2026年高考数学小题训练6（指数与指数函数）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数 ，则 （ ）
f (x)=2x2−2x+1 f (x)
A．在(−∞,1)上单调递增且值域为[1,+∞)
B．在(−∞,1)上单调递减且值域为[1,+∞)
C．在(−∞,1)上单调递增且值域为(0,1)
D．在(−∞,1)上单调递减且值域为(0,1)
【答案】B
【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可.
【详解】令 ，
u(x)=x2−2x+1=(x−1) 2 ∈[0,+∞)
则 视为由 和 构成的复合函数，
f (x) y=2u(x) u(x)=x2−2x+1
由二次函数性质得u(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
由指数函数性质得y在R上单调递增，
由复合函数性质得f (x)在(−∞,1)上单调递减，
而u(x)∈[0,+∞)，故f (x)∈[1,+∞)，故B正确.
故选：B
2．已知函数 x3 ，则“ ”是“函数 是偶函数”的（ ）
f (x)= k2=1 f (x)
2x+k⋅2−x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当函数f(x)为偶函数时，求得k=−1.结合充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】函数
x3
的定义域为R，关于原点对称，
f(x)=
2x+k⋅2−x
当函数f(x)为偶函数时，f(x)=f(−x)，
即
x3 −x3
，整理，得 ，
= (1+k)(2x+2−x )=0
2x+k⋅2−x 2−x+k⋅2x由2x+2−x≠0，解得k=−1.
又k2=1，得k=±1，
所以“k2=1”是“函数f(x)为偶函数”的必要不充分条件.
故选：B.
3．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中
国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性､原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧
化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该
技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四
个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过
催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将
甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中
的能量转化效率超过10%，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂
利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度φ(t)与其催化时间t（小时）满足的函数关系式为
，且 .若催化后20小时，生成甲醇的浓度为 ，催化后30小时，
φ(t)=mat (a>0 a≠1) 20%
生成甲醇的浓度为40%.若生成甲醇的浓度为50%，则需要催化时间约为（ ）（参
考数据：lg2≈0.301）
A．23.5小时 B．33.2小时 C．50.2小时 D．56小时
【答案】B
【分析】根据题意列方程组求得a和m的值，从而求出φ(t)的表达式，令φ(t)=0.5解方程
即可求解.
【详解】由题意得 解得 1 ，所以 t ，
¿ a=210,m=0.05 φ(t)=0.05×210
t t t
令 ，所以 ，所以 lg2=lg10，
φ(t)=0.05×210=0.5 210=10
10
lg10 10
故t=10⋅ = ≈33.2小时.
lg2 0.301
故选：B.
4．已知函数 ，其中 为常数，若函数 的图象如图所示，
g(x)=ax2+bx+a−b a,b f (x)= ab−x
则（ ）A．g(x)的图象与坐标轴有三个交点
B．g(x)的图象的对称轴在y轴左侧
C．关于x的方程g(x)=1有两个不等实根
D．g(x)在区间(1,+∞)上单调递增
【答案】D
【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调
性，逐项检验即得.
【详解】因
f (x)=ab−x=
(1) x−b，函数
f(x)
的图象在
R
上为减函数，则
0<
1
<1
，即得
a>1
，
a a
1 b+1
又图象经过点(−1,1)，即f (−1)=( ) =1，故得b+1=0，解得b=−1，
a
于是， ，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为( 1 4a2+4a−1)，
g(x)=ax2−x+a+1 ,
2a 4a
4a2+4a−1 1
对于A，因函数y= =a− +1在(1,+∞)上单调递增，
4a 4a
1 1 7
则a− +1>1− +1= >0，即g(x)的图象与x轴没有交点，
4a 4 4
又g(x)的图象与y轴有唯一交点，即g(x)的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；
对于C，关于x的方程g(x)=1的实根个数，等于直线y=1与曲线g(x)的交点个数，
4a2+4a−1 7
由A项，因 > >1，则直线y=1与曲线g(x)的交点个数为0，故C错误；
4a 4
对于B， 的图象的对称轴是直线 1 ( 1)，在 轴右侧，故B错误；
g(x) x= ∈ 0, y
2a 2
对于D，因 的图象对称轴： 1 ( 1)， 在区间 上单调递增，故D
g(x) x= ∈ 0, g(x) (1,+∞)
2a 2正确.
