专题 02 解三角形
1．在①ac=❑√3，②csin A=3，③c=❑√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
π
问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A=❑√3sinB，C= ，________?
6
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，
设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理
a
由sinA=❑√3sinB可得： =❑√3，不妨设a=❑√3m,b=m(m>0)，
b
❑√3
则：c2=a2+b2-2abcosC=3m2+m2-2×❑√3m×m× =m2 ，即c=m.
2
若选择条件①：
据此可得：ac=❑√3m×m=❑√3m2=❑√3，∴m=1，此时c=m=1.
若选择条件②：
b2+c2-a2 m2+m2-3m2 1
据此可得：cosA= = =- ，
2bc 2m2 2
则：sinA=❑ √ 1- ( - 1) 2 = ❑√3 ，此时：csinA=m× ❑√3 =3，则：c=m=2❑√3.
2 2 2
若选择条件③：
c m
可得 = =1，c=b，与条件c=❑√3b矛盾，则问题中的三角形不存在.
b m
［方法二］：正弦定理
π 5π
由C= ,A+B+C=π，得A= -B．
6 6
(5π ) 1 ❑√3
由sinA=❑√3sinB，得sin -B =❑√3sinB，即 cosB+ sinB=❑√3sinB，
6 2 2
❑√3 π 2π
得tanB= ．由于0<B<π，得B= ．所以b=c,A= ．
3 6 3
若选择条件①：a c
a c =
由 = ，得 2π π ，得a=❑√3c．
sinA sinC sin sin
3 6
解得c=b=1,a=❑√3．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1．
若选择条件②：
2π
由csinA=3，得csin =3，解得c=2❑√3，则b=c=2❑√3．
3
a c
a c =
由 = ，得 2π π ，得a=❑√3c=6．
sinA sinC sin sin
3 6
所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2❑√3．
若选择条件③：
由于c=❑√3b与b=c矛盾，所以，问题中的三角形不存在．
【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得a,b,c的关系，再根据选择的条件即可解出，是本
题的通性通法,也是最优解；
方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A，可求出角B，从而可得
2π π
b=c,A= ,B=C= ，再根据选择条件即可解出．
3 6
2．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin A-❑√3a=0．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
π ❑√3+1 3
【答案】（I）B= ；（II）( , ]
3 2 2
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形
为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosA+cosB+cosC的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由2bsinA=❑√3a，得sin2A=
(❑√3a) 2
=
3a2
，即1-cos2A=
3a2
.
2b 4b2 4b2
b2+c2-a2
结合余弦定cosA= ，
2bc(b2+c2-a2
)
2 3a2
∴1- = ，
2bc 4b2
即4b2c2-b4-c4-a4-2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2，
即a4+b4+c4+a2c2-2a2b2-2b2c2=0，
即a4+b4+c4+2a2c2-2a2b2-2b2c2=a2c2，
即(a2+c2-b2) 2 =(ac) 2，
∵△ABC为锐角三角形，∴a2+c2-b2>0，
∴a2+c2-b2=ac，
a2+c2-b2 1
所以cosB= = ，
2ac 2
π
又B为△ABC的一个内角，故B= .
3
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
❑√3
由2bsinA=❑√3a，结合正弦定理可得：2sinBsinA=❑√3sinA,∴sinB=
2
π
△ABC为锐角三角形，故B=
.
3
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
π
因为B= ，并利用余弦定理整理得b2=a2+c2-ac，
3
即3ac=(a+c) 2-b2 .
(a+c) 2 a+c
结合ac≤ ，得 ≤2.
2 b
π a+c
由临界状态（不妨取A= ）可知 =❑√3.
2 b
a+c
而△ABC为锐角三角形，所以 >❑√3.
b
b2+c2-a2 1 a2+b2-c2
由余弦定理得cosA+cosB+cosC= + + ，
2bc 2 2ab
1(a+c
)
b2=a2+c2-ac，代入化简得cosA+cosB+cosC= +1
2 b(❑√3+1 3]
故cosA+cosB+cosC的取值范围是 , .
2 2
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
1 (2π )
cosA+cosB+cosC=cosA+ +cos -A
2 3
1 ❑√3 1 ❑√3 1 1
=cosA- cosA+ sinA+ = sinA+ cosA+
2 2 2 2 2 2
( π) 1
=sin A+ + .
6 2
π π π π 2π
由¿可得： <A< ， <A+ < ，
6 2 3 6 3
( π) (❑√3 ] ( π) 1 (❑√3+1 3]
则sin A+ ∈ ,1 ，sin A+ + ∈ , .
6 2 6 2 2 2
(❑√3+1 3]
即cosA+cosB+cosC的取值范围是 , .
2 2
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得
a2+c2-b2=ac，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为
最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接
使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
3．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90∘，∠A=45∘，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2❑√2，求BC.
❑√23
【答案】（1） ；（2）5.
5
BD AB ❑√2
【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到 = ，求得sin∠ADB= ，结合角的范围，
sin∠A sin∠ADB 5
√ 2 ❑√23
利用同角三角函数关系式，求得cos∠ADB=❑1- = ；
25 5
❑√2
（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos∠BDC=sin∠ADB= ，在△BCD中，根据余弦定理即
5可求出．
【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系
BD AB ❑√2
在△ABD中，由正弦定理得 = ，代入数值并解得sin∠ADB= ．又因为BD>AB，
sin∠A sin∠ADB 5
❑√23
所以∠A>∠ADB，即∠ADB为锐角，所以cos∠ADB= ．
5
［方法2］：余弦定理
在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcos45∘，即25=4+AD2-2×2×AD×
❑√2
，解得：
2
AD=❑√2+❑√23，所以，
(❑√2+❑√23) 2+25-4 ❑√23
cos∠ADB= = ．
2×(❑√2+❑√23)×5 5
［方法3］：【最优解】利用平面几何知识
如图，过B点作BE⊥AD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F．在Rt△AEB中，因为∠A=45°，AB=2，
所以AE=BE=❑√2．在Rt△BED中，因为BD=5，则DE=❑√BD2-BE2=❑√52-(❑√2)2=❑√23．
❑√23
所以cos∠ADB= ．
5
［方法4］：坐标法
以D为坐标原点，⃗DC为x轴，⃗DA为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．
设∠BDC=α，则B(5cosα,5sinα)．因为∠A=45°，所以A(0,5sinα+❑√2)．
❑√2
从而AB=❑√(0-5cosα)2+(5sinα+❑√2-5sinα)2=2，又α是锐角，所以cosα= ，
5
cos∠ADB=sinα=❑√1-cos2α=
❑√23
．
5（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理
❑√23
在△BCD，由（1）得，cos∠ADB= ，BC2=BD2+DC2-2BD⋅DCcos(90°-∠ADB)
5
=52+(2❑√2)2-2×5×2❑√2sin∠ADB=25，所以BC=5．
［方法2］：【最优解】利用平面几何知识
作BF⊥DC，垂足为F，易求，BF=❑√23，FC=❑√2，由勾股定理得BC=5．
【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属
于通性通法；
方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；
方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．
（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．
方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
a2
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为
3sin A
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
2
【答案】(1)sinBsinC= (2) 3+❑√33.
3
1 a2
【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式 acsinB= ，再利用正弦定理将边化成角，
2 3sinA
1 2 1
从而得出sinBsinC的值；（2）由cosBcosC= 和sinBsinC= 计算出cos(B+C)=- ，从而求出角A，
6 3 2
根据题设和余弦定理可以求出bc和b+c的值，从而求出△ABC的周长为3+❑√33.
1 a2 1 a
试题解析：（1）由题设得 acsinB= ，即 csinB= .
2 3sinA 2 3sinA
1 sinA
由正弦定理得 sinCsinB= .
2 3sinA
2
故sinBsinC=
.
3
1 1
（2）由题设及（1）得cosBcosC-sinBsinC=- ,，即cos(B+C)=- .
2 22π π
所以B+C= ，故A=
.
3 3
1 a2
由题设得 bcsinA= ，即bc=8.
2 3sinA
由余弦定理得b2+c2-bc=9，即(b+c) 2-3bc=9，得b+c=❑√33.
故△ABC的周长为3+❑√33.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公
式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见
的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和
它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，
建立函数关系式，如y=Asin(ωx+φ)+b，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具
体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
B+C
5．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos =asinB.
2
(1)求A；
(2)若a=❑√19，⃑BA⋅⃑AC=3，AD是△ABC的中线，求AD的长.
2π
【答案】(1)A=
3
❑√7
(2)
2
【分析】（1）由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.
1
（2）由⃗BA⋅⃗AC=3可得bc=6，根据⃗AD= (⃗AB+⃗AC)以及余弦定理即可求出|⃗AD|.
2
B+C π A A
【详解】（1）cos =cos( - )=sin ，
2 2 2 2
A
所以bsin =asinB，
2
A
由正弦定理得：sinBsin =sinAsinB，
2
A
∵sinB≠0，∴sin =sinA，
2A A A A π A
∴sin =2sin cos ，∵A∈(0,π), ∈(0, )∴sin ≠0，
2 2 2 2 2 2
A 1 A π
得cos = ，即 = ，
2 2 2 3
2π
∴A= .
3
（2）∵⃗BA⋅⃗AC=3,
∴bccos(π-A)=3,得bc=6，
由余弦定理得：b2+c2=a2+2bccosA=13，
1
⃗AD= (⃗AB+⃗AC)，
2
1 1 7
∴|⃗AD|2= (⃗AB+⃗AC) 2= (c2+b2+2bccosA)=
4 4 4
❑√7
所以|⃗AD|= ，
2
❑√7
即AD的长为 .
2
6．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知 a=2❑√2,b=5,c=❑√13．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA的值；
( π)
（Ⅲ）求sin 2A+ 的值．
4
π 2❑√13 ( π) 17❑√2
【答案】（Ⅰ）C= ；（Ⅱ）sinA= ；（Ⅲ）sin 2A+ = .
