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专题7-2 求曲线方程与动点轨迹归类
目录
题型01 定义法求轨迹：动直线圆型...................................................................................................................................1
题型02 定义法求轨迹：椭圆型...........................................................................................................................................3
题型03 定义法求轨迹：双曲线型.......................................................................................................................................5
题型04 定义法求轨迹：抛物线型.......................................................................................................................................7
题型05 直接法：所见即所得型..........................................................................................................................................9
题型06 点带入法：相关点型.............................................................................................................................................11
题型07 交轨法.....................................................................................................................................................................13
题型08 消参型....................................................................................................................................................................15
题型09 空间轨迹：截面型.................................................................................................................................................19
题型10 空间轨迹：双球模式............................................................................................................................................23
题型11 空间轨迹：定角模式............................................................................................................................................27
高考练场.............................................................................................................................................................................. 30
题型01 定义法求轨迹：动直线圆型
【解题攻略】
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所
求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
(1) 若直线含参，参数在x 系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1
(2) 若直线含参，参数在y 的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1
(3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0 与y=-x 平行
【典例1-1】（2024 上·福建泉州高三校考阶段练习）设
，过定点A 的动直线
和过定点B 的
动直线
交于点
，则
的最大值是（ ）
A．5
B．10
C．
D．
【答案】A
【分析】易知动点
的坐标，由已知直线化为点斜式可得动点B 的坐标，由两条直线垂直公式可得两条动
直线互相垂直，结合勾股定理和重要不等式可求得结果.
【详解】容易知道动直线
过定点为
，
由
可得
，所过定点为
，
由
可知两条动直线互相垂直，即
，因为
，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立.故选：A
【典例1-2】（2024 上·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知
，直线：
与
：
的交点
在圆
：
上，则的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
1
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【分析】根据两条直线的位置关系和所过的定点，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】
，所以直线恒过点
，
，所以直线
恒过点
，
由两条直线的方程可以判断直线与直线
互相垂直，
因此点
在以
为直径的圆上，线段
中点为
，
半径为
，
圆
的圆心为
，半径为
，
由已知条件可知点
在圆
：
上，
所以圆
与圆
相交或相切，
，
因此有
，
解得：
，所以则的最大值是
，故选：A
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由两直线方程求出
的坐标，由于两直线垂直，所以
，若设
，则
，
，然后表示出
变形后，利用三角函数的性质可求
得其范围.
【详解】解：由题意可知，动直线
经过定点
，
动直线
，即
，经过点定点
，
动直线
和动直线
的斜率之积为
，始终垂直，
又是两条直线的交点，
，
．设
，则
，
，
由
且
，可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选：B．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
相交于点
不重合），则
面积的最大值是（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点
与定点
，进而
可得
，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】由题意直线
过定点
，
直线
可变为
，所以该直线过定点
，
所以
，又
，所以直线
与直线
互相垂直，
所以
，所以
即
，当且仅当
时
取等号,
2
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所以，
，即
面积的最大值是
.故选：D.
【变式1-3】（2022·四川南充高三 （理））过定点M 的直线
与过定点N 的直线
交于点P，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】C
【分析】根据直线斜截式方程和点斜式方程的特点求出
、
两点坐标，再判断两直线的位置关系，利
用基本不等式进行求解即可.
【详解】解：由
，所以
，
由
，所以
，
因为
，所以这两条直线垂直，即
，
所以三角形
是直角三角形，
因此
，
所以有
，当且仅当
时取等号，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最大值为4，
故选：C.
题型02 定义法求轨迹：椭圆型
【解题攻略】
平面内与两个定点F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的
点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知定圆A 的半径为4，B 是圆A 内一个定点，且
，
P 是圆上任意一点.线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q，当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹是
（ ）
A．面积为
的圆
B．面积为
的圆
C．离心率为
的椭圆D．离心率为
的椭圆
【答案】D
【分析】连接
，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得
，再由椭圆
的定义可得其轨迹.
【详解】连接
，因为线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q，
所以
，
因为
，所以
，
3
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所以点
的轨迹是以
为焦点，4 为长轴长，焦距为2 的椭圆，
所以椭圆的离心率为
，故选：D
【典例1-2】．（2023·江苏高三专题练习）若点
满足方程
，则动
点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解.
【详解】因为动点
满足关系式
，
所以该等式表示点
到两个定点
，
的距离的和为12，
而
，即动点M 的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，
且
，即
，又
，
，
所以动点M 的轨迹方程为
.故选：C.
【变式1-1】（2023 秋高三课时练习）已知动点
满足
（
为大
于零的常数）﹐则动点
的轨迹是（ ）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．直线
【答案】C
【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可得到结果.
