第
项为
，若序列
的所有
项都是3，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据新定义判断出
是公比为的等比数列，再利用迭乘法得到
，最后根据
和
，联立方程组求解即可.
【详解】令
，即
，则
，
由已知得
，所以数列
为公比为的等比数列，
设
，则
，
，
，
，
当
时，累乘可得
，
即
，当
时，
，当
时，
，解得
，故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知
是数列
的前
项和，
，
，则
的
通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
14
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【分析】由
得
，两式相减得
，把
分别代入，
用累乘法得
，
，再验证
也成立，即可得到
.
【详解】由
得
，
两式相减得:
,
即
，即
，即
，
.
所以
，
，
，…，
.
相乘得：
…
…
，
即
，因为
，所以
，
.
当
时，
，所以
.
故选：B
题型07 待定系数型等比求通项
【解题攻略】
形如
为常数）,构造等比数列
。特殊情况下，当q 为2
时，
=p，
，变形为
，也可以变形为
.
【典例1-1】（2019·模拟预测）设数列
的前n 项和为
，对任意
，有
，
，
则
的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意易得
时，
，两式相减化简构造可得数列
为首项为2，公比为2 的
等比数列，即
，代入可得
的解析式，设
，作差判断出
的单调性，可得
最大值.
【详解】由
得当
时，
，
两式作差得
，即
，
当
时，
15
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所以
，又因为
，
所以数列
为首项为2，公比为2 的等比数列，
则
，
，
设
，则
，
则有
，当
时，
，
所以
的最大值为
，故选：D.
【典例1-2】（19·20·专题练习）在数列{an}中．a1＝4，a2＝6，且当
时，
，若Tn 是数列
{bn}的前n 项和，bn＝
，则当
为整数时，λn＝（ ）
A．6
B．12
C．20
D．24
【答案】D
【分析】首先根据条件
通过配凑系数求出数列
的通项公式；然后再根据数列
的通项
公式求出数列
的通项公式，从而可求出Tn，代入可求出
，从而可判断选项.
【详解】当
时，由
，得
，又因为
，
所以
从第二项起是首项为3，公比为4 的等比数列，
所以
时，
，所以
.
当
时，
；
当
时，
，
所以
，
所以
，
要使
为整数，需
是15 的因数，所以
，此时
.
故选：D.
【变式1-1】（19·20 下·绵阳·开学考试）数列
满足
且
，则此数列第5 项是
（ ）
A．15
B．255
C．16
D．63
【答案】B
【分析】由
可得
，即
为等比数列，利用等比数列的通项
公式即可求解
【详解】∵
，
∴
，
∴
是以1 为首项，4 为公比的等比数列，
则
．
∴
，
16
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∴
．
故选：B．
【变式1-2】（2021 下·许昌）数列
的首项
，且
，令
，则
（ ）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
【答案】C
【分析】由题意得
，结合已知有
是首项、公比均为4 的等比数列，进而得到
，
即可求目标式的值.
【详解】∵
，
∴
，即
且
，
∴数列
是以4 为首项，公比为4 的等比数列，故
，
由
得：
，
设数列
的前
项和为
，则
，
∴
．
故选：C
【变式1-3】（2022 学业考试）数列
满足
，若
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件可得
，然后可得
，然后得出
即可.
【详解】由
可得
，所以
所以
，所以
所以
，所以
，所以
故选：D
题型08 分式型求通项
【解题攻略】
形如
，取倒数变形为
；
【典例1-1】（2020 上·潍坊）在数列
中，
，
(n∈N+)，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
17
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【解析】取倒数，确定
是首项为
，公差为的等差数列，计算得到答案.
【详解】
，则
，故
是首项为
，公差为的等差数列.
，
，
.
故选：
.
【典例1-2】（2021 上·南宁·）数列
中，
，
，则
是这个数列的第几项
（ ）
A．100 项
B．101 项
C．102 项
D．103 项
【答案】A
【解析】由条件可得
，则
，进而可求出数列
的通项公式，令
，求出
值即可.
