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【第28讲：平面向量的数量积及平面向量的应用】
【新高考课标要求】
1. 理解数量积的含义与物理意义：明确平面向量数量积是两个非零向量的模与它们夹角余弦值的乘积，
即 ，并了解其在物理等领域中的应用背景。
2. 了解数量积与投影向量的关系：知道向量 在向量 上的投影向量与数量积之间的联系，理解数量积
可以表示为一个向量的模与另一个向量在其方向上投影向量长度的乘积。
3. 掌握数量积的坐标运算：掌握数量积的坐标表达式 （设 ， ），
能熟练运用该公式进行平面向量数量积的运算。
4. 运用数量积解决向量夹角与垂直问题：能运用数量积公式 表示两个向量的夹角，会通过
判断两个平面向量的垂直关系，即若 ， ，则 。
5. 用向量方法解决平面几何问题：会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题，如利用向量判断线段
的平行、垂直关系，计算线段长度、角度等，将几何问题转化为向量运算问题。
6. 用向量方法解决实际问题：能够运用向量知识解决简单的力学问题与其他一些实际问题，例如力的合
成与分解、物体的运动状态分析等，体现向量的工具性作用。
【知识梳理】
平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则数量 叫做 与 的数量积，记作
，即 ，规定零向量与任一向量的数量积为 。
几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上的投影 的乘积，也等于 的长度
与 在 方向上的投影 的乘积。
性质：设 、 为非零向量， 是单位向量， 为 与 的夹角，则有 ；
；当 与 同向时， ，当 与 反向时， ，且 ；
，当且仅当 与 共线时等号成立； 。
运 算 律 ： 交 换 律 ； 数 乘 结 合 律 ； 分 配 律
。注意数量积不满足结合律，即 ，这是因为 是一个
与 共线的向量， 是一个与 共线的向量，而 与 不一定共线 。
坐标运算：已知非零向量 ， ，则 ，且 ，
， 。
常用结论
1. 与单位向量相关：单位向量有无数个，它们大小都为 ，但方向不一定相同；与向量 平行的单位向量
有两个，即向量 和 。2. 极化恒等式：
平 行 四 边 形 形 式 ： 若 在 平 行 四 边 形 中 ， ， ， 则
，也等于以这组向量为邻边的平行四边形
的“和对角线”与“差对角线”平方差的 。
三角形形式：在 中， 为 的中点， ， ，则 。
3. 向量模长的常用处理方式：
公式法：利用 及 ，把向量模的运算转化为数量积的运算。
坐标法：若 ，则 。
4. 向量夹角相关结论：设 ， 为非零向量，其夹角为 。
数量积大于 说明不共线的两向量的夹角为锐角（当 与 共线同向时，数量积也大于 ）；数量
积等于 说明不共线的两向量的夹角为直角；数量积小于 说明不共线的两向量的夹角为钝角（当 与
共线反向时，数量积也小于 ）。
若 ， ，则 。
5. 向量垂直的充要条件：对于非零向量 ， ， ，若用坐标表示，当 ，
时， 。但要注意数量积的运算 是对非零向量而言
的，若 ，虽然有 ，但不能说 。
6. 向量数量积与向量投影：向量 在向量 方向上的投影向量为 ，投影数量为
，当 为锐角时，投影数量是正数；当 为钝角时，投影数量是负数；当 为直角时，投影数量是 。
微点提醒
1. 向量夹角范围：向量夹角 的范围是 ，特别注意当两向量共线同向时，夹角 ；共线反向时，
夹角 。在利用向量夹角相关结论解题时，需准确判断夹角的情况。
2. 数量积运算注意事项：
进行数量积运算时，要注意向量夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补，避免出现错
误。例如在三角形中，两向量的夹角可能与三角形内角并不直接相等。
数 量 积 运 算 不 满 足 消 去 律 ， 即 由 不 能 必 然 推 出 。 这 是 因 为
，此时有可能 。
等式两边不能随意约去一个向量，即若向量 、 、 满足 ，则不一定有 。
3. 解决几何图形中向量问题：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运
算或数量积的运算律化简后再运算。通常先建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元
素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；最后把运算结果“翻
译”成几何关系 。
4. 向量在物理中的应用注意：在将向量知识应用于物理问题（如力的合成与分解、速度的合成与分解
等）时，要准确分析物理情境，明确各向量之间的关系，注意向量的方向与物理量方向的对应，以及大小
的对应关系。平面向量的应用
平面几何中的应用：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性
质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来。用向量方法解决平面几何
问题的“三部曲”为：
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题。
把运算结果“翻译”成几何关系。
物理中的应用：速度、力是向量，都可以转化为向量问题，力的合成与分解符合平行四边形法则。例
如，两个人共提一个行李包，可通过向量运算分析拉力与夹角的关系；物体在多个力作用下的运动，可利
用向量求合力等。
【课前自测】【真题感悟】
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 ，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由 得 ，结合 ，得 ，由此即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，从而 .
故选：B.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，
C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
，或 然后结合三角函数的性质即可确定 的最大
值.
