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微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究
【秒杀总结】
交点轨迹问题的常用技巧：
1、两直线方程相乘消元
2、两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元
3、定比点差法
4、同构
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线
：
的左右焦点为
，
，其右准线为，点
到直线的距离为
，过点
的动直线交双曲线
于
，
两点，当直线
与
轴垂直时，
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设直线
与直线的交点为
，证明：直线
过定点．
【解析】（1）由题意
，所以双曲线
的标准方程为
.
（2）由题意
，当直线
斜率为0 时，直线
，
当直线
斜率不为0 时，设直线
的方程为
，
，
，
所以
，
直线
的方程为：
，
1
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所以
的方程为
，
由对称性可知
过的定点一定在
轴上，
令
，
又
，
所以
，
所以直线
过定点
.
例2．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆
的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平
方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆
的蒙日圆的面积为
，该椭圆的上顶点和下顶
点分别为
，且
，设过点
的直线与椭圆
交于
两点（不与
两点重合）且直
线
.
(1)证明：
，
的交点
在直线
上;
(2)求直线
围成的三角形面积的最小值.
【解析】（1）根据题意，蒙日圆的半径为
，所以
.
因为
，可知
，则
，
2
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所以椭圆
的标准方程为
，
因为直线过点
，可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交，
可设直线
，
联立方程
，消去
可得
，
由根与系数的关系可得：
因为
，可得直线
，直线
，
所以
即
，解得
，
所以直线
的交点
在直线
上.
（2）设直线
与直线
的交点分别为
，
则由（1）可知：直线
，直线
.
联立方程
和
，
解得
因为
，
又因为点
到直线
的距离
，
3
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可得
，只需求
的最小值.
由弦长公式可得
令
，则
.
可得
，
当且仅当
，即
时等号成立.
即
的最小值为
，可得
面积的最小值为
.
故直线
围成的三角形面积的最小值为
.
例3．（2024·山东济南·一模）已知双曲线C：
的左右顶点分别为
，
，过点
的直线
与双曲线C 的右支交于M，N 两点.
(1)若直线的斜率k 存在，求k 的取值范围；
(2)记直线
，
的斜率分别为
，
，求
的值；
(3)设G 为直线
与直线
的交点，
，
的面积分别为
，
，求
的最小值.
【解析】（1）
设
，
，直线的方程为
，
4
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联立方程组
，整理得
，
因为直线与双曲线的右支交于
两点，
可得
，解得
，
又由直线的斜率为
，可得
的取值范围是
.
（2）由双曲线
，可得
，
，
由（1）可得
，
，则
.
所以
.
（3）由（2）可知
，
所以直线
与直线
的方程分别为
和
，
联立两直线方程可得交点
的横坐标为
，
于是
，
故
的最小值为，当且仅当
时取等号成立.
5
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例4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知双曲线
的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为
，离心率
为
，
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)记双曲线
的左、右顶点分别为
，点
为双曲线
的右支上异于点
的动点，直线
与直线
相交于点
，直线
与双曲线
的另一个交点为
，直线
垂直
于点
，问是否存在点
，使得
为定值？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由，
【解析】（1）
设双曲线
的右焦点为
，
双曲线
的标准方程为
，则其渐近线为
，
由已知可得
，结合
，可得
，
所以双曲线
的标准方程为
，
（2）由已知，直线
不垂直于
轴，设直线
的方程为
，
由
消去
并整理得
，①
则
，且由这个方程的判别式
可得
，
6
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设
，则
，
由已知可得
，设
，
由
三点共线可得
，
由
三点共线可得
，
消去并整理得
，
又
，所以上式可化为
，
即
，
整理可得
，
若
，则
，代入①式可得
，
因为点
不与点
重合，所以
，即
，
所以
，
所以
，即
，所以直线
过定点
，
因为直线
垂直于直线
，垂足为点
，所以点
在以
为直径的圆上，
所以存在点
使
为定值3，此时点
的坐标为
，
例5．（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆
：
（
）过点
，且离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)记椭圆
的上下顶点分别为
，过点
斜率为
的直线与椭圆
交于
两点，证明：直线
与
的交点
在定直线上，并求出该定直线的方程.