【详解】解：由
，得
，
则
，
，
令
，得
.故选：A.
【变式1-1】（2022 上·楚雄·）已知数列
满足
,
(
),则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由递推公式可得数列
是公差为的等差数列，求出其通项公式即可得解.
【详解】解：
(
)，
(
).即
(
),所以数列
是公差为
的等差数列,所以
,即
,
.
故选：
【变式1-2】（2016·六安·阶段练习）已知数列
满足
，
，若
，
，且数列
是单调递增数列，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用构造法及已知条件可得
是首项、公比均为2 的等比数列，写出通项公式，即可得
，根据
的单调性求
的范围.
18
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【详解】由题设，
，则
，且
，
所以数列
是首项、公比均为2 的等比数列，
所以
，则
，
因为
且
是单调递增数列，即
，
所以
，化简得
恒成立，
因为数列
为单调递增数列，则
，
故选：B．
【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，且
，则数列
的通项
公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，化简得
，根据等差数列的定义，得到以数列
表示首项为1，
公差为
的等差数列，求得
，进而求得以数列
的通项公式.
【详解】由题意，数列
满足
，取倒数可得
，
又由
，所以
，所以数列
表示首项为1，公差为
的等差数列，
所以
，所以数列
的通项公式为
.故选：C.
题型09 不动点方程求通项
【解题攻略】
形如
的递推数列，
方程的根，可以分两种情况：
（1）、若其中有一个不动点x0，则
是等差数列
（2）、若其中有两个不动点m，n，则
是
等比数列
【典例1-1】（22·23 下·浦东新·）若严格递增数列
满足
，则首项
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
19
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【分析】由数列
的单调性可得出
或
，推导出数列
为等比数列，确定该数列的
公比，可求得
，然后就
或
恒成立进行讨论，综合可得出
的取值
范围.
【详解】因为数列
为单调递增数列，由
，
解得
或
，因为
，且
，
所以，数列
是公比为
的等比数列，故
，解得
.
若
恒成立，可得
，
即
，即
，因为不等式
不可能恒成立，舍去；
若
，可得
，
即
，即
，解得
，
因此，首项
的取值范围是
.故选：A.
【典例1-2】（22·23 下·开封·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，且
，若不
等式
对一切
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可得
，利用等比数列的定义结合条件可得
，然后利用错位相减法
可得
，再分类讨论可得
的取值范围.
【详解】因为
，
，所以
，而
，所以
是以
为首项，
公比为
的等比数列，所以
，即
，所以
，
20
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，所以
，
所以
由
，得
，
则
当
为奇数时，有
，所以
，
当
为偶数时，有
，所以
，综上，
的取值范围为
．故选：B.
【变式1-1】（23·24 上·厦门·阶段练习）数列
满足
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将递推式化为
，从而得到
是常列数，进而得到
是等差数列，
由此求得
，据此解答即可.
【详解】因为
，
，
所以
，即
，则
，故
，
又
，
，所以
，
所以
是以首项为的常数列，则
，
又
，
，所以
是以首项为
，公差为的等差数列，
故
，则
，
所以
.故选：A.
【变式1-2】（2020 下·南宁·阶段练习）数列
满足
若不等式
对任何正整数n 恒成立，则实数λ 的最小值为
【答案】
【解析】根据递推关系式求得数列
的通项公式，利用裂项求和法求得
的值，进而求
21
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得实数
的最小值.
【详解】
，令
，则
，所以
数列
是首项为
，公差为
的等差数列，所以
，所以
.所以
，所以
.
依题意
对任何正整数
恒成立，即
，所以
，所
以
的最小值为
.故答案为：
【变式1-3】（22·23 下·浦东新）若严格递增数列
满足
，则首项
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由数列
的单调性可得出
或
，推导出数列
为等比数列，确定该数列的
公比，可求得
，然后就
或
恒成立进行讨论，综合可得出
的取值
范围.