4 13 4 26
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出sinA,cosA,进一步求出sin2A,cos2A，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）在△ABC中，由a=2❑√2,b=5,c=❑√13及余弦定理得
a2+b2-c2 8+25-13 ❑√2
cosC= = = ，
2ab 2×2❑√2×5 2
π
又因为C∈(0,π)，所以C= ；
4
❑√2
π 2❑√2× 2❑√13
（Ⅱ）在△ABC中，由C= ， a=2❑√2,c=❑√13及正弦定理，可得 asinC 2 ；
4 sinA= = = 13
c ❑√132❑√13 3❑√13
（Ⅲ）由a<c知角A为锐角，由sinA= ，可得 cosA=❑√1-sin2A= ，
13 13
12 5
进而sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=2cos2A-1= ，
13 13
π π π 12 ❑√2 5 ❑√2 17❑√2
所以sin(2A+ )=sin2Acos +cos2Asin = × + × = .
4 4 4 13 2 13 2 26
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学
运算能力，是一道容易题.
7．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，⃗CD为⃗CA在⃗CB方向上的投影向量，且满足
2csinB=❑√5|⃗CD|.
(1)求cosC的值；
(2)若b=❑√3,a=3ccosB，求ABC的周长.
2
【答案】(1)
3
(2)2❑√3+❑√2
【分析】（1）依题意可得|⃗CD|=bcosC，即可得到2csinB=❑√5bcosC，利用正弦定理将边化角，即可得
到2sinC=❑√5cosC，再由平方关系计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到sinB=❑√5cosB，从而求出sinB、
cosB，再由正弦定理求出c，即可求出a，从而得解.
【详解】（1）由⃗CD为⃗CA在⃗CB方向上的投影向量，则|⃗CD|=bcosC，
又2csinB=❑√5|⃗CD|，即2csinB=❑√5bcosC，
根据正弦定理，2sinCsinB=❑√5sinBcosC，
π
( )
在锐角ABC中，B∈ 0, ，则sinB>0，即2sinC=❑√5cosC，
2
π 5 2
由C∈ ( 0, ) ，则cos2C+sin2C=1，整理可得cos2C+ cos2C=1，解得cosC= （负值舍去）.
2 4 3（2）由a=3ccosB，根据正弦定理，可得sinA=3sinCcosB，
在△ABC中，A+B+C=π，则sin(B+C)=3sinCcosB，
所以sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB，所以sinBcosC=2sinCcosB，
2 ❑√5
由（1）可知cosC= ,sinC=❑√1-cos2C= ，则sinB=❑√5cosB，
3 3
由sin2B+cos2B=1，则5cos2B+cos2B=1，解得¿（负值舍去），
b c sinC ❑√6
根据正弦定理，可得 = ，则c= b=❑√2，a= c=❑√3，
sinB sinC sinB 2
故△ABC的周长C =a+b+c=2❑√3+❑√2.
△ABC
π
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，∠A= ，BD=CD，AD=2.
4
❑√5
(1)若BD= b，求c；
3
(2)若a=2❑√2，求△ABC的面积.
❑√10
【答案】(1)c=2+❑√10或c=2+
2
(2)4或3-❑√3.
【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得b，从而求得BD，即可得到结果；
(3π )
（2）根据题意，由正弦定理化简得cosθ=sin -2θ ，再由正弦定理即可得到c，结合三角形的面积
4
公式即可得到结果.
【详解】（1）π ❑√5
在△ACD中∠A= ，AD=2，CD=BD= b，由余弦定理得，
4 3
π
CD2=AD2+AC2-2AD⋅ACcosA=22+b2-4bcos =4+b2-2❑√2b
4
∴ (❑√5 b ) 2 =4+b2-2❑√2b，化简得2b2-9❑√2b+18=0，
3
3❑√2
解得b=3❑√2，或b= .
2
❑√5 ❑√5 ❑√5 ❑√5 3❑√2 ❑√10
∴BD= b= ×3❑√2=❑√10，或BD= b= × = .
3 3 3 3 2 2
❑√10
∴c=AB=AD+BD=2+❑√10，或c=AB=AD+BD=2+ ，
2
❑√10
综上可得c=2+❑√10，或c=2+ .
2
（2）在△BCD中BD=CD，设∠B=∠BCD=θ，则∠BDC=π-2θ，
a CD ❑√2
∵a=2❑√2，由正弦定理得 = ，∴CD= .
sin2θ sinθ cosθ
3π
在△ACD中，∠ADC=2θ，∠ACD= -2θ，
4
❑√2
AD CD 2 cosθ
由正弦定理得 = ，即 = .
sin∠ACD sinA sin (3π -2θ ) sin π
4 4
(3π )
化简得cosθ=sin -2θ
4
sin ( π -θ )=sin (3π -2θ ) ，∵0<θ< π ，∴0< π -θ< π ，- π < 3π -2θ< 3π .
2 4 2 2 2 4 4 4
π 3π π 3π π π
∴ -θ= -2θ或 -θ+ -2θ=π，解得θ= 或θ= .
2 4 2 4 4 12
π π
当θ= 时，∠ACB= ，AC=BC=2❑√2，∴△ABC为等腰直角三角形，
4 2
1
得到△ABC的面积为S = ×2❑√2×2❑√2=4；
△ABC 2
π π π 2π
当θ= ，∠ACB=π- - = ，
12 12 4 3a c
在△ABC中由正弦定理得 = ，
sinA sin∠ACB
a 2❑√2 ❑√3
c= ⋅sinC= ⋅ =2❑√3
∴ sinA ❑√2 2
2
1 π ❑√6-❑√2
∴△ABC的面积为S = ×2❑√2×2❑√3×sin =2❑√6× =3-❑√3，
△ABC 2 12 4
综上可得△ABC的面积为4或3-❑√3.
π 5π
9．已知f (x)=sinωx(ω>0)，其图象相邻对称轴间的距离为 ，若将其图象向左平移 个单位得到函
2 12
数y=g(x)的图象.
(1)求函数y=g(x)的解析式及图象的对称中心；
(B) (A π) 2c 5
(2)在钝角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若f =g - ，求 + 的取值范
2 2 6 b cosA
围.
( 5π) ( 5π kπ )
【答案】(1)g(x)=sin 2x+ ，对称中心为 - + ,0 (k∈Z)
6 12 2
(2)[4❑√3,5❑√2)
【分析】（1）根据f (x)的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出ω，再根据图像平移得到 y=g(x)，由
对称中心公式求得结果；
(B) (A π) 2c 5
（2）由f =g - 得出A,B,C三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简 + ，再利用
2 2 6 b cosA
导数求函数单调区间得出结果.
π
【详解】（1）已知f (x)的图象相邻对称轴间的距离为 ，则T=π.
2
2π
由周期公式得，T= =π,ω>0，
|ω|
所以ω=2,f (x)=sin2x，
[ ( 5π)] ( 5π)
g(x)=sin 2 x+ =sin 2x+ ，
12 6
5π 5π kπ
令2x+ =kπ，所以x=- + ，
6 12 2( 5π kπ )
故函数y=g(x)的对称中心为 - + ,0 (k∈Z)
12 2
（2）由题意得，f
(B)
=sinB，g
(A
-
π)
=sin
[
2
(A
-
π)
+
5π]
=sin ( A+
π
) ，
2 2 6 2 6 6 2
π
所以
sinB=sin( A+ )
.
2
π π
所以B=A+ 或A+B=
（舍），
2 2
π
所以C= -2A.
2
π π
因为在钝角△ABC中，所以0<A< ,0<C<
，
2 2
π
所以0<A<
，
4
2c 5 2sinC 5
则 + = +
b cosA sinB cosA
2cos2A 5
2(2cos2A-1)+5
3
= + = =4cosA+
cosA cosA cosA cosA
令t=cosA,φ(t)=4t+ 3 ,t∈ (❑√2 ,1 ) ，φ'(t)=4- 3 ，
t 2 t2
❑√2 ❑√3 ❑√3
当 <x< 时，φ'(t)>0；当 <x<1时，φ'(t)>0；
2 2 2
(❑√2 ❑√3) (❑√3 )
可得φ(t)在 , 单调递减，在 ,1 单调递增.
2 2 2
❑√3 π
所以当t= ，即A= 时，φ(t)有最小值4❑√3；
2 6
(❑√2)
φ =5❑√2,φ(1)=7，所以φ(t)<5❑√2
2
2c 5
故 + ∈[4❑√3,5❑√2).
b cosA
10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=6，
2sin(A+C)+2bsin(B+C)=7❑√3．
(1)求角B的大小；(2)若⃗AC=3⃗DC，BD=❑√37，求c的值．
π
【答案】(1)B=
3
(2)9
【分析】（1）由sin(A+C)=sinB，sin(B+C)=sinA，代入2sin(A+C)+2bsin(B+C)=7❑√3得
2sinB+2bsinA=7❑√3，再由正弦定理得出bsinA=6sinB，即可求出sinB，结合△ABC是锐角三角形即
可得出角B的大小；
（2）由⃗AC=3⃗DC得AD=2DC，设∠BDA=θ，CD=x，则AD=2x，AC=3x，由余弦定理得出
cos∠BDA，cos∠BDC和cos∠ABC，整理得出关于c的方程，求解即可得出c的值．
【详解】（1）在△ABC中，因为sin(A+C)=sinB，sin(B+C)=sinA，
所以2sinB+2bsinA=7❑√3，
a b
由正弦定理，知 = ，且a=6，则bsinA=6sinB，
sinA sinB
❑√3
所以2sinB+12sinB=7❑√3，解得sinB= ，
2
π
又因为△ABC为锐角三角形，故B=
．
3
（2）因为⃗AC=3⃗DC，所以点D在线段AC上，且AD=2DC，
设∠BDA=θ，CD=x，则AD=2x，AC=3x，
37+4x2-c2
在△BDA中，由余弦定理，知cos∠BDA=cosθ= ①，
4❑√37x
37+x2-36
在△BDC中，由余弦定理，知cos∠BDC=cos(π-θ)=-cosθ= ②，
2❑√37x
c2-39
由①+②，整理得6x2+39-c2=0，即x2= ③，
6
36+c2-9x2 1
在△ABC中，cos∠ABC= = ，即36+c2-9x2=6c④，
12c 2
将③代入④，整理得c2+12c-189=0，解得c=9或c=-21（舍去），
故c=9．
❑√3 5
11．如图，在△ABC中，AB=AC= BC，点D在AB延长线上，且AD= BD．
3 2sin∠ACD
(1)求 ；
sin∠BCD
(2)若△ABC面积为❑√3，求CD．
5❑√3
【答案】(1)
2
14
(2)
3
2π
【分析】（1）设BC=❑√3t(t>0)，利用余弦定理求得A= ，再在△ACD和△BCD中两次利用正弦
3
定理即可求出比值.