故选：D.
1
5．已知函数f (x)的定义域为R，∀x，y∈R，f (x)f (y)=f (x+ y)，且f (1)= ，则
2
（ ）
1
A．f (0)=0 B．f (−1)=−
2
C．f (x+1)<f (x)D．f (x+2)−f (x+1)<f (x+1)−f (x)
【答案】C
1
【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得f (x+1)= f (x)，又
2
1
f (0)=1=f (x)f (−x)进而可得f (x)>0，可判断C；由f (x+1)= f (x)及f (x)>0可判断D.
2
【详解】对于A，令x=1,y=0，则f (1)f (0)=f (1+0)=f (1)，
1 1 1
又f (1)= ，则 f (0)= ，所以f (0)=1，故A错误；
2 2 2
对于B，令x=1,y=−1，则f (1)f (−1)=f (1−1)=f (0)，
1 1
又f (1)= ，f (0)=1，所以 f (−1)=1，则f (−1)=2，故B错误；
2 2
对于C，令y=1，则f (x)f (1)=f (x+1)，
1 1
又f (1)= ，则f (x+1)= f (x)，
2 2
由上可知 ，故 ， (x) (x) ，
f (x)f (−x)=f (0)=1 f (x)≠0 f (x)=f f >0
2 2
1
所以f (x+1)= f (x)<f (x)，故C正确；
2
1 1 1
对于D，由f (x+1)= f (x)，则f (x+2)= f (x+1)= f (x)，
2 2 4
1 1 1
所以f (x+2)−f (x+1)= f (x)− f (x)=− f (x)，
4 2 4
1 1
f (x+1)−f (x)= f (x)−f (x)=− f (x)，
2 2
1 1
由选项C中分析知f (x)>0，所以− f (x)>− f (x)，故D错误.
4 2故选：C.
5
{ x2,0≤x≤2)
6．已知函数
f(x)
是定义在R上偶函数，当
x≥0
时，
f(x)=
16 ，若方程
1 x
( ) +1,x>2
2
f(x)−m=0仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
5 5 5 5
A．(1, ) B．(0, ) C．[0, ) D．(−∞, )
4 4 4 4
【答案】A
【分析】探讨函数f (x)的性质并画出函数f (x)图象，然后把方程f(x)−m=0仅有4个不相
等的实数根，转化为函数y=f (x)图象与直线y=m有4个交点，数形结合即可求解.
5 5
【详解】当0≤x≤2时，f(x)= x2在[0,2]上单调递增，函数值集合为[0, ]，
16 4
1 x 5
当x>2时，f(x)=( ) +1在(2,+∞)上单调递减，函数值集合为(1, )，
2 4
又函数f(x)是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数f(x)图象：
方程f(x)−m=0仅有4个不相等的实数根，则函数y=f (x)图象与直线y=m有4个交点，
5
当1<m< 时，函数y=f (x)图象与直线y=m有4个交点，
4
5
∴实数m的取值范围是(1, ).
4
故选:A.
3x
7．函数y= 的图象大致是（ ）
|3−3x|
A． B． C． D．【答案】D
3x 1
【分析】y= >0，排除BC，当x=0时，y= ，当x=2时，y=3，A不满足，
|3−3x| 3
排除，得到答案.
3x 1
【详解】y= >0，排除BC；当x=0时，y= ，当x=2时，y=3，A不满足，
|3−3x| 3
排除.
