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专题02 数列（解答题12种考法）
1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) （ ）
(2)
【解析】（1）因为 ，（ ），
所以 ，（ ），
所以 ， ， ，…， ， （ 且 ），
所以 （ 且 ），
整理得： （ 且 ），即 ，（ 且 ），
又因为 ，所以 ，（ 且 ），
当 时， 适合上式，
所以 ，（ ）.
（2）由（1）知， ，
所以 ，
即 .2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2) ．
【解析】（1） ，
当 时， ，两式相减可得， ，故等比数列 的公比为 ，
， ，故数列 的通项公式为 ．
（2）由 得： ， ，故 ，即 ，
，
，
得： ，
故 ．
3（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列 中， ， ，数列 的
前 项和为 ，且 .
(1)求数列 和 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以， ，
数列 的前 项和为 ，且 ，
当 时，则有 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，即 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 .
（2）解：因为 ，则 ，①
可得 ，②
① ②得
，
故 .4．（2023·四川成都·校联考二模）已知数列 是公差为2的等差数列，且 是 和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得， ，且公差为 ，则 ，
解得 ，则 .
（2）由（1）可知， ，则 ，则
，
则 .
5．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，且 ．
(1)证明：数列 为等比数列，并求其通项公式；
(2)若______，求数列 的前n项和 ．
从① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解
答问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【解析】（1）由 ，
得 ，且 ，（i）
所以当 时， ，（ii）
（i） （ii），得 ，所以 ．
当 时， ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ．
（2）若选①： ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
若选②： ，
则若选③：因为 ，
所以 ，
所以数列 是以27为首项， 为公比的等比数列，
所以 ．
6．（2023秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知数列 的首项 ，其前 项和
为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）已知 ，
当 时 ，即 ，由 解得 .
当 时， ，
则 相减得 .
当 时 也成立.所以对于 都有 成立.
上式化为 ，所以 是等比数列，首项为4，公比为3，
则 ，即 .
（2）因为 ，
则 ，
两式相减得
，
所以 .
7．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列 和各项均为正数的等比数列 满足： ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 是由数列 和 中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列 的前 项
和为 ，求 .
【答案】(1) ，
(2)15220
【解析】（1）根据条件，设 ， ，又 ，解得 ，
故 ， .
（2）当 时， ，由 ，得 ， ，
又 ， ， ， ，
故在数列 的前100项中含有数列 中的4项，
所以 ，
所以 .
8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）由 ，得 ，
令 ，有 ， ，
当 时， ，
又 满足上式，于是 ，则 ，
当 时， ，
又 满足上式，因此 ，所以数列 的通项公式是 ．
（2）由（1）知， ，
所以 ．
9．（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）正项数列 的首项为3的等差数列，前 项和为 ，且
，正项数列 是首项为1的等比数列，且
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项的和 ；
(3)设 ，求数列 的前 项的和 ．
【答案】(1) ， ；
(2)
(3)
【解析】（1）根据题意可设正项数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，
由 可得 ，即 ，
解得 或 （舍）；
即
所以数列 的通项公式为 ；
由 可得 ，即 ，解得 或 （舍）；
所以 ；
即数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）可知 ，
数列 的前 项的和
即可得 .
（3）由（1）可得 ；
所以数列 的前 项的和 ，
，
两式相减可得
，
所以
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知数列 中， ， 是 与9的等差中项，
记 为数列 的前 项和，满足 （ ）.(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求实数 的最小值.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）依题意， ， ，当 时， ，两式相减得 ，即
，
当 时， ，又 ，有 ，则当 ， ，
因此数列 是首项为3，公比 的等比数列，
而 ，即 ，解得 ，则 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，
于是不等式 化为： ，设 ，
，
当 时， ，当 时， ，
即当 时，数列 递增，当 时，数列 递减，
从而 ，则 ，所以实数 的最小值为 .11.（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 为等差数列，并 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，即
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，
所以 ；
（2）
.
12．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列 满足 ，其中
是数列 的前n项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意 ，且当 时，总有 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)(2) .
【解析】（1）∵ ，∴
当 时， ，解得 .
当 时， ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∴数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴ .
（2）因为 ，所以
∴当 时， ，
∴
，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 .
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记 为数列 的前n项和，已知.
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)数列{ }满足 且 ， 的前n项和为 ，证明: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由 ，
由 可得 ，
则 时 ，
两式相减可得 ，
化为 ，因为 ，
所以 ，数列{ }是首项与公差都是2的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）得 ，又 ，
所以 ，
，
所以 ，
，，
14．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 和 满足： ， ，
（ 为常数，且 ）．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若当 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，求 的表达式．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【解析】（1）因为 ，即 ，
所以 ，而 ，
所以 ，即 ，即数列 是以 为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以 ．
因为当 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，所以 ，
即 ，解得 ．
所以 ．
经检验，当 时， ，当 时， ，所以 先增后减，
在 和 时取得最大值，符合题意．
此时 ．15．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求集合 中元素的个数.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以
所以 ，即 .
又因为 ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以
令 ，得 ，
所以集合 中元素的个数为 .