（2）利用三角形面积公式即可求出（1）问的t值，再利用余弦定理即可.
❑√3
【详解】（1）因为AB=AC= BC,设BC=❑√3t(t>0),则AB=AC=t,
3
AB2+AC2-BC2 2t2-3t2 1
由余弦定理得cosA= = =- ，因为A∈(0,π)，
2AB⋅AC 2t2 2
2π π 5π
所以A= ,∠ABC=∠BCA= ,∠CBD=
3 6 6
CDsin∠ACD CDsin∠ACD 2❑√3
AD= = = CDsin∠ACD
在△ACD中,由正弦定理得 sinA 2π 3 ,
sin
3
CDsin∠BCD CDsin∠BCD
BD= = =2CDsin∠BCD
在△BCD中,由正弦定理得 sin∠CBD 5π ,
sin
6
2❑√3
5 CDsin∠ACD
因为AD= BD,所以 3 5
2 =
2CDsin∠BCD 2
sin∠ACD 5❑√3
整理得 = .
sin∠BCD 25 3
（2）由AD= BD得AB= BD,
2 2
1 2π
由（1）得 t2sin =❑√3,所以t=2,
2 3
2 4 5π
在△BCD中,BC=❑√3t=2❑√3,BD= AB= ,∠CBD= ,
3 3 6
由余弦定理得
CD=❑√BC2+BD2-2BC⋅BDcos∠CBD
=❑ √ (2❑√3) 2+ (4) 2 -4❑√3× 4 × ( - ❑√3) = 14 .
3 3 2 3
12．在①(2b-c)cosA=acosC，②asinB=❑√3bcosA，③acosC+❑√3csin A=b+c，这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．
(1)求A；
(2)若b=2，D为AB的中点，求CD的取值范围．
π
【答案】(1)A=
3
(2)[❑√3,2)
【分析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简即可；
1
（2）利用向量的几何意义与数量积，通过条件先计算得c∈(1,4)，再得⃗CD2= (c-2) 2+3，由二次函数
4
的单调性计算即可得出结果.
【详解】（1）若选①，(2b-c)cosA=acosC⇒2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC
2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB，
π 1 π
∵A、B、C∈ ( 0, ) ，∴sinB≠0⇒cosA= ⇒A= ；
2 2 3
若选②，asinB=❑√3bcosA⇒sinAsinB=❑√3sinBcosA，
π π
∵A、B、C∈ ( 0, ) ，∴sinB≠0⇒sinA=❑√3cosA⇒tanA=❑√3⇒A= ；
2 3
若选③acosC+❑√3csinA=b+c⇒sinAcosC+❑√3sinCsinA=sinB+sinC⇒sinAcosC+❑√3sinCsinA=sin(A+C)+sinC⇒❑√3sinCsinA=sinC(cosA+1)
π π
∵A、B、C∈ ( 0, ) ，∴sinC≠0⇒❑√3sinA-cosA=1=2sin ( A- ) ，
2 6
π π π π π π
而A- ∈ (- , ) ⇒A- = ⇒A= .
6 6 3 6 6 3
（2）
如图所示，设⃗AB=⃗c,⃗AC=⃗b，则⃗BC=⃗b-⃗c，|⃗c|=c,|⃗b|=b，⃗b⋅⃗c=c，
∵△ABC是锐角三角形，∴¿，
1 1 1
⃗CD= ⃗c-⃗b⇒⃗CD2= ⃗c2-⃗b⋅⃗c+⃗b2= (c-2) 2+3∈[3,4)，当c=2时取得最小值，故|⃗CD|∈[❑√3,2).
2 4 4
π
13．在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A≠ ,sinC+sin(B-A)=❑√2sin2A．
2
(1)求角A的取值范围；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并求b的值．
❑√2 π 1
①sinC= ,c=2❑√3；②B=A+ ,c=❑√3；③sinA= ,C>B,AC边上的中线长为❑√3+1；
2 4 2
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分．
(
π]
【答案】(1)A∈ 0,
4
(2)答案见解析
【分析】（1）应用两角和差公式结合正弦定理可求得正弦值范围，最后求出角的范围；
（2）由正弦定理结合余弦定理边角转化求出边长即可.
【详解】（1）在△ABC中，C=π-(A+B)，所以，sin(A+B)+sin(B-A)=❑√2sin2A．即，
2sinBcosA=2❑√2sinAcosA．
π
又因为A≠ ，所以cosA≠0，所以sinB=❑√2sinA∈(0,1]，由正弦定理得，b=❑√2a，所以A为锐角，
2( ❑√2] ( π]
所以sinA∈ 0, ，所以A∈ 0, ．
2 4
❑√2 π 3π
（2）选①因为sinC= ,C∈(0,π)，所以C= 或 ，
2 4 4
π π 3π 3π
当C= 时，A=π- -B= -B,sinB=❑√2sinA=❑√2sin( -B )=cosB+sinB，所以cosB=0，
4 4 4 4
❑√3 b
π =
即B= ，所以由正弦定理得❑√2 π ，所以b=2❑√6；
2 sin
2 2
3π 3π π (π )
当C= 时，A=π- -B= -B,sinB=❑√2sinA=❑√2sin -B =cosB-sinB，所以cosB=2sinB，
4 4 4 4
2❑√3 b
❑√5 = 2❑√30
所以sinB= ，所以由正弦定理得 ❑√2 ❑√5，所以b= ；
5 5
2 5
π π
选②B=A+ ,sinB=❑√2sinA=❑√2sin( B- )=sinB-cosB，所以cosB=0，
4 4
❑√3 b
π =
即B= ，所以由正弦定理得❑√2 π ，所以b=❑√6；
2 sin
2 2
选③因为sinA= 1 ，由（1）知A∈ ( 0, π] ，所以A= π ,sinB=❑√2sinA= ❑√2 ，所以B= π 或B= 3π ，
2 4 6 2 4 4
且C>B
π π π 7π
所以B= ,C=π- - = ，
4 6 4 12
又因为b=❑√2a，由余弦定理得：
1 ❑√2 ❑√2-❑√6
(❑√3+1) 2=a2+ a2-2×a× a× ，解得a=2，所以b=❑√2a=2❑√2．
2 2 4
❑√3
14．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为S= (a2+b2-c2 )，c=2❑√3．
4
π
(1)若B= ，求a；
4
(2)D为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．
条件①：CD为∠C的角平分线； 条件②：CD为边AB上的中线．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)❑√6+❑√2
(2)3
π
【分析】（1）根据题意，由余弦定理即可三角形的面积公式即可得到C= ，再由正弦定理即可得到结
3
果；
（2）若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由2⃗CD=⃗CA+⃗CB，再结合余弦定理
与基本不等式即可得到结果.
❑√3
【详解】（1）因为S= (a2+b2-c2)，
4
❑√3
由余弦定理可得：a2+b2-c2=2abcosC，所以S= ⋅2abcosC，
4
1 ❑√3 1
由三角形的面积公式可得S= absinC，所以 ⋅2abcosC= absinC，
2 4 2
π
所以tanC=❑√3，又C∈(0,π)，故C=
.
3
a c
由正弦定理得， = ，
sinA sinC
π π π π π π ❑√2+❑√6
且sinA=sin(B+C)=sin ( + )=sin cos +cos sin = ，
4 3 4 3 4 3 4
a 2❑√3
=
所以❑√2+❑√6 ❑√3 ，故有a=❑√6+❑√2.
4 2
（2）选择条件①：
在△ABC中，由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC，得a2+b2-12=ab，
即(a+b) 2=12+3ab≤12+3
(a+b) 2
，故a+b≤4❑√3，
2
当且仅当a=b=2❑√3时，等号成立，
又因为S +S =S
△CDA △CDB △ABC
❑√3ab ❑√3((a+b) 2-12)
所以CD= =
a+b 3(a+b)
❑√3( 12 ) ❑√3( 12 )
= (a+b)- ≤ 4❑√3- =3
3 a+b 3 4❑√3故CD的最大值为3.
选择条件②：
由题2⃗CD=⃗CA+⃗CB，平方得4|⃗CD| 2 =⃗CA2+⃗CB2+2⃗CA⋅⃗CB=b2+a2+2abcosC=a2+b2+ab，
在△ABC中，由余弦定理得a2+b2-12=ab，
即(a+b) 2=12+3ab≤12+3
(a+b) 2
，所以(a+b) 2≤48.
2
当且仅当a=b=2❑√3时，等号成立，
(a+b) 2-12 2
故有4|CD| 2=a2+b2+ab=(a+b) 2-ab=(a+b) 2- = (a+b) 2+4≤36，
3 3
从而|CD|≤3，故CD的最大值为3.
15．在△ABC中，B≠C，sinB+sinC=cosB+cosC．
(1)求A；
(2)若在△ABC内（不包括边界）有一点M，满足CM=2MA=2MB，且∠AMC=90°，求tan∠ACB．
π
【答案】(1)A=
2
4
(2)
5
【分析】（1）运用辅助角公式化简后解方程即可.
（2）在△MBC中运用正弦定理得θ与φ关系式，在Rt△MBC中求得sinθ与cosθ的值，两者联立求解即可.
【详解】（1）因为sinB+sinC=cosB+cosC，
所以sinB-cosB=cosC-sinC，
π π π π
所以 ❑√2sin ( B- )=❑√2sin ( -C ) ，即sin ( B- )=sin ( -C ) ，
4 4 4 4
π π 3π 3π π π
又0<B,C<π，则- <B- < ,- < -C< ，
4 4 4 4 4 4
π π π π
故B- = -C或 ( B- )+( -C )=π，
4 4 4 4
π π
又因为B- + -C=B-C=π不合题意，
4 4
π π
故B- = -C，
4 4π
所以B+C=
，
2
π
所以A=
．
2
π
（2）由（1）知，A= ，
2
设∠ACM=θ，又MA=MB，则∠MAB=∠MBA=θ，
π
设∠ACB=φ，则∠ABC= -φ，如图，
2
MC MB
=
在△MBC中，由正弦定理得
sin (
π
-φ-θ )
sin(φ-θ)，
2
又因为MC=2MB，
所以2sin(φ-θ)=cos(φ+θ)，
即2(sinφcosθ-cosφsinθ)=cosφcosθ-sinφsinθ①，
1 2
由MC=2AM，∠AMC=90°得，sinθ= ，cosθ= ，
❑√5 ❑√5
4 4
代入①式整理得，❑√5sinφ= cosφ，则tanφ= ．
❑√5 5
4
故tan∠ACB=
.