【详解】因为数列
为单调递增数列，由
，
解得
或
，
因为
，且
，
所以，数列
是公比为
的等比数列，故
，
解得
.
若
恒成立，可得
，
即
，即
，
22
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因为不等式
不可能恒成立，舍去；
若
，可得
，
即
，即
，解得
，
因此，首项
的取值范围是
.
故选：A.
题型10 前N 项和型求通项
【解题攻略】
若在已知数列中存在：
的关系，可以利用项和公式
，求数列
的通项.
【典例1-1】（2023 下·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为 .
【答案】
【分析】利用数列和与通项的关系，分两种情况求解.
【详解】当
时，
；
当
时，
，
因为
，所以两式相减可得
；
显然
不满足上式，综上可得
.故答案为：
【典例1-2】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）设数列
的前
项和
，则
；
使得命题“
，都有
”为真命题的一个
的值为 .
【答案】
3（答案不唯一，
）
【分析】根据给定的前
项和求出通项
即可，由
求出
的取值范围作答.
【详解】数列
的前
项和
，当
时，
，
当
时，
，显然
不满足上式，
所以
；
当
时，
，不等式
不成立，
当
时，
，
不等式
，而
，解得
，
因此对
，不等式
恒成立，
23
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所以“
，都有
”为真命题的
，取
的一个值为3.
故答案为：
；3
【变式1-1】．（2023·北京·统考模拟预测）已知数列
的前n 项和
，则数列
的通项公式为 ．
【答案】
【分析】取
得到
，
时，根据
计算得到答案.
【详解】
，取
得到
，
当
时，
，
，
当
时，不满足
。
所以
.故答案为：
.
【变式1-2】（2023 上·北京·高三北京市十一学校校考）已知数列
的前
项和为
，则
的通项公式为 .
【答案】
【分析】利用
计算即可，注意求
时，
的值.
【详解】由已知当
时，
，
又
时，
，
故
的通项公式为
，
故答案为：
.
.
题型11 前N 项积型求通项
【解题攻略】
前n 项积型求通项，可以类比前n 项和求通项过程来求数列前n 项积：
1.n=1，得a1
2.n
时，
所以
24
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【典例1-1】（22·23·沈阳·三模）记
数列
的前n 项积，已知
，则
（ ）
A．4
B．5
C．7
D．8
【答案】B
【分析】根据题设及递推式求项，然后求
即可.
【详解】由题设
，即
，
，即
，
，即
，
，即
，
所以
.故选：B
【典例1-2】（21·22·石嘴山·一模）已知
为数列
的前n 项积，若
，则数列
的通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出
，再根据题意可得
,化简为
，由此求得答案.
【详解】当
时，
，
当
时，
，即
，
故数列
为首项为
，公差为
的等差数列，
故
，
故选：D
【变式1-1】（21·22 下·包头·一模）已知
为数列
的前n 项积，若
，则数列
的前n 项
和
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先将等式化为
的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出
，由等差数列前
项和公
式可得结果.
【详解】当n=1 时，
；
当
时，
，
于是
是以-1 为首项，-2 为公差的等差数列，所以
.
所以
，
故选：D.
25
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【变式1-2】（21·22 上·合肥）若数列
的前
项积
，则
的最大值与最小值之和为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】由题可得
，利用数列的增减性可得最值，即求.
【详解】∵数列
的前
项积
，当
时，
，
当
时，
，
，
时也适合上式，∴
，
∴当
时，数列
单调递减，且
，当
时，数列
单调递减，且
，
故
的最大值为
，最小值为
，
∴
的最大值与最小值之和为2.故选：C.
【变式1-3】（20·21·广西·模拟预测）设数列
的前n 项和为
，已知
，则数列
的前n 项之积
的最大值为（ ）
A．16
B．32
C．64
D．128
【答案】C
【分析】由
得到数列
是以
为公比的等比数列，再由
求得数列即可.