【详解】
的几何意义为点
与点
间的距离，
同理
的几何意义为点
与点
间的距离，且
又由
为大于零的常数，可知
，当且仅当
，即
时取等，故
，
即动点
到点
与到点
的距离之和为定值，且大于
，所以动点
的轨迹为椭圆，故选：C.
【变式1-2】（2023·江苏高三专题练习）已知动圆过定点
，并且在定圆B：
的内
部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，动圆
的半径为，由圆与圆的位置关系可得
，判断出
的轨迹为以
为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出
的轨迹方程.
【详解】设动圆圆心为
，动圆
的半径为，则
，
因为动圆
在定圆
：
的内部与其相内切，
4
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所以
,所以
，即
，
因为
，
,所以
，
由椭圆的定义可知：
的轨迹为以
为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以
，
所以动圆圆心
的轨迹方程为
.
故选：A
【变式1-3】（2020 秋·山东淄博高三校考 ）已知图O 的半径为定长r,A 是圆O 内一个定点,P 是圆上任意
一点,线段AP 的垂直平分线和半径OP 相交于点Q,当点P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是（ ）
A．圈
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．双曲线的两支CB
【答案】B
【分析】连接
,因为点Q 在线段AP 的垂直平分线上,所以
,所以
,可得点Q 的轨迹符合椭圆的定义.
【详解】解:连接
,如图所示:
因为点Q 在线段AP 的垂直平分线上,所以
,
所以
,
因为A 是圆O 内一个定点,所以
,
即
,即动点Q 到两定点O、A 的距离和为定值,
根据椭圆的定义,可知点Q 的轨迹是:以O,A 为焦点,OA 为实轴长的椭圆.
故选:B
.
题型03 定义法求轨迹：双曲线型
【解题攻略】
平面内与两个定点F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点
做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
【典例1-1】已知
，
，若曲线
上存在点
满足
，
则
的取值范围是___________.
四川省内江市2022 届高三第三次模拟考试数学（文）试题
【答案】
5
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【分析】曲线
上存在点
满足
，等价于
与以A、B 为
焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解．
【详解】若
，
，且
，
则点
在以A、B 为焦点的双曲线的右支上，且
，
，
∴
，
，∴双曲线方程为
，其渐近线方程为
，
则曲线
上存在点
满足
，
等价于
与双曲线
相交，∴
．故答案为：
．
【典例1-2】（2023 上·四川凉山高三校联考 ）已知点
，
，动点
满足条件
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可判断动点
的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程.
【详解】因为
，
，所以
，动点
满足
，
由双曲线的定义可知，动点
的轨迹是以
，
为焦点的双曲线的左支，
设双曲线方程为
，则有
，
，
，
所以动点
的轨迹方程为
.故选：D.
【变式1-1】（2023 上·北京高三北京市陈经纶中学校考阶段练习）化简方程
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两点间距离公式化简条件，再根据双曲线定义求解即可.
【详解】设
，
，则由已知得
，
即动点P 到两个定点A､B 的距离之差的绝对值等于常数，又
，且
，
所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是以
为焦点，实轴长为的双曲线.
设双曲线方程为：
，则
，所以
，
所以
，所以双曲线方程为
，
即化简方程
的结果是
.
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆
与
轴切于点
，分别过点
6
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作圆
的切线并交于点
(点
不在
轴上)，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】根据圆的切线长定理以及双曲线的定义得点
的轨迹是以
为焦点的双曲线的右支（不含顶
点），再求出
可得双曲线方程.
【详解】设
分别与圆
相切于点
，则
，
，
，
所以
，且
，
所以点
的轨迹是以
为焦点的双曲线的右支(除去与
轴交点)，
这里
，
，
，则
，
故点
的轨迹方程为
.
故选：A
【变式1-3】（2023 上·江苏连云港高三统考 ）方程
可化简为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】移项平方化简可得答案.
【详解】由
得
，
两边平方得
，且
得
，
两边再平方得
，
可化简为
.
故选：D.
题型04 定义法求轨迹：抛物线型
【解题攻略】
平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的
焦点,直线l 叫做抛物线的准线．
【典例1-1】若动点
满足
，则点M 的轨迹是（ ）
7
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A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】D
【分析】根据题意，化简得到
，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，动点
满足
，
即
，
即动点
到定点
的距离等于动点
到定直线
的距离，
又由点
不在直线
上，
根据抛物线的定义，可得动点
的轨迹为以
为焦点，以
的抛物线.
故选：D.