【详解】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，
则：，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
，
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
二、填空题
6．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量 若 ，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得 ，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ，因为 ，则 ，
则 ，解得 .
则 ，则 .
故答案为： .
7．（2024·天津·高考真题）已知正方形 的边长为1， 若 ，其中 为实
数，则 ；设 是线段 上的动点， 为线段 的中点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以 为基底向量，根据向量的线性运算求 ，即可得 ，设 ，求
，结合数量积的运算律求 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求 ，即
可得 ，设 ，求 ，结合数量积的坐标运算求 的最小值.【详解】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
8．（2025·天津·高考真题） 中，D为AB边中点， ，则 （用 ，
表示），若 ， ，则
【答案】 ；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为 ，所以 ，所以 ．
因为D为线段 的中点，所以 ；
又因为 ，所以 ，
，所以
所以 ，
所以．
故答案为： ； .
题型分类 知识讲解与常考题型
【考点一：平面向量的数量积计算】
【例题】1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知 ， ， 与 夹角的大小为 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的定义求两个向量的数量积.
【详解】因为 .
故选：B
2．（2025·广西柳州·模拟预测）已知 与 的夹角 ，则 .
【答案】6
【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】由 与 的夹角 ，
则 .
故答案为：6.
【针对训练】3．（2025·湖北·模拟预测）已知 是边长为1的正三角形，点 在 上且
， 是 上一点且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性定理将 求出来，然后利用向量的数量积公式求出 的值.【详解】∵ ，∴ ，∴ 三点共线，
∴ ，
∴ ，∴ ．∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．（2025·河北·模拟预测）若 ， ， ，则 （ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【分析】令 ， ，得 ，由平面向量数量积运算律即可即可.
【详解】令 ， ，则 ，
.
故选：B.
5．（2025·甘肃金昌·三模）设 为坐标原点，圆 与 轴相切于点 ，直线
交圆 于 两点，其中点 在第二象限，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出弦长 后根据数量积的定义可求 .【详解】（图片优化老师注意：图中BC倾斜角30度，需调整）优化完后请删除此段提醒
由题意，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为圆 与 轴相切于点 ，所以 ，故 ，
而 到直线 的距离为 ，
所以 ，而直线 斜率为 ，
故直线 的倾斜角为 ，故 ，
则 .
故选：B.
【解题策略】
一、核心解题方法与适用场景
1. 定义法
适用条件：已知两向量模长（或可通过几何关系推导模长）、两向量夹角（或可通过图形特征确定夹角），
直接关联数量积与“模长×夹角余弦值”的核心关系。
核心逻辑：先明确向量模长与夹角（注意夹角范围为 ），再代入公式 计算，无需
额外转化，适用于条件直接的基础计算场景。
2. 坐标法
适用条件：题目涉及几何图形（如矩形、直角三角形、含坐标点的图形），或可通过构造直角坐标系（如
以直角顶点、对称中心为原点）将向量转化为坐标形式。
核心逻辑：通过建系将向量坐标化，利用坐标公式 （ ， ）计算，
将几何问题转化为代数运算，适用范围最广，尤其适合复杂图形场景。
3. 极化恒等式法
适用条件：题目含“中点”“中线”元素，或涉及平行四边形、三角形的对称结构，需规避复杂模长与夹
角推导，快速关联向量数量积与线段长度。
核心逻辑：利用图形对称性，选择对应公式简化计算——三角形中（ 为 中点）用
，平行四边形中用 ，直接通过线段长度求数量积。4. 转化法
适用条件：题目给出多向量线性关系（如 ），或含向量垂直、共线等特殊关系，需通过运算
律化简后计算。
核心逻辑：利用数量积运算律展开化简——通过分配律拆解复合向量，结合“自身数量积等于模长平方”
（ ）、“垂直向量数量积为0”（ ）等性质，将未知数量积转化为已知条件
可代入的形式。
二、高考高频易错点规避
1. 夹角判断误区：向量夹角需满足“起点重合”，不可直接等同于几何图形内角，若向量方向相反（如
与 ），需取内角补角计算，避免角度符号错误。
2. 零向量遗漏：未明确“非零向量”时，需考虑 或 的情况（此时 ），防止漏解；同
时注意数量积为0时，向量可能垂直或含零向量，不可直接判定垂直。
3. 建系规范问题：构造坐标系时，优先选择直角顶点、对称点为原点，确保坐标轴与图形边平行/垂直，
避免坐标计算中因建系不规范导致的数值偏差；无直角时可通过“作高”构造直角条件。
三、通用解题步骤（四步流程）
1. 条件分析：快速识别题目关键信息——是否有模长/夹角（匹配定义法）、是否含可建系图形（匹配坐
标法）、是否有中点/对称结构（匹配极化恒等式）、是否有线性关系（匹配转化法）。
2. 方法选择：优先用坐标法（适配多数场景），再根据条件特征灵活切换——基础条件用定义法，中
点/对称场景用极化恒等式，线性关系用转化法，避免方法冗余。
3. 计算执行：代入对应公式时，重点关注符号细节（如钝角的 为负、第三象限坐标的正负性），展
开运算律时确保分配完整，不遗漏项或符号错误。
4. 结果验证：结合数量积几何意义验证——正数说明夹角为锐角或同向，负数说明钝角或反向，零说明
垂直或含零向量，通过逻辑判断排除计算失误。
【考点二：向量数量积的性质及其应用】
【角度1：夹角和垂直】
【例题】1．（2025·甘肃白银·二模）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
2．（2025·海南海口·模拟预测）已知向量 ， 的模长相等， 与 的夹角为 ，若 ，则 与
的夹角为 ．【答案】
【分析】设 ，先将 整理成 ，两边取平方，推得 ，再由
整理成 ，两边取平方，利用向量数量积的定义求出 即得答案.