【详解】由
可知，
，所以
，
所以数列
是以
为公比的等比数列.由
可知，
，
所以
.所以数列
为
，
所以
的前n 项之积
的最大值为
.
故选：C.
题型12 因式分解型求通项
【解题攻略】
因式分解型求通项
经验型：一般情况下，数列次幂比较高（二次型）递推公式，可以考虑因式分解，或者配方型
【典例1-1】（22·23 上·四川·阶段练习）设数列
的前n 项和为
，
，
，且
26
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，则
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
化为
，可得
，
，解不等式组
求出
，可得结果.
【详解】当
时，由
，得
，
因为
，所以
，所以
，所以
，又
满足上式，
所以
，所以
，所以
，
设
为数列
中的最大项，则
，所以
，所以
，
所以
，所以
，因为
，所以
，
所以
的最大值是
.故选：C
【典例1-2】（22·23 上·漳州·）若正项数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由递推公式推出数列
的通项公式，得到数列
的通项公式，根据数列特征求和.
【详解】由
，得
，又
是正项数列，所以
，
，则数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
.
，
，
，
可得数列
是以1 为首项，4 为公比的等比数列，所以
.
故选：B.
【变式1-1】（20·21 下·衡水·）在各项均为正数的数列
中，
为前
项和，
且
，则
.
【答案】
【分析】将递推关系式因式分解为
，从而可得
，由累乘法可得
，可判断数列
为等差数列，进而根据等差数列前
项和公式即可求解.
【详解】解：
，
，即
，
27
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又
数列
的各项均为正数，
，即
，
，因为
，所以
，
所以
，故答案为：
.
【变式1-2】（19·20 上·浙江·开学考试）已知正项数列
满足
，
，则数列
的前
项和为 ．
【答案】
【分析】由已知表达式因式分解得到数列的递推式，再运用累乘的方法求得通项公式，再将通项公式裂项，
利用裂项相消求和得解.
【详解】由已知得
所以
又因为
所以
所以
所以
；
累乘得
所以
所以
=
所以
累加求和得
故答案为
题型13 同除型构造等差数列求通项
【解题攻略】
同除型换元
形如
，累加法即可。
【典例1-1】（2022 下·上饶·）在数列
中，若
，则数列
的通项公式
．
【答案】
【分析】构造新的数列
，通过新的数列的通项求
.
【详解】∵数列
的首项
,且
,
，
28
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∴
,
，∴
是首项为1，公差为1 的等差数列，
∴
，∴该数列的通项公式：
.故答案为：
.
【典例1-2】（2022 下·沈阳·）已知数列
中，
,
,则数列
的通项公式
．
【答案】
【详解】由题意得
，则
，又因为
，所以数列
是首项为，公差为
的等差数列，所以
，即
，即数列的通项公式为
.
【变式1-1】（22·23 下·淄博·）已知
数列满足
，
，则数列
的通项公式为
【答案】
【分析】由已知可得
，利用
为等差数列求
的通项公式.
【详解】由
得
，
故
为等差数列，公差为1，首项为1，
所以
所以
.
故答案为：
【变式1-2】（22·23·对口高考）已知数列
中，
，且
（
，且
），则数列
的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由
两边同除
，构造等差数列，根据等差数列的通项公式可得结果.
【详解】当
时，因为
，所以
，又
，
所以数列
是首项为，公差为的等差数列，
所以
，则
.
故答案为：
.
题型14 同除型构造等比数列求通项
【典例1-1】（2022·唐山·二模）数列
满足
，若
时，
，则
的取值范围是
．
【答案】
【详解】
,
29
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,
故填
.
【典例1-2】（20·21 上·清远·阶段练习）若数列
满足
，
，则数列
的通项公式
.
【答案】
【解析】由
，可得
，设
，即
，先求出的
通项公
式，进而得到答案.
【详解】由
，可得
，设
则
，则
所以
是以1 为首项，3 为公比的等比数列.