【典例1-2】已知动点
的坐标满足方程
，则动点
的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
【答案】C
【分析】
表示动点
到坐标原点的距离，
表示动点
到
的距离，
再根据抛物线的定义判断即可；
【详解】解 方程
，此式表示的是动点
到定点
与定直线
的
距离相等且定点不在定直线上，
根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是以定点
为焦点，定直线
为准线的一条抛物线．
故选：
．
【变式1-1】.已知动点
的坐标满足
，则动点
的轨迹方程为_____________．
【答案】
【分析】将
转化为动点
到点
的距离，
转化为动点
到直线
的距离，
再根据抛物线的定义，即可求出结果.
【详解】设
直线
，则动点
到点
的距离为
，动点
到直线
的距
离为
，又因为
，
所以动点M 的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线，其轨迹方程为
．
故答案为：
【变式1-2】若动点
满足
，则
点的轨迹应为（ ）
A．椭圆
B．抛物线
C．双曲线
D．圆
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义即可得出.
【详解】动点
满足
，
可知：动点
到定点
与到定直线
距离相等，
其中定点不在定直线上.因此P 点的轨迹应为抛物线.
故选：B.
【变式1-3】.若点
满足
，则动点M 的轨迹是（ ）
8
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A．直线
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义即可得出选项.
【详解】依题意，动点M 到点
的距离等于其到定直线
的距离，
且点
不在直线
上，因此动点M 的轨迹是抛物线.
故选：D
题型05 直接法：所见即所得型
【解题攻略】
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成
含
的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．
（1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．
（2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．
（3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
求解过程：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点P(x , y)
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含x , y的代数式表示，
（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．
【典例1-1】（2024 上·安徽合肥高三合肥一中校考阶段练习）平面上动点
到定点
的距离比点
到
轴的距离大
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】设点
，可得出
，分
、
两种情况讨论，化简可得出点
的轨
迹方程.
【详解】设点
，因为平面上动点
到定点
的距离比点
到
轴的距离大
，
则
，
当
时，则有
，即
，
等式
两边平方整理可得
；
当
时，则有
，即
，
等式
两边平方可得
.
综上所述，点
的轨迹方程为
或
.
故选：D.
9
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【典例1-2】（2024·浙江温州·统考一模）动点
到定点
的距离与
到定直线：
的
距离的比等于
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据距离公式即可化简求解.
【详解】根据题意可得
，平方化简可得
，
进而得
，故选:A
【变式1-1】（2022 上高三课时练习）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若
=2，则点C 的
轨迹为（ ）
A．椭圆B．射线C．圆
D．直线
【答案】C
【分析】建立合适的平面直角坐标系，设
，根据
以及向量数量积的坐
标形式求解出
满足的关系式，即可判断出轨迹形状.
【详解】因为点
是两个定点，不妨设
，
以
所在直线为x 轴，线段
的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，
设
，
，
，所以
，
，
由
得：
，即
，所以点C 的轨迹为圆.
故选：C.
【变式1-2】（2021 上·广东深圳高三统考 ）已知点
，
，动点
满足
，则点
的轨
迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由向量数量积及模长公式,计算即可.
【详解】设
,因为
,所以
又因为
,所以
,
即得
可得点
的轨迹方程为
10
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故选:
.
【变式1-3】（2022 上·上海浦东新高三华师大二附中校考阶段练习）在平面内，
，
是两个定点，
是
动点，若
，则点
的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆C．双曲线
D．抛物线
【答案】A
【分析】设出
、
、
的坐标，利用已知条件，转化求解
的轨迹方程，推出结果即可．
【详解】解：在平面内，
，
是两个定点，
是动点，
不妨设
，
，设
，
所以
，
因为
，
所以
，即
，
所以点
的轨迹为圆．
故选：A．
.
题型06 点带入法：相关点型
【解题攻略】
如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲
线方程），则可以设出P(x , y),用(x , y)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可
得到动点P的轨迹方程.
第一步：设所求轨迹的点
，曲线上的动点
；
第二步：找出
与
的关系，由
表示
，即
；
第三步：
满足已知的曲线方程，将
代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．
【典例1-1】（2022 上·北京高三北京二中校考阶段练习）设
为坐标原点，动点
在椭圆C：
上，过
作
轴的垂线，垂足为
，点
满足
，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标表示，建立等量关系，代入椭圆方程，整理可得答案.
【详解】设
，
，
，则
，
，
由
，则
，解得
，
由点
在椭圆C：
上，则
，即
，
即点
的轨迹方程是
.故选：C.
