2026年高考数学小题训练17（数列）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列 的公比为 ，甲：数列 是递增数列，乙： ，则（ ）
{a ) q {a ) |q)>1
n n
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【分析】应用等比数列定义结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
1 1
【详解】如a =− 时，等比数列{a )是递增数列，公比q= ，由甲不能推出乙；
n 2n n 2
当 时，如 ， 时， ， 不是递增数列，
|q)>1 q=−2 a =1 a =−2<a {a )
1 2 1 n
乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，
故选：D．
2．记 为数列 的前n项和，且 ， ，则
S {a } a =0 a =n−k (0≤k<2n−1 ) S =
n n 1 2n−k 31
（ ）
A．−26 B．−31 C．−36 D．−40
【答案】B
【分析】根据 写出各项的值，直接求和.
a =n−k
2n−k
【详解】a =0，
1
，
a =a =1−0=1
2 21−0
，
a =a =2−1=1
3 22−1
，
a =a =2−0=2
4 22−0
故a +a +a +a =4；
1 2 3 4，
a =a =3−3=0
5 23−3
，
a =a =3−2=1
6 23−2
，
a =a =3−1=2
7 23−1
，
a =a =3−0=3
8 23−0
故a +a +a +a =6；
5 6 7 8
，
a =a =4−7=−3
9 24−7
，
a =a =4−6=−2
10 24−6
， ，
a =a =4−5=−1 ⋅⋅⋅
11 24−5
，
a =a =4−0=4
16 24−0
−3+4
故a +a +⋅⋅⋅+a = ×8=4；
9 10 16 2
，
a =a =5−15=−10
17 25−15
， ，
a =a =5−14=−9 ⋅⋅⋅
18 25−14
，
a =a =5−1=4
31 25−1
−10+4
故a +a +⋅⋅⋅+a = ×15=−45；
17 18 31 2
故 .
S = (a +a +a +a )+(a +a +a +a )+(a +⋅⋅⋅+a )+(a +⋅⋅⋅+a )=−31
31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 17 31
故选：B
3．等差数列 前5项和为15，等比数列 前3项积为8，若 ， ，则
{a ) {b ) a −b =1 a =b
n n 2 1 4 3
的公差d等于（ ）
{a )
n
A．4 B．3 C．2 D．1或−2
【答案】D【分析】结合等差、等比数列的通项公式和性质，可求数列 的公差.
{a )
n
【详解】因为 为等差数列，且 ，
{a ) a +a +a +a +a =15 ⇒ a +2d=3
n 1 2 3 4 5 1
因为 为等比数列，且 .
{b ) b b b =8 ⇒ b q=2
n 1 2 3 1
a =7
{ a 1 +2d=3 ) { a 1 =1 ) { d= 1 −2 )
由 b 1 q=2 ⇒ d=1 或 b =4 .
a +d−b =1 b =1 1
1 1 1 1
a +3d=b q2 q=2 q=
1 1 2
故选：D
2
4．若数列{a )的前n项积T =1− n，则a 的最大值与最小值的和为（ ）
n n 15 n
A．−3 B．−1 C．2 D．3
【答案】C
2
【分析】由题可得a =1+ ，利用数列的增减性可得最值.
n 2n−17
2
【详解】∵数列{a )的前n项积T =1− n，
n n 15
13
当n=1时，a = ，
1 15
2
当n≥2时，T =1− (n−1)，
n−1 15
2
1− n
T 15 2n−15 2
a = n = = =1+ ，
n T 2 2n−17 2n−17
n−1 1− (n−1)
15
n=1时也适合上式，
2
∴a =1+ ，
n 2n−17
∴当 时，数列 单调递减，且 ，
n≤8 {a ) a <1
n n
当 时，数列 单调递减，且 ，
n≥9 {a ) a >1
n n
故a 的最大值为a =3，最小值为a =−1，
n 9 8∴a 的最大值与最小值之和为2.
n
故选：C.
