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重难点培优02 数列的绝对值、奇偶项、插项类、公共项、
取整数、存在项问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................6
题型一 绝对值数列（★★★★）................................................................................................................6
题型二 奇偶类数列（★★★★★）............................................................................................................7
题型三 插项类数列（★★★★）................................................................................................................9
题型四 公共项数列（★★★★）..............................................................................................................11
题型五 取整类数列（★★★）..................................................................................................................12
题型六 存在项数列（★★★）..................................................................................................................14
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................15
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................15
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................18
知识点01 等差数列
一、等差数列的有关公式
1、等差数列的通项公式
如果等差数列
的首项为
，公差为
，那么它的通项公式是
．
2、等差数列的前
项和公式
设等差数列
的公差为
，其前
项和
．
二、等差数列的常用性质
已知
为等差数列，
为公差，
为该数列的前
项和．
1、通项公式的推广：
．
2、在等差数列
中，当
时，
．
3、
，…仍是等差数列，公差为
．
4、
，…也成等差数列，公差为
．
5、若
，
是等差数列，则
也是等差数列．
三、等差数列的前n 项和公式与函数的关系
．数列
是等差数列⇔
（
为常数）．
【常用结论】
1、等差数列
中，若
，则
．
2、等差数列
中，若
，则
．
3、等差数列
中，若
，则
．
4、若
与
为等差数列，且前
项和为
与
，则
．
知识点02 等比数列
一、等比数列的有关公式
1、等比数列的通项公式
设等比数列
的首项为
，公比为
，则它的通项公式
．
推广形式：
2、等比数列的前n 项和公式
等比数列
的公比为
，其前
项和为
注：①在求等比数列的前
项和时，首先要判断公比
是否为1，再由
的情况选择相应的求和公式，当不
能判断公比
是否为1 时，要分
与
两种情况讨论求解．
②
，
为关于
的指数型函数，且系数与常数互为相
反数．
二、等比数列的性质
1、等比中项的推广．
若
时，则
，特别地，当
时，
．
（2）①设
为等比数列，则
（
为非零常数），
，
仍为等比数列．
②设
与
为等比数列，则
也为等比数列．
2、等比数列
的单调性（等比数列的单调性由首项
与公比
决定）．
当
或
时，
为递增数列；
当
或
时，
为递减数列．
3、其他衍生等比数列．
若已知等比数列
，公比为
，前
项和为
，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为
．
②等长度截取
为等比数列，公比为
（当
时，
不为偶数）．
【常用结论】
1、若
，则
．
2、若
，
（项数相同）是等比数列，则
，
，
，
，
仍是等比数
列．
3、在等比数列
中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
为
等比数列，公比为
．
4、公比不为－1 的等比数列
的前
项和为
，则
，
，
仍成等比数列，其公比为
．
知识点03 数列求和
一、公式法
1、等差数列
的前n 项和
2、等比数列
的前n 项和
3、一些常见的数列的前n 项和：
①
；
②
；
③
；
④
二、几种数列求和的常用方法
1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组
求和法，分别求和后相加减．
2、并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项
和．
（1）基本步骤
（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这
个数列的前
项和即可用错位相减法求解．
（1）适用条件
若
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列，求数列{an·bn}的前n
项和
．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出
与
的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
5、倒序相加法：如果一个数列
与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这
个数列的前
项和即可用倒序相加法求解．
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数
列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
【常用结论】
裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
④三角型
（1）
（2）
（3）
⑤阶乘
（1）
题型一 绝对值数列
【技巧通法·提分快招】
1、对于首项小于0 而公差大于0 的等差数列
加绝对值后得到的数列
求和,设
的前
项和为
的前
项和为
,数列
的第
项小于0 而从第
项开始大于或等于0,于是有
2、对于首项大于0 而公差小于0 的等差数列
加绝对值后得到的数列
求和,设
的前
项和为
的前
项和为
,数列
的第
项大于0 而从第
项开始小于或等于0,于是有
1．（24-25 高三上·天津·期中）在数列
中，
，
，则
等于（ ）
A．630
B．648
C．660
D．675
2．（24-25 高三上·湖北武汉·月考）已知递减的等比数列
满足：
，
，
，若
，则数列
的前12 项和
（ ）
A．9
B．12
C．18
D．27
3．（23-24 高三下·北京·开学考试）已知数列
的通项公式为
，若满足
的整数
恰有2 个，则
可取到的值有（ ）
A．有3 个
B．有2 个
C．有1 个
D．不存在
4．在等差数列
中，
，
，
为数列
的前
项和，则
．
5．（24-25 高三下·重庆荣昌·月考）已知数列
的通项公式为
，则
．
6．已知数列
的前
项和
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
题型二 奇偶类数列
【技巧通法·提分快招】
1、等差数列中
①若项数为偶数
，则
；
；
．
②若项数为奇数
，则
；
；
．
2、等比数列
中，若项数为
，则
；若项数为
，则
．
3、项数问题
①数列项数是2n 项，那么奇数和偶数分别是n 项；
②数列项数是2n+1 项，那么奇数为n+1 项，偶数为n 项；
③当项数是n 项时，要分n 为奇数和n 为偶数；
4、常见类型
①
，求
的值；则
②
，求
的值
（1）n 为奇数时，有
个奇数项，有
个偶数项，则
（2）n 为偶数时，有
个奇数项，有
个偶数项，则
5、其他类型
①数列中连续两项和或积的问题：
或
②含有
类型
1．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列
的前6 项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则
．
2．等差数列
共有
项，所有的奇数项之和为
，所有的偶数项之和为
，则
等于 ．
3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列
的前6 项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2 倍，则
．
4．已知数列
满足
，
，则
的前40 项和为 .