11
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【典例1-2】（2024 下·江西·高三校联考开学考试）已知面积为的正方形
的顶点
、
分别在
轴
和
轴上滑动，
为坐标原点，
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设点
、
、
，由平面向量的坐标运算可得出
，由正方形的面积
公式可得出
，将
代入等式
整理可得出点
的轨迹方程.
【详解】设点
、
、
，由
，
所以，
，可得
，因为正方形
的面积为
，即
，即
，
整理可得
，因此，动点
的轨迹方程为
.故选：C.
【变式1-1】（2021 上·河南安阳高三安阳市第三十九中学校考 ）已知
，A、B 分别在y 轴和x 轴上
运动，O 为原点，
，则动点P 的轨迹方程是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】B
【分析】设点
，
，
，根据
求得
，再根据
把
代入得到
的等量关系即可．
【详解】解：设
，
，
，则
，
，
，
由
得
，
，
，
，
，把
代入上式化简得
为椭圆．故选：B．
【变式1-2】（2024·全国高三专题练习）当点
在椭圆
上运动时，连接点
与定点
，
12
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则
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，结合中点坐标公式，利用
点坐标表示出
点坐标，代入椭圆方程中即可
求得
点轨迹方程.
【详解】设
，
，
为
中点，
，则
，即
，
又
在椭圆
上，
，即
，
点轨迹方程为：
.故选：D.
【变式1-3】（2023 上·湖南湘潭高三湘潭大学附属实验学校校考 ）已知圆
，直线l 过点
.线段
的端点B 在圆
上运动，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立点
和点
之间的关系式，再利用点
的坐标满足的关系式得到点
的坐标满足的条件，
即可求出.
【详解】设
，
，
由点
是
的中点，得
，可得
，
又点
在圆
上运动，所以
，
将上式代入可得，
，
化简整理得点
的轨迹方程为：
.
故选：B
题型07 交轨法
【解题攻略】
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来
得到轨迹方程,称之交轨法. 该法经常与参数法并用.
13
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1.求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法
2.运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程，关键是参数的
选取，困难是参数的消去．怎么把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程？如何选取参数？怎样消
去参数？
【典例1-1】（2019 上·江西鹰潭高三统考 ）过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
两点，分别
过
作抛物线的切线
，则
的交点
的轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出
A，B 两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B 两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵
坐标为定值﹣2，从而得到两切线焦点的轨迹方程．
【详解】由抛物线x2＝8y 得其焦点坐标为F（0，2）．
设A（
），B（
），直线l：y＝kx+2，联立
，得：x2
8
﹣kx
16
﹣
＝0．
∴x1x2＝﹣16…①．又抛物线方程为：
，求导得
，
∴抛物线过点A 的切线的斜率为
，切线方程为
②
抛物线过点B 的切线的斜率为
，切线方程为
③
由①②③得：y＝﹣2．∴l1与l2的交点P 的轨迹方程是y＝﹣2．故选A．
【典例1-2】（2020 上·辽宁沈阳·高三校联考 ）已知椭圆
，点A，B 分别是它的左，右顶点.
一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P，Q
两点重合于点A 或点B，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，则
，写出直线
和直线
的方程，利用
消去
和
即可得
到结果.
【详解】设
，则
，则
，因为
，
，当
时，
所以直线
的方程为：
直线
的方程为：
，
所以
，又
，所以
，即
，
当
时，
也符合上式，
所以直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是
.故选：B.
【变式1-1】（2021 上·北京高三校考 ）已知定点
是动点且直线
的斜率之积为
，动点
的轨迹不可能是（ ）
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A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
【答案】D
【解析】根据题意设
，进而得
，
，
，再对
分类讨论即可得答案.
【详解】解：设
，则根据题意得
，
，
，
所以
，即
，
，
故当
时，动点
的轨迹方程为双曲线；
当
且
时，动点
的轨迹为椭圆；
当
时，动点
的轨迹为圆.
由于抛物线的标准方程中，
或
的指数必有一个为，
故动点
的轨迹不可能是：抛物线的一部分.
故选：D.
【变式1-2】（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系
中，点
与点
关于原点
对称，
是动点，且直线
与
的斜率之积等于
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意得
，设
，再根据斜率之积化简即可得答案.
【详解】解：由题意得，
，设
，
则
.由
得：
，
整理得
.故选：D.
【变式1-3】．（2023 上·全国高三专题练习）已知在
中，点
，点
，若
，则点C 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
（
）
C．
D．
（
）
【答案】B
【分析】设动点
,由两点间斜率公式及倾斜角的关系,可得
的方程,化简即可得动点C 的轨迹方程,
排除不符合要求的点即可.