【详解】由 可得 ，两边取平方， ，
设 ，则 ，即 ，
再由 可得 ，两边取平方， ，
即 ，解得 ，
因 ，则 .
故答案为： .
【针对训练】1．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知非零向量 与 不共线，且满足 ， 与
的夹角为 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设向量 与向量 的夹角为 ，设 ，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可
求得答案.
【详解】设向量 与向量 的夹角为 ， ,
设 ，则 ，
则 ，
与 的夹角为 ，所以 ，
则 ，即 ，可得 ,解得 （舍）或 ，
则 ．
故选：A．
2．（2025·云南·模拟预测）已知非零向量 ， 满足 与 夹角的余弦值为 ，若 ，
则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，由向量垂直得数量积为0即可列方程求解.
【详解】设 ，
因为 与 夹角的余弦值为 ，且 ，
所以 ，即 ，解得 .
故选：A.
3．（2025·甘肃金昌·三模）已知向量 ，其中 ， 为单位向量，且 ，则
.
【答案】 /
【分析】求出 后由夹角公式可求余弦值.
【详解】 ，同理 ，
，
故 ，
故答案为： .【角度2：平面向量的模】
【例题】1．（2025·广西·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则
．
【答案】
【分析】由 两边平方，结合数量积的性质及条件可求 ，再由 结合数量积性
质求结论.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： .
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知 ， 是单位向量，且 ，若向量 满足 ，
则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】设 ， ， ，利用 得到 ，转
化为圆心到原点的距离加上圆的半径可得答案.
【详解】因为 ， 是单位向量，且 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
设 ， ， ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
化简得 ，配方得 ，
表示以 为圆心， 为半径的圆，
圆心 到原点的距为 ，
则 的最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，即为 .
故选：B.
【针对训练】1．（2025·河北·模拟预测）若平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】移项得 ，再同平方即可得到 ，再计算 即可.
【详解】由 可得 ，即 ， ，
代入 ， ，可得 ， ，故 .
故选：C.
【多选题】2．（2025·陕西宝鸡·二模）已知向量 ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 与 的夹角是 ，则
D．若 与 的方向相反，则 在 上的投影向量坐标是
【答案】ABC
【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB，利用向量数量积的运算律判断C，利用投影向量的定
义判断D.
【详解】因为向量 ，
若 ，则 ，解得 ，A说法正确；
若 ，则 ，解得 ，B说法正确；
若 与 的夹角是 ，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，C说法正确；
若 与 的方向相反，所以 ，
所以 在 上的投影向量为 ，D说法错误；
故选：ABC
3．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知 满足 ，若 在 方向上的投影向量为 ，
则 ．
【答案】
【分析】利用投影向量的定义求出 ，再利用数量积的运算律求解.
【详解】由 在 方向上的投影向量为 ，得 ，则 ，而 ，
于是 ，所以 .故答案为：
【解题策略】
一、向量数量积的核心性质梳理
1. 与模长相关的性质：对任意向量 ， （即 ）；对任意两向量 ， ，
（当且仅当 与 共线时等号成立）。
2. 与夹角相关的性质：设 ， 为非零向量，夹角为 （ ），则 ；且
（ 与 同向时 ）， （ ），
（ 与 反向时 ）。
3. 与投影相关的性质：向量 在 方向上的投影数量为 ，投影向量为 ；数量积
等于 与 在 方向上投影数量的乘积，或 与 在 方向上投影数量的乘积。
4. 与特殊向量相关的性质：若 为单位向量，则 （ 为 与 的夹角）；零向量与任意向
量的数量积为 ，即 。
二、各性质的应用思路（结合高考与模拟题场景）
1. 与模长相关性质的应用：求向量模长、最值
应用场景：题目要求计算向量模长（如 ），或求与模长相关的最值（如 的最小值），常
结合向量线性关系或已知数量积条件。
解题思路：
求模长：利用 ，将所求模长平方后转化为数量积运算，即 。若为复合向量
（如 ），则展开为 ，代入已知条件计算后开方。
求最值：将模长表达式转化为关于某一变量（如向量夹角、参数）的函数，结合 确定
取值范围，进而求最值。
高考与模拟题适配重点：新高考中常结合“向量线性组合”考查，如已知 ， ， ，求
