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微专题05 数列经典题型精练
【秒杀总结】
1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是
转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n 之间的关系，再求an．
2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者
缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩．
3、几种常见的数列放缩方法：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
；
1
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（11）
；
（12）
；
（13）
．
【典型例题】
例1．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）记
为数列
的前n 项积，已知
(1)证明: 数列
是等差数列；
(2)若将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
求数列
的前
项和
;
(3)已知等比数列
的首项为1，公比为
若
对任意的
恒成立，求
的值.
【解析】（1）因为
，
时，有
，
为数列
的前n 项积，
所以
，代入上式有
；又由
，有
，
所以
，即
，
，
所以
，所以
为首项为
，公差为的等差数列，
所以
，
，代入
，
解得：
，
，
所以数列
是等差数列.
（2）
，数列
的为首项
，公差为
的等差数列，
2
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设其前
项和为
，令
，
数列
的首项为
，公差为的等差数列，设其前
项和为
，
设数列
与数列
中相的同项构成的数列
，设其前
项和为
；
因为
，即有：
，
，因为
，互质，所以
必为的倍数，
即
，
，
，
所以有：
，
为首项
，公差为的等差数列；
因为
，
，
所以两个数列对应相同的两项之间
中有
个数，
中有个数，
所以
，
，
，
，
所以
.
（3）根据已知有：当
时，
，则有
，
对任意的
上式恒成立恒成立；
当
时，
，则有
，
由二项式定理有：
即
，即
，当
无限增大时，
指数函数的增长速度大于二次函数的增长速度，所以
时，
对任意的
，
不恒成立，综上
例2．（2024·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）在数列
中，
．在等差数列
中，前n 项和为
，
，
．
(1)求证
是等比数列，并求数列
和
的通项公式；
(2)设数列
满足
，
的前n 项和为
，求
．
3
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【解析】（1）当
时，
故
，又
，
故
是等比数列，且公比为2，首项为
所以
，故
，
设
的公差为
，则由
，
，解得
，
，
故
，
（2）
故
，
而
，故
，其中
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
例3．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
.等比
数列
是正项递增数列，且
.
(1)求数列
的通项
和数列
的通项
；
(2)若
，求数列
的前
项和.
【解析】（1）由题意，设等差数列
的首项为
，公差为
，又
，
所以
解得
，
故
，
因为数列
为各项为正的递增数列，设公比为
，且
，
因为
，所以
，得
，
4
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又
，所以
，即
，又
，
解得
，从而
，
所以
；
（2）由（1）得
，
所以
，
所以数列
的前
项和为
（或
）.
例4．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）对于数列
，若存在正数k，使得对任意
，
，
都满足
，则称数列
符合“
条件”．
(1)试判断公差为2 的等差数列
是否符合“
条件”？
(2)若首项为1，公比为q 的正项等比数列
符合“
条件”．
①求q 的取值范围；
②记数列
的前n 项和为
，证明：存在正数
，使得数列
符合“
条件”
【解析】（1）公差为2 的等差数列
，设
，
由
，所以公差为2 的等差数列
符合
条件．
（2）①首项为1，公比为q 的正项等比数列
，
，
对
恒成立，
若
，则
，符合．
若
，
数列
单调递增，不妨设
，
，
，
设
，由（*）式中的m，n 任意性得数列
不递增，
5
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，
，
但当
，
，矛盾．
若
，则数列
单调递减，不妨设
，
，即
，
设
，由（**）式中m，n 的任意性得，数列
不递减，
，
，
时，
单调递增，
，
，
，
综上，公比q 的取值范围为
．
②：由①得，
，
，
当
时，
，要存在
使得
，只需
即可；
当
时，要证数列
符合“
条件”，
只要证存在
，使得
，
，
不妨设
，则只要证：
，
只要证：
，
设
，由m，n 的任意性，
不递减，
只要证
，
只要证：
，
，
，
存在
上式对
成立．
存在正数
使数列
符合
条件．
例5．（2024·全国·高三校联考专题练习）已知等差数列
的前
项和为
，
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
6
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(2)设
，数列
的前
项和为
，定义
为不超过
的最大整数，例如
，
，求数列
的前
项和
．
（说明：
）
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，
由
得：
，解得：
，
.
