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微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究
【秒杀总结】
交点轨迹问题的常用技巧：
1、两直线方程相乘消元
2、两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元
3、定比点差法
4、同构
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线
：
的左右焦点为
，
，其右准线为，点
到直线的距离为
，过点
的动直线交双曲线
于
，
两点，当直线
与
轴垂直时，
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设直线
与直线的交点为
，证明：直线
过定点．
例2．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆
的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平
方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆
的蒙日圆的面积为
，该椭圆的上顶点和下顶
点分别为
，且
，设过点
的直线与椭圆
交于
两点（不与
两点重合）且直
线
.
(1)证明：
，
的交点
在直线
上;
(2)求直线
围成的三角形面积的最小值.
例3．（2024·山东济南·一模）已知双曲线C：
的左右顶点分别为
，
，过点
的直线
与双曲线C 的右支交于M，N 两点.
(1)若直线的斜率k 存在，求k 的取值范围；
1
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(2)记直线
，
的斜率分别为
，
，求
的值；
(3)设G 为直线
与直线
的交点，
，
的面积分别为
，
，求
的最小值.
例4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知双曲线
的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为
，离心率
为
，
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)记双曲线
的左、右顶点分别为
，点
为双曲线
的右支上异于点
的动点，直线
与直线
相交于点
，直线
与双曲线
的另一个交点为
，直线
垂直
于点
，问是否存在点
，使得
为定值？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由，
例5．（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆
：
（
）过点
，且离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)记椭圆
的上下顶点分别为
，过点
斜率为
的直线与椭圆
交于
两点，证明：直线
与
的交点
在定直线上，并求出该定直线的方程.
例6．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，
直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切
线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族：
的任意一条直线上，求
的取值范围和
2
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直线族
的包络曲线
；
(3)在（2）的条件下，过曲线
上
两点作曲线
的切线
，其交点为
.已知点
，若
三
点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
例7．（2024·广西南宁·一模）已知点
和圆
为圆
上的一动点，线段
的
垂直平分线与线段
相交于点，记点的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)已知点
，若曲线
与
轴的左、右交点分别为
，过点
的直线与曲线
交于
两点，
直线
相交于点
，问：是否存在一点
，使得
取得最小值？若存在，请求出最小值；
若不存在，请说明理由．
例8．（2024·高三·上海·阶段练习）已知抛物线C：
的焦点为F，过F 的直线交C 于A，B 两点，
过F 与垂直的直线交C 于D，E 两点，其中B，D 在x 轴上方，M，N 分别为
，
的中点.
(1)若
，求点M 的横坐标；
(2)证明：直线
过定点；
(3)设G 为直线
与直线
的交点，求
面积的最小值.
例9．（2024·高三·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，点
在抛物线
上.
(1)求
的准线方程.
(2)已知点
，
，
是
的两条切线，
，
是切点，圆
经过点
，
，
.
①若
，求证：
；
②设圆
在
，
处的切线的交点为
，求证：直线
过定点.
附：若点
在圆
上，则圆在点
处的切线方程为
.
3
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【过关测试】
1．（2024·高三·福建福州·期末）已知圆锥曲线C 的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点
与点
．
(1)求曲线C 的方程；
(2)已知T 为直线
上的动点（T 不在x 轴上），A，B 为曲线C 与x 轴的交点，直线
与曲线C 相交的
另一点为M，直线
与曲线C 相交的另一点为N，记
和
的面积分别为
，若
，求
直线
的方程．
2．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知矩形
中，
分别是矩形四条边的
中点，以矩形中心
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
直线
上的动点
满足
.
(1)求直线
与直线
交点
的轨迹方程；
(2)当
时，过点
的直线
（与
轴不重合）和点
轨迹交于
两点，过点
作直线
的
垂线，垂足为点
.设直线
与
轴交于点
，求
面积的最大值.
3．（2024·贵州贵阳·一模）已知双曲线
的方程为
，虚轴长为2，点
在
上.
4
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(1)求双曲线
的方程；
(2)过原点
的直线与
交于
两点，已知直线
和直线
的斜率存在，证明：直线
和直线
的
斜率之积为定值；
(3)过点
的直线交双曲线
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，求证：
的中点为
定点.
4．（2024·高三·江苏镇江·开学考试）已知双曲线
的两条渐近线分别为
上一点
到
的距离之积为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)设双曲线
的左、右两个顶点分别为
为直线
上的动点，且
不在
轴上，直线
与
的
另一个交点为
，直线
与
的另一个交点为
，直线
与
轴的交点为
，直线与
的交点为
，
证明
．
5．（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知
，
，动点Z 满足
.
(1)求动点Z 的轨迹曲线
的标准方程；
(2)四边形ABCD 内接于曲线E，点A，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，设直线AC，BD 的斜率分别是
，且
.
（i）记直线AC，BD 的交点为G，证明：点G 在定直线上；
（ii）证明：
.