【解析】（1）由椭圆过点
，且离心率为
，所以
，
解得
，
7
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故所求的椭圆方程为
．
（2）由题意得
，
，
直线
的方程
，设
，
联立
，整理得
，
由
，即
，
所以
，
.
由求根公式可知，不妨设
，
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
，得
，
代入
，得
，
解得
，即直线
与
的交点
在定直线
上.
例6．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，
直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切
线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族：
的任意一条直线上，求
的取值范围和
直线族
的包络曲线
；
8
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(3)在（2）的条件下，过曲线
上
两点作曲线
的切线
，其交点为
.已知点
，若
三
点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
【解析】（1）由定义可知，
与
相切，
则圆
的圆心
到直线
的距离等于1，
则
，
.
（2）点
不在直线族
的任意一条直线上，
所以无论
取何值时，
无解.
将
整理成关于
的一元二次方程，
即
.
若该方程无解，则
，即
.
证明：在
上任取一点
在该点处的切线斜率为
，
于是可以得到
在
点处的切线方程为：
，
即
.
今直线族
中
，
则直线为
，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意
都是抛物线在点
处的切线.
所以直线族
的包络曲线
为
.
（3）法一：已知
，设
，
则
，
；
由（2）知
在点
处的切线方程为
；
同理
在点
处的切线方程为
；
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联立
可得
，所以
.
因此
，
同理
.
所以
，
，
即
，可得
，
所以
成立.
法二：过
分别作准线的垂线
，连接
，如图所示：
则
，因为
，显然
.
又由抛物线定义得
，故
为线段
的中垂线，得到
，即
.
同理可知
，
所以
，即
.
则
.
所以
成立.
例7．（2024·广西南宁·一模）已知点
和圆
为圆
上的一动点，线段
的
垂直平分线与线段
相交于点，记点的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)已知点
，若曲线
与
轴的左、右交点分别为
，过点
的直线与曲线
交于
两点，
直线
相交于点
，问：是否存在一点
，使得
取得最小值？若存在，请求出最小值；
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若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得
,
所以点的轨迹是以
为焦点的椭圆，
故
，
故轨迹方程为
（2）存在点
使得
取得最小值,且最小值为
，
由题意可知直线的斜率不为0，故设直线方程为
，
，整理得
，
设
,
所以
，故
，
由（1）
,
故
，
,
设
，将
代入
方程可得
，
解得
，故点
在定直线
上，
关于
的对称点
，且
,
故
，
故
的最小值为
，
11
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例8．（2024·高三·上海·阶段练习）已知抛物线C：
的焦点为F，过F 的直线交C 于A，B 两点，
过F 与垂直的直线交C 于D，E 两点，其中B，D 在x 轴上方，M，N 分别为
，
的中点.
(1)若
，求点M 的横坐标；
(2)证明：直线
过定点；
(3)设G 为直线
与直线
的交点，求
面积的最小值.
【解析】（1）由题意知
（2）思路一：由
：
，故
，由直线
与直线
垂直，
故两只直线斜率都存在且不为0，
设直线
、
分别为
，
，有
，
、
、
、
，
联立
：
与直线
，即有
，
消去x 可得
，
，
故
、
，
则
，
故
，
，
即
，同理可得
，
当
时，则
：
，
即
，
12
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由
，即
，
故
时，有
，
此时
过定点，且该定点为
，
当
时，即
时，由
，即
时，
有
：
，亦过定点
，
故直线
过定点，且该定点为
；
思路二：设
，
，不妨设
.
设：
，则
.由
，得
，
故
，
，
，
.
所以
.
同理可得
.
若
，则直线
：
，
过点
.
若
，则直线
：
，
过点
.
综上，直线
过定点
.