5
❑√6+❑√2
16．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB+cosC= ，
4
❑√6+3❑√2
cosB+sinC= .
4
(1)求A；
(2)若a=❑√3，求三角形ABC的周长.π
【答案】(1)A=
3
❑√6+2❑√3+3❑√2
(2)
2
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式求解；
❑√2 ❑√6+❑√2
（2）利用两角差的正弦、余弦公式可解得sinB= ，sinC= ，进而利用正弦定理即可求周长.
2 4
❑√6+❑√2 ❑√6+3❑√2
【详解】（1）由sinB+cosC= ，cosB+sinC= ,
4 4
8+4❑√3 1 ❑√3
可得sin2B+cos2C+2sinBcosC= = + ①，
16 2 4
24+12❑√3 3 3❑√3
cos2B+sin2C+2cosBsinC= = + ②，
16 2 4
加②可得，
sin2B+cos2B+cos2C+sin2C+2(sinBcosC+cosBsinC)=2+❑√3，
❑√3
即2+2sin(B+C)=2+❑√3,所以sin(B+C)= ，
2
❑√3
所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA= ，
2
π π
因为A∈ ( 0, ) ,所以A= .
2 3
❑√6+❑√2 2π
（2）因为sinB+cosC= ，B+C=π-A= ,
4 3
(2π ) ❑√6+❑√2
所以sinB+cosC=sinB+cos -B =
,
3 4
❑√6+❑√2
即(❑√3+2)sinB-cosB= ③；
2
❑√6+3❑√2 2π
又因为cosB+sinC= ，B+C=π-A= ,
4 3
(2π ) ❑√6+3❑√2
所以cosB+sinC=cosB+sin -B =
,
3 4
❑√6+3❑√2
即(❑√3+2)cosB+sinB= ④；
2
❑√2
联立③④解得，sinB=cosB= ，
2❑√6+❑√2 ❑√6+3❑√2
代入sinB+cosC= ，cosB+sinC= ，
4 4
❑√6+❑√2 ❑√6-❑√2
解得sinC= ，cosC= ，
4 4
π a
又因为a=❑√3，A= ，所以 =2R=2，
3 sinA
❑√6+❑√2
所以b=2RsinB=❑√2,c=2RsinC= ，
2
❑√6+❑√2 ❑√6+2❑√3+3❑√2
所以三角形ABC的周长为a+b+c=❑√3+❑√2+ = .
2 2
17．在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2c2=(a2+c2-b2)(tanA+tanB).
(1)求角A的大小；
(2)若边a=❑√2，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围.
π
【答案】(1)A=
4
❑√10 2+❑√2
(2)( , ].
2 2
【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
1
（2）由|⃗AD|2= (⃗AB+⃗AC) 2 ，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用
4
三角函数值域求出范围
【详解】（1）由余弦定理得2c2=2accosB(tanA+tanB)，
即c=acosB(tanA+tanB)，
sinA sinB
由正弦定理得sinC=sinAcosB(tanA+tanB)=sinAcosB ( + )
cosA cosB
sin(A+B) sinAsinC
=sinAcosB = ，
cosAcosB cosA
∵sinC≠0,∴sinA=cosA，即tanA=1，
π π
∵A∈ ( 0, ) ,∴A= .
2 4
（2）由余弦定理得：2=b2+c2-❑√2bc，则b2+c2=2+❑√2bc.
1 1 1
|⃗AD|2= (⃗AB+⃗AC) 2= (c2+b2+❑√2bc)= (1+❑√2bc)
4 4 2b c a
由正弦定理得 = = =2
sinB sinC sinA
所以b=2sinB,c=2sinC，
bc=4sinBsinC=4sinBsin (3π -B ) = ❑√2 (sinBcosB+sin2B)=❑√2(-cos2B+sin2B)+❑√2
4 2
π
=2sin ( 2B- )+❑√2
4
π π
因为△ABC是锐角三角形，所以¿，即 <B< ，
4 2
π π 3π ❑√2 π
则 <2B- < , <sin ( 2B- ) ≤1,∴bc∈(2❑√2,2+❑√2].
4 4 4 2 4
❑√10 2+❑√2
中线AD长的取值范围是( , ].
2 2
1
18．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2-b2=accosB- bc
2
(1)求A；
(2)若a=6，2⃗BD=⃗DC，求线段AD长的最大值.
π
【答案】(1)
3
(2)2❑√3+2
1
【分析】（1）根据余弦定理，化简可得b2+c2-a2=bc，即可得出cosA= ，再根据A的范围，即可得出
2
答案；
2 1 1
（2）解法一：由已知可得出⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC，平方整理可得⃗AD2= (b2+4c2+2bc)，再结合条件，
3 3 9
根据基本不等式，即可得出答案；
解法二：设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得R=2❑√3.作出△ABC的外接圆，结合图象，可得
出AD过圆心O时，AD的长取得最大值. 作OE⊥BC，构造直角三角形，求出OD=2，即可得出答案.
1
【详解】（1）因为a2-b2=accosB- bc，
2
a2+c2-b2 1
所以根据余弦定理，可得a2-b2=ac⋅ - bc，
2ac 2b2+c2-a2 1
所以b2+c2-a2=bc，所以cosA= = .
2bc 2
π
因为A∈(0,π)，所以A=
.
3
（2）解法一：因为2⃗BD=⃗DC，所以2(⃗AD-⃗AB)=⃗AC-⃗AD，
2 1
所以⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC，
3 3
1 1
所以⃗AD2= (4⃗AB2+⃗AC2+4⃗AB⋅⃗AC) = (b2+4c2+2bc)
.
9 9
因为b2+c2-a2=bc，a=6，所以b2+c2-bc=36，
1 b2+4c2+2bc
则⃗AD2=4× (b2+4c2+2bc)=4×
36 b2+c2-bc
(b) 2 b
+4+2×
c c
=4× .
(b) 2 b
+1-
c c
b t2+4+2t (t2-t+1)+3t+3 12(t+1)
令t= ，t>0，则⃗AD2=4× =4× =4+ .
c t2+1-t t2-t+1 t2-t+1
令u=t+1，则u>1，
12
12u =4+ 12
所以 ⃗AD2=4+ 3 ≤4+ =16+8❑√3，
u2-3u+3 u+ -3 2❑√3-3
u
3
当且仅当u= ，即u=❑√3时取等号.
u
所以，|⃗AD|≤❑√16+8❑√3=2❑√3+2，
所以，线段AD长的最大值为2❑√3+2.解法二：设△ABC外接圆的半径为R，
6
2R=
根据正弦定理，可得 ❑√3，所以R=2❑√3.
2
当AD过圆心O时，AD的长取得最大值.
作OE⊥BC，则E为BC的中点，
π 1 π
因为∠BAC= ，所以∠BOE= ×2∠BAC= ，
3 2 3
π
所以OE=OBcos =❑√3.
3
1
因为BE=3，BD= BC=2，所以DE=1，
3
所以OD=❑√OE2+ED2=2，
所以AD=2❑√3+2，
所以，线段AD长的最大值为2❑√3+2.
1
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB= ，且_________．
3
在①a2-b2+c2=2，②⃗AB⋅⃗BC=-1这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
(1)求ac；❑√2
(2)若sin AsinC= ，求b．
3
3❑√2
【答案】(1)ac=
4
1
(2)
2
【分析】（1）选①，用余弦定理即可求解，选②，用向量的数量积的运算即可求解；（2）用正弦定理即
可解决.
【详解】（1）若选①a2-b2+c2=2，
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，
∴1=accosB，
1 2❑√2 3❑√2
又sinB= ，∴cosB=❑√1-sin2B= ，∴ac= ．
3 3 4
若选②⃗AB⋅⃗BC=-1，
则|⃗AB||⃗BC|cos(π-B)=-accosB=-1，
1 2❑√2 3❑√2
又sinB= ，∴cosB=❑√1-sin2B= ，∴ac= ．
3 3 4
a b c
（2）由正弦定理 = = =2R（R为△ABC外接圆半径），
sinA sinB sinC
可得ac=2RsinA⋅2RsinC=4R2sinAsinC，
❑√2 3❑√2
又∵sinAsinC= ，ac=
3 4
3❑√2 ❑√2 3
∴ =4R2× ，解得R= ．
4 3 4
3 1 1
∴b=2RsinB=2× × = ．
4 3 2
20．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=❑√3，b(1+cosC)=❑√3csinB.
(1)求角C的大小和边b的取值范围；(2)如图，若O是△ABC的外心，求⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB的最大值.
π
【答案】(1)C= ，0<b≤2
3
5
(2)
2
π
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得C= ，再根据正弦定理求边b的取值范围；
3
3
（2）解法一：根据数量积结合圆的性质整理可得⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB=b2-
，进而可求取值范围；解法
2
3
二：根据数量积结合余弦定理整理可得⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB=b2-
，进而可求取值范围.
2
【详解】（1）在△ABC中，由b(1+cosC)=❑√3csinB结合正弦定理可得：
sinB(1+cosC)=❑√3sinCsinB，
因为B∈(0,π)，则sinB≠0，
π π 1
化简得 ❑√3sinC-cosC=2sin ( C- )=1，即sin(C- )= ，
6 6 2
π π 5π
又因为C∈(0,π)，则C- ∈ (- , ) ，
6 6 6
π π π
所以C- = ，解得C=
，
6 6 3
c b ❑√3
= = =2
由正弦定理sinC sinB ❑√3 ，化简得b=2sinB，
2
2π
因为0<B< ，所以0<sinB≤1，所以0<b≤2.
