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2026 年高考数学考前冲刺压轴卷 03（全国二卷通
用）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．若复数 满足 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A．10 B． C．5 D．
【答案】D
【详解】由 ，得
因此 ，所以 .
2．设集合 ， ，则 中整数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．16
【答案】B
【分析】先分别求解对数不等式和分式不等式得到集合 、 ，计算二者的交集后统计交
集中的整数个数即可.
【详解】对数函数 的定义域为 ，不等式 可变形为 ，由于 在 上单调递增，因此 ，即 .
{(x−4)(x+1)≤0)
分式不等式 等价于 ，解得 ，即 .
x+1≠0
，其中的整数为 ，共4个.
3．已知函数f(x)=(x−2)(ax+b)为偶函数，且 ，则 的解集为
（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】A
【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式.
【详解】因为 是偶函数，
所以 ，即 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，因此 在 上是减函数，
所以 ，由 ，得 ，所以 ，
所以 时， ，解得 ，即 的解集为 .
4．向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】向量 在向量 上的投影向量为 ．
5．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， 的面积为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据三角形面积建立 等量关系，可得 ，再根据正弦定理，
化简求值即可.
【详解】在 中，由 及 的面积为 ，得 ，
即 ，解得 ，由正弦定理 ，得 ，
因此 ，所以 .
6．已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，若 ，且 ，则 取得最
小值时的 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用等差数列通项公式与前 项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断
项的正负确定 取最小值时的 .
【详解】设等差数列 的公差为 ， 。 根据等差数列的通项公式及前 项和公式
得：
由 ，得 ，化简整理得 ①；
由 ，得 ，化简整理得 ②.
所以 得 ，将 代入①得 ，
故通项公式为 ，
所以等差数列 的首项 ，公差 的一个递增等差数列，因此等差数列 的前 项和 有最小值.
令 ，即 ，解得 ，又 ，因此 .
所以当 时， ， ；当 时， ， .
因此 时 取得最小值.
7．已知双曲线 离心率为2，左焦点为 ，右顶点为 ，以 为直
径的圆 交双曲线 的一条渐近线于 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知 ，及渐近线方程 ，再计算出圆心 到其中一
条渐近线的距离，从而得到弦长 ，最后利用余弦定理求解.
【详解】由题可知 ，则 ，渐近线方程 .
,则 ，圆 的半径 .
圆心 到一条渐近线 的距离： ，
则 ，
在 中，由余弦定理可得：8．定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，都有 ，且
为奇函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造辅助函数 ，利用导数判断其单调性，再利用 为奇函
数求出 的值，从而将原不等式转化为关于 的不等式进行求解.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 为定义在 上的减函数，
因为 为奇函数，所以 ， ， ，
，即 ，即 ，故 ，
所以不等式 的解集为 .
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若两个变量的样本相关系数 的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强
B．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
C．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11
D．对具有线性相关关系的变量 ， ，其经验回归方程为 ，若样本数据的中心点为 ，则实数 的值是
【答案】ABD
【分析】分别依据相关系数的意义、正态分布的对称性、分位数的计算方法、回归直线的
性质，逐一分析各选项的正误.
【详解】对于选项A，样本相关系数 的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强，
故A正确.对于选项B，随机变量 ，正态曲线关于 对称，
由 ，得 ，则 ，
，故 ，故B正确.
对于选项C，数据共10个，上四分位数位置为 ，取第8个数据18，故C错误.
对于选项D，经验回归直线过样本中心点 ，代入 ，
得 ，解得 ，故D正确.
10．已知棱长为 的正方体 ，点 满足 ， ，点 是
线段 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．点 是底面 上的动点，且 ，则 最大值为
C． 的中点到平面 的距离为D． 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
【答案】BD
【分析】根据向量线性关系计算判定A，以点 为原点， 为 轴正方向建
立空间直角坐标系，设 的坐标，根据垂直关系列方程求出轨迹方程，计算判定B，证明
为平面 的法向量，根据点到平面的距离公式，判断C，应用线面角定义证明
为直线 与平面 所成角，计算得出正弦值范围判定D.