（3）思路一：由
、
、
、
，
则
：
，由
、
，
故
，
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同理可得
：
，联立两直线，即
，
有
，
即
，
有
，由
，同理
，
故
，
故
，
过点
作
轴，交直线
于点
，则
，
由
、
，
故
，
当且仅当
时，等号成立，
下证
；
由抛物线的对称性，不妨设
，则
，
当
时，有
，则点G 在x 轴上方，点Q 亦在x 轴上方，
有
，由直线
过定点
，
此时
，
同理，当
时，有点G 在x 轴下方，点Q 亦在x 轴下方，
有
，故此时
，
当且仅当
时，
，
故
恒成立，且
时，等号成立，
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故
.
思路二：设
为
的中点，为直线
与
的交点.
由
，
分别为
，
的中点知
，所以
，故
.
设
为直线
与
的交点，同理可得
.
所以
.
由（2）中的法2 可得
，同理可得
.
所以
，
当且仅当
时等号成立.
因此
的面积的最小值为8.
例9．（2024·高三·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，点
在抛物线
上.
(1)求
的准线方程.
(2)已知点
，
，
是
的两条切线，
，
是切点，圆
经过点
，
，
.
①若
，求证：
；
②设圆
在
，
处的切线的交点为
，求证：直线
过定点.
附：若点
在圆
上，则圆在点
处的切线方程为
.
【解析】（1）由点
在抛物线
上得
，解得
，
则
的准线方程为
.
（2）抛物线
，
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①设
，
.
由
得
，则
在点
处的切线方程为
，
又因为
，则
在点
处的切线方程为
，
同理
在点
处的切线方程为
.
又因为两条切线都经过点
，则有
，
，
则直线
的方程为
.
由
得
，由韦达定理得
，
，
要证
，即证
，即证
.
因为
，
，
，则有
，
因为
，则
，且
，
，
则有
，化简得
，此式显然成立.
所以
.
②设圆
的方程为
，
因为点
，
在圆
上，则有
，
，
因为
，则有
，
，
两式相减得
，又
，
代入化简得
，也即
，
由①得
，
，代入化简得
.
由
与
，
相加得
，
又
，代入化简得
，
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则圆
的方程为
，即
，
则圆
在点
处的切线方程为
，
在点
处的切线方程为
.
设点
，因为圆
在点
与点
处的切线都经过点
，
则有
，
，
则直线
的方程为
，
整理得
.
因为过点
与
的直线有且仅有一条，
又由①知直线
的方程为
，则有
，
解得
，
，即
.
又因为
，则直线
的斜率
，
则直线
的方程为
，即
，所以直线
过定点
.
【过关测试】
1．（2024·高三·福建福州·期末）已知圆锥曲线C 的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点
与点
．
(1)求曲线C 的方程；
(2)已知T 为直线
上的动点（T 不在x 轴上），A，B 为曲线C 与x 轴的交点，直线
与曲线C 相交的
另一点为M，直线
与曲线C 相交的另一点为N，记
和
的面积分别为
，若
，求
直线
的方程．
【解析】（1）（1）设曲线
，
因为曲线C 过点
与点
，所以
，
解得
，
所以曲线方程为
；
（2）
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设点
，依题意可得A，B 为曲线C 的左、右顶点，
不妨设
，
所以
，
故
，
由
，消去x 可得
，
所以
，故
，
由
，消去x 可得
，
所以
，故
，
因为
，且
，
所以
，
化简得
，
解得
或
或
或
，
当
或
时，
或
，
此时直线
的方程为
，
18
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当
或
时，
或
，
此时直线
的方程为
，
综上所述，直线
的方程为
或
．
2．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知矩形
中，
分别是矩形四条边的
中点，以矩形中心
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
直线
上的动点
满足
.
(1)求直线
与直线
交点
的轨迹方程；
(2)当
时，过点
的直线
（与
轴不重合）和点
轨迹交于
两点，过点
作直线
的
垂线，垂足为点
.设直线
与
轴交于点
，求
面积的最大值.
【解析】（1）依题意，
，
设点
，由
，得
，即
，
由
，得
，即
，
当
时，直线
，直线
，
联立消去参数
得
，即
，
当
时，得交点
，满足上述方程，
所以直线
与直线
交点
的轨迹方程:
不含点
.