【详解】设
由两点间斜率公式可得
由斜率与倾斜角关系,结合
可得
变形可得
当
时,C 与A 或B 重合,不合题意所以点C 的轨迹方程为
（
）
故选:B
题型08 消参型
【解题攻略】
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动
点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等）的制约，即动点坐标(x , y)中的x , y分别随
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另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通
过消参化为轨迹的普通方程F (x , y)=0.
（1）选择坐标系，设动点坐标
；
（2）分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；
（3）建立参数方程；
（4）消去参数得到普通方程；
（5）讨论并判断轨迹．
【典例1-1】（2022 上·河南信阳高三信阳高中校考 ）已知椭圆
，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于
A、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C、D 两点，且AB
CD，两垂线相交于点P，则点P 的轨迹是
（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．圆
D．抛物线
【答案】B
【分析】首先根据
，设出
点坐标，再根据点在椭圆上，代入椭圆方程，求出
点轨迹方程即可.
【详解】由题知
，
故设
，
，
所以
，
又因为
，
，
消去t 可得：
，
可知点
轨迹为双曲线.
故选：B.
【典例1-2】（2020 下·四川成都高三树德中学校考 ）已函数
的两个极值点是
和
，则点
的轨迹是（ ）
A．椭圆弧
B．圆弧
C．双曲线弧
D．抛物线弧
【答案】D
【分析】根据极值点的定义把
用
表示后，消去
得关于
的方程，由方程确定曲线．
【详解】由题意
，所以
是方程
的两根，所以
且
，所以
，
，
所以点
在曲线
上，还要满足
，轨迹为抛物线弧．
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故选:D
【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习）过点
的动直线交圆
于
，
两点，分别过
，
作圆
的切线，如果两切线交于点
，那么点
的轨迹是（ ）
A．直线
B．直线的一部分
C．圆的一部分
D．双曲线的一支
【答案】B
【解析】设
，
，由圆的对称性及直线方程的相关知识可得直线
的方程为
、
直线
的方程为
，联立消去m、n 即可得解.
【详解】圆
的圆心
，半径为2，
设
，
，则
，由圆的对称性可得
即
，
当各直线的斜率均存在时，
的斜率
，切线
的斜率
，
所以直线
的方程为
即
，
又直线
的斜率
，所以直线
的斜率
，
所以直线
的方程为
，
由
可得
，所以
，
又圆心
到直线
的距离
，
所以直线与圆相交，
所以点
的轨迹是直线
在圆外的部分；
当直线
、
、
、
其中一条直线的斜率不存在时，点
依然在该直线上；
所以点
的轨迹是直线的一部分.
故选：B.
【变式1-2】（2023 上·全国高三 ）在矩形
中，
，
，点
，
分别为直线
，
上的动点，
交
于点
.若
（
），则点
的轨迹是（ ）
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线
【答案】C
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【分析】建立直角坐标系，由
，求得
，
，进而得出直
线
的方程，联立求得点
，得出点
的坐标满足的方程，即可求解.
【详解】分别以
和
所在的直线为
，
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
,
因为
，
（
），所以
，
，
所以直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立这两条件直线方程可得点
，
，即点
的坐标满足
，
所以点
的轨迹是以
为对称中心，
，
分别为左右焦点的椭圆，
其中
，
，
.故选C.
【变式1-3】（2022·浙江·高三专题练习）已知
是双曲线
的左右焦点，
为圆
上一动点（纵坐标不为零），直线
分别交两条渐近线于
两点，则线段
中点
的轨迹为（ ）
A．平行直线
B．圆的一部分
C．椭圆的一部分
D．双曲线的一部分
【答案】A
【分析】设
点坐标为
，依题设求线段
中点的坐标可得解.
【详解】设
点坐标为
，渐近线方程为：
，
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直线
：
，直线
：
，
当点
在
上方时，
由
，得
，
同理
，
，
当点
在
下方时，
，
所以线段
中点纵坐标
，所以中点轨迹为平行直线.
故选:A.
题型09 空间轨迹：截面型
【典例1-1】（2023 春·江西抚州高三金溪一中校联考 ）如图所示圆锥，
为母线
的中点，点
为底面
圆心，
为底面圆的直径，且
，
，
的长度成等比数列，一个平面过
，
，与圆锥面相交的
曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】令
，由等比数列性质可得
，进而确定圆锥轴截面
为等腰直角三角形，
并求出椭圆长轴长
的长度，根据圆锥的结构特征找到椭圆短轴长，最后应用椭圆离心率定义求离
心率.