（2）由（1）得：
，
，
；
则当
时，
；当
时，
；
当
时，
；
综上所述：
.
例6．（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）在无穷数列
中，令
，若
，
，则称
对前
项之积是封闭的．
(1)试判断：任意一个无穷等差数列
对前
项之积是否是封闭的？
(2)设
是无穷等比数列，其首项
，公比为
．若
对前
项之积是封闭的，求出
的两个值；
(3)证明：对任意的无穷等比数列
，总存在两个无穷数列
和
，使得
，其中
7
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和
对前
项之积都是封闭的．
【解析】（1）不是的，理由如下：
如等差数列
，
所以不是任意一个无穷等差数列对前
项之积是封闭的．
（2）
是等比数列，其首项
，公比
，
所以
，
所以
，
由已知得，对任意正整数
，总存在正整数
，使得
成立，
即对任意正整数
，总存在正整数
，
使得
成立，
即对任意正整数
，总存在正整数
，使得
成立，
①当
时，得
，所以
；
②当
时，得
，
且
，
综上，
或
.
（3）对任意的无穷等比数列
，
，
令
，
，则
，
下面证明：
是对前
项之积是封闭的．
因为
，所以
，
取正整数
得，
，
所以
对前
项之积是封闭的，
同理证明：
也对前
项之积是封闭的，
所以对任意的无穷等比数列
，总存在两个无穷数列
和
，
8
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使得
，其中
和
对前
项之积都是封闭的．
例7．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列
中，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【解析】（1）由
，可得
，又
，
故数列
是以1 为首项，
为公差的等差数列，
所以
，得到
．
（2）由（1）可知
，
故
．
【过关测试】
1．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）己知数列
的前
项积为
，且
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)从
中依次取出第1 项，第2 项，第4 项……第
项，按原来顺序组成一个新数列
，求数列
的前
项和．
【解析】（1）因为数列
的前
项积为
，所以
，
又因为
，所以
，
化简可得
，
当
时，
，解得：
，
所以
是等差数列，首项为3，公差为2.
（2）由（1）可得
,
所以
，故
，令数列
的前
项和为
，
则
①
9
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②
①
②可得：
化简可得：
，
所以数列
的前
项和
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列
的前n 项和为
．
(1)求数列
的前n 项和
;
(2)令
，求
的前9 项之和．
【解析】（1）正项数列
的前n 项和为
，满足
，
可得
，
两式相减可得
，
所以
，
因为
，所以
，
又因为
，解得
，
所以数列
是以首项为1，公差为2 的等差数列，
则数列
的通项公式为
，可得
.
（2）由（1）知
，
可得
，
所以
．
3．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数
的值；
(2)证明：
．
【解析】（1）因为
，所以
，
当
时，因为
，所以
恒成立，则
在
上单调递增，
10
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且
，所以
恒大于等于零不成立；
当
时，由
得，
，
易知当
时，
，当
时，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
则
，若
恒成立，则
令
，则
，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，所以
所以当
时，
.
综上，若
恒成立，则
；
（2）由（1）得，当
时，
恒成立，即
，当且仅当
时等号成立，
令
，则
，
，
，
所以
，
，
，
令
，则
恒成立，
所以函数
在
上单调递增，
故当
时，
，即
．
所以
，
，
，
所以
.
4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)证明：
．
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，则函数
在
上递减，在
上递增，
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所以函数
在
处取得极小值
，无极大值.
（2）证明：由（1）知，
，即
，
，
因此
，当且仅当
时取等号，
令
，
，则
，
，而
，
所以
.