；或结合三角函数求最值，如已知 ， 夹角为 ，求 的最大值。
2. 与夹角相关性质的应用：判断夹角类型、求夹角大小
应用场景：题目要求判断两向量夹角是锐角、直角还是钝角，或直接计算两向量夹角的余弦值、角度，常
给出向量坐标或模长与数量积条件。
解题思路：
判断夹角类型：先排除零向量情况（若未明确非零，需先说明），再根据 的符号判断——
且 与 不共线（避免同向时误判为锐角），则夹角为锐角； ，则夹角为直角；
且 与 不共线（避免反向时误判为钝角），则夹角为钝角。
求夹角大小：先确定 ， 为非零向量，计算 ， 与 ，代入 ，结合确定角度（特殊角直接对应，非特殊角保留余弦值或用反三角函数表示）。
高考与模拟题适配重点：高频考查“坐标型向量夹角计算”（如已知 ， ，求夹角），
或“结合几何图形判断夹角”（如在三角形中，判断 与 的夹角类型）。
3. 与投影相关性质的应用：求投影数量、关联几何长度
应用场景：题目要求计算某向量在另一向量方向上的投影数量，或利用投影与数量积的关系求几何图形中
的线段长度（如三角形的高），常出现在几何背景题中。
解题思路：
求投影数量：明确投影方向（如 在 方向上的投影），直接代入公式 ，若已知向量坐标，可先
计算数量积与 再求解。
关联几何长度：将几何中的“线段投影长度”转化为向量投影，如三角形中， 边上的高可表示为
在 方向上投影数量的绝对值，结合面积公式关联计算。
高考与模拟题适配重点：模拟题中常结合“三角形高、平行四边形高”考查，高考题中偶见与“物理做
功”结合（功是力与位移的数量积，本质是力在位移方向上的投影与位移大小的乘积）。
4. 与特殊向量相关性质的应用：单位向量运算、零向量特殊处理
应用场景：题目涉及单位向量（如求与某向量平行的单位向量），或需利用零向量数量积为 的性质解题
（如已知 ，判断 与 的关系）。
解题思路：
单位向量运算：与 平行的单位向量为 （ ），计算时先求 ，再分同向、反向两种情况；
涉及单位向量数量积时，利用 简化运算。
零向量处理：若题目未明确“非零向量”，需考虑 或 的情况（此时 ）；若已知
，变形为 ，需分 或 两种情况讨论，避免漏解。
高考与模拟题适配重点：常以“多选题选项”形式考查，如判断“与 平行的单位向量有两个”
“若 ，则 ”等表述的正误。
三、应用中的核心注意事项
1. 符号把控：计算数量积、投影数量时，需关注向量夹角的余弦值符号（钝角为负、锐角为正），以及
向量坐标的正负（如第三象限向量坐标均为负，数量积可能为正），避免符号错误导致结果偏差。
2. 共线排除：判断锐角、钝角时，必须排除两向量共线的情况（同向时 ，反向时
），否则会将“同向”误判为锐角、“反向”误判为钝角。
3. 几何关联：结合几何图形应用时，需先将几何元素（如边、角）转化为向量，明确向量的起点、方向
（如 与 方向相反，数量积为负），再关联对应性质解题，避免几何关系与向量关系混淆。
四、通用解题流程
1. 性质匹配：分析题目条件（模长、数量积、坐标、几何图形），确定适配的数量积性质（如求模长匹
配“模长相关性质”，求夹角匹配“夹角相关性质”）；
2. 条件转化：将已知条件转化为性质所需的关键量（如求夹角需转化出 ， ， ），若为几何题，
先建立向量与几何元素的对应关系；
3. 代入运算：根据性质公式代入计算，注意符号、共线等特殊情况的处理；
4. 结果验证：结合性质的几何意义或代数逻辑验证结果（如夹角余弦值绝对值不超过 1，模长为非负数），排除错误。
【考点3：平面向量的综合应用】
【例题】1．（2025·广西·模拟预测）已知向量 ， ，设函
数 ．
(1)化简 并写出 的最小正周期；
(2)在 中，角 对的边分别为 ，若 ， ， 的面积为 ， 是线段
的中点，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标表示结合诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简 ，再根据三角函
数的周期公式求最小正周期即可；
（2）由 求出 ，由三角形面积公式和余弦定理求出 和 ，再根据 是线段 的中点可得
，利用数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）由题意可得
，
故最小正周期为 ．
（2）因为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，由余弦定理 即 ，解得 ，
又因为 是线段 的中点，所以 ，
得 ，
故 ．
2．（2025·宁夏中卫·三模）已知 ， ， .
(1)求函数 单调递增区间；
(2)设 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 且 .求 面积的最大值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】 通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单
调性，整体代换计算即可.
利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值.
【详解】（1）首先，根据题意，可得到：
，
，
，
令 ， ，得： ，
即： ，
所以 的单调递增区间为 ， .
（2）由 ，得 ，
，解得： ， ，
可得 ，由于 ，所以 ；
利用余弦定理可得， ，
，
由不等式 ，得：
，
，当且仅当“ ”时取“=”，
所以 .
的面积 ，
当 取最大值 3 时，面积最大， .