【详解】令
，则
，又
，
，
的长度成等比数列，
所以
，即
，
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由题意，显然
，在直角△
中
，则
，
所以△
为等腰直角三角形，故圆锥轴截面
为等腰直角三角形且
，
所以
，即椭圆长轴长
，则
，
轴截面
如下图示：该椭圆的短轴与圆锥底面平行，过
作
交
于
，交
于
，则
，
为
中点，所以
为
中点，即
为椭圆中心，
过
作
交
于
，
综上，有△
△
均为等腰直角三角形，故
，则
，
同理△
△
，故
，则
，
所以
，即
，
综上，椭圆离心率为
.
故答案为：
【典例1-2】（2023 春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）如图所示，（直径为
的球放地面上，球上
方有一点光源
，则球在地面上的投影为以球与地面切点
为一个焦点的椭圆，已知是
椭圆的长轴，
垂直于地面且与球相切，
，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】作出球
的一个截面，圆
分别与
、
相切于点
、
，求出
、的值，即可得出椭圆
的离心率的值.
【详解】如图，是球
的一个截面，圆
分别与
、
相切于点
、
，
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因为
，球的半径为
，所以
，
，
所以
，
所以
，
因为
是椭圆的长轴长，所以
，所以
，
根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知，
球
与
相切的切点
为椭圆的一个焦点，
所以
，所以
，
所以离心率
．
故答案为：
.
【变式1-1】（2023·上海高三专题练习）已知圆柱底面半径为2，一个与底面成45°角的平面截这个圆柱，
则截面上的椭圆离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意作出图像，结合图像和椭圆的性质，求得
的值，利用离心率的定义，即可求解.
【详解】如图所示，圆柱的底面直径为
，所以椭圆的短轴长
，即
，
又因为椭圆所在的平面与圆柱底面所成的角为
，
所以
，解得
，则
，
所以椭圆的离心率为
.
故答案为：
【变式1-2】如图，已知水平地面上有一半径为3 的球，球心为
，在平行光线的照射下，其投影的边缘
轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，
．若光线与地面所成角为
，椭圆的
离心率
__________．
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【答案】
【分析】
根据平行投影计算出椭圆C 的短半轴长b，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C 的长轴
长2a 而得解.
【详解】
连接
，则
，因为
，如图：
所以
，所以
在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是球的半径R，即
，
过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：
椭圆的长轴长
是
，过A 向
做垂线，垂足是B，则
，
由题意得：
，又
，
则
，
，即
，
所以椭圆的离心率为
.故答案为：
【变式1-3】1822 年，比利时数学家 Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，
可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在
生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的
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圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占
正上方有一个点光源，将小球放置在地面，
使得
与小球相切．若
，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设
，从而可得
，
，
，利用勾股定理可得
，再由离心率的定义
即可求解.
【详解】
在
中，设
，
，
，
，
，
， ∴长轴长
，
，
则离心率
.
故选：A
题型10 空间轨迹：双球模式
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人
从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非
常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分
别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球
和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C 的产生方法可知，它们
之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F 为焦点的椭圆．
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如图②，一个半径为2 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知
是椭圆的长轴，
垂直于桌面且与球相切，
，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一
个焦点，求出
，得出离心率.
【详解】
切
于
,切
于E，
，球半径为2，所以
，
，
，
中，
，
，故
,
,
根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O 与
相切的切点
为椭圆的一个焦点，且
，
,c=4，
椭圆的离心率为
.故答案为：
【点睛】本题要求有一定的空间图形辨别能力，能从整体上认识图形，并且对圆锥曲线的来源有一定的认
识，借助平面图形来求解.
【典例1-2】（2023·湖北·校联考模拟预测）在圆锥内放入两个大小不等的外离的球
与球
，半径分别
为和
，且
，使得它们与圆锥侧面和截面相切，两个球分别与截面相切于点
，
，在截口上任
取一点
，又过点
作圆锥的母线，分别与两个球相切于点
，则可知线段
的长度之和为常数.
若圆锥轴截面为等边三角形，则截口曲线的离心率是 .
【答案】
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【分析】取两球与圆锥同一母线上的切点
，连接
，连接
交
于点
，则有
，
，
，从而得点
的轨迹是以点
为焦点的椭圆，且
，
，再由离心率的计算公式求解即可.
【详解】解：如图所示：
取两球与圆锥同一母线上的切点
，连接
，连接
交
于点
，
因为圆锥轴截面为等边三角形，所以
，
所以
，
，
，
，
所以
，
由题意可得
，所以
,
所以点
的轨迹是以点
为焦点的椭圆，且
，
又
，所以
,
又
，所以
，
所以
，
，
所以
，即有
，
所以离心率
.