3
2π
（2）解法1：由正弦定理得|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|=R=1，且∠AOB= ，
3
因为⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB=⃗OC⋅(⃗OB-⃗OA)+(⃗OA-⃗OC)⋅(⃗OB-⃗OC)
=⃗OC⋅⃗OB-⃗OC⋅⃗OA+⃗OA⋅⃗OB-⃗OA⋅⃗OC-⃗OC⋅⃗OB+⃗OC2
1 1
=-2⃗OC⋅⃗OA+⃗OA⋅⃗OB+⃗OC2=-2cos∠AOC- +12= -2cos∠AOC，
2 2
当点O不在△ABC外部时（如图）∠AOC=2B，1 1 3 3
⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB= -2cos2B= -2(1-2sin2B)=4sin2B- =b2- ；
2 2 2 2
当点O在△ABC外部时（如图），∠AOC=2(π-B)=2π-2B，
1 1 3
⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB= -2cos(2π-2B)= -2cos2B=b2- ；
2 2 2
由（1）可知0<b≤2，
5
即当b=2时，则⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB的最大值为 .
2
π 1
解法2：由题可知：⃗CA⋅⃗CB=a⋅bcos = ab，
3 2
如图，分别取线段BC,AC的中点D,E，
由于O是△ABC的外心，则OD⊥BC,OE⊥AC，
则⃗OC⋅⃗AB=-⃗CO⋅(⃗CB-⃗CA)=-⃗CO⋅⃗CB+⃗CO⋅⃗CA
a2 b2
=-⃗CD⋅⃗CB+⃗CE⋅⃗CA=- + ，
2 2
b2+ab-a2
所以⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB= ，
2
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即3=a2+b2-ab，
整理得ab-a2=b2-3，
b2+ab-a2 b2+b2-3 3
所以⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB= = =b2- ，
2 2 2
由（1）可知0<b≤2，
5
即当b=2时，则⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB的最大值为 .
221．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2(acosC-b)，c2+a2=b2+❑√3ac，b=2.
(1)求A；
π
(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN= ，求△AMN面积的取值范围.
3
2π
【答案】(1)
3
[❑√3 ❑√3)
(2) ,
3 2
【分析】（1）结合条件，利用正弦定理进行边角转化即可得到结果；
1
AM=
（2）设∠BAM=α，在△ABM中，利用正弦定理得到
sin (
π
+α
)，在△ANC中，利用正弦定
6
❑√3
1 S =
理得到AN= cosα ，从而得到 △AMN 2sin ( 2α+ π )+1 ,再利用y=sinx的性质即可求出结果.
6
【详解】（1）由c=2(acosC-b)得2acosC=c+2b，由正弦定理得
2sinAcosC=sinC+2sinB=sinC+2sin(A+C)=sinC+2sinAcosC+2cosAsinC，
所以2cosAsinC+sinC=0，又因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，
1 2π
所以cosA=- ，又A∈(0，π)，所以A= ，
2 3
c2+a2-b2 ❑√3
（2）由c2+a2=b2+❑√3ac，得c2+a2-b2=❑√3ac，由余弦定理知cosB= = ，又因为
2ac 2
π
B∈(0，π)，所以B=
，
6
π
所以C=π-A-B= ，所以b=c=2，如图，设∠BAM=α,
6
π 5π π
则∠CAN= -α,∠BMA= -α,∠CNA= +α，
3 6 2π
2sin
csinB 6 1
在△ABM中，由正弦定理可知
AM= = =
，
sin∠BMA sin (5π -α ) sin ( π +α )
6 6
π
2sin
bsinC 6 1
在△ANC中，由正弦定理可知AN= = =
，
sin∠CNA
sin (
π
+α )
cosα
2
1 1 1 1 π ❑√3
S = AM⋅AN⋅sin∠MAN= ⋅ ⋅ ⋅sin =
故 △AMN 2 2 sin ( α+ π ) cosα 3 4sin ( α+ π ) cosα
6 6
❑√3 ❑√3
❑√3 ❑√3 = =
= 2(❑√3sinα+cosα)cosα = 2❑√3sinαcosα+2cos2α ❑√3sin2α+cos2α+1 2sin ( 2α+ π )+1 ，
6
π π π 5π 1 π
因为α∈ ( 0， ) ，所以 <2α+ < ，所以 <sin ( 2α+ ) ≤1，
3 6 6 6 2 6
❑√3 ❑√3 ❑√3
π ≤ <
所以2<2sin ( 2α+ 6 )+1≤3，所以 3 2sin ( 2α+ π )+1 2 ，
6
[❑√3 ❑√3)
即S ∈ ， .
△AMN 3 2
22．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A=60°.
7❑√3
(1)若b=8，△ABC外接圆的半径为 ，求c；
3
(2)若b+c=6，求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)c=5或c=3
(2)[9,12)
【分析】（1）由正弦定理求得a，再由余弦定理列方程求得c；
2π
（2）由已知得出0<B< ，由正弦定理把a表示为B的函数，然后利用两角和与差的正弦公式变形，结
3
合正弦函数性质得取值范围，从而得周长的范围．
a 7❑√3
【详解】（1）根据条件，由正弦定理，得 =2× ，解得a=7，
sin60° 3
由余弦定理，得72=82+c2-2×8ccos60°，解得c=5或c=3；π 2π 2π
（2）A= ，则0<B< ，C= -B，
3 3 3
a b c 2❑√3 2❑√3
由正弦定理 = = 得，b= asinB，c= asinC，
sinA sinB sinC 3 3
2❑√3 3❑√3
因为b+c= a(sinB+sinC)=6，所以a= ，
3 sinB+sinC
2π 2π 2π
又sinB+sinC=sinB+sin( -B)=sinB+sin cosB-cos sinB
3 3 3
3 ❑√3 ❑√3 1 π
= sinB+ cosB=❑√3( sinB+ cosB)=❑√3sin(B+ )，
2 2 2 2 6
2π π π 5π 1 π
0<B< ，则 <B+ < ，所以 <sin(B+ )≤1，
3 6 6 6 2 6
❑√3
所以 <sinB+sinC≤❑√3，所以3≤a<6，
2
所以9≤a+b+c<12，即△ABC的周长的取值范围为[9,12)．
B+C
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csin =asinC.
2
(1)求角A的大小；
❑√21
(2)若b=2，sinB= ，求边c及sin(2B+A)的值.
7
π
【答案】(1) ；
3
5❑√3
(2) .
14
B+C A A A
【分析】（1）根据正弦定理化简为sinCsin =sinAsinC，从而可得sinCcos =2sin cos sinC，
2 2 2 2
A 1 π
结合角的范围可得sin = ，从而可求得A= ；
2 2 3
❑√21
（2）由正弦定理求得a=❑√7，再根据余弦定理可求得c=3，由sinB= 求得cosB，进而求得sin2B，
7
cos2B，再结合和角正弦公式可得sin(2B+A).
【详解】（1）根据正弦定理，B+C B+C
由csin =asinC可得sinCsin =sinAsinC.
2 2
π-A A A A
即sinCsin =sinAsinC，即sinCcos =2sin cos sinC，
2 2 2 2
A π A
因为0<C<π,0<A<π，所以sinC>0,0< < ,cos >0.
2 2 2
A 1 A π π
所以sin = ，即 = ,A= .
2 2 2 6 3
a 2
a b =
（2）由正弦定理 = ，可得❑√3 ❑√21，解得a=❑√7，
sinA sinB
2 7
根据余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，
即7=4+c2-2c，c2-2c-3=0，解得c=3或c=-1（舍去）
故c=3.
π 2❑√7
因为b<a，所以B<A= ，所以cosB=❑√1-sin2B=
，
3 7
❑√21 2❑√7 4❑√3
所以sin2B=2sinBcosB=2× × = ，
7 7 7
cos2B=1-2sin2B=1-2×
(❑√21) 2
=
1
，
7 7
4❑√3 1 1 ❑√3 5❑√3
所以sin(2B+A)=sin2BcosA+cos2BsinA= × + × = .
7 2 7 2 14
❑√3
24．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A为锐角，asinB= b.
2
(1)求角A；
(2)若D为BC边上一点，且满足AD=CD=2BD，试判断△ABC的形状.
π
【答案】(1)
3
(2)△ABC为直角三角形
【分析】（1）利用正弦定理边化角，分析运算即可；
（2）设∠ACD=θ，用θ表示其他角，并结合正弦定理建立关系，利用三角恒等变换运算求解即可.
❑√3
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理有：sinA⋅sinB= sinB，
2❑√3
因为sinB≠0，所以sinA= ，
2
π
又因为A为锐角，即A=
.
3
（2）设∠ACD=θ，
在△ACD中，AD=CD，则∠CAD=θ，
π 2π
可得∠BAD= -θ,∠ABC= -θ，
3 3
BD AD
=
在△ABD中，由正弦定理有： sin( π -θ ) sin (2π -θ )，
3 3
又因为AD=2BD，所以2sin ( π -θ )=sin (2π -θ ) ，
3 3
❑√3 1 ❑√3
则❑√3cosθ-sinθ= cosθ+ sinθ，化简得tanθ= ，
2 2 3
π π π
因为θ∈ ( 0, ) ，即θ= ，则∠ABC= ，
3 6 2
所以△ABC为直角三角形.
25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2(1+cosA)=2bcsin2A．
(1)判断△ABC的形状；
2π
(2)已知D为BC上一点，则当A= ，a=3❑√3，AD=❑√3时，D为BC的几等分点？
3
【答案】(1)等腰三角形
(2)D为BC的三等分点
【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变化计算即可；
π
（2）结合（1）的结论可得B=C= ，由余弦定理计算即可.
6
【详解】（1）由正弦定理得：sin2A(1+cosA)=2sinBsinCsin2A，
因为A∈(0,π)，所以sinA≠0，即1+cosA=2sinBsinC，
由A+B+C=π，则有1-cos(B+C)=2sinBsinC，
整理得1=cosBcosC+sinBsinC=cos(B-C)．
所以B-C=2kπ，
而B、C∈(0,π)，则B=C，即△ABC为等腰三角形．π
（2）由（1）可得B=C= ．
6
a 1 3❑√3
b=sinB⋅ = × =3
由正弦定理可得 sinA 2 ❑√3 ，故b=c=3．
2
余弦定理可知：AD2=AB2+BD2-2×AB×BD×cosB，即BD2-3❑√3BD+6=0，
1 2
解之得BD=❑√3= BC或BD=2❑√3= BC，所以D为BC的三等分点．
3 3
26．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=sinB.