则
，则
，所以
故答案为：
【变式1-1】（2019·全国·高三专题练习）在数列
中，
，
，则数列
的通项公式
为
______．
【答案】
【分析】在等式
两边同时除以
得
，利用待定系数法得出
，可知数列
为等比数列，求出该数列的通项公式，可求出
.
【详解】由
，两边同时除以
得
，
设
，化简得
，与
比较得
.
，故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
，故答案为
.
【变式1-2】.（2021·全国·高三专题练习）若数列
满足
，
，则数列
的通项公式
________.
【答案】
【解析】由
，可得
，设
，即
，先求出的
通项公
30
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式，进而得到答案.
【详解】由
，可得
，设
则
，则
所以
是以1 为首项，3 为公比的等比数列.
则
，则
，所以
故答案为：
题型15 周期数列求通项：分段型
【典例1-1】（2023 上·江苏无锡·高三统考开学考试）已知数列
满足
．若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】逐项计算找到数列的周期即可.
【详解】由题意，
，
，
，
，
…
故数列
周期为4，则
.
故选：B
【典例1-2】（2023 下·高三课时练习）数列
满足
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据递推关系可得周期，利用周期即可求解.
【详解】由
得
，
，
，因此数列
为周期为3 的周期数
列，所以
，
故选:A
【变式1-1】（2023 上·山东烟台·高三统考）在数列
中，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
31
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【分析】推导出对任意的
，
，利用数列的周期性可求得
的值.
【详解】在数列
中，
，且
，
则
，
，
，
，
，
以此类推可知，对任意的
，
，所以，
.
故选：D.
【变式1-2】（2022 上·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据递推公式可验证知数列
是周期为的周期数列，则由
可求得结果.
【详解】
，
，
，
，
，……，
以此类推，可知数列
是周期为的周期数列，
.故选：A.
题型16 周期数列求通项：三阶型
【解题攻略】
若数列{an}满足
若数列{an}满足
【典例1-1】（2023·河北·校联考模拟预测）在数列
中，
，则
.
【答案】
【分析】根据题意，推得
，得到数列
的一个周期为，求得
的值，结合
，即可求解.
【详解】由
，可得
，所以
，即
，
所以
，所以数列
的一个周期为，
32
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又由
，
所以
，所以
.
故答案为：
.
【典例1-2】（2023 上·河北·高三校联考阶段练习）已知
，
，且
（n 为正整数），
则
．
【答案】1
【分析】通过计算
，发现数列的周期，根据周期求解即可.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，
，
，
，
，
，
…，
所以
是以6 为周期的数列，因为
，所以
．
故答案为：.
【变式1-1】（2023 上·黑龙江大庆·高三肇州县第二中学校考阶段练习）已知
，
则其前2022 项的和为 .
【答案】0
【分析】求出数列的周期，并得到
，求出前2022 项的和.
【详解】因为
，
所以
，
，
，
，
，
依次进行求解，发现
为周期数列，周期为6，
且
，
故
，
故其前2022 项的和为
.
故答案为：0
【变式1-2】（2023 下·吉林长春·高三校考开学考试）已知数列
中，
，
，
，
则
.
【答案】
【分析】计算数列的前几项，可得数列
的最小正周期为6，计算可得所求值．
【详解】由题意知
，
，
，
，
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，
，
，
，
易知
是周期为6 的数列，
．
故答案为：-3
题型17 奇偶各自独立型求通项
【解题攻略】
奇偶各自独立型求通项
【典例1-1】（2020 上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知数列
满足
，则
（ ）
A．4
B．2
C．5
D．
【答案】A
【解析】根据
，再写一个式子，两式相比得到奇数项成等比数列，则可解.
【详解】解：
，所以
，所以
，
数列
的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故
，
故选：A
【典例1-2】（2022·高三课时练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，
，则
（ ）
A．62
B．63
C．64
D．65
【答案】D
【解析】由题意可得
，
，即数列
的奇数项是以1 为首项，4 为公比的等比数列；偶数
项是以2 为首项，4 为公比的等比数列，再利用等比数列的前
项和公式分组求和可得
和
.