故答案为：
【变式1-1】（2023 秋·四川乐山高三统考 ）比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相
切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是
椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为
，底面半径为的圆柱体内放两个球，球与圆柱
底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离
心率为 .
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【答案】
/
【分析】作出圆柱的轴截面，根据已知给出的条件以及直角三角形的性质求出
的值，而椭圆的短轴长即
为圆柱的底面的直径，进而可以求出的值，从而可以求解.
【详解】设椭圆的长轴长为
，短轴长为
，焦距为
，如图所示：
作出圆柱的轴截面，切点为
、
，延长
与圆柱面相交于
、
，
过点
在平面
内作
，
在直角三角形
中，
，
，所以
，
因为
，所以，
，
所以，
，所以
，
由平面与圆柱所截可知椭圆的短轴即为圆柱底面直径的长，即
，则
，
则
，所以，椭圆的离心率为
，
故答案为：
.
【变式1-2】（2023 秋·四川乐山高三统考 ）比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相
切的球，使得它们分别与圆锥的侧面､底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是
椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点）.如图，圆锥的锥角为
，斜截面与圆锥轴所成角为
，
则椭圆的离心率为 .
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【答案】
【分析】设两个球的半径分别为
，已知圆锥母线与轴的夹角为
，截面与轴的夹角为
，利用已知
条件和几何关确定
的关系，结合椭圆的性质，即可得出椭圆离心率．
【详解】如图，
上面球心为
，下面的球心为
，设两个球的半径分别为
和
，
由于圆锥的锥角为
，则球心距离
，
截面分别与球
，球
相切于点
，
，
是截面椭圆的焦点），
如图，圆锥面与其内切球
、
分别相切与
，
，
连接
，
，则
，
，连接
，
，
交
于点
，截面与圆锥的母线交
．
由于圆锥的锥角为
，所以圆锥母线与轴的夹角为
，斜截面与圆锥轴所成角为
，
则
，
，
所以
，
则椭圆的长轴长
，焦距
，
又
，
，
，
，
，
则
，所以
，
所以
，
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则椭圆的离心率
．
.
题型11 空间轨迹：定角模式
【典例1-1】（2022 春·福建龙岩高三福建省长汀县第一中学校考阶段练习）如图，斜线段
与平面所
成的角为
，
为斜足．平面上的动点
满足
，则点
的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
【答案】B
【分析】首先建立空间直角坐标系，设
，则点
的轨迹是椭圆．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
设
所以点
的轨迹是椭圆．
故选：B.
【典例1-2】（2021 春·浙江湖州高三浙江省德清县第三中学校考开学考试）如图，在棱长为1 的正方体
中，点M 是底面正方形
的中心，点P 是底面
所在平面内的一个动点，且满
足
，则动点P 的轨迹为（ ）
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A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．椭圆
【答案】D
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量
，
，代入
化简整理
为
的形式，即可通过判别式判断轨迹.
【详解】在点D 处建立如图所示直角坐标系，
正方体的棱长为1，则
，
，设点
，
，
，
，
，
化简得
，
等式两边同时平方可得
，
，
上式表示椭圆，即点P 的轨迹方程为椭圆.
故选：D
【变式1-1】（2019 秋·浙江高三校联考 ）斜线段PA 与平面M 成α 角，斜足为A，动直线PB 与直线PA 成
β（β＜α）角，交平面M 于点B，动点B 的轨迹图形为（ ）
29
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A．一条直线
B．一个圆
C．一个半圆
D．一个椭圆
【答案】D
【分析】由圆锥曲线与圆锥面的关系可得．
【详解】由于
，因此
运动后可形成以
为对称轴的圆锥侧面，而平面
与轴
不垂直不平
行，又与母线不平行，因此平面
与此圆锥侧面的交线是椭圆．
故选D．
【变式1-2】（2017 秋·江西吉安高三阶段练习）如图，斜线段
与平面
所成的角为60°，
为斜足，平
面
上的动点
满足
，则点
的轨迹是（ ）
A．圆
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线的一支
【答案】C
【分析】首先建立空间直角坐标系，再设
，得
的坐标，进而得到
，再利用
与空间向量的数量积，可得到
，即可判断点
的轨迹是椭圆.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设
，
易得
，
则
，又因为
，
所以
，
，整理得
，
所以点
的轨迹是椭圆.
故选：C.
高考练场
1.（2021·湖南·益阳平高学校高二 ）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的最大值（ ）33
A．
B．
C．3
D．6
【答案】D
30
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【分析】根据动直线方程求出定点
的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得
，
最后由基本不等式
即可求解.