5．（2024·河南·高三校联考开学考试）记数列
的前
项和为
.
(1)证明
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求使不等式
成立的
的最大值.
【解析】（1）由
，
得
，即
，
所以
，变形得
，又
，
故数列
是首项为
，公比为2 的等比数列，
所以
，即
.
（2）因为
，
所以
，
.
因为
，所以
，即
.
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设函数
.
因为
，
所以
单调递增.
又
，所以
，
所以使
成立的最大正整数
的值为6.
6．（2024·广东广州·统考二模）已知数列
中，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记
为
的前
项和，证明：
时，
.
【解析】（1）因为
，
所以
，
作差可得
，变形为
，即
，即
，化简为
，
因为
，所以
，
因为
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）因为
，
所以
，
，
作差可得
，
所以
，
，
设
，则
在给定区间上递减，又
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故
在
是减函数，
，
所以当
时，
.
7．（2024·安徽黄山·统考一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程
是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列
，规定
为数列
的一阶差分
数列，其中
，规定
为数列
的二阶差分数列，其中
．
(1)数列
的通项公式为
，试判断数列
是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列
是以1 为公差的等差数列，且
，对于任意的
，都存在
，使得
，
求
的值；
(3)各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
为常数列，对满足
，
的任意正整数
都有
，且不等式
恒成立，求实数
的最大值．
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，
，
，
故
，
，
显然
，
所以
不是等差数列；
因为
，则
，
，
所以
是首项为12，公差为6 的等差数列.
（2）因为数列
是以1 为公差的等差数列，
所以
，故
，
所以数列
是以公比为
的正项等比数列，
，
所以
，
且对任意的
，都存在
，使得
，即
，
所以
，因为
，所以
，
①若
，则
，解得
（舍），或
，
即当
时，对任意的
，都存在
，使得
.
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②若
，则
，对任意的
，不存在
，使得
.
综上所述，
.
（3）因为
为常数列，则
是等差数列，
设
的公差为
，则
，
若
，则
，与题意不符；
若
，所以当
时，
，
与数列
的各项均为正数矛盾，所以
，
由等差数列前
项和公式可得
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，故
，
所以
则当
时，不等式
恒成立，
另一方面，当
时，令
，
，
，
则
，
，
则
，
因为
，
，
当
时，
，
即
，不满足不等式
恒成立，
综上，
的最大值为2.
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8．（2024·山东日照·统考一模）己知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，且
，
，
成等差．
(1)求
及
的通项公式；
(2)记集合
的元素个数为
，求数列
的前50 项和．
【解析】（1）因为
，
，
成等差，则
，且
，
当
时，可得
，解得
或
（舍去）；
当
时，可得
，
两式相减得
，整理得
，
且
，则
；
可知数列
是以首项为1，公差为1 的等差数列，所以
.
（2）因为
，由（1）可得
，即
，
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
可知
；
当
时，因为
，
所以
；
综上所述：
.
所以数列
的前50 项和为
.
9．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）设集合
，其中
．若对任意的向量
，存在向量
，使得
，则称A 是“T 集”．
(1)设
，判断M，N 是否为“T 集”．若不是，请说明理由；
(2)已知A 是“T 集”．
（i）若A 中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若
（c 为常数），求有穷数列
的通项公式．
【解析】（1）
是“
集”;
不是“
集”.
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理由：当
或
时，只要
横纵坐标相等即可，则满足
，
当
，则
；当
，则
；
当
，则
；当
，则
；
综上
是“
集”.
对于向量
，若存在
，使得
.
则
，故
中必有一个为
，此时另一个为
或
，显然不符合，则
不是“
集”.
（2）(i)因为
中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为
，
公差为2，故
.
则向量
的坐标中必含
，设另一坐标为
，
则
或
.
所以
或
，
故
或
，
所以
或
，所以
或
，
所以
或
即
.