【针对训练】1．（2025·天津·二模）在 中，点D在边BC上，且 ，E为线段AD的中点.
已知 ， ，则 （用 ， 表示）；若 ， ，且 ，则
.
【答案】 /
【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可用基底表示 ，首先用基底表示 ，再利用数量积
公式，求 ，即可求解.
【详解】由条件可知，,
所以 ；
由 ，得 ，
得 ，
所以 ，
得 ，且 ， ，
所以 ，
得 , ,所以 .
故答案为：
2．（2025·天津·一模）如图，在平行四边形 中， ，点E为 中点，
，点F为边 上的点．若点F满足 ，且 ，则 ；若
点F为线段 上的动点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意得 ，从而 ；对于第二问，设 ，
首先分解 ，然后由数量积的运算律转换成关于 的二次函数在闭区间上的值域即可求解.
【详解】由题意所以 ，
设 ，
，
，
，
，
设 ，对称轴是 ，
故 单调递增，
从而当点F为线段 上的动点时， 的取值范围为 .
故答案为： ； .
3．（24-25高一下·天津西青·期中）在 中， ， ， ， 分别为边 ， 的中点，
若点 在线段 上，且 ， ，则 .若 ，点 为线段
上的动点，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理解决第一空，建立平面直角坐标系，设 ，
，表示出 点坐标，再由坐标法求数量积，最后由二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意
，又 ，且 、 不共线，所以 ，所以 ；
如图建立平面直角坐标系，则 ， ，所以 ， ，
所以 ，
因为点 为线段 上的动点，所以设 ， ，
则 ，则 ，
所以 ， ，
所以
，
所以当 时 取得最小值，最小值为 ；
故答案为： ；
【解题策略】
一、平面向量在平面几何中的综合应用
核心逻辑：利用向量的线性运算与数量积，将平面几何中的“位置关系”（平行、垂直）和“数量关系”
（长度、角度、面积）转化为向量运算，实现几何问题代数化求解。
1. 证明平行、垂直关系
应用场景：题目要求证明线段平行（如梯形两腰平行）、线段垂直（如三角形高线），或证明特殊图形
（如矩形、菱形），常给出几何图形的边长、内角或顶点坐标。
解题思路：证明平行：若要证线段 ，需证向量 与 共线，即存在实数 ，使得 （非
零向量）；若已知坐标，可通过向量坐标成比例验证（如 ， ，则
）。
证明垂直：若要证线段 ，需证向量 ；若已知向量模长与夹角，可通过数量积
定义验证；若已知坐标，直接计算坐标数量积（ ）。
高考与模拟题适配重点：新高考常结合“三角形中位线平行”“矩形邻边垂直”考查，如在 中，
、 分别为 、 中点，证明 ；或已知平行四边形顶点坐标，证明其为矩形。
2. 计算长度、角度、面积
应用场景：题目要求计算几何图形的边长（如三角形边长）、内角（如菱形内角）、面积（如三角形、平
行四边形面积），常关联向量模长、数量积或投影。
解题思路：
计算长度：将线段长度转化为向量模长，利用 计算；若为复合向量（如
），则先展开模长平方（ ），再代入已知条件开方。
计算角度：利用数量积与夹角的关系，先求对应向量的数量积及模长，代入 ，结合
确定角度（如三角形内角、菱形邻角）。
计算面积：三角形面积 （ 、 为两边对应向量， 为夹角），可通过
（由数量积求 ）计算；平行四边形面积 （叉积绝对值，坐标形式为
）。
高考与模拟题适配重点：高频考查“三角形面积计算”（如已知 ， ，求 面
积），或“菱形内角与面积关联”（如已知菱形边长及两邻边向量数量积，求面积）。
二、平面向量与函数、三角函数的综合应用
核心逻辑：将向量关系转化为函数表达式（如含参数的二次函数、三角函数），利用函数的单调性、最值、
奇偶性等性质求解，体现向量的“工具性”与“代数性”结合。
1. 与函数结合求最值、参数范围
应用场景：题目给出向量的线性组合（如 ， 为参数），或向量数量积含参数（如
），要求求最值（如 的最小值）或参数范围（如数量积大于0时 的范围）。
解题思路：
步骤1：将向量表达式转化为函数形式——若涉及模长，先平方转化为数量积（如 ）；若
涉及数量积，直接展开为关于参数 的函数（如一次函数、二次函数）。
步骤2：分析函数类型求范围——若为二次函数，利用二次函数顶点式（ ， ）
求最值；若为一次函数，结合参数定义域（如 ）求范围；若含绝对值，利用绝对值不等式（
）辅助求解。
高考与模拟题适配重点：常结合“向量线性插值”考查，如已知 、 为非零向量， ，求
的最小值；或已知 ， ，求 的最小值。2. 与三角函数结合求解析式、最值
应用场景：题目中向量坐标含三角函数（如 ， ），要求求数量积的三角
函数解析式（如 ），或求三角函数的最值、周期、单调性。
解题思路：
步骤 1：计算向量数量积，化简为三角函数表达式——利用数量积坐标公式展开（如
），结合三角恒等变换（二倍角公式、和差公式）
将表达式化为“ ”或“ ”的形式。
步骤2：利用三角函数性质求解——根据化简后的解析式，求最值（如 的最大值为
）、周期（ ）、单调区间（结合正弦/余弦函数的单调区间求解）。
高考与模拟题适配重点：新高考高频考点，如已知 ， ，求
的最小正周期与最大值；或结合三角形内角范围（ ）求单调区间。
【拓展：平面向量与三角形的“四心”】
【一：平面向量与三角形的“重心”】
【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三点，动点
满足 ，则点 的轨迹一定通过 的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断.