(1)证明：b≥ac；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=1，求asinB的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
❑√5-1
(2)( ,1)
2
【分析】（1）利用sinC≤1结合正弦定理角化边，即可证明结论；
（2）由正弦定理推得sinA=a2，作CH⊥AB于H，可得c=❑√1-a4+a❑√1-a2，利用锐角三角形性质推
❑√5-1
出b2+a2>c2，化简可得a4+a2-1>0，求得a2> ，结合a2<1，asinB=a2即可求得答案.
2
【详解】（1）由于a=sinB，sinC≤1，故asinC≤sinB,∴ac≤b，
即b≥ac.
b a
（2）由b=1, = ,∴sinA=asinB=a2 ，作CH⊥AB于H，
sinB sinA
则CH=bsinA=a2<1,
于是c=AB=AH+BH=❑√1-a4+a❑√1-a2，在锐角△ABC中，cosC>0,故b2+a2>c2,∴1+a2>(1-a2 )( ❑√1+a2+a) 2 ，
∴1+a2>(1-a2 )(2a❑√1+a2+2a2+1),∴a3>(1-a2 )❑√1+a2，
则a6>(1-a2
)
2 (1+a2 )=1-a2-a4+a6，
❑√5-1 -❑√5-1
故a4+a2-1>0，故a2> 或a2<
（舍去），
2 2
❑√5-1
又a2<1，则asinB=a2 ∈( ,1).
2
π π
27．在△ABC中，❑√3sin ( B+ )=-cos ( B+ ) ．
6 6
(1)求B的值；
15❑√3
(2)给出以下三个条件：①a2-b2+c2+3c=0；②a=❑√3，b=1；③S = ，若这三个条件中仅有
△ABC 4
两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求sinA的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
2π
【答案】(1)B=
3
3❑√3 15
(2)正确条件为①③，（i）sinA= ，（ii）BD=
14 8
π
【分析】（1）利用和角正弦公式可得2sin ( B+ )=0，结合三角形内角和性质即可求B的值；
3
（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦
定理求sinA；
π
（ii）由角平分线性质求得∠ABD= ，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出sin∠ADB，
3
再根据正弦定理求BD的长．
π π π
【详解】（1）由题设❑√3sin ( B+ )+cos ( B+ )=2sin ( B+ )=0，
6 6 3
π π 4π
而 <B+ < ，
3 3 3π 2π
所以B+ =π，故B=
；
3 3
（2）若①②正确，则c2+3c+2=(c+1)(c+2)=0，得c=-1或c=-2，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
1 15❑√3 15
若②③正确，则S = absinC= ，可得sinC= >1，即②为错误条件，
△ABC 2 4 2
综上，正确条件为①③，
（i）由2accosB=a2+c2-b2，则c(3-a)=0，即a=3，
1 15❑√3
又S = acsinB= ，可得c=5，
△ABC 2 4
a b 14
所以9-b2+25+15=0，可得b=7，则 = = ，
sinA sinB ❑√3
3❑√3
故sinA= ；
14
（ii）因为sinA=
3❑√3
且A∈ ( 0,
π
) ，得cosA=❑√1-sin2A=
13
，
14 3 14
π
由BD平分∠ABC得∠ABD=
，
3
❑√3 13 1 3❑√3 4❑√3
在△ABD中，sin∠ADB=sin(∠ABD+A)= × + × = ，
2 14 2 14 7
3❑√3
5×
BD AB 14 15
在△ABD中，由 = ，得BD= = ．
sinA sin∠ADB 4❑√3 8
7
28．在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且__________.在下列两个条件中选择一个补充在
1
横线上：①b=ccosA+ a；②sin2C=sin240∘-sin40∘sin80∘+sin280∘
2
(1)求出角C的大小；
(2)若角C的平分线交边AB于点D，且c=2，求|CD|的取值范围.π
【答案】(1)
3
(4 ]
(2) ,❑√3
3
【分析】（1）由选择的条件,结合正余弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C的大小；
❑√3ab 1 [ 4 ]
（2）设|CD|=m，由三角形面积公式得m= ，再由余弦定理得m= (a+b)- ，构造函数，
a+b ❑√3 a+b
利用单调性求取值范围.
1
【详解】（1）若选①b=ccosA+ a，由正弦定理边化角，
2
1
得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA+ sinA，
2
1 π
锐角△ABC中sinA>0，则cosC= ，所以C=
.
2 3
若选②sin2C=sin240∘-sin40∘sin80∘+sin280∘
余弦定理有c2=a2+b2-2abcosC，由正弦定理边化角，
得sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC，
可取A=40∘,B=80∘,C=60∘，
则sin260∘=sin240∘-2sin40∘sin80∘cos60∘+sin280∘=sin240∘-sin40∘sin80∘+sin280∘，
又sin2C=sin240∘-sin40∘sin80∘+sin280∘，则sin2C=sin260∘，
π
故锐角△ABC中C=60∘ ，即C= .
3
π 1 π 1 π 1 π ❑√3ab
（2）由C= ，令|CD|=m，则S= absin = amsin + bmsin ，得m= ，
3 2 3 2 6 2 6 a+b
由余弦定理c2=4=a2+b2-ab=(a+b) 2-3ab，得3ab=(a+b) 2-4，
1 [ 4 ]
所以m= (a+b)- ，
❑√3 a+b
c 4 ( (2π ))
t=a+b= (sinA+sinB)= sinA+sin -A
sinC ❑√3 3
=4 (❑√3 sinA+ 1 cosA ) =4sin ( A+ π ) ，
2 2 6锐角△ABC中A∈ ( π , π ) ，则sin( A+ π ) ∈ (❑√3 ,1 ] ，∴t∈(2❑√3,4]，
6 2 6 2
4 4 (4❑√3 ]
函数y=t- 在(2❑√3,4]上单调递增，则t- ∈ ,3 ，
t t 3
(4 ]
∴|CD|∈ ,❑√3
3
( x x) ( x x)
29．已知向量⃗m= 2❑√3cos ,-2sin ，⃗n= cos ,cos ，函数y=f (x)=⃗m⋅⃗n.
2 2 2 2
[ π π]
(1)设θ∈ - , ，且f (θ)=❑√3+1，求θ的值；
2 2
❑√3
(2)在△ABC中，AB=1，f (C)=❑√3+1，且△ABC的面积为 ，求sinA+sinB的值.
2
π π
【答案】(1) - 或
2 6
❑√3
(2)1+
2
π π 1
【分析】（1）化简得到f(x)=2cos ( x+ )+❑√3，代入数据得到cos ( θ+ )= ，得到
6 6 2
π π
θ+ =2kπ± (k∈Z)，根据范围得到答案.
6 3
π
（2）确定C= ，根据面积公式得到ab=2❑√3，根据余弦定理得到a2+b2=7，得到a+b=2+❑√3，再根
6
据正弦定理得到答案.
x x x π
【详解】（1）f(x)=2❑√3cos2 -2sin cos =❑√3(1+cosx)-sinx=2cos ( x+ )+❑√3.
2 2 2 6
π π 1
f (θ)=2cos ( θ+ )+❑√3=❑√3+1，得cos ( θ+ )= ，
6 6 2
π π [ π π] π π
故θ+ =2kπ± (k∈Z)，θ∈ - , ，故θ=- 或 .
6 3 2 2 2 6
π
（2）C∈(0,π)， 由（1）知C= ，
6
❑√3 1 π
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a,b，则S= = absin ，故ab=2❑√3.
2 2 6π
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，故a2+b2=7.
6
解得¿ 或¿，于是a+b=2+❑√3，
sinA sinB sinC 1 1 ❑√3
由正弦定理得 = = = ，故sinA+sinB= (a+b)=1+ .
a b 1 2 2 2
A+B
30．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a-3b+6bsin2 =0．
2
(1)求证：a+3bcosC=0；
(2)求tan A的最大值．
【答案】(1)证明见解析
3
(2)
4
【分析】（1）利用三角形内角性质以及三角函数诱导公式，根据余弦定理，整理等式，结合半角公式，
可得答案；
（2）利用正弦定理，三角函数内角性质以及同角三角函数的基本关系，整理出关于角B的函数解析式，
利用基本不等式，可得答案.
A+B
【详解】（1）∵a-3b+6bsin2 =0，
2
π-C C
∴a-3b+6bsin2 =a-3b+6bcos2 =0，
2 2
1+cosC
∴a-3b+6b⋅ =0，
2
∴a+3bcosC=0．
（2）由（1）可得：sinA+3sinBcosC=0，且C为钝角，
即4sinBcosC+cosBsinC=0，
即4tanB+tanC=0，tanC=-4tanB，
tanB+tanC 3tanB 3 3 3
tanA=-tan(B+C)=- = = ≤ =
1-tanBtanC 4tan2B+1 1 √ 1 4，
4tanB+ 2❑4tanB×
tanB tanB
1 1
当且仅当4tanB= ，即tanB= 时取等号．
tanB 2
3
故tanA的最大值为 ．
431．在①tan A+tanB+❑√3=❑√3tan AtanB；②(c+a-b)(sinC-sin A+sinB)=asinB；
③❑√3csinB=b(cosC+1)；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在
△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．
(1)求角C；
❑√3
(2)若△ABC的内切圆半径为 ,b=4，求a-c．
2
π
【答案】(1)
3
(2)-1
【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②由正弦定理统一为边，再由余弦定理求
解，选择③根据正弦定理统一为角，由辅助角公式求解；
（2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解即可.