5．记 为等差数列 的前 项和，已知 ，则使得 的 的取值范围
S {a ) n a >0,S =−a S ≥a n
n n 1 9 5 n n
为（ ）
A．1≤n≤5,n∈N∗ B．1≤n≤9,n∈N∗
C．1≤n≤10,n∈N∗ D．5≤n≤9,n∈N∗
【答案】C
【分析】法一：根据条件得到a =S =0，a =S ,S =S +a =a ，再利用等差数列
5 9 1 1 10 9 10 10
的通项公式及前n项和公式的函数性质，即可求出结果；法二：根据条件得到a =−4d，
1
n(n−1)
建立不等不关系na + d≥a +(n−1)d，即可求出结果.
1 2 1
9(a +a )
【详解】方法一：因为S =−a ，所以 1 9 =9a =−a ，得到a =S =0，
9 5 2 5 5 5 9
设等差数列 的公差为 ，由 ，得到 ，又 ，所以 ，
{a ) d a =a +4d=0 a =−4d a >0 d<0
n 5 1 1 1
n(n−1) d
所以a =a +(n−1)d=(n−5)d，S =na + d= (n2−9n)，
n 1 n 1 2 2
又a =S ,S =S +a =a ，
1 1 10 9 10 10
d
令y =(x−5)d,y = (x2−9x)，其图象如图所示
1 2 2
结合等差数列的前n项和及通项的函数特征，
由图知，n的取值范围是 ．
1≤n≤10(n∈N∗)
方法二：由条件S =−a 得9a =−a ，即a =S =0．
9 5 5 5 5 9
因为a >0，所以d<0，并且有a =a +4d=0，
1 5 1
所以a =−4d．
1n(n−1)
由S ≥a ，得na + d≥a +(n−1)d，
n n 1 2 1
整理得 ．
(n2−9n)d≥(2n−10)d
因为d<0，所以n2−9n≤2n−10，
即n2−11n+10≤0，解得1≤n≤10，
所以n的取值范围是 ，
1≤n≤10(n∈N∗)
故选：C.
1
6．已知等差数列{a )的公差d>0，a =2a ，则a + 的最小值为（ ）
n 4 2 1 d
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件，用公差d表示a ，再利用基本不等式求出最小值.
1
【详解】等差数列 的公差 ，由 ，得 ，解得 ，
{a ) d>0 a =2a a +3d=2(a +d) a =d
n 4 2 1 1 1
1 1 √ 1
则a + =d+ ≥2❑d⋅ =2，当且仅当d=1时取等号，
1 d d d
1
所以a + 的最小值为2.
1 d
故选：B
7．设等比数列 的前 项和为 ，且 恰为 和 的等差中项，则S
{a } n S a +a a a 6=
n n 2 4 3 5 S
3
（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】由等差中项求得公比，代入求和公式即可求解.
【详解】设等比数列{a }的公比为q，
n
由题意可得： ，a +a ，
a +a =2(a +a ) 3 5=q=2
3 5 2 4 a +a
2 4a (1−26)
1
所以 S 6= 1−2 =1+23=9 .
S a (1−23)
3 1
1−2
故选：D
8．已知函数 满足对任意的 且 都有 ( x−y ) (1) (1)，
f (x) x,y∈(1,+∞) x<y f =f −f
1−xy x y
若 ( 1 )， ，则 （ ）
a =f n∈N* a +a +a +⋯+a =
n n2+5n+5 1 2 3 2024
A． (253) B． (253) C． (253) D． (253)
f f f f
385 380 765 760
【答案】D
【分析】根据 f ( x−y ) =f (1) −f (1)将 a =f ( 1 ) =f ( 1 ) −f ( 1 )，
1−xy x y n n2+5n+5 n+2 n+3
再用裂项相消法求a +a +a +⋯+a 的值.
1 2 3 2024
【详解】∵函数f (x)满足对任意的x,y∈(1,+∞)且x<y都有
( x−y ) (1) (1)
f =f −f
1−xy x y
∴令 ，则 x−y (n+2)−(n+3) 1 ，
x=n+2,y=n+3 = =
1−xy 1−(n+2)(n+3) n2+5n+5
∴ ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
a =f =f −f
n n2+5n+5 n+2 n+3
∴ (1) (1) (1) (1) ( 1 ) ( 1 )
a +a +a +⋯+a =f −f +f −f +⋯+f −f
1 2 3 2024 3 4 4 5 2026 2027
(1) ( 1 ) ( 3−2027 ) (253).