此时
，不满足
;
或
，满足
;
所以
只可能为
.
经检验
是“
集”，所以
.
(ii)设
.
由
，得
，由条件可变形为
.
设集合
设集合则
是“
集”当且仅当
关于原点对称.
因为
是
中唯一负数，
共
个数，
所以
也只有
个数.
由于
，所以
，已有
个数.
对以下三角数阵：
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注意到
，所以
.
又
为常数)，故有穷数列
为等比数列，
且通项公式
.
10．（2024·广东深圳·统考一模）设
为数列
的前
项和，已知
，且
为等差数列．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若数列
满足
，且
，设
为数列
的前
项和，集合
，求
（用列
举法表示）．
【解析】（1）设等差数列
的公差为d，则
，即
，①
因为
，所以由
，得
．②
由①、②解得
，所以
，即
，
当
时，
，
当
时，
，上式也成立，所以
，
所以数列
是等差数列．
（2）由（1）可知
，
当
时，
，
因为
满足上式，所以
．
18
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，
因为当
时，
，所以
．
11．（2024·全国·校联考模拟预测）数列
的前
项和
满足
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
，证明：数列
的前
项和
满足
．
【解析】（1）由题意
（*），
两边同加
项，得：
，
由（*）式可得：
，
所以
，
得
，
即
成立，
当
时，
，得
；
综上，
恒成立，所以
是以2 为公差的等差数列．
（2）由第（1）问及题意，
得等差数列
中，
，公差为
，
其前
项和为：
，
，
当
时，
成立；
当
时，
则
，
即
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易知
，
，
其中
，
所以
；
综上所述，对于
，
恒成立．
12．（2024·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于
个正
数
，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
，当且仅当
时，等号成立．若无穷正项数列
同时满足下列两个性质：①
；②
为
单调数列，则称数列
具有性质
．
(1)若
，求数列
的最小项；
(2)若
，记
，判断数列
是否具有性质
，并说明理由；
(3)若
，求证：数列
具有性质
．
【解析】（1）
，当且仅当
，即
时，等号成立，
数列
的最小项为
．
（2）数列
具有性质
．
，
，
数列
满足条件①．
为单调递增数列，
数列
满足条件②．
综上，数列
具有性质
．
20
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（3）先证数列
满足条件①：
．
当
时，
则
，
数列
满足条件①．
再证数列
满足条件②：
（
，等号取不到）
为单调递增数列，
数列
满足条件②．
综上，数列
具有性质
.
13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）设整数
满足
，集合
.从
中选取
个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有
个，设它们的和
为
.例如
.
(1)若
，求
；
(2)记
.求
和
的整式表达式；
(3)用含
，
的式子来表示
.
【解析】（1）
21
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（2）因为
，
，
两式相除，
，
，
两式相除，
（3）因为
①，所以
，
因为
②，所以
，
由（2）和①可得，
③，
由②和③，比较
的系数，可得
④，
因为
，
由②比较
的系数可得
⑤，
由④⑤消去
可得
，
所以
.
14．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）由
个数排列成
行
列的数表称为
行
列的矩阵，简称
矩阵，也称为
阶方阵，记作：
其中
表示矩阵
中第行第
列的数．已知三个
阶方阵分别为
22
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，
，其
中
分别表示
中第行第
列的数．若
，则称
是
生成的线性矩阵．
(1)已知
，若
是
生成的线性矩阵，且
，求
；
(2)已知
，矩阵
，矩阵
是
生成的线性矩阵，且
．
（i）求
；
（ii）已知数列
满足
，数列
满足
，数列
的前
项和记为
，是否存在正整
数
，使
成立？若存在，求出所有的正整数对
；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
，则
，即
，
解得
，
则
，
，
，
，
故
.
（2）（i）
，
，
故
，
，
23
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.