【详解】解：由题意，动直线
过定点
，
直线
可化为
，令
，可得
，
又
，所以两动直线互相垂直，且交点为
，所以
，因为
，
所以
，当且仅当
时取等号.故选：D.
2.（2023·江苏高三专题练习）在
中，已知
，若
，且满足
，
则顶点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用正弦定理化角为边，从而可得
，再结合题意可得点
的轨迹是以
为焦点的椭圆的左半部分，即可得解.
【详解】解：在
中，因为
，所以
，又
，则
，
所以
，即
，由于
，所以点
的轨迹是以
为焦点的椭圆的左
半部分，
由
，所以顶点
的轨迹方程是
.故选：A.
3.（2022 上·江苏盐城高三盐城中学校考 ）已知
是圆
上的一动点，点
，线段
的垂直平分线交直线
于点
，则
点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意有
，从而有
，根据双曲线的定义得点
的轨迹为是以
F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.
【详解】如图所示：
31
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∵
是圆
上一动点，点
的坐标为
，线段
的垂直平分线交直线
于点
，
∴
，
，
∵
是圆
上一动点，∴
，∴
，∴
，
，
，∴点
的轨
迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且
，
，得
，∴点
的轨迹方程为
.故选：C.
4.已知实数x，y 满足
，其中常数
，则动点
的轨迹是（ ）
A．射线
B．直线
C．抛物线
D．椭圆
【答案】C
【分析】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.
【详解】因为
表示动点
到定点
的距离与
到定直线l：
的距离相等，且点F 不在直线l 上，所以由抛物线的定义知动点
的轨迹为抛物线．故A，B，D 错
误.
5.（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，若定点
与动点
满足向量
在向量
上的投影为
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平面向量投影的定义结合平面向量数量积的坐标运算可得出点
的轨迹方程.
【
详
解
】
由
已
知
可
得
，
向
量
在
向
量
上
的
投
影
为
，整理可得
.
因此，点
的轨迹方程为
.故选：C.
6.（2023·全国高三专题练习）已知面积为16 的正方形ABCD 的顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为
坐标原点，
，则动点P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用相关点法即可求得动点P 的轨迹方程.
【详解】设
，不妨令
，
正方形ABCD 的面积为16，则
，则
，
32
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由
，可得
，即
，则
，整理得
故选：B
7.（2023 下·上海普陀高三上海市晋元高级中学校考 ）在直角坐标平面内，点
的坐标分别为
，则满足
为非零常数）的点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
,由于直线
的倾斜角为
,直线
的倾斜角的补角为
,利用直线斜率公式可
将
转化为
,化简整理即可
【详解】由题,设
,
因为
,
因为直线
的倾斜角为
,直线
的倾斜角的补角为
,
所以
,化简可得
故选：C
8.（2022 高三课时练习）已知
，
，当
时，线段
的中点轨迹方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
中点坐标为
，整理得到
，即可求解．
【详解】解：
中点坐标为
，
即
，
，
，
，
．
故选：B
33
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9.如图，平面
，D 为AB 的中点，
，
，P 为
内的动点，且P 到直线CD 的距
离为
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意推出到直线的距离为
的
的轨迹是圆柱，得到平面
的图形是椭圆，然后可得到
的最大值，进而可得到
的最小值.
【详解】解：空间中到直线CD 的距离为
的点构成一个圆柱面，它和面
相交得一椭圆，所以P 在
内
的轨迹为一个椭圆，D 为椭圆的中心，
所以
，则
，于是
为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取
得最大，故为60°.
所以
的最小值为
，
故答案为：
.
10.（2022 秋·广东广州高三校联考 ）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口
曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球
，球
的半径分别为4 和2，球心距离
，截面分别与球
，球
相切于点
（
是截
口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 .
【答案】
【分析】根据已知条件求得
，从而求得椭圆的离心率.
【详解】设
，
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由
，解得
，
所以
，
所以
，
设直线
与圆锥的母线相交于点
， 圆锥的母线与球相切于
两点，如图所示，
则
，
两式相加得
，即
，
过
作
，垂直为
，
则四边形
为矩形，所以
，
，
所以椭圆的离心率为
.
故答案为：
11.长方体
中，
，
，
，
为该长方体侧面
内(含边界)的动点，
且满足
，则四棱锥
体积的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先可以绘出长方体
的图像，然后根据
得出
，根据椭圆定义即可得出点
的轨迹，然后构建直角坐标系并绘出椭圆图像，结合图像即
可求出
以及
，最后通过棱锥的体积计算公式即可得出结果.
【详解】如图，绘出长方体
，
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