=f −f =f =f
3 2027 1−3×2027 760故选：D
【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究
透通项，本题的关键是将通项分析为： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
a =f =f −f .
n n2+5n+5 n+2 n+3
二、多选题
9．记 为等比数列 的前n项和， 为 的公比， 若 ，则
S {a ) q {a ) q>0. S =7,a =1
n n n 3 3
（ ）
1 1
A．q= B．a =
2 5 9
C．S =8 D．a +S =8
5 n n
【答案】AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前n项和公式得到方程组，解出a ,q，再利用
1
其通项公式和前n项和公式一一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得{ a q2=1 )，结合 ，解得 {a 1 =4 ) 或 { a 1 =9 )
1 q>0 1 1
a +a q+a q2=7 q= q=−
1 1 1 2 3
（舍去），故A正确；
对B，则
a =a q4=4×
(1) 4
=
1，故B错误；
5 1 2 4
( 1 )
4× 1−
a (1−q5) 32 31
对C，S = 1 = = ，故C错误；
5 1−q 1 4
1−
2
[ (1) n )
4× 1−
对D，
a =4×
(1) n−1
=23−n
，
S =
2
=8−2−n+3
，
n 2 n 1
1−
2
则 ，故D正确；
a +S =23−n+8−23−n=8
n n
故选：AD.10． 是等比数列 的前 项和，若存在 ，使得 ，则
S {a ) n a,b,c∈R S =a⋅bn+c
n n n
（ ）
A． B． 是数列 的公比
a+c=0 b {a )
n
C． D． 可能为常数列
ac<0 {a )
n
【答案】ABC
【分析】设等比数列 的公比为 ，当 时， ，结合题意可判断D选项；当
{a ) q q=1 S =na
n n 1
a a
q=1时，结合等比数列的前n项和公式可得S = 1 − 1 ⋅qn，结合题意可得
n 1−q 1−q
a a
c= 1 ,a=− 1 ,b=q，进而判断A、B、C选项.
1−q 1−q
【详解】设等比数列 的公比为 .
{a ) q
n
当q=1,S =na ，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；
n 1
当 a (1−qn) a a ，
q≠1,S = 1 = 1 − 1 ⋅qn
n 1−q 1−q 1−q
a a
所以c= 1 ,a=− 1 ,b=q，
1−q 1−q
a2
即 a+c=0 ， ac=− 1 <0 ，所以ABC对．
(1−q) 2
故选：ABC.
11．已知数列 {a n ) 满足 a 1 =m （ m 为正整数），a n+1 = { a 2 n,a n 为偶数 ) ，则下列结
3a +1,a 为奇数
n n
论正确的是（ ）
A．若m=20，则a =1
9
B．若a =1，则m所有可能取值的集合为{4,5,32)
6
C．若m=3，则a =a
101 2024D．若 为正整数，则 的前 项和为
m=2k,k {a ) k 2k+1−2
n
【答案】BCD
【分析】对于A，由递推关系直接验算即可；对于B，结合是正整数分类讨论反推即可；
对于C，写出前面几项，发现周期规律，由此即可验算；对于D，由等比数列求和公式
即可求解.
a a
【详解】对于A，当a =m=20时，a = 1=10, a = 2=5, a =3a +1=16,
1 2 2 3 2 4 3
a a a a
a = 4=8, a = 5=4, a = 6=2, a = 7=1, a =3a +1=4,故A错误；
5 2 6 2 7 2 8 2 9 8
对于B，若a =1，则只能a =2（否则a =0，与a 是奇数矛盾），
6 5 5 5
1
从而a =4（否则a = ，与a 是奇数矛盾），
4 4 3 4
由a =4可分成三种情形：
4
① a =1,a =2,a =4；②a =8,a =16,a =5；③ a =8,a =16,a =32.