6．（2024·高三·上海·阶段练习）如图，
是椭圆
长轴的两个端点，
是椭圆上与
均不重合的相异两点，设直线
的斜率分别是
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(1)求
的值
(2)若直线
过点
，求证：
为定值；
(3)设直线
与
轴的交点为
，（为常数且
，试探究直线
与直线
的交点
是否落在某
条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
7．（2024·高三·辽宁·开学考试）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，左焦点为
，过点
作x 轴的垂线与T 在第二象限的交点为
的面积为
，且
．
(1)求T 的方程；
(2)已知点P 为直线
上一动点，过点P 向T 作两条切线，切点分别为
．求证：直线
恒过一定点Q，并求出点Q 的坐标．
8．（2024·高三·江苏南京·期中）P 为圆
上一动点，点B 的坐标为
，线段
的垂直
平分线交直线
于点Q．
(1)求点Q 的轨迹方程C；
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(2)如图，（1）中曲线C 与x 轴的两个交点分别为
和
，M、N 为曲线C 上异于
、
的两点，直线
不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M 关于原点O 的对称点为S，若直线
与直线
相交于点
T，直线
与直线
相交于点R，证明：在曲线C 上存在定点E，使得
的面积为定值，并求该定
值．
9．（2024·高三·浙江金华·期末）已知
为拋物线
的焦点，
为坐标原点，
为
的准
线上一点，直线
的斜率为
的面积为
．已知
，设过点
的动直线与抛物线
交于
两点，直线
与
的另一交点分别为
．
(1)求拋物线
的方程；
(2)当直线
与
的斜率均存在时，讨论直线
是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明
理由．
10．（2024·贵州贵阳·一模）已知椭圆
的上、下顶点分别是
，
，点
（异于
，
两点）在椭圆
上，直线
与
的斜率之积为
，椭圆
的短轴长为
．
(1)求
的标准方程；
(2)已知
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，且直线
与
相交于点
，证明：点
在定直线
上．
7
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11．（2024·四川德阳·模拟预测）已知圆
：
，点
是圆
上的动点，点
是
圆
内一点，线段
的垂直平分线交
于点
，当点
在圆
上运动时点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)
为直线：
上的动点，
、
为曲线
与
轴的左右交点，
、
分别与曲线
交于
、
两
点.证明：
为定值.
12．（2024·高三·重庆·开学考试）在平面直角坐标系中，过直线
上任一点
作该直线的垂线
，
，线段
的中垂线与直线
交于点
．
(1)当
在直线上运动时，求点
的轨迹
的方程；
(2)过
向圆
引两条切线，与轨迹
的另一个交点分别为
，
．
（i）证明：直线
与圆
也相切；
（ii）求
周长的最小值．
13．（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线
，顶点为
，过焦点的直线交抛物线于
，
两点．
(1)如图1 所示，已知
|，求线段
中点到
轴的距离；
(2)设点
是线段
上的动点，顶点
关于点
的对称点为
，求四边形
面积的最小值；
(3)如图2 所示，设
为抛物线上的一点，过
作直线
，
交抛物线于
，
两点，过
作直线
，
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交抛物线于
，
两点，且
，
，设线段MN 与线段
的交点为
，求直线
斜
率的取值范围．
14．（2024·高三·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系
中，过
上的点
作切线，
分别与直线
，
交于点
，圆
与
轴交于点
．
(1)若
点坐标是
，求直线
的方程；
(2)若
是圆
上的动点，证明：两条动直线
的交点
总在同一个椭圆
上，并求出椭圆
的
方程．
15．（2024·全国·一模）动圆P 过定点
，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4.
(1)若动圆圆心P 的轨迹为曲线C，求曲线C 的方程；
(2)在曲线C 的对称轴上是否存在点Q，使过点Q 的直线
与曲线C 的交点S，T 满足
为定值？
若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
16．（2024·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，点W 为
：
和
的公共点，
，
与直线
相切，记动点M 的轨迹为C．
(1)求C 的方程；
(2)若
，直线
与C 交于点A，B，直线
与C 交于点
，
，点A，
在
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第一象限，记直线
与
的交点为G，直线
与
的交点为H，线段AB 的中点为E．
①证明：G，E，H 三点共线；
②若
，过点H 作的平行线，分别交线段
，
于点
，
，求四边形
面积的最
大值．
17．（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，过右焦点
且不与坐标轴
垂直的直线交
于P，Q 两点，点
关于
轴的对称点为，且
.
(1)求
的方程;
(2)设点
关于
轴的对称点为
，直线RP 交
轴于点
，直线ST 与
的另一交点为
，证明:直线
关于直线
对称.
18．（2024·高三·北京石景山·期末）已知椭圆
，离心率为
，短轴长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过坐标原点
且不与坐标轴重合的直线交椭圆
于
，
两点，过点
作
轴的垂线，垂足为
，直
线
与椭圆的另一个交点为
．求证：
为直角三角形．
19．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知圆
为圆
上的点，过点
作
轴于点
，点
是直线
上一点，且满足
.
(1)求点的轨迹
的方程；
(2)设
分别为轨迹
与
轴的左､右交点，
是轨迹
上不同于
的动点，直线
，
与直线
分别交于
两点，求
的最小值.
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20．（2024·高三·四川成都·期末）已知点S 是圆
上任意一点，过S 作x 轴的垂线，垂足为H，点
T 满足
，记点T 的轨迹为C．
(1)求轨迹C 的方程；
(2)设轨迹C 与x 轴的交点分别为
，
，与y 轴正半轴的交点为B，M 是轨迹C 上任意一点，且M 不在坐
标轴上．若直线
与直线
交于点P，直线
与直线
交于点Q．试判断
的形状，并说明
理由．
11