故选：D
8．已知函数 ，若方程 有三个不同的根
f (x)=ex−1−e1−x+4 f (x)=kx+4−k(k>0)
x ,x ,x ，则x +x +x =（ ）
1 2 3 1 2 3
A．4 B．3 C．2 D．k
【答案】B
【分析】由题意，易知y=ex−e−x为奇函数，f (x)由函数y=ex−e−x向右平移一个单位长
度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以f (x)的图象关于点(1,4)对称，再根据直线也
关于点(1,4)对称，即可得答案.
【详解】由题意，因为 ，所以 为奇函数，
e−x−ex=−(ex−e−x) y=ex−e−x
f (x)由函数y=ex−e−x向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，
所以f (x)的图象关于点(1,4)对称.
而f (x)=kx+4−k=k(x−1)+4所表示的直线也关于点(1,4)对称，
所以方程f (x)=kx+4−k的三个实根x ,x ,x 中必有一个为1，另外两个关于x=1对称，
1 2 3
所以x +x +x =3.
1 2 3
故选：B.
二、多选题9．设a>−b>0，则下列结论正确的是（ ）
A．(1) a
<2b
B．若
a+b=1
，则1
+
1的最小值为4
2 a b
C． D．
a2b+ab2<0 a2k−1+b2k−1>0(k∈N*)
【答案】ACD
【分析】利用指数函数，幂函数单调性比较大小，利用基本不等式比较大小即可.
【详解】对于A，
∵−a<b<0
，由指数函数
y=2x
单调递增，
∴2−a<2b
，即(1) a
<2b
，
2
故A正确；
对于B，1 + 1 = (1 + 1) (a+b)= 2− ( − b − a) ≤2−2❑ √( − b)( − a) =0 ，
a b a b a b a b
等号成立条件a=−b，由于a+b=1，显然等式不成立，故最大值比0小，
所以最小值不可能为4，故B错误；
对于C，由已知ab<0，a+b>0，∴ab(a+b)<0，即a2b+ab2<0，故C正确；
对于D，∵a>−b>0，由幂函数y=x2k−1,k∈N∗单调递增，
，即 ，故D正确，
∴a2k−1>(−b) 2k−1=−b2k−1 a2k−1+b2k−1>0
故选:ACD.
10．已知定义： ex= {1,x<0,)则下列命题正确的是（ ）
+ ex,x≥0,
A． ∀b∈R+ ， (ex) b =ebx B．若 x ,x ∈R ，则 ex 1⋅ex 2=ex 1 +x 2
+ + 1 2 + + +
x
C．∀x∈R，ln(ex+1)− ≥ln2D．若x ,x ∈R，则ex 1÷ex 2=ex 1 −x 2
+ 2 1 2 + + +
【答案】AC
【分析】根据分段函数每段定义及解析式，并结合指数幂运算法则可对A项进行判断，取
特殊值可对B、D项判断，分情况讨论可对C项判断.
【详解】对于A： (ex) b =ebx ，故A项正确；
+ +对于B、D：令 ， ，则 ， ，故B项错误；
x =−1 x =2 ex 1⋅ex 2=e2 ex 1 +x 2=e
1 2 + + +
则 ， ，故D项错误；
ex 1÷ex 2=e−2 ex 1 −x 2=1
+ + +
x x
对于C：当x<0时，ln(ex+1)− =ln2− >ln2，成立，
+ 2 2
当 时， x x ( x − x)，
x≥0 ln(ex+1)− =ln(ex+1)−lne2=ln e2+e 2
+ 2
因为 x ， − x ，所以 x − x ❑ √ x − x ，
e2>0 e 2>0 e2+e 2≥2 e2·e 2=2
当且仅当 x x，即 时取等号，所以 x ( x − x) ，成立，故C
e2=e − 2 x=0 ln(e
+
x+1)−
2
=ln e2+e 2 ≥ln2
项正确.
故选：AC.