3 2 1 3 2 1 3 2 1
即a 所有可能取值的集合为{4,5,32)，故B正确；
1
对于C，当a =m=3时，依次可求a =10, a =5, a =16, a =8,
1 2 3 4 5
a =4, a =2, a =1, a =4,a =2,a =1,⋯，
6 7 8 9 10 11
即从a 开始数列呈现周期为3,
6
又因101−5=96,2024−5=2019均能被3整除，即a =a ，故C正确；
101 2024
对于D， ，
a =m=2k,a =2k−1,⋯,a =21
1 2 k
则 的前 项和为 2×(1−2k) ，故D正确.
{a ) k S =2+4+⋯+2k= =2k+1−2
n k 1−2
故选：BCD.
三、填空题
12．已知数列
{a )
满足
a =1
，
a =2
，a
n+2=2
，数列
{a )
的前
n
项和为
S
，则S
2024
+3
=
n 1 2 a n n 21012
n
．
【答案】3
【分析】根据数列的递推公式，求得数列通项公式，再分组求和求得S ，再求结果即
2024可.
【详解】 ， ，a ，
a =1 a =2 n+2=2
1 2 a
n
故数列 的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、2
{a )
n
为公比的等比数列，
则 ， ，
a =2n a =2n−1
2n 2n−1
故
1−21012 2(1−21012)
S =(a +a +⋅⋅⋅+a )+(a +a +⋅⋅⋅+a )= + =3(21012−1)
2024 1 3 2023 2 4 2024 1−2 1−2
故S +3 ．
2024 =3
21012
故答案为：3.
13．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 的取值范围为 ．
{a ) n S 3S >S >0 q
n n 2 6
【答案】(−1,0)∪(0,1)
【分析】由 可得 ， ，讨论 或 ，即可得出
3S >S >0 a (1+q3)>0 a (q−1)<0 a >0 a <0
2 6 1 1 1 1
答案.
【详解】由 a (1−q6) a (1−q3)(1+q3) a (1−q)(q+q2+1)(1+q3)
S = 1 = 1 = 1
6 1−q 1−q 1−q
，
=a (q+q2+1)(1+q3)
1
因为 q+q2+1= ( q+ 1) 2 + 3 >0 ，所以由 S >0 ，
2 4 6
可得 ，
a (1+q3)>0
1
由 可得 ，
3S >S 3a +3a q>a (q+q2+1)(1+q3)
2 6 1 1 1即 ，
3a (1+q)>a (1+q)(q2+q+1)(q2−q+1)
1 1
即 ，
3a (1+q)>a (1+q)(q4+q2+1)
1 1
即 ，即 ，
−a (1+q)(q2−1)(q2+2)>0 −a (1+q) 2 (q−1)(q2+2)>0
1 1
则 ，因为
a (q−1)<0 q≠0
1
若 ，则{1+q3>0)，解得： ，
a >0 q∈(−1,0)∪(0,1)
1 q−1<0
若 ，则{1+q3<0)，解得： ，
a <0 q∈∅
1 q−1>0
所以公比q的取值范围为：(−1,0)∪(0,1).
故答案为：(−1,0)∪(0,1).
14．已知数列 是公差相等的等差数列，且 ，若 为正整数，
{a )，{b ) a +b =2n+5 b
n n n n n
设 ，则数列 的通项公式为 ．
c =a (n∈N∗) {c ) c =
n b n n
n
【答案】n+5/5+n
【分析】设数列 的公差为 ，由 可得 ，代入 可得答
{a )，{b ) d a +b =2n+5 a +b ,d a
n n n n 1 1 b
n
案.
【详解】设数列 的公差为 ，由
{a )，{b ) d
n n
，
a +b =a +b +2(n−1)d=a +b −2d+2nd=2n+5
n n 1 1 1 1
可得{ 2d=2 )，解得{ d=1 )，
a +b −2d=5 a +b =7
1 1 1 1
a =a +n−1,b =b +n−1，
n 1 n 1
，
a =a =a +(b +n−1)−1=7−2+n=5+n
b b +n−1 1 1
n 1
所以c =5+n.
n
故答案为：5+n.