（ii）
，
，
，
故
，
故
，
，即
，取
验证不成立，
整理得到
，
，
当
时，
，不成立；当
时，
；当
时，
；
现说明当
时不成立：
设
，
，
，则
，
，
故
单调递增，
，
设
，
，
，
，
，
故
单调递减，
，
，
，
，
故
时，
不成立，
综上所述：使
成立的所有的正整数对为
，
.
15．（2024·浙江·校联考一模）已知数列
满足
，记数列
的前
项和为
．
(1)求
；
(2)已知
且
，若数列
是等比数列，记
的前
项和为
，求使得
成立的
24
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的取值范围．
【解析】（1）
①
②
②-①得，
，得
．
当
时，①式为
，得
，也满足上式．
，数列
是等差数列，所以
．
（2）
，则数列
是以1 为首项，3 为公比的等比数列，
，
又
，得
，
得
．
令
，即
，即
．
当
时，经验证，（*）式满足要求．
令
，则
，
所以当
时，
，
即当
时，
式不成立．
使得
成立的
的取值范围是
．
16．（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）对于数列
，如果存在正整数
，使得对任意
，都
有
，那么数列
就叫做周期数列，
叫做这个数列的周期.若周期数列
满足：存在正整
数
，对每一个
，都有
，我们称数列
和
为“同根数列”.
(1)判断数列
是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明
理由；
25
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(2)若
和
是“同根数列”，且周期的最小值分别是
和
，求
的最大值.
【解析】（1）
均是周期数列，理由如下：
因为
，
所以数列
是周期数列，其周期为1（或任意正整数）.
因为
，
所以
.
所以数列
是周期数列，其周期为6（或6 的正整数倍）.
（2）当
是奇数时，首先证明
不存在数列满足条件.
假设
，即对于
，都有
.
因为
，
所以
，
即
，及
.
又
时，
，
所以
，与
的最小值是
矛盾.
其次证明
存在数列满足条件.
取
及
，
对于
，都有
.
当
是偶数时，首先证明
时不存在数列满足条件.
假设
，即对于
，都有
.
因为
，
所以
，
即
，及
.
又
时，
，
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所以
，与
的最小值是
矛盾.
其次证明
时存在数列满足条件.
取
及
对于
，都有
.
综上，当
是奇数时，
的最大值为
；
当
是偶数时，
的最大值为
.
17．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知数列
满足
，正项数列
满足
．当
时，记
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)求
．
【解析】（1）由数列
的通项公式
，可知数列
为单调递减数列，
所以当
时，
，
则
．所以
，
又
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列；
（2）因为
，即
，则
，或
（舍），
当
时，
27
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，①
则
，②
①-②：
，
所以
，
即
．
18．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列
中，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，数列的前
项和为
，求
【解析】（1）当
时，
，则
.
当
时，由
，
得
，
则
，则
.
因为
，所以
从第2 项起成等比数列，
.
（2）
，当
为大于1 的奇数时，
，
当
为偶数时，
.
.
，
28
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则
，
则
，
，
则
，
则
.
19．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考开学考试）已知有限数列
，若满足
，m 是项数，则称
满足性质
.
(1)判断数列3，2，5，1 和4，3，2，5，1 是否具有性质
，请说明理由；
(2)若数列
是
，公比为
的等比数列，项数为10，且具有性质
，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，所以数列3，2，5，1 满足性质
，
，所以数列4，3，2，5，1 不满足性质
；
（2）由题意可得，
，
，
，两边平方得
，
整理得
，（*）
当
时，得
，此时关于
恒成立，
所以等价于
时，
，所以
，
所以
或
，所以取
；
当
时，
，
，
得
，此时关于（*）恒成立，
所以等价于
时，
，所以
，
所以
，所以取
，
当
时，
，
当
为奇数时，
，
，则（*）成立，
当
为偶数时，
，
，则（*）不成立，
所以当
时，不符合题意，舍去；
当
时，
，
29
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若
为奇数时，
，
，则（*）成立，
若
为偶数时，
，要使（*）恒成立，即使
恒成立，
即当
时
恒成立，解得
或
，所以取
，
综上，
20．（2024·四川德阳·统考模拟预测）
（
）.