（2）当
时，点
，过点
的直线
可设为
，
由
消去x 得：
，即
，
设
，则
，
19
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依题意，
，直线
，
令
，得点
横坐标
，又
，
则
，
因此直线
过定点
，显然
，
而
，
令
，
，
当且仅当
，即
取等号，此时
，
所以
面积的最大值为
.
3．（2024·贵州贵阳·一模）已知双曲线
的方程为
，虚轴长为2，点
在
上.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过原点
的直线与
交于
两点，已知直线
和直线
的斜率存在，证明：直线
和直线
的
斜率之积为定值；
(3)过点
的直线交双曲线
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，求证：
的中点为
定点.
【解析】（1）因为虚轴长
，所以
.
又因为点
在双曲线上，所以
，
解得
.
20
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故双曲线
的方程为
.
（2）证明：如下图所示：
设
，则
所以
因为
在双曲线
上，所以
，可得
；
于是
，
所以直线
和直线
的斜率之积为定值，定值是
.
（3）证明：设
，直线
的方程为
，如下图所示：
联立
，消去
整理可得
①
则
21
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所以
②
③
直线
的方程为
，令
，得点
的横坐标为
；
同理可得点
的横坐标为
；
所以
将①②③式代入上式，并化简得到
所以
的中点的横坐标为
，
故
的中点是定点
.
4．（2024·高三·江苏镇江·开学考试）已知双曲线
的两条渐近线分别为
上一点
到
的距离之积为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)设双曲线
的左、右两个顶点分别为
为直线
上的动点，且
不在
轴上，直线
与
的
另一个交点为
，直线
与
的另一个交点为
，直线
与
轴的交点为
，直线与
的交点为
，
证明
．
【解析】（1）因为
在
上，则
①．
因为
的方程分别为
．
到
的距离之积为
，则
②，
22
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由①②解得
，
所以双曲线
的方程为
③．
（2）因为
，设
，
则
，
所以
④，
因为
，
且
在双曲线上，则
，代入上式得：
，
把④代入上式得：
⑤．
设直线
，代入③得：
，则：
⑥，
⑦，
由⑤得：
，即：
，
把⑥⑦代入上式得：
，
因为
，所以
，
则
．
则
，所以
点坐标为
．
不妨设
，
因
，同理
，
令
，则
，
同理：
，
要证明
，只需证明：
，
即证明：
，
23
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将
和⑥⑦代入上式显然成立，所以
．
5．（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知
，
，动点Z 满足
.
(1)求动点Z 的轨迹曲线
的标准方程；
(2)四边形ABCD 内接于曲线E，点A，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，设直线AC，BD 的斜率分别是
，且
.
（i）记直线AC，BD 的交点为G，证明：点G 在定直线上；
（ii）证明：
.
【解析】（1）因为
所以
点的轨迹是以
为焦点的椭圆，其长轴长
，焦距为
，
，
所以曲线
的标准方程为
.
（2）由题意作出图形如图所示
（i）设点
，因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，整理得
，
因为
为四边形，所以
，
24
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所以点
在定直线上
；
（ii）由题知
,直线
，
设
，直线
，
将
代入
得
，
所以
，
所以
，
所以
，
，解得
，
所以
.