【详解】由 ，得 ，
设 边 的中点为 ，则 ，
所以 ，因此 三点共线，
所以点 的轨迹一定通过 的重心.
故选：C.
【针对训练】2．（2025高一·全国·专题练习）已知 是 的重心， ， ， ，
则 ．
【答案】
【分析】根据三角形重心的性质得到 和 的表达式，然后通过向量的数量积运算，将 展开并
进行化简，最终求出结果.
【详解】 是 的重心， ，，
又 ， ， ，
.
故答案为： .
【二：平面向量与三角形的“内心”】
【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知 , , 是平面上不共线的三点， 为坐标原点，动点 满
足 ， ，则点 的轨迹一定经过（ ）
A． 的内心 B． 的垂心
C． 的重心 D． 的外心
【答案】C
【分析】本题可通过向量的线性运算，将 的表达式进行变形，再根据向量共线的性质即可确定点 的
轨迹经过的特殊点.
【详解】设 的中点为 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ 三点共线，
所以点 的轨迹一定经过 的重心，
故选：C.
【针对训练】2．（2025高三·全国·专题练习）设 为 的内心， ， ， ，
，则 .【答案】
【分析】根据 为 的内心，可以得到等式 ，由 ， ， 分别表示 ，
，得到关于 ， ， 的等式，令两个等式相对应的系数相等即可.
【详解】插入分点 ，得 ，
即 ，
又 ，从而有 ，得 ，
所以 ，
故答案为： .
【三：平面向量与三角形的“外心”】
【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知 是 的外心，若 ，则
．
【答案】 /
【分析】由 ，分别与向量 点积，即可得到 从而求出 的值.
【详解】由 ，又 是 的外心，
得 即
从而有
所以 ， ．故答案为： .
【针对训练】2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在 中， ，点 是 外心，点
是 的中点，则 为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可将向量数量积 转化到向量 上去，再代入数据即可计算得出结论.
【详解】因为点 是 外心，点 是 的中点，
所以 ，点 是 各边垂直平分线的交点，
则
.
故选：B.
【四：平面向量与三角形的“垂心”】
【例题】1.（23-24高一下·浙江·阶段练习）在等腰 中， ，若点M为 的垂心，且满
足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】合理作图，建立平面直角坐标系，利用垂心的性质得到 之间的关系，进而求出 ，再
利用二倍角公式求出 ，最后求出 即可.
【详解】如图，在等腰 中，找底边 的中点 ，
作 ， ， 交点 即为垂心，
以 为原点建立平面直角坐标系，
设 ， ，故 ， ， ，
故 ， ， ，
故 ，
设 ，故 ，则 ，
故 ，
又 ，故 ，而 ，则 ，解得 ，
故 ，故 ，解得 ，可得 ，
易得 ， ，可得 ，可得 ，解得 ，
由三线合一性质得 平分 ，故 ，而 ，
由二倍角公式得 ，故 ，故C正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，然后表利用垂心的性质结合
二倍角公式求出 ，最后得到 即可．【针对训练】2．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在 中， ，点 为 的垂心，且满
足 ， ，则 （ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】D
【分析】一方面：根据已知得出 ，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解.
【详解】由题意可知 是以A为顶角的等腰三角形，
如图所示： ， ，则 ，
在直角三角形 中， ，即 .
设 ，
则 ，
，
所以 ，所以 .
故选：D.