11．已知函数 的定义域为 ，值域为 ，且 ，则
f (x) R (0,+∞) f (x+ y)=f (x−y)f2(y)
（ ）
A． B．
f (0)=1 f (2x)=f2(x)
C．f (x)+f (−x)≥2 D．f (x)是增函数
【答案】ABC
1
【分析】取x= y=0可判断A，取y=x，可判断B，令y=−x，得到f (−x)= >0，进
f (x)
而利用基本不等式可判断C，取反例 ，可判断D.
f (x)=e−x
【详解】对于A，取 ，则由已知等式得到 ,即 ，
x= y=0 f(0)=f(0)f2 (0) f3 (0)=f(0)
又因为值域为(0,+∞),所有f (0)>0，故f (0)=1，故A正确；
对于B，取
y=x
，则
f (2x)=f (0)[f (x))
2，即
f (2x)=[f (x))
2，故B正确，
对于C，令
y=−x
，则
f (0)=f (2x)[f (−x))
2，即2 2 2，
1=f (0)=f (2x)[f (−x)) =[f (x)) [f (−x))
1
注意到f (x)>0，所以f (−x)= >0，
f (x)
所以 1 √ 1 ，故C正确；
f(x)+f(−x)=f (x)+ ≥2❑ f (x)· =2
f (x) f (x)
对于D，取 ，则 ，符合题意，
f (x)=e−x f (x+ y)=e−x−y,f (x−y)f2(y)=ey−x ⋅e−2y=e−x−y
但此时f (x)是减函数，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
12．已知二次函数 的值域为( 3)，则函数 的值域为
f (x)=ax2+x+a −∞, g(x)=2x+a
4
．
【答案】( 1 )
− ,+∞
4
【分析】由二次函数的值域为( 3)，分析求出参数 ，然后代入 中求出值
−∞, a g(x)=2x+a
4
域即可
【详解】由二次函数 的值域为( 3)得：
f (x)=ax2+x+a −∞,
4
{ a<0 ) { a<0 )
f(− 1 )= 3 ⇒ a× ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) +a= 3
2a 4 2a 2a 4
1
解得：a=− 或a=1（舍去）
4
1
所以g(x)=2x−
41 1 1
因为2x>0⇒2x− >− ⇒g(x)>−
4 4 4
所以函数 的值域为：( 1 )
g(x) − ,+∞
4
故答案为：( 1 ).
− ,+∞
4
1
13．已知f(x)为R上的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=2x− ，则不等式
x+1
f(3x−1)<f(1−x)的解集为 .
1
【答案】(−∞, )
2
【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解，
1
【详解】由函数y=2x与y=− 均在[0,+∞)上单调递增，
x+1
故f(x)在[0,+∞)上单调递增，
而f(x)为R上的奇函数，故f(x)在R上单调递增，
1
f(3x−1)<f(1−x)等价于3x−1<1−x，得x< ，
2
1
故答案为：(−∞, )
2
14．已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且满足 ，
f (x),g(x) R f(x)+g(x)=2x−x
若函数 有唯一零点，则实数λ的值为 ．
ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x−2021)−2λ2
1
【答案】 或−1
2
【分析】
由已知函数ℎ(x+2021)有唯一零点，结合偶函数的性质，证明函数ℎ(x+2021)为偶函数，
根据条件列方程求λ的值.
【详解】
因为函数 有唯一零点，
ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x−2021)−2λ2
所以函数 有唯一零点，
ℎ(x+2021)=2|x|−λf(x)−2λ2因为函数f (x)是定义在R上的偶函数，所以f (−x)=f (x)，
所以 ，
ℎ(−x+2021)=2|−x|−λf(−x)−2λ2=2|x|−λf(x)−2λ2= ℎ(x+2021)
所以函数 为偶函数，又函数 有唯一零点，
ℎ(x+2021) ℎ(x+2021)=2|x|−λf(x)−2λ2
所以函数ℎ(x+2021)的零点为0，
所以 ，
1−λf(0)−2λ2=0
因为函数g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(0)=0，
又由 可得 ，所以 ，
f(x)+g(x)=2x−x f(0)+g(0)=1 f (0)=1
所以1−λ−2λ2=0
1
解得λ= 或λ=−1．
2
1
故答案为： 或−1．
2