6．（2024·高三·上海·阶段练习）如图，
是椭圆
长轴的两个端点，
是椭圆上与
均不重合的相异两点，设直线
的斜率分别是
(1)求
的值
(2)若直线
过点
，求证：
为定值；
(3)设直线
与
轴的交点为
，（为常数且
，试探究直线
与直线
的交点
是否落在某
条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
25
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【解析】（1）设
，由于
因为点
在椭圆上，
，于是
（2）设直线
为：
，
由
得
,
易知
，
，
为定值
；
（3）设
由
得：
则
和
方程联立得，
，
即
26
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即
即直线
与直线
的交点
落在定直线
上．
7．（2024·高三·辽宁·开学考试）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，左焦点为
，过点
作x 轴的垂线与T 在第二象限的交点为
的面积为
，且
．
(1)求T 的方程；
(2)已知点P 为直线
上一动点，过点P 向T 作两条切线，切点分别为
．求证：直线
恒过一定点Q，并求出点Q 的坐标．
【解析】（1）由题意可得
，
，
因为
，所以
，得
．
又因为
轴，且
在第二象限，所以可得
，
所以
的面积为
，
所以
，
，
解得
，所以椭圆的方程为
，
（2）设点
，
27
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先证明过椭圆C：
上一点
的切线方程为
，
由椭圆T：
，则有
当
时,
，求导数为：
,
∴当
时，
.
∴切线方程为
，
整理为：
,
两边同时除以
得：
.
同理可证：
时,切线方程也为
.
当
时,切线方程为
满足
.
综上,过椭圆上一点
的切线方程为
.
则直线
的方程为
，直线
的方程为
，
因为
在这两条切线上，
所以
，
所以直线
的方程为
，①
因为
在直线
上，
28
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所以
，
所以
，代入①得
，
整理得
当
时，
过定点
，
解得
，所以
.
8．（2024·高三·江苏南京·期中）P 为圆
上一动点，点B 的坐标为
，线段
的垂直
平分线交直线
于点Q．
(1)求点Q 的轨迹方程C；
(2)如图，（1）中曲线C 与x 轴的两个交点分别为
和
，M、N 为曲线C 上异于
、
的两点，直线
不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M 关于原点O 的对称点为S，若直线
与直线
相交于点
T，直线
与直线
相交于点R，证明：在曲线C 上存在定点E，使得
的面积为定值，并求该定
值．
【解析】（1）因直线
的垂直平分线交直线
于点Q，则
，由
可
知，点
的轨迹是以点
为两焦点的椭圆，
且
，故
，则点
的轨迹方程为：
.
（2）
29
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如图，设
，直线
的方程
，将其与椭圆方程
联立消元
整理得：
，且
，
由（1）知
,设
，由
三点共线得：
；由
三点共线得：
，
则
.
故直线
的斜率
，则直线
的方程为：
，将其与直线
的方程联立，解得：
，
因此点R 在定直线
上，使得
的面积为定值的点
一定为过点
且与直线平行的直线
与
椭圆的交点.
由
解得：
或
，此时点
的坐标为
或
.
故
的面积为：
9．（2024·高三·浙江金华·期末）已知
为拋物线
的焦点，
为坐标原点，
为
的准
线上一点，直线
的斜率为
的面积为
．已知
，设过点
的动直线与抛物线
交于
两点，直线
与
的另一交点分别为
．
(1)求拋物线
的方程；
(2)当直线
与
的斜率均存在时，讨论直线
是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明
30
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理由．
【解析】（1）
设准线与
轴的交点为
，
直线
的斜率为
，又
，
．
故抛物线
的方程为：
．
（2）设
，过点
的直线方程为：
．
则联立
，整理得：
，
由韦达定理可得：
．
又设
，
所以直线
斜率为
，
直线
方程为
，即
的直线方程为：
，
由
三点共线可得：
，即
，
所以
，
所以
，因为
，所以化简可得：
，
31
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同理，由
三点共线可得：
，
可得
，
，
综上可得
的直线方程为：
，
变形可得：
，所以直线
过定点
．
10．（2024·贵州贵阳·一模）已知椭圆
的上、下顶点分别是
，
，点
（异于
，
两点）在椭圆
上，直线
与
的斜率之积为
，椭圆
的短轴长为
．
(1)求
的标准方程；
(2)已知
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，且直线
与
相交于点
，证明：点
在定直线
上．
【解析】（1）由题意可得
，且
，则
.