【解题策略】
一、与重心（G）相关的题型
核心向量性质：重心是三角形三条中线的交点，且分中线比为 （顶点到重心:重心到对边中点），其向
量本质特征为：
1. 对任意 ， ；
2. 若 为 中点，则 ；3. 坐标性质：若 、 、 ，则 。
1. 常考题型：重心的向量线性表示与计算
应用场景：题目给出三角形顶点坐标或向量关系，要求用已知向量表示重心相关向量（如 ），或计算
重心对应的向量数量积、模长。
解题思路：
线性表示：利用“重心分中线为 ”或 （ 为 中点），将重心向量转化为
顶点向量的线性组合；
坐标计算：若已知顶点坐标，先求重心坐标，再将向量坐标化，代入数量积或模长公式计算。
高考与模拟题适配重点：新高考高频考查“线性表示与模长结合”，如 2024年新高考Ⅱ卷模拟题：已知
中， ， ， ， ， ，求 （ 为重心）；或已知 、
、 ，求 。
2. 易错点提醒
混淆重心分中线的比例：需牢记“顶点到重心是 份，重心到对边中点是 份”，避免将
误写为 ；
坐标计算遗漏平均：重心坐标是三个顶点坐标的算术平均，不可仅用两个顶点坐标计算。
二、与垂心（H）相关的题型
核心向量性质：垂心是三角形三条高线的交点，其向量本质特征为“高线对应的向量垂直”，即：
1. 对任意 ， 、 、 （垂心与顶点的连线垂直于对边）；
2. 若 为锐角三角形，垂心在三角形内部，且 （拓展性质，需结合向量垂直推导）。
1. 常考题型：垂心的垂直关系（数量积为0）应用
应用场景：题目明确“ 为 垂心”，要求证明向量垂直、计算参数值（如已知 ，
求 ），或判断垂心位置。
解题思路：
证明垂直/求参数：利用“垂心性质 ”，将向量用已知向量表示后展开数量积，令其等于
0，建立方程求解；
坐标法辅助：若已知三角形顶点坐标，先求两条高线的直线方程，联立得垂心坐标，再转化为向量运
算。
高考与模拟题适配重点：高考常以“参数求解”形式考查，如2023年浙江卷真题：已知 中， 为
垂心， ，且 ， ，求 ；或模拟题：已知 为 垂
心， ， ，求 。
2. 易错点提醒
忽略三角形形状：钝角三角形的垂心在外部，此时 仍成立，但向量方向需结合图形判断，
避免坐标符号错误；
误用拓展性质： 仅适用于锐角三角形，钝角三角形需重新推导，不可直接套用。
三、与外心（O）相关的题型
核心向量性质：外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，其向量本质特征为“外心到三个顶点的距离相等（均为外接圆半径 ）”，即：
1. 对任意 ， ；
2. 对边中点与外心的连线垂直于对边，即 （模长平方相等），且 （ 为
中点）。
1. 常考题型：外心的模长相等（ ）应用
应用场景：题目明确“ 为 外心”，要求计算外接圆半径 、向量数量积（如 ），或证
明模长关系。
解题思路：
计算模长/数量积：利用“ ”，将数量积 转化为 ，而
（圆心角是圆周角的2倍），结合三角形内角关系求解；
模长平方相等：将 展开为 ，即 ，体现垂直
平分线性质。
高考与模拟题适配重点：高频考查“数量积与圆周角结合”，如 2024年新高考Ⅰ卷模拟题：已知 为
外心， ， ，求 ；或真题：已知 为 外心， ，
，求 。
2. 易错点提醒
圆 心 角 与 圆 周 角 关 系 ： 仅 当 与 在 同 侧 时 成 立 ， 异 侧 时 为
，需结合图形判断；
模长平方展开错误： ，不可直接拆分为 （虽结
果相同，但推导需用平方差公式）。
四、与内心（I）相关的题型
核心向量性质：内心是三角形三条角平分线的交点，也是内切圆的圆心，其向量本质特征与“角平分线”
“内切圆半径”相关，即：
1. 内心到三边距离相等（均为内切圆半径 ）；
2. 向量线性表示：若 、 、 ，则 （核心公式，系数为对应边
长）；
3. 单位向量结合： （ 、 为 、 方向的单位向量）。
1. 常考题型：内心的向量线性表示与面积关联
应用场景：题目明确“ 为 内心”，要求用边长表示内心向量（如 ）、计算内切圆半径 ，或
结合面积公式求解。
解题思路：
线性表示：利用“ ”，将目标向量（如 ）用 、 表示，需结合
、 代换；
面积关联：三角形面积 （ 为内切圆半径），可通过向量数量积求 （
），进而求 。高考与模拟题适配重点：模拟题常考“线性表示与边长结合”，如已知 中， 、 、
（直角三角形）， 为内心，求 ；或高考真题变形：已知 为 内心， ，
、 、 ，求 。
2. 易错点提醒
线性表示系数：“ ”中系数为“对边边长”（ 对应 ，即 的对边），不
可与“邻边边长”混淆；
单位向量方向： 是 方向的单位向量，需除以 ，避免遗漏模长计算。
五、通用解题策略（结合“四心”共性）
1. 定义优先：遇到“四心”问题，先回忆对应“心”的核心向量性质（如重心的 、垂
心的 ），以此为解题起点；
2. 坐标法兜底：若向量关系复杂，优先建立平面直角坐标系（如以 中点为原点， 为 轴），将
“四心”坐标求出（重心用平均坐标、垂心用高线联立、外心用垂直平分线联立、内心用角平分线公式），
再转化为代数运算；
3. 数量积与模长联动：“四心”问题常涉及数量积（垂心）与模长（外心），需灵活运用
与 ，将几何关系转化为向量运算；
4. 真题结论迁移：高考对“四心”的考查集中在“性质直接应用”（如重心的线性表示、垂心的数量积
为0），较少涉及复杂推导，可直接迁移已总结的核心性质解题。
课后针对训练
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）已知向量 ．则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．7
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中， 为CD的中点，
若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知 ，求 与 在 上的投影长度的比值为
（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形 中， ， ， ， 为边 上一点，
若 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C．3 D．
5．（2025·全国·模拟预测）已知向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知向量 ， 满足 ，且 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在 中， 为 上一点，且满足
，若 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形 的边长满足 ，以 为圆心的圆与 相切
于 ，则 （ ）
A． B．
C．8 D．9．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量 满足 ， ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·辽宁·三模）已知向量 ，向量 在向量 上的投影的数量为 ．若 ，则实
数 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知 ， ， 在 上的投影的数量为 ，则 （ ）
A．6 B． C． D．
二、多选题
12．（2025·河北保定·三模）已知平面向量 ． 与 的夹角为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
三、填空题
13．（2024·上海·三模）已知向量 、 满足 ， ， ，则 ．
14．（24-25高一下·江苏泰州·期中）已知 是平面向量， 是单位向量，若非零向量 与 的夹角为 ，
向量 满足 ，则 的最小值是 ．
四、解答题
15．（2025·湖北·模拟预测）已知 分别为 三个内角 的对边，向量
， .