34
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【详解】由
，
，
可知数列
的奇数项是以1 为首项，4 为公比的等比数列；偶数项是以2 为首项，4 为公比的等比数列.
所以
，
，
所以
.
故选：D
【变式1-1】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知数列
的首项为
，则
.
【答案】9
【分析】当
时，求出
，由
可得
，两式相减可得
，所以
的偶数项是以
为首相，公差为
的等差数列，即可得出答案.
【详解】因为
，
，
当
时，
，解得：
，
，两式相减可得：
，
所以
的偶数项是以
为首相，公差为
的等差数列，
所以
.
故答案为：9.
【变式1-2】（2022 下·四川自贡·高三统考）如果数列
满足
=1，当
为奇数时，
；为偶数时，
，则下列结论成立的是（ ）
A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列
B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列
C．该数列的奇数项各项分别加
后构成等比数列
D．该数列的偶数项各项分别加
后构成等比数列
【答案】D
【详解】试题分析：根据条件，此数列的前几项是
，观察前几项，就可知此数列
的奇数项不是等比数列，也不是等差数列，偶数项也不是等差数列，也不是等比数列，奇数项各项加4 后
是
也不构成等比数列，所以都不正确，当
为偶数时，
是奇数，所以代入上式
，两边同时加4 后得到
，等价于
，
所以当
为偶数时，各项加4 后成为等比数列．
.
高考练场
35
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1.（2023 上·重庆渝中·高三统考）定义：在数列
中，
，其中
为常数，则称数列
为“等比差”数列，已知“等比差”数列
中，
，
，则
．
【答案】
【分析】根据“等比差”数列的概念可得
，进而得解.
【详解】由数列
为“等比差”数列，
则
，
所以
，即数列
是以为首项，
为公差的等差数列，
所以
，
，则
，
所以
，故答案为:
.
2.（2021·江苏·高三专题练习）已知等差数列
的前n 项和为
，
，
，数列
满足
，
，记集合
，若集合M 的子集个数为16，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知求出
，
，然后研究
的单调性求解即可．
【详解】解：设等差数列
的公差为d，
因为等差数列
的前n 项和为
所以
，即
，
又
，所以
，
又数列
满足
，所以数列
为等比数列，公比
，首项为
，
所以
，得
，
所以
，设
，令
，得
，
即
，
，又集合M 的子集个数为16，
所以M 只有4 个元素，
即不等式
只有4 个解，
又
，
36
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所以
，
故选：C．
3.．（2020·全国·高三专题练习）在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，则an＝ ．
【答案】2n－1＋1
【解析】依题意可得
，再利用累加法求数列的通项公式；
【详解】解：因为
，
所以
所以
则
故答案为：
4.（2023 下·江苏南京·高三南京市秦淮中学校考阶段练习）已知数列
，
，且
，
，则
．
【答案】
【分析】根据题意利用裂项法可得
，再利用累加法可得答案.
【详解】由题意得
，则
，
故
时，
，
，
，
，
所以以上式子相加得
，
，
时，
也符合上式，
.
故答案为：
.
5.（2022·全国·高三专题练习）已知数列
满足：
，
，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
的最小项为
和
D．数列
的最大项为
和
【答案】C
【分析】令
，由已知得
运用累加法得
，从而可得
，作差得
，从而可得
，由此可得选项.
【详解】令
，则
，又
，所以
，
，
，
，
，
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所以累加得
，所以
，
所以
，
所以当
时，
，当
时，
，即
，当
时，
，
即
，所以数列
的最小项为
和
，
故选：C.
6.（2021·全国·高三）已知
中，
，
，则数列
的通项公式是______________．
【答案】
【分析】根据题设递推关系得
，应用累乘法求
的通项公式即可.