【详解】（1）选择①：由已知得tanA+tanB=❑√3(tanAtanB-1)，
tanA+tanB
所以tanC=-tan(A+B)=- =❑√3，
1-tanAtanB
π
在△ABC中，C∈(0,π)，所以C=
．
3
选择②：由已知及正弦定理得(c+a-b)(c-a+b)=ab，
a2+b2-c2 1
所以a2+b2-c2=ab，所以cosC= = ，
2ab 2
π
因为0<C<π，所以C=
．
3
选择③：由正弦定理可得❑√3sinBsinC=sinB(cosC+1)，
又B∈(0,π)，所以sinB>0，则❑√3sinC-cosC=1，
π π 1
则2sin ( C- )=1，故sin( C- )= ．
6 6 2
π π 5π π π
又因为- <C- < ，所以C- = ，
6 6 6 6 6
π
解得C=
．
3
（2）由余弦定理得c2=a2+b2-ab=16+a2-4a，①
1 1
由等面积公式得 (a+b+c)r= absinC．
2 21 ❑√3 1 ❑√3
即 (a+b+c)× = ×4a× ．
2 2 2 2
整理得3a=4+c，②
5 7
联立①②，解得a= ,c= ，
2 2
所以a-c=-1．
π ❑√3
32．设函数f (x)=2sinxcos ( x- )- ，若锐角 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ABC
3 2
△ △
外接圆的半径为R，acosB-bcosA=R．
(1)若f (A)=1，求B；
R-c
(2)求 的取值范围．
b
π
【答案】(1)
4
(2)(-1,0)
5π
【分析】(1)先利用三角恒等变换化简f (x)，解出A= ，再用正弦定理解三角形即可；
12
π π R-c π
(2)先得出B∈ ( , ) ，再利用正弦定理将 化为2sin ( B- ) ，最后利用三角函数的性质得出范
6 3 b 3
围即可.
【详解】（1）由题意得f (x)=2sinx⋅ (1 cosx+ ❑√3 sinx ) - ❑√3 =sinx⋅cosx- ❑√3 (1-2sin2x)
2 2 2 2
1 ❑√3 π
= sin2x- cos2x=sin ( 2x- )
2 2 3
π π π π 5
f (A)=1,∴sin ( 2A- )=1,又0<A< ，所以2A- = ，解得A= π．
3 2 3 2 12
a b c
又根据正弦定理 = = =2R，有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
sinA sinB sinC
1
由acosB-bcosA=R，有2RsinAcosB-2RsinBcosA=R，得sin(A-B)= ，
2
π π π
因为A，B∈ ( 0, ) ，所以A-B∈ (- , ) ，
2 2 2π π
∴A-B= ,∴B=
．
6 4
π
（2）由（1）知，A= +B，
6
5π
所以C=π-(A+B)= -2B，
6
π π
( )
因为¿，即¿，所以B∈ , ，
6 3
(5π )
1-2sin -2B
则R-c R-2RsinC 1-2sinC 6 1-cos2B-❑√3sin2B
= = = =
b 2RsinB 2sinB 2sinB 2sinB
2sin2B-2❑√3sinBcosB π
= =sinB-❑√3cosB=2sin ( B- ) ，
2sinB 3
π π π π
B∈ ( , ) ，有B- ∈ (- ,0 ) ，
6 3 3 6
π
所以2sin ( B- ) ∈(-1,0)，
3
R-c
所以 的取值范围为(-1,0)．
b
33．从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
❑√3 a+b c-b c+b
①S= (b2+c2-a2)，其中S为△ABC的面积，② = ，③❑√3sinC+cosC= ．
4 sinC sin A-sinB a
在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，_______________．
(1)求角A；
(2)若D为边AB的中点，CD=2❑√3，求b+c的最大值．
π
【答案】(1)A=
3
(2)4❑√7
1
【分析】（1）选①，利用余弦定理可得b2+c2-a2=2bccosA，再结合面积公式S= bcsinA，可得
2
tanA=❑√3，进而求解；
a+b c-b 1
选②，由 = 结合正弦定理可得b2+c2-a2=bc，再结合余弦定理可得cosA= ，进而求解；
sinC sinA-sinB 2
c+b
选③，由❑√3sinC+cosC= 结合正弦定理可得❑√3sinCsinA+cosCsinA=sinC+sinB，进而得到
aπ
2sin ( A- )=1，进而求解.
6
(2π )
（2）在△ACD中，设∠ADC=θ，由正弦定理可得AC=4sinθ，AD=4sin -θ ，进而得到
3
b+c=8sinθ+4❑√3cosθ=4❑√7sin(θ+φ)，进而求解.
【详解】（1）选①，由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA，
1 1 ❑√3
又S= bcsinA，所以 bcsinA= ×2bccosA，
2 2 4
得tanA=❑√3，
π
因为0<A<π，所以A=
．
3
a+b c-b a+b c-b
选②，因为 = ，由正弦定理得： = ，
sinC sinA-sinB c a-b
整理得：b2+c2-a2=bc，
b2+c2-a2 1
由余弦定理得：cosA= = ，
2bc 2
π
因为0<A<π，所以A=
．
3
c+b sinC+sinB
选③，因为❑√3sinC+cosC= ，由正弦定理得：❑√3sinC+cosC= ，
a sinA
即❑√3sinCsinA+cosCsinA=sinC+sinB，
又因为A+C=π-B，
所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，
所以❑√3sinCsinA-sinCcosA=sinC，
因为0<C<π，所以sinC≠0，
π
所以
❑√3sinA-cosA=2sin ( A- )=1，
6
π π 5
因为0<A<π，所以- <A- < π，
6 6 6
π π π
所以A- = ，即A=
．
6 6 3
（2）在△ACD中，设∠ADC=θ，
AC AD 2❑√3
= = =4
由正弦定理得sinθ (2π ) ❑√3 ，
sin -θ
3 2(2π )
所以AC=4sinθ，AD=4sin -θ ，
3
(2π ) ❑√3
∴b+c=4sinθ+8sin -θ =8sinθ+4❑√3cosθ=4❑√7sin(θ+φ)≤4❑√7，其中tanφ= ，
3 2
π
当θ+φ= 时取等号，所以b+c的最大值是4❑√7．
2
34．在△ABC中，D是边BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍.
(1)如图1，若∠BAC=120°，且|AD|=1，求△ACD的面积；
❑√3-1
(2)如图2，若点E在边AB上，且|BC|=❑√3|AC|，|AE|= |AB|，求tan∠BCE的值.
2
3❑√3
【答案】(1)
8
(2)1
【分析】（1）由条件，结合三角形面积公式，得|AB|=2|AC|，并结合三角形面积的关系，列式求|AC|，
即可求△ACD的面积；
（2）首先根据边的关系，结合勾股定理，判断∠ACB为直角，在△ACE和△BCE中，根据正弦定理，
求∠BCE，即可求解.
【详解】（1）因为△ABD的面积是△ACD的面积的两倍，∠BAC=120∘，且|AD|=1，AD平分
∠BAC.
1 ❑√3 1 ❑√3
所以S = |AD|⋅|AB|⋅ =2S =2⋅ |AD|⋅|AC|⋅ ，所以|AB|=2|AC|，
△ABD 2 2 △ACD 2 2
1 ❑√3 3❑√3 1 ❑√3 ❑√3
又因为S =3S =3⋅ |AD|⋅|AC|⋅ = |AC|= |AB|⋅|AC|⋅ = ⋅2|AC|2 ，
△ABC △ACD 2 2 4 2 2 4
3 1 ❑√3 3 ❑√3 3❑√3
所以|AC|= ，所以S = |AC||AD|⋅ = × = ，
2 △ACD 2 2 2 4 8
3❑√3
所以△ACD的面积为 ；
8
（2）由（1）知|AB|=2|AC|.设|AC|=b，则|AB|=2b，又因为|BC|=❑√3|AC|=❑√3b，
|AC|2+|BC|2=b2+3b2=4b2=|AB|2，
所以△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
b AE (❑√3-1)b
在△ACE中，由正弦定理可得 = =
sin∠AEC sin∠ACE sin∠ACE
在△BCE中，由正弦定理可得
❑√3b BE 2b-(❑√3-1)b (3-❑√3)b
= = = ，
sin∠BEC sin∠BCE sin∠BCE sin∠BCE
因为sin∠AEC=sin∠BEC，所以sin∠ACE=sin∠BCE，
又因为∠ACE，∠BCE均为锐角，
π
所以∠ACE=∠BCE= ，所以tan∠BCE的值为1.
4
35．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bsin A+2❑√3cosB=❑√3c．
(1)求A；
π
(2)设C= ，D为边BC上一点，且∠BAD=∠CAD，求AD．
12
7π ❑√6+❑√2 π ❑√6-❑√2
参考数据：sin = ，sin = ．
12 4 12 4
π
【答案】(1)A=
3
❑√6
(2)
3
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理将C用A,B表示，结合两角和的正弦公
式化简即可得解；
（2）法一：先利用等面积法将AD用b,c表示，再在△ABC中，由正弦定理求得b,c，代入化简即可得解.
法二：在△ABD和△ACD中，分别利用正弦定理求出BD,CD，再根据BD+CD=2即可得解.
【详解】（1）因为a=2，所以bsinA+❑√3acosB=❑√3c，
所以由正弦定理得sinBsinA+❑√3sinAcosB=❑√3sinC，
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以❑√3cosAsinB=sinAsinB，
因为0<B<π，所以sinB>0，所以❑√3cosA=sinA，即tanA=❑√3，
π
又0<A<π，所以A=
；
31 1 1
（2）法一：由题意，得 b×ADsin∠CAD+ c×ADsin∠BAD= bcsin∠BAC，
2 2 2
π π ❑√3bc
结合∠BAC= ，∠BAD=∠CAD= ，解得AD= ，
3 6 b+c
b c a 4
在△ABC中，由正弦定理得 = = = ，
sinB sinC sin∠BAC ❑√3
4sinB 4sinC
则b= ，c= ，
❑√3 ❑√3
7π π ❑√6+❑√2 ❑√6-❑√2
4sin sin 4× ×
❑√3bc 4sinBsinC 12 12 4 4 ❑√6
从而AD= = = = = ．
b+c sinB+sinC 7π π ❑√6+❑√2 ❑√6-❑√2 3
sin +sin +
12 12 4 4
π π 7π
法二：由题意，得∠BAD=∠CAD= ，又C= ，所以B= ，
6 12 12
AD BD
在△ABD中，由正弦定理，得 = ，
sinB sin∠BAD
π
ADsin
ADsin∠BAD 6 AD
则BD= = =
，
sinB 7π 7π
sin 2sin
12 12
AD CD
在△ACD中，由正弦定理得 = ，
sinC sin∠CAD
ADsin∠CAD AD
CD= =
则 sinC π ，
2sin
12
AD AD
+ =2
由BD+CD=2，得 7π π ，
2sin 2sin
12 12
7π π ❑√6+❑√2 ❑√6-❑√2
4sin sin 4× ×
12 12 4 4 ❑√6
解得AD= = = ．
7π π ❑√6+❑√2 ❑√6-❑√2 3
sin +sin +
12 12 4 4
sin2B-sin2 ∠ACB
36．在锐角三角形ABC中，sin A-sin∠ACB= ，AB=1．
sin(∠B+∠ACB)
(1)求∠B．
(2)求AB边上的高的取值范围．
π
【答案】(1)∠B=
3(❑√3 )
(2) ,❑√3
4
【分析】（1）根据三角形的内角和定理结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）设AB边上的高为h，则h=asinB，再利用正弦定理及三角函数求出a的范围，即可得解，注意三角形
为锐角三角形.