设
，
则
，所以
，
因为点
在椭圆
上，所以
，
所以
，代入式得
，
由
，代入得
，
故椭圆C 的标准方程为
；
（2）设
，
，显然直线
不垂直于
轴，
故可设直线
的方程为
，
由
消去
得
，
32
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因为点
在椭圆
的内部，则直线
与椭圆恒有两个交点，
所以
，
由（1）知，
，
所以直线
的方程为
，直线
的方程为
，
由直线
与
相交于点
，则
，
消
得
①，
由（1）知
，得
，
可得
，
将
代入①式得
，解得
，
即点
在直线
上．
11．（2024·四川德阳·模拟预测）已知圆
：
，点
是圆
上的动点，点
是
圆
内一点，线段
的垂直平分线交
于点
，当点
在圆
上运动时点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)
为直线：
上的动点，
、
为曲线
与
轴的左右交点，
、
分别与曲线
交于
、
两
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点.证明：
为定值.
【解析】（1）如图所示：连接
，
由
，
所以该圆的圆心坐标为
，半径为
，
因为线段
的垂直平分线交
于点
，
所以有
，
由
，
所以点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
即
，
所以
的方程为
；
（2）设
，
，
因为直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，代入椭圆方程中，得
，
显然有
，
，
即
，
因为直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，代入椭圆方程中，得
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，
显然有
，
，
即
，
于是有
，
，
，
，
因此
为常数.
12．（2024·高三·重庆·开学考试）在平面直角坐标系中，过直线
上任一点
作该直线的垂线
，
，线段
的中垂线与直线
交于点
．
(1)当
在直线上运动时，求点
的轨迹
的方程；
(2)过
向圆
引两条切线，与轨迹
的另一个交点分别为
，
．
（i）证明：直线
与圆
也相切；
（ii）求
周长的最小值．
【解析】（1）由过直线
上任一点
作该直线的垂线
，
，线段
的中垂线与直线
交于点
，作出下图：
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由图可得
，所以点
的轨迹
是以
为焦点的抛物线，故点
的轨迹
的方程为
；
（2）（i）不妨假设直线
在圆的左侧，直线
在圆的右侧，
①当
斜率不存在时，则直线
的方程为
，可设
，则
，设直线
方程为
，
由于
与圆相切，解得
，则直线
方程为
，与抛物线只有一个交点，不满足题意，
②当
斜率不存在时，则直线
的方程为
，可设
，则
，设直线
方程为
，
由于
与圆相切，解得
，
则直线
方程为
，此时
，则直线
方程为
，所以圆心
到直线
的
距离
，满足题意.
③假设直线
与
斜率同时存在，不妨设
且
，
，
，
所以
，则直线
的方程
，即
，
因为直线
与圆
相切，所以
，化简得：
，
同理可得
，则
，
为方程
的两根，
所以
，
，所以圆心
到直线
的距离
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，
所以直线
与圆
也相切；
（ii）由题可得
，所以
，
故要求
周长的最小值即求
面积的最小值，
由（i）可得直线
的方程为
，且
，
，
则
到直线
的距离
，弦长
，所以
令
，
，所以
设
，则
，
由于在
时，
很成立，
所以在
时，
，在
时，
，
时，
，
所以
在区间
和
上单调递增，在区间
上单调递减，由于
，
，
故
，此时
或
，即点
的坐标为
或
时，
的面积取最
小值
所以
，故
周长的最小值为
,
13．（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线
，顶点为
，过焦点的直线交抛物线于
，
两点．
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(1)如图1 所示，已知
|，求线段
中点到
轴的距离；
(2)设点
是线段
上的动点，顶点
关于点
的对称点为
，求四边形
面积的最小值；
(3)如图2 所示，设
为抛物线上的一点，过
作直线
，
交抛物线于
，
两点，过
作直线
，
交抛物线于
，
两点，且
，
，设线段MN 与线段
的交点为
，求直线
斜
率的取值范围．
【解析】（1）因为过焦点的直线交抛物线于
，
两点，且
，
设
，
，
由抛物线的性质可得
，
所以
，
所以线段
中点的横坐标，即为线段
中点到
轴的距离为
.