【详解】由
，可得：
，又
，
∴
＝
．
∴
．
故答案为：
7.（21·22 下·阶段练习）已知数列
满足关系：
，当
时，
，则
（ ）
A．31
B．15
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意可得
，即可得到
是以2 为首项，
为公比的等比数列，从而求出
的通项公式，即可得解；
【详解】解：因为当
时，
，
，所以
，且
，所
以
是以2 为首项，
为公比的等比数列，所以
，即
，所以
.
故选:C.
8.（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高三（文））已知数列
满足：
，
（
N+），由
、
、
归纳出数列
的通项公式是__________.
【答案】
【分析】由递推公式求出
、
、
，归纳出数列
的通项公式，可利用对
变形求得数列
是等比数列，再求通项公式.
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【详解】
，
，
，
，由此归纳出数列
的通项公式
，以下证明：
由
，得
，所以
，
又
，所以
，所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，所以数列
的通项公式
．
故答案为：
.
9.（22·23·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则
．
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式.
【详解】设
，令
得：
，解得：
；
，化简得，
，
所以
，从而
，
故
，
又
，所以
是首项和公差均为
的等差数列，
从而
，故
．
故答案为：
10.（2022 上·天津静海·高三静海一中校考）设数列
前n 项和为
，
，则数列
的通项
公式为 ．
【答案】
【分析】利用
，即得.
【详解】因为
，
当
时，
；
当
时，
，
∵
不适合上式，
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所以数列
的通项公式
.
故答案为：
.
11.（22·23 下·浙江·模拟预测）记
为数列
的前n 项积，已知
，则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】D
【分析】当
时，有
，当
时，有
，结合题目条件，即可求得本题答案.
【详解】1.当
时，
，
，
；
2.当
时，有
，代入
，得
，
化简得：
，则
，
.
故选：D
12.（19·20·全国·模拟预测）已知数列
的各项均为正数，且满足
，
，设
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据题中条件，可以整理得到
，从而判断出数列
是以
为首项，以2 为
公比的等比数列，进而求得
，之后应用错位相减法求得
，将
代入即可
求得结果.
【详解】因为
，
所以有
，
所以
，
因为数列
的各项均为正数，所以
，
即
，又因为
，所以数列
是以
为首项，以2 为公比的等比数列，
所以
，所以
，所以
①，
②，
①-②得：
，所以
，
所以
，故选：C.
13.（2017·四川泸州·一模（理））已知数列
的前
项和
（
），则数列
的
通项公式
__________．
【答案】
【详解】因
，故
，以上两式两边相减可得
，
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即
，也即
，所以
，即
，应填答案
．
14.（22·23·专题练习）已知正项数列
中，
，则数列
的通项
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】给已知等式两边同除以
，令
则可得
，从而得数列
是等比数列，
求出
，进而可求出
【详解】在递推公式
的两边同时除以
，得
①，
令
，则①式变为
，即
，
所以数列
是等比数列，其首项为
，公比为
，
所以
，即
，所以
，
所以
，
15.（2022·高三课时练习）已知函数
，若数列
满足
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由函数关系式及已知求得数列
从第三项起构成周期为3 的数列，再由周期性求解即可.
【详解】由题意知，
，
，则
，
，
，
，
，…，
所以数列
从第三项起构成周期为3 的数列，故
．
故选：D．
16.（2023·全国·高三专题练习）在数列
中，已知
，
，且
，则
．
【答案】
【分析】由递推关系得出数列
是以3 为周期的周期数列，即可得到答案．
【详解】由
，
，可得
，
，
，…，
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所以
是以3 为周期的周期数列，
因为
，
所以
，
故答案为：0．
17.已知数列{
}满足
，当n 为奇数时
，当n 为偶数时
，则
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析知：当
时
，
，两式相减得
，则
时，利用
累加法即可求出答案.
【详解】由n 为奇数时
，当n 为偶数时
，可得当
时
，
，
两式相减得
，所以
时
.
故选：C.
42