(1)当
时，证明：
；
(2)证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
令
，
，
故
为偶函数，
，
令
，
，
故
为奇函数，
其中
恒成立，
故
在
上单调递增，
其中
，故
在
恒成立，
故
在
上单调递增，
其中
，故
在
上恒成立，
结合
为偶函数，故
在
上恒成立，
故
在
上恒成立；
（2）由（1）知，
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
令
，
且
，所以
，
30
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故
，
即
，
由（1）可知，当
时，
，当且仅当
时，等号成立，
当
且
时，
，
故
，故
，即
，
所以
，
故
.
21．（2024·河北·高三校联考开学考试）菲波纳契数列
又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由13
世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满足
.规定
，
.
(1)试证明：
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)试证明：
时，
.
【解析】（1）因为
，
所以
.
（2）因为
，所以
，
设
，
即
，
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则
，
解得
或
，
将
代入得
，
则
①，
同理代入
得
，
所以
②，
①②联立解得
，经检验
也满足上述式子，
所以
的通项公式为
.
（3）方法一：
观察发现：
，
，
，
，
32
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，
设
，
则
时，认为
，
解得：
或
舍去，
即
，所以
.
方法二：分别代入
、
通项公式：
得
，
所以
时，
.
22．（2024·山西吕梁·统考一模）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
33
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(2)求数列
的前
项和
．
【解析】（1）由题意，得
当
当
，适合上式.
（2）
所以
.
23．（2024·河北·高三校联考期末）设
为数列
的前
项和，已知
为等比数列，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，设
，记
为数列
的前
项和，证明：
．
【解析】（1）
为数列
的前
项和，
，
则有
，所以
，等比数列
的公比为2，
又
，所以
；
（2）证明：由（1）知，
，当
时，
，
所以
，所以
，
则
，
因此
．
24．（2024·山东·高三校联考开学考试）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
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(2)
，求数列
的前
项和
．
【解析】（1）因为
，即
，所以
，
，
累加得
，又
，所以
，
经检验
时符合，所以
.
（2）因为
，所以
，
所以
.
25．（2024·山东德州·高三统考开学考试）已知数列
前
项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【解析】（1）因为
，当
时，
，
所以
，
当
时，
，
所以
，
所以
，
，
，
，
，
累乘得
所以
，
当
时
也成立，所以
.
（2）由（1）得
，
所以
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.
26．（2024·天津·高三校联考期末）已知公差为
的等差数列
和公比
的等比数列
中，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求
；
(3)若在数列
任意相邻两项
之间插入一个实数
，从而构成一个新的数列
．若实数
满足
，求数列
的前
项和
．
【解析】（1）由已知
，得
，解得
，
；
（2）记
，
所以
，
，
作差得：
，
；
（3）由（1）得
，
则
，
所以
.
27．（2024·江西·高三校联考开学考试）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设
且
．若
，则称a 与b 关于模m 同余，记作
（“|”为整除符号）．
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(1)解同余方程：
；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列
，其中
．
①若
，数列
的前n 项和为
，求
；
②若
，求数列
的前n 项和
．
【解析】（1）由题意
（mod3），所以
或
（
），
即
或
（
）．
（2）由（1）可得
为
，所以
．
①因为
（
），所以
．
则
．
②
（
）．
因为
，
所以
．
28．（2024·广东·高三校联考开学考试）已知正项等比数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
的前
项中最大值为
，最小值为
（规定：
），令
，求数列
的
前
项和
.
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，其中
，
因为
，可得
，解得
或
（舍去），
所以
的通项公式为
.
（2）由
的前
项中最大值为
，最小值为
，
因为
是递增数列，所以
，
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可得
，所以
.
38