（2）由点
与原点
关于点
对称，可知
是线段
的中点，
所以点
与点
到直线的距离相等，所以四边形
的面积等于
，
设直线的方程为
，联立
，消去
可得
，
设
，
，由韦达定理可得
，
，
所以
，
当
时，四边形
的面积取最小值为4．
（3）设
点坐标为
，
点坐标为
，
点坐标为
，
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由题意可知直线
的斜率
存在，且不为，
则直线
的方程为
，
与抛物线
联立，消去
得
，
由韦达定理可得
，解得
，
直线
的方程为
，
与抛物线
联立，消去
得
，
由韦达定理可得
，解得
，
显然直线
斜率不为零，
当直线
斜率存在时，直线
的方程为
，
整理得：
，
将
，
代入
得：
，
所以直线
过定点
，即
点坐标为
，直线
的斜率为
，
当
时，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
当
时，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
当
时，
，
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当直线
的斜率不存在时，设
点坐标为
，
点的坐标为
，
则
，
，且根据题意
，
所以
，解得
，
所以直线
的方程为
过点
，
综上所述，直线
斜率的取值范围为
.
14．（2024·高三·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系
中，过
上的点
作切线，
分别与直线
，
交于点
，圆
与
轴交于点
．
(1)若
点坐标是
，求直线
的方程；
(2)若
是圆
上的动点，证明：两条动直线
的交点
总在同一个椭圆
上，并求出椭圆
的
方程．
【解析】（1）连接
，若
点坐标是
，得直线
的斜率
，
且
，则直线
的斜率
，
又因为直线
经过点
，
则直线
的方程为
，即
．
当
时，
，得
；当
时，
，得
．
由点
，可得直线
的方程为
，即
，
由点
，可得直线
的方程为
，即
．
（2）因为
是圆
上的一动点，则
，
设
是圆
以
为切点的切线上任意一点，得
，
，
由
，则
，可得
，
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所以切线的方程为
．
将
，代入
中，解得
，得
；
将
，代入
中，解得
，得
．
由
，得
，得直线
方程为
；
由
，得
，得直线
方程为
．
设直线
的交点
，联立方程组
，
两式相乘得
．
且
，代入上式化简得方程
，
即
，是一个焦点在
轴上的椭圆的方程，
所以两条动直线
的交点
总在同一个椭圆
上，且椭圆
的方程为
．
15．（2024·全国·一模）动圆P 过定点
，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4.
(1)若动圆圆心P 的轨迹为曲线C，求曲线C 的方程；
(2)在曲线C 的对称轴上是否存在点Q，使过点Q 的直线
与曲线C 的交点S，T 满足
为定值？
若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设
，依题意，
，而
，当P 点不在y 轴上时，即
，
由动圆P 在y 轴上截得的弦GH 的长为4，得
，
因此
，整理得
，
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当P 点在y 轴上时，显然P 点与原点O 点重合，而
也满足
，
所以曲线C 的方程为
.
（2）假设存在
满足题意，
设
，显然直线
不垂直于y 轴，设直线
的方程为
，
由
消去x 得
，
，
，
则
，
，
，而
，
因此
，
当
时，满足
，且
与无关，为定值，
所以存在点
，使过点Q 的直线
与曲线C 的交点
满足
为定值
.
16．（2024·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，点W 为
：
和
的公共点，
，
与直线
相切，记动点M 的轨迹为C．
(1)求C 的方程；
(2)若
，直线
与C 交于点A，B，直线
与C 交于点
，
，点A，
在
第一象限，记直线
与
的交点为G，直线
与
的交点为H，线段AB 的中点为E．
①证明：G，E，H 三点共线；
②若
，过点H 作的平行线，分别交线段
，
于点
，
，求四边形
面积的最
大值．
【解析】（1）设
，
与直线
的切点为N，则
，
42
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所以
化简得
，所以C 的方程为：
；
（2）①设线段
的中点为
，
因为
，所以可设
，
，
又因为
，
所以G，E，F 三点共线，同理，H，E，F 三点共线，
所以G，E，H 三点共线．
②设
，
，
，
，AB 中点为E，
中点为F，
将
代入
得：
，所以
，
，
所以
，
同理
，
，
（
均在定直线
上）
因为
，所以△EAT 与△EAH 面积相等，
与△EBH 面积相等；
所以四边形
的面积等于四边形GAHB 的面积，
设
，
，
直线
，即
整理得：直线
，又因为
，所以
，
同理，直线
，
，所以
所以
所以四边形GAHB 面积
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，
当且仅当
，即
，即
时取等号，
所以四边形
面积的最大值为16．
17．（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，过右焦点
且不与坐标轴
垂直的直线交
于P，Q 两点，点
关于
轴的对称点为，且
.