【详解】对于A：当 时， ，
，
，A错误；
对于B： 以点 为原点， 为 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
因为点 是底面 上的动点，故可设 ， ，
所以 ， ，因为 ，所以 ，故 ，
所以点的轨迹为线段 ， 的最大值为 ，B正确；
对于C：因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以向量 为平面 的一个法向量，取线段 的中点 ，则 ， ，
所以点 到平面 的距离 ，
所以 的中点到平面 的距离为 ，C错误；
对于D：因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，
又 时， 取最大值 ，此时 与平面 所成角的正弦值取最小值 ，
当 时， 取最小值 ，此时 与平面 所成角的正弦值取最大值 ，
所以 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，D正确；
故选：BD.
11．已知函数 （ ， ）和 的部分图象如图所示，则
（ ）A． B．
C． 是函数 的一条对称轴 D．当 时，
【答案】BCD
【分析】先根据 及 的解析式可得函数的最值，进而可得 ，再由 的一
个零点可得 ，从而可判断AB，对于C直接根据函数的解析式验证可得，对于D，
先由导函数值可得 ，进而由二倍角公式可得所求函数值.
【详解】由函数 ，得 ，
因为函数 的最小值为 ，函数 的最大值为 ，因此 ，故B正确；
又因为 是函数 的一个零点，所以 ，即 ，
所以 ，得 ，且 ，
所以 ， ， ，故A错误；
对于C，由 ，
所以 是函数 的一条对称轴，故C正确；对于D，若 时， ，得 ，
，所以D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．过点 作圆 的切线，切点分别为 ， ，则直线 的方程为
____________.
【答案】
【分析】根据切线的性质易判断 ， ， ， 四点共圆，且圆心为 中点，半径为
，进而可以求出新的圆的方程，直线 即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方
程的差，代入计算即可.
【详解】由题意知，圆心 为 ，半径 ，点 在圆 外面，
由切线的性质定理可知， ， ，即 ，
所以点 ， 在以 为直径的圆上，即 ， ， ， 四点共圆，且圆心为 中点，半
径 ，设圆心为 ，根据中点坐标公式，则 为 ，半径
，
所以圆 的方程为 ，
因此直线 即为圆 与圆 公共弦 所在的直线，方程为两个圆方程的差，即 ，化简得 ，
所以直线 的方程为 .
13．已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点逆时针旋转 至 ，则点 的横坐标
为________．
【答案】
【详解】设 ，则以 为终边的角为 ，
又 ， ，
所以 ，
所以点 的横坐标为
14．甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得 分，负者得 分，约定一方比另一方多
分或满 局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假
设在每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立，则这
次比赛经过 局结束的概率为_________．
【答案】【详解】若比赛经过 局结束，则甲胜 局负 局，且前 局负 局或乙胜 局负 局，且前
局负 局，又甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立，
所以比赛经过 局结束的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，令 ，是否存在正整数 ，使得 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 为所有不小于 的偶数
【分析】（1）先由 时 求首项，再用 推导通项，最后验证
是否满足该式，得到 。
（2）先根据 的分段定义，将 分为 为偶数、奇数两类，分别写出表达式；再通
过相邻项比值判断单调性，计算关键项的数值，得出仅当 为偶数且 时， ．
【详解】（1）当 时， ，
当 时，
，因为 也满足 ，所以 ．
（2）①当 时， ，
所以 ，
所以当 时， 为递增数列，
又当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故存在正整数 ，使得 ．
②当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 为递减数列，所以 ，
故不存在正整数 ，使得 ．
综上，存在满足条件的正整数 ，其取值为所有不小于 的偶数．
16．（15分）如图1所示，三角形 中， ， ，点 是线段
上的动点，过点 作 的垂线，使 .(1)求 长度的最小值；
(2)沿 将 折起，使得平面 平面 ，如图2所示，点 在何位置时，点
与点 之间的距离最小？并求此时平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)3
(2)答案见解析
【分析】（1）根据向量相等的概念，判断四边形 的性质，进而判定线段长度最小
时的情况，求出结果即可；
（2）根据折叠的几何性质，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，列出方程组，进而求出
两点间距离最小时的情况，再根据面面夹角余弦值的向量方法，求出余弦值.