16．（2023秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知 为等差数列， 为等比数列，
．(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列的前 项和 .
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
(4)记 的前 项和为 ，求证： ；
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) ；
(4)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ， ，
解得 ，或 （舍去），
所以 ， .
（2）由（1）知， ， ，则 ，
所以 .
（3）由（1）知 ，
，
于是 ，
两式相减得 ，所以 .
（4）由（1）知， ， ，
于是
所以 .
17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列 为等差数列，且 ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： ，
.
（2）由（1）得： ，，
， .
18．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，，
，即 ， ．
19．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
20．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析(3)
【解析】1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，
作差得
，所以 ，
所以 .
21．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列 与 的前 项和分别为 和 ，且对任意 ，
恒成立.
(1)若 ， ，求 ；
(2)若对任意 ，都有 及 恒成立，求正整数 的最小值.
【答案】(1) ；
(2)3
【解析】（1）由题设， 且 ，而 ，
显然也满足上式，故 ，
由 ，又 ，
所以 是首项、公差均为2的等差数列.
综上， .
（2）由 ， ，则 ，
所以 ，而 ，故 ，即 是公比为3的等比数列.
所以 ，则 ，
，而 ，所以 ，
所以 对 都成立，
所以 ，故 ，则正整数 的最小值为3.
22．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为 ，
当 时， ，
两式相减得 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知 ，且 ，
当 时，可得 成立；当 时， ，
所以
，
因为 ，可得 ，可得 ，
所以 ，
综上可得， .
23．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．
四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；
③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一
轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为 ，甲胜丙、乙胜丁
的概率均为 ，甲胜丁的概率为 ．
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；
(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以 的可取值为1，2，
，
则 ，
所以X的数学期望 .（2）设在第 轮中，甲乙对打的概率为 ，甲丙对打的概率为 ，甲丁对打的概率为 ，
易知 ， ， ，
且 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，
则数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
即 ，所以 ，则 ，
故在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为 ．
24．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列 的首项 ，其前 项和为 ，从
① ；② ， ；③ 中任选一个条件作为已
知，并解答下列问题.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，设数列 的前 项和 ，求证： .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析.
【解析】（1）选择①：因为 ，则 ，两式相减得 ，即 ，
而 ， ，则 ，因此数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
选择②：因为 ，则 ，
于是当 时， ，即 ，由 ，得 ，
即有 ，因此 ， ，即数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
选择③：因为 ，又 ，
则 ，即 ，
显然 ，于是 ，即 是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而 ，即 ，因此 ，而 满足上式，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，
因此 ，
则 ，
显然数列 单调递减，于是 ，则 ，
所以 .
25．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的
得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否
为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为 ，并且规定若第 题正确选项为
两个，则第 题正确选项为两个的概率为 ；第 题正确选项为三个，则第 题正确选
项为三个的概率为 .
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n题正确选项为两个的概率；
(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证： .
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）设事件 表示正确选项为 个，事件 表示正确选项为 个，
表示第 题正确选项为 个的概率， 表示第 题正确选项为 个的概率.
设事件 表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量 表示第二题得分.
依题得， 可能取值为 .
因为 ， ，
所以
所以 的分布列为:所以 .
（2）依题得， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
所以 ， .
（3）由（2）可知， ， .
依题得， 可能取值为 .
，
，
所以 .
26．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知等差数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；(2)记 ，其中 为数列 的前 项和.设 表示不超过 的最大正整数，求使
的最大正整数 的值.
【答案】(1)
(2)64
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，
由题意可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）可得 ，则 ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以 ，则 ，
即数列 是以首项为0，公差为1的等差数列，
则 ，即 ，
又因为 在 上单调递增，且 ，
所以使 的最大正整数 的值为64.
27．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
．(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和，当 时， ．若对于任意 ，有 ，求 的取值
范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） ，
∴ ， ，
∴ ,
∴当 时， ；
当 时，也符合上式，
∴ ．
（2） ，
∵
，
∴ ，
当 时，满足 ，当 时，存在 ，（其中， 表示不超过 的最大整数），
使得 ，则 ，
∴ ，不满足条件，
∴ ．
28．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列 的前 项和 满足 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，当 时 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 是常数数列，又 ，所以 ，则 .
（2）因为 ，
当 为偶数时，；
当 为奇数时，
；
综上可得 .
29．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列， 为 的前n项
和，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 ， ， 成等差数列，得 ，①
当 时， ，∴ ，得 （ 舍去），
当 时， ，②
①－②得， ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ 是首项为2，公差为1的等差数列，
∴ ，
故 ；
（2）由（1）知 ，
当 是奇数时，
，
当 是偶数时，
，
综上 .30．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列 的前 项和 .（注：如果选
择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
① ；② ；③ .
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）因为 ，即 ，当 时 ，解得 ，
当 时 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
当 时上述式子恒成立，
当 时两边同除 可得 ，
即 ，所以 为常数数列，即 ，
所以 ，即 ，
当 时上述 也成立，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.（2）设 的公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ；
若选① ，则 ，
所以 .
若选② ，则
，
所以 .
若选③ ，则 ，
所以
.