(1)求
的方程;
(2)设点
关于
轴的对称点为
，直线RP 交
轴于点
，直线ST 与
的另一交点为
，证明:直线
关于直线
对称.
【解析】（1）设椭圆
的焦距为2c，左焦点为
，
点
关于
轴的对称点为，根据椭圆的对称性可知
，
由
，得
，即
，
又
，
故椭圆
的方程为
；
（2）证明：由（1）知
，设
的方程为
，
44
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联立
，得
，
，
设
，
则
，则
的方程为
，
令
，则
，故
，
由题意知
斜率存在，设直线
的方程为
，
联立
，得
，需满足
，
设
,
故
，
即直线
的倾斜角互补，则
，
由于
过点
，故直线
关于直线
对称.
18．（2024·高三·北京石景山·期末）已知椭圆
，离心率为
，短轴长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过坐标原点
且不与坐标轴重合的直线交椭圆
于
，
两点，过点
作
轴的垂线，垂足为
，直
线
与椭圆的另一个交点为
．求证：
为直角三角形．
【解析】（1）由题意知
，解得
,
45
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所以椭圆
的方程为
；
（2）设直线的方程为
，交椭圆于
，
，
由题意知
，所以
，
直线
的方程为
，
联立
，消去
得
，
，
所以
，设
的中点为
，
则
，
，
所以
，
因为在
中，
，所以
．
所以
，即
，
所以
为直角三角形.
19．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知圆
为圆
上的点，过点
作
轴于点
，点
是直线
上一点，且满足
.
(1)求点的轨迹
的方程；
(2)设
分别为轨迹
与
轴的左､右交点，
是轨迹
上不同于
的动点，直线
，
与直线
分别交于
两点，求
的最小值.
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【解析】（1）设
，则
，所以
，
由
，得
，所以
由于点
在圆
上，则有
，即
.
所以点的轨迹
的方程为
.
（2）
设
，
，
，因为
在椭圆上，所以有：
，
，
代入上式有
；
由题意可得直线
的斜率存在，由对称性，不妨设
.
设直线
的方程为
所以
，
联立
整理得：
，
则
，因为
，所以
所以
，则
，
因为
，所以直线
的方程为
，
47
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，故
.
因为
，所以
（当且仅当
时，等号成立），
由对称性可知，当
时，
的最小值也为6.
的最小值为6.
20．（2024·高三·四川成都·期末）已知点S 是圆
上任意一点，过S 作x 轴的垂线，垂足为H，点
T 满足
，记点T 的轨迹为C．
(1)求轨迹C 的方程；
(2)设轨迹C 与x 轴的交点分别为
，
，与y 轴正半轴的交点为B，M 是轨迹C 上任意一点，且M 不在坐
标轴上．若直线
与直线
交于点P，直线
与直线
交于点Q．试判断
的形状，并说明
理由．
【解析】（1）设
，则
，
设
，因为
，
则
，故
，
，
将
代入
中，得
，
轨迹C 的方程为
；
（2）
为等腰三角形，理由如下：
由（1）可知，
，
设
，则
，
则
，
，
故
，
48
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设直线
方程为
，直线
方程为
，
联立
与
，可得
，
，
故
，
直线
方程为
，直线
的方程为
，
联立
与
，可得
，
，
故
，
可以得到
，且
，
则
，
又因为
，故
，
其中
，故
，故
，
综上，
为等腰三角形.
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