【详解】（1）
如图所示，连接 交 于 ，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，
则点 为 中点， ，
所以当 时，即 为 中点时， 取得最小值 ，
此时 长度的最小值为 .
（2）如图所示，因为平面 平面 ，平面 上存在一点 ，使 平面 ，
则以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
设 ， ，
即 ，解得 ，得 ，
则 ，
设点 ，可知 ，
即 ，解得 ，即 ，
则 ，
可知 时，即 时， 长度取得最小值；
此时 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
当 时，解得 ，即平面 的一个法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
当 时，解得 ，即平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 .
17．（15分）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，
实轴长为 ，点 到双曲线 的渐近线的距离为1，过 的直线 与 交右支于 ， 两
点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明：存在 轴上的一点 ，使得 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程；（2）设 ， ，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化
，根据该值为定值可求 的坐标；
【详解】（1）解：因为实轴长为 ，故 ，
而点 到双曲线C的渐近线的距离为1，故 ，
故双曲线的方程为： .
（2）证明：设 为半焦距，则 ，故 ，
因为 与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设 ， ，
由 可得 即 ，
故 且 ，
所以 ，又 .
设 ，则 ， ，
故
为定值当且仅当 ，故 ，
故存在 轴上的一点 ，使得 为定值且定值为 .18．（17分）随着生活水平的提高，一些进口水果也成了热销商品.某品牌车厘子大小等级
划分为 、 、 、 、 五个等级，分别对应如下五组质量指标值： ，
， ， ， .从该品牌车厘子中随机抽取1000颗作为样本，
统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)质量指标值越高，车厘子越大、质量越好，若质量指标值低于180的为二级，质量指标
值不低于180的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从样本中随机抽取12颗，再从抽
取的12颗车厘子中随机抽取3颗，记其中一级的颗数为 ，求 的分布列及数学期望；
(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌车厘子的订单“秒杀”抢购活动，每人
只能抢购一个订单，每个订单均由 （ ， ）箱车厘子构成.假设甲、乙两人抢购
成功的概率均为 ，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为 ，抢到车厘子总箱数为
.
①求 的分布列及数学期望；
②当 的数学期望取最大值时，求正整数 的值.
【答案】(1)分布列期望 .
(2)①分布列
期望 ；
②正整数 的值为3.
【分析】（1）通过频率分布直方图确定分层抽样的样本构成，结合超几何分布计算各取值
的概率并列出分布列，再求解数学期望；
（2）①根据二项分布的定义确定 的分布列并计算期望；②利用期望的线性性质将
转化为关于 的函数，结合基本不等式求得最大值对应的正整数 .
【详解】（1）由频率分布直方图，质量指标低于180的二级频率为
，
不低于180的一级频率为 ，故二级与一级的数量比为 .
分层抽样抽取12颗车厘子，得二级品 颗，一级品 颗.
随机抽取3颗，一级颗数 服从超几何分布， 的可能取值为 .
， ，
， .
所以 的分布列为：.
（2）① 甲、乙抢购成功的概率均为 ，两人抢购相互独立，故 ，
的可能取值为 .
，
，
.
的分布列为：
.
② 由 ，得 ，即 .
由基本不等式， ，当且仅当 即 时等号成立，
又 ，故 时 取得最大值.
19．（17分）已知函数 .
(1)设 .（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求 的单调区间.
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)（i） ；（ii） 的单调递增区间为 ；单调递减区间为
.
(2)
【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求切线方程即可；（ii）令 、 即
可求解；
（2）（方法一）根据题意得 ，再令 ，利用导数求出 的
最值即可求解；（方法二）设 ，求导，得到 ，
再解不等式即可．
【详解】（1）函数 ，定义域为 ，
若 ，则 ，
（i） ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（ii）令 ，得 ，所以 的单调递增区间为 ；
令 ，得 ，所以 的单调递减区间为 .
（2）（方法一）若 恒成立，则 ，即 恒成立.
设 ，则 ，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，
则 ，即 ，所以 的取值范围为 .
（方法二）设 ，
则 .
令 ，得 ，
令 ，得 ，
则 ，
得 ．
