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专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与三角形）
知识点一：直线与椭圆联立，求解步骤：
代入消元，联立 化简：
第一步：
第二步：计算判别式；
可直接利用结论： （范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式；
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用 计算
，利用 计算弦中点
第六步： ， ，
第七步：利用 计算弦长 和 的面积
,
到直线 的距离
进而计算原点
第八步:利用 计算
, ，
第九步：利用 计算
,
知识点二：弦长问题
（最常用公式，使用频率最高）知识点三：弦长问题
x y x y
2 2 2 2
设直线和曲线的两个交点 ， ，代入椭圆方程，得 1 + 1 =1； 2 + 2 =1；
A(x
1
,y
1
) B(x
2
,y
2
) a2 b2 a2 b2
x
2
−x
2
y
2
−y
2 (x +x )(x −x ) (y +y )(y −y )
将两式相减，可得 1 2 + 1 2 =0； 1 2 1 2 =− 1 2 1 2 ；
a2 b2 a2 b2
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
最后整理得：1=− 1 2 1 2 1=−k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1= 1 2 1 2 1=k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
设直线和曲线的两个交点A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，代入抛物线方程，得 y 1 2 =2px 1； y 2 2 =2px 2；
y −y 2p
1 2
将两式相减，可得 ；整理得： =
(y −y )(y +y )=2p(x −x ) x −x y +y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
知识点四：圆锥曲线中的三角形的面积
1、三角形面积问题
直线 方程：
2、焦点三角形的面积
直线 过焦点 的面积为
y
A
F 1 O F 2 x
B
注意： 为联立消去 后关于 的一元二次方程的二次项系数必考题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（1）、（2023·四川南充·统考一模）已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数m
的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2022·陕西·统考一模）已知直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，则b的
取值范围是 .
1．（2023·广东肇庆·肇庆市第一中学校考模拟预测）若直线 与椭圆 恒有公共点，则实
数m的取值范围是 ．
2．（2023·重庆北碚·校联考模拟预测）已知椭圆 ，直线 ，若椭圆上存在关于直线 对
称的两点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．C． D．必考题型二：弦长问题
例2．（1）、（2022·河南郑州·统考三模）斜率为1的直线l与椭圆 相交于A，B两点，则
的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
（2）、（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线 交抛物线于两
点 ， ．若弦长 ，则直线 的斜率为 ．
1．（2023·河南·统考模拟预测）斜率为1的直线l过抛物线 的焦点F，且与C相交于
A，B两点，O为坐标原点，若 的面积是 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2023·全国·模拟预测）抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平
行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线 的焦点为F，AB为抛物线的过点F的一条弦，若从点F
发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则 ．必考题型三：中点弦问题
例3．（1）、（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若椭圆的中心在原点，一个焦点为 ，直线
与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ．
（2）、（2022·全国·校联考三模）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，
线段AB的中点为 ，则点F到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的一条弦 恰好以点 为中点，弦 的长为 ，
则抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，
M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．例4．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）已知椭圆 的长轴比短轴长2，椭
圆 的离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 两点，且线段 的中点为 ，求 的方程．
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线 恰好经过双曲线 的左焦点 ，
且与 交于 ， 两点， 为 的中点，当 时，直线 的斜率为1．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 经过 且与直线 垂直，与双曲线 交于 ， 两点， 为 的中点，证明： 与
的面积之比为定值．
2．（2022·上海·统考模拟预测）设A、B是双曲线 上的两点，点 是线段 的中点．
(1)求直线 的方程；
(2)若线段 的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．必考题型四：三角形问题
例5．（1）、（2023·全国·模拟预测）椭圆 的两焦点分别为 ，过点 的直线交椭
圆 于点 ，若 的最大值为3，则当 取得最小值时， 的面积为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
（2）、（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，
为抛物线 上一点，且满足 ，则 的面积为 .
1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若 的离
心率为 ，过 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，延长 与另一条渐近线交于点 ，若
， 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．62．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点 关于直线 的对称点
为 ， 为坐标原点, 点 在 上且满足 （ 均不与 重合），则 面积的
最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20例6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，M为C上的动点，且 面积的最大值为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，直线l交C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为 ， ，且 ，求
的面积．
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为 上
一点，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 于 两点，且 （ 为坐标原点），记直线
过定点 ，证明：直线 过定点 ，并求出 的面积.2．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线 和 上，且
，记PQ的中点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线 与曲线C有两个不同的交点A，B，求 面积的最小值．