(1)求 ；
(2)若 .求 的面积
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B A C B C A B A题号 11 12
答案 C BC
1．A
【分析】由投影向量计算公式可得答案.
【详解】向量 在向量 上的投影向量是 .
故选：A．
2．A
【分析】利用平行四边形的性质，将 与 用 和 表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行展
开，最后结合已知条件求解AB的长度.
【详解】用 和 表示 与 ，在平行四边形 中， .
因为 为 的中点，所以 ，又因为在平行四边形中 ，则 .
那么 ， ， ，所以 .
已知 ， ，则 .
可得： .
已知 ， ，设 ，
则 ，
即 ， .
所以 .
因为 ，即 ，得 ，则 或 .
因为AB为平行四边形的边，长度不为 ，所以舍去 ，故 .
故选：A.
3．B
【分析】首先根据向量数量积公式求出 ，再根据向量投影公式求出 在 上的投影长度，最后求它们的比值．
【详解】因为 ．
所以 ．
所以向量 在 上的投影长度为 ，
故 与 在 上的投影长度的比值为 ．
故选：B
4．A
【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出 ，再平方求向量的模即可.
【详解】设 ，如图，
因为 ，
所以 ,
即 ，解得 ，
所以 ，
，
故选：A
5．C
【分析】根据已知向量 ， ，利用向量减法求出 和 ，再通过点积计算求出
，通过模长计算求出 和 ，利用向量夹角的余弦公式 求解.【详解】 ，
.
.
.
.
.
.
故选：C.
6．B
【分析】由 ，利用向量数量积的运算即可求解.
【详解】由题意有
，解得 ，
故选：B.
7．C
【分析】设 ，从而得到 ，结合已知有 ，应用三角形面积公式
得 ，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.
【详解】设 ，则
，
所以 ，解得 ，
，则 ，，当且仅当 时，等号成立，
的最小值为 ．
故选：C
8．A
【分析】由 ，根据等面积可得 ，由 及向量数量积几何意义求解即可.
【详解】由已知条件可知， ，因此 ．
故 ．
故选：A
9．B
【分析】将已知条件平方，化简可得 ，利用该结论依次判断各个选项.
【详解】由于 ，则 ，
又由 可得 ，
即 ，即 ，
对于选项 ， ，故 错误；
对于选项 ，由于 ，则 ，即 ，
所以 ，故 正确；
对于选项 ， ，故 错误；
对于选项 ， ，故 错误．故选： ．
10．A
【分析】根据向量在向量上的投影及向量垂直，利用数量积运算及向量的模计算即可.
【详解】因为向量 在向量 上的投影的数量为 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：A
11．C
【分析】根据投影数量求出数量积，故可求 .
【详解】因为 在 上的投影的数量为 ，故 ，故 ，
故 ，
故选：C.
12．BC
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断.
【详解】对于A，因为 ，即不存在实数 使 ，所以 与 不共线，故A不正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ， ，所以 故C正确；
对于D， 在 上的投影向量为 .故D不正确.
故选：BC.
13．
【分析】由 ，根据数量积的运算律即可求解.【详解】由题意有 ，
解得 ，所以 .
故答案为： .
14．
【分析】根据已知 可得出 .进而作图推得 ，点 的轨迹为以
为圆心的圆.过点 ，作 ，垂足为 ，交圆于点 ，结合图象分析即可得出 即为 的最
小值.根据已知条件计算即可得出答案.
【详解】由已知 可得 ，所以 .
设 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
所以有 ， ，则 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心的圆.
过点 ，作 ，垂足为 ，交圆于点 ，
根据图象可得出 即为 的最小值.
在 中，有 ， ，
所以有 .
又 ，所以 .
故答案为： .15．(1)
(2) .
【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得 ，利用正弦定理把边化为角，再利用三
角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解；
（2）利用向量的线性运算可得 ，结合题意由 、向量数量积及面积公式即可求
解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
，即 ，
又 ，故 ，即 .
（2） ，所以 ，
，
,
又 ,即 ,
,
或 （舍）,
故 .
