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第 9 讲 函数的奇偶性、周期性与对称性
课前必备知识
课标要求
1.了解函数奇偶性、周期性与对称性的含义及其几何意义.2.会判定一些简单函数的奇偶
性.3.能综合运用函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性解决相关问题．
知识梳理
1．函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的
奇偶性是没有意义的．
(1)函数的奇偶性的定义
①设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__ f ( － x ) ＝－ f ( x ) __成立，那么
函数f(x)就叫做奇函数．
②设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__ f ( － x ) ＝ f ( x ) __成立，那么函
数f(x)就叫做偶函数．
显然，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的__必要__条件．
(2)奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于__原点__对称；偶函数的图象关于__y__轴对称．
2．周期函数
(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D，都有x＋T∈D，且__ f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) __，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做
函数f(x)的__一个周期__．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中__存在一个最小__的正数，那么这
个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．函数的对称性
(1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称．(2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点(，0)对称．
常用结论
1．函数的奇偶性常用结论
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相
反的单调性．
(4)在公共定义域内：
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积都是偶函数；
③一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数．
2．函数的周期性常用结论
对f(x)的定义域内的任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(4)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
课前训练
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e-x
2．已知函数f(x)与函数g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝x3＋
x2＋1，则f(1)－g(1)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x(1＋x)，则当x>0时，f(x)＝( )A．x(1－x) B．－x(1＋x)
C．－x(1－x) D．x(1＋x)
4．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________.
5．已知函数f(x)的定义域是R，f(＋x)＝f(－x)，f(x)＋f(6－x)＝0，当0≤x≤时，f(x)＝4x
－2x2，则f(2026)＝________．课堂核心考点
变式训练
考点1 函数的奇偶性判定与应用
【例1】 (1)(多选)下列函数是奇函数的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)
C．f(x)＝＋
D．f(x)＝
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． D．1
(3)已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)－2x为偶函数，函数f(x)－x2为奇函数，则
f(1)＝( )
A．1 B．3
C．－1 D．－3
(1)研究函数的奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－
x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)判断函数的奇偶性除定义法外，还有以下几种方法．
①图象法：f(x)的图象关于原点对称⇔f(x)为奇函数，关于y轴对称⇔f(x)为偶函数．
②性质法：如“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×奇”是偶，“偶×偶”是偶，
“奇×偶”是奇等．
(3)利用函数的奇偶性解决有关问题时，要充分利用化归与转化的思想方法．利用奇偶
性可以解决如下问题：
①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中的参数的值；④画函数图象确定单调性
等．变式探究
1．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex，则f(ln )＝________．
2．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(－x) B．y＝
C．y＝f(x)＋x3 D．y＝f(x)
3．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
考点2 函数的周期性与对称性
【例2】 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－
x2.则f(2025)＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．2025
(2)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，已知当 x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当
x∈[－2，0] 时，f(x)＝( )
A．x＋4 B．2－x
C．3－|x＋1| D．2＋|x＋1|
(3)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝6－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x ，y)，
1 1
(x，y)，…，(x ，y )，则 ＝( )
2 2 m m
A．4m B．3m
C．2m D．m
(1)函数周期性的应用技巧
①熟记函数周期常见的几种表达形式，能够由已知条件准确地推得函数的最小正周
期．
②熟练运用结论“若T是函数的周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期”，对自变
量的值进行转化．
③注意通过“区间变换法”，结合函数的周期，由局部的解析式得到函数在整个定义
域内的解析式．
(2)函数对称性、周期性常用结论：
①f(x＋a)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于x＝a对称．②f(x＋a)＋f(a－x)＝2b⇔f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔f(x)的图象关于(a，b)对称．
③若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于直线x＝b对称(a≠b)，则f(x)是周期
函数，且2(b－a)是它的一个周期．
④若函数f(x)的图象既关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函
数，且2(b－a)是它的一个周期．
⑤若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函
数，且4(b－a)是它的一个周期．
变式探究
4．函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2025)＝________．
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2025)＋f(2026)＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
6．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝
g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则 ＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
考点3 奇偶性与单调性的综合应用
【例3】 (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2.则当x<0
时，f(x)＝__________，若f(m＋1)<f(2－m)，则实数m的取值范围是______________．
(2)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时f(x)<0，且f(－1)＝
2.则f(x)在区间[－2，4]上的最小值为________；若f(x)<m2－2am＋2对所有的x∈[－1，
1]，a∈[－1，1]恒成立，则实数m的取值范围是__________．
(1)奇偶性与单调性常综合进行考查，求解的关键是利用奇偶性变成 f(M)<f(N)(或
f(M)>f(N))的形式，再利用单调性进行处理．
(2)掌握以下结论，会给解决此类问题带来方便：
①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；f(x)为奇函数⇔f(x)＝－f(－x).
②若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
变式探究
7．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，满足对∀x ，x∈[0，＋∞)，其中x≠x ，都
1 2 1 2
有(x－x)[xf(x)－xf(x)]>0，且f(2)＝3，则不等式f(x)>的解集为____________.
1 2 1 1 2 2
8．已知函数f(x)＝ex＋e-x(其中e是自然对数的底数)，若a＝f(21.5)，b＝f(40.8)，c＝
f(log )，则a，b，c的大小关系为( )
2
A．a<b<c B．c<a<b
C．a<c<b D．b<a<c
考点4 奇偶性与周期性的综合应用
【例4】 (1)(多选)已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的
图象关于直线 x＝－3 对称，且对∀x ，x∈[0，2]，当 x≠x 时，都有(x －x)·[f(x)－
1 2 1 2 2 1 2
f(x)]>0，则下列结论正确的是( )
1
A．f(2)＝0
B．f(x)是偶函数
C．f(x)是周期为4的周期函数
D．f(3)<f(－4)
(2)(2025·陕西渭南月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－1
为奇函数，则f(198)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(1)解答奇偶性与周期性的综合问题，常需要利用化归与转化的思想，将未知区间上的
问题转化为已知区间上的问题．
(2)注意掌握函数的奇偶性、对称性、周期性的常用结论：
①f(x)关于x＝a对称⇔f(x＋a)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x＋a)是偶函数．
f(x)关于(a，0)对称⇔f(x＋a)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(x＋a)是奇函数．
②若对于函数f(x)的定义域内的任一x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a
是常数，且a≠0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数．
若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是以T＝|a－b|为周期的周期函数．
变式探究
9．(2024·山东济南二模)已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2024)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
10．(2025·福建厦门期中)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)
为奇函数；③当x∈[0，1)时，>0(x ≠x)恒成立．则f(－)，f(4)，f()的大小关系正确的是(
1 2
)
A．f(－)>f(4)>f()
B．f(－)>f()>f(4)
C．f()>f(4)>f(－)
D．f(4)>f()>f(－)