【详解】（1）设△ABC的内角∠A，∠B，∠ACB的对边分别为a，b，c，
sin2B-sin2 ∠ACB
因为sin(∠B+∠ACB)=sin(π-A)=sinA，sinA-sin∠ACB= ，
sin(∠B+∠ACB)
所以sinA(sinA-sin∠ACB)=sin2B-sin2 ∠ACB，
由正弦定理，得a(a-c)=b2-c2，整理得a2+c2-b2=ac，
a2+c2-b2 ac 1
由余弦定理得cosB= = = ，
2ac 2ac 2
π π
又∠B∈ ( 0, ) ，所以∠B= ；
2 3
π ❑√3
（2）设AB边上的高为h，则h=asinB=asin = a，
3 2
(2π )
sin -∠ACB
由正弦定理，得 csinA 3 ❑√3 1，
a= = = +
sin∠ACB sin∠ACB 2tan∠ACB 2
由△ABC为锐角三角形，
π π ❑√3
得¿，得 <∠ACB< ，则tan∠ACB> ，
6 2 3
❑√3 1 (1 ) ❑√3
所以a= + ∈ ,2 ，从而 <h<❑√3，
2tan∠ACB 2 2 4
(❑√3 )
故AB边上的高的取值范围是 ,❑√3 ．
4
a c
37．已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且 =
❑√3cosA sinC
(1)求A的大小；
(2)若a=6，求b+c的取值范围．
π
【答案】(1)
3(2)(6,12]
π
【分析】（1）根据正弦定理即可得tanA=❑√3，可求得A= ；
3
2π
（2）利用正弦定理计算得b=4❑√3sinB,c=4❑√3sinC，再由三角形内角和可知C= -B，根据辅助角
3
π
公式整理得b+c=12sin ( B+ ) ，根据三角函数单调性和值域即可得b+c∈(6，12].
6
a c sinA sinC
【详解】（1）根据 = ，由正弦定理得 = ，
❑√3cosA sinC ❑√3cosA sinC
整理得sinA=❑√3cosA，即tanA=❑√3，
π
又A∈(0,π)，所以A=
；
3
π
即A的大小为 .
3
a c b 6
= = = =4❑√3
（2）因为sinA sinC sinB ❑√3 ,
2
2π
所以b=4❑√3sinB,c=4❑√3sinC，又A+B+C=π，所以C= -B；
3
[ (2 )]
所以b+c=4❑√3sinB+4❑√3sinC=4❑√3 sinB+sin π-B
3
( 2 2 )
=4❑√3 sinB+cosBsin π-sinBcos π
3 3
(3 ❑√3 )
=4❑√3 sinB+ cosB
2 2
π
=12sin ( B+ )
6
2π
又因为0<B<
，
3
π π 5π 1 π π
则
<B+ <
，所以
<sin ( B+ ) ≤1（当且仅当B=
时，等号成立），
6 6 6 2 6 3
π
可得b+c=12sin ( B+ ) ∈(6，12]，
6即b+c的取值范围是(6,12]
2c-a
38．已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对边分别为a、b、c，若 +cosC=tanBsinC．
b
(1)求角B的值；
(2)若b=2，求△ABC面积S的最大值．
π
【答案】(1)B=
3
(2)❑√3
【分析】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等变换可求得cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B
的值；
（2）利用余弦定理可求出ac的最大值，再利用三角形的面积公式可求得S的最大值.
2c-a sinCsinB
【详解】（1）解：因为 +cosC=tanBsinC= ，
b cosB
2c-a sinBsinC sinBsinC-cosBcosC cosBcosC-sinBsinC
所以， = -cosC= =-
b cosB cosB cosB
cos(B+C) cos(π-A) cosA
=- =- = ，且cosB≠0，
cosB cosB cosB
2sinC-sinA cosA
由正弦定理可得 = ，
sinB cosB
即2sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，
1
因为C∈(0,π)，则sinC>0，则cosB= ，
2
π π π
又因为B∈ ( 0, ) ∪ ( ,π ) ，故B= .
2 2 3
（2）解：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac.
当且仅当a=c时取得等号，所以ac≤4.
1 ❑√3
所以，△ABC面积S= acsinB= ac≤❑√3，
2 4
所以，△ABC面积S的最大值为❑√3．
❑√3a c
39．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 = .
1+cosA sinC
(1)求角A的大小；❑√6-❑√2
(2)若a=❑√3，c-b= ，求△ABC的面积.
2
π
【答案】(1)
3
3+❑√3
(2)
4
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换即可得角A的大小；
（2）由余弦定理可得bc的值，结合面积公式即可得面积.
a c
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理得： = .
sinA sinC
❑√3a c ❑√3a a
又 = ，所以， = .
1+cosA sinC 1+cosA sinA
所以，❑√3sinA=1+cosA，即❑√3sinA-cosA=1，
即sin ( A- π )= 1 ，又A∈(0,π)，所以A- π ∈ ( - π , 5π) ，所以A- π = π ，即A= π .
6 2 6 6 6 6 6 3
❑√6-❑√2 π
（2）由（1）及题意知△ABC中，a=❑√3，c-b= ，A= .
2 3
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即3=(c-b) 2+bc.
1 1 ❑√3 3+❑√3
所以bc=1+❑√3，所以S = bcsinA= ×(1+❑√3)× = .
△ABC 2 2 2 4
40．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线BD交AC于点D．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求∠ABC的大小．
①2(bcosC-a)=c；②2a+c=❑√3bsin A+bcosA；③a+ccos∠ABC=bcosC-c．
BD
(2)若AD=2CD，求 的取值范围．
AB+BC
2π
【答案】(1)三个条件任选其一都有∠ABC=
3
( 4)
(2) 0,
9
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再对等式进行化简，进而根据∠ABC的取值范围求出其大小．
AB AD BD
（2）运用角平分线的条件求出 = ，然后利用面积公式求出 的取值范围．
BC CD AB+BC【详解】（1）选①，
c
因为2(bcosC-a)=c，所以a+ =bcosC．
2
sinC
由正弦定理得sin A+ =sin∠ABCcosC．
2
sinC
即sin(∠ABC+C)+ =sin∠ABCcosC，
2
sinC
故 +sinCcos∠ABC=0 ，
2
因为∠ABC∈(0,π)，C∈(0,π)，所以sinC≠0，
1 2π
所以cos∠ABC=- ，所以∠ABC= ．
2 3
选②，
由2a+c=❑√3bsin A+bcosA及正弦定理，得
2sin A+sinC=❑√3sin∠ABCsin A+sin∠ABCcosA，
即2sin A+sin(A+∠ABC)=❑√3sin∠ABCsin A+sin∠ABCcosA，
2sin A+sin Acos∠ABC+cosAsin∠ABC=❑√3sin∠ABCsin A+sin∠ABCcosA，
所以2sin A=❑√3sin∠ABCsin A-sin Acos∠ABC．
因为A∈(0,π)，所以sin A≠0，
π π
所以2=❑√3sin∠ABC-cos∠ABC=2sin ( ∠ABC- ) ，即sin ( ∠ABC- )=1．
6 6
π π 2π
又∠ABC∈(0,π)，所以∠ABC- = ，所以∠ABC= ．
6 2 3
选③，
由a+ccos∠ABC=bcosC-c及正弦定理，得
sin A+sinCcos∠ABC=sin∠ABCcosC-sinC，
sin(∠ABC+C)+sinCcos∠ABC=sin∠ABCcosC+cos∠ABCsinC+sinCcos∠ABC
=sin∠ABCcosC-sinC
即2cos∠ABCsinC=-sinC．
1
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以cos∠ABC=- ．
2
2π
又∠ABC∈(0,π)，所以∠ABC= ．
3
（2）因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD，AD AB AD sin∠ABD
在△ABD中， = ，即 = ，
sin∠ABD sin∠ADB AB sin∠ADB
CD BC CD sin∠CBD
在△BCD中， = ，即 = ，
sin∠CBD sin∠BDC BC sin∠BDC
因为∠ADB+∠BDC=π，所以sin∠ADB=sin∠BDC，
AD CD AB AD BD BD
所以 = ，所以 = =2，故 = ．
AB BC BC CD AB+BC 3BC
1 1 S AD 2
因为S = AB⋅BC⋅sin∠ABC，S = AB⋅BD⋅sin∠ABD， △ABD= = ，
△ABC 2 △ABD 2 S AC 3
△ABC
BD⋅sin∠ABD 2
所以 = ，
BC⋅sin∠ABC 3
∠ABC
又∠ABD= ，
2
∠ABC ∠ABC
4sin cos
BD 2sin∠ABC 2 2 4 ∠ABC
所以 = = = cos ．
BC ∠ABC ∠ABC 3 2
3sin 3sin
2 2
∠ABC
(
π
)
又∠ABC∈(0,π)，所以 ∈ 0, ，
2 2
∠ABC
所以cos ∈(0,1)，
2
BD ( 4) BD ( 4)
所以 ∈ 0, ， ∈ 0, ，
BC 3 3BC 9
BD ( 4)
即 的取值范围为 0, ．
AB+BC 9