5．（24-25 高三上·云南昭通·月考）设数列
的前
项和为
，已知
，且
为等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
6．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列
中，
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
求数列
的前
项和
．
7．（23-24 高三上·辽宁·期中）已知
是各项均为正数的数列，
为
前n 项和，且
，
，
成等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)求证：
；
(3)已知
，求数列
的前
项和
.
8．（24-25 高三上·新疆塔城·期中）已知等比数列
的前n 项和为
，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
求数列
的前n 项和
；
(3)若存在正整数n，使得
成立，求m 的取值范围.
题型三 插项类数列
【技巧通法·提分快招】
1、插入数构成等差数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等差数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等差数列，公差记为
，所以：
2、插入数构成等比数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等比数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等比数列，公差记为
，所以：
3、插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列
提供了多少项，其余都是插入进来的。
1．已知等差数列
的首项
，公差
，在
中每相邻两项之间都插入k 个数，使它们和原数列
的数一起构成一个新的等差数列
，当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩
充的次数记为
.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3 进行构造，第1 次
得到数列1，2，3；第2 次得到数列1，
，2，
，3；…依次构造，记第
次得到的数列的所有
项之和为
，则
（ ）
A．510
B．514
C．1022
D．1026
3．（2024·河南安阳·三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同
的等比数列，数阵中各项均为正数，
，则
；在数列
中的任
意
与
两项之间，都插入
个相同的数
，组成数列
，记数列
的前
项和为
，
则
．
4．（23-24 高三上·山东·月考）已知数列
是公差不为零的等差数列，满足
，
，正项数
列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)在
和
之间插入1 个数
，使
，
，
成等差数列；在
和
之间插入2 个数
，
，使
，
，
，
成等差数列；…；在
和
之间插入
个数
，
，…，
，使
，
，
，
，
成等差
数列．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
的值．
5．（2025·湖南·三模）已知数列
满足
，数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的通项公式；
(3)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
之间插入
项，从而构成一个新
数列
，设
的前
项和为
，求
.
6．已知数列
，
的通项公式分别为
，
，数列
是由
，
的公共项从小到大排
列构成的数列，
(1)求
，
，
，及
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，
①求
，
的值；
②在数列
中是否存在项
，
，
（其中
）成等比数列？若存在，求出这样的项；若
不存在，请说明理由．
7．已知等差数列
是数列
的前
项和，满足
；数列
各项都是正数，且满足
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
；
(3)在
和
，
中插入
个相同的数
，构成一个新数列
：
，
求
的前
项和．
题型四 公共项数列
【技巧通法·提分快招】
在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法：
1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应
的通项公式；
2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对
值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得
到通项公式．
1．（24-25 高三上·天津河西·期中）将数列
与
的公共项从小到大排列得到数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·重庆·二模）设等差数列
的前
项和为
，且
，将数列
与数列
的公共项从小到大排列得到新数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·广东湛江·二模）将数列
与
中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排
序得到数列
，则
，
的前202 项和为 ．
4．已知
，将数列
与数列
的公共项按从大到小的顺序排列，组成
一个新数列
，则数列
的前
项和为 ．
5．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，
是的方向向量．数列
满足：点
均在上，
．
(1)求
的通项公式；
(2)已知
是以4 为首项，2 为公差的等差数列，若
与
的公共项为
，
的值由小到大构成数列
，求
的前
项和
．
6．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1 行 1 2 3 …… 7 8 9
第2 行 10 11 12 …… 97 98 99
第3 行 100 101 102 …… 997 998 999
第4 行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
(1)将数列
与数列
的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列
，试确定
在该数阵中的位
置；
(2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12 的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，
记新数阵第
行中正整数的个数为
.
（i）求
，
，
；
（ii）求
.
题型五 取整类数列
1．（2025·新疆·模拟预测）若数列
的首项
，且满足
．
(1)证明:数列
是等比数列；
(2)若
，求满足条件的最小整数n．
2．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
，求满足条件的最大整数n.
3．已知在数列
中，
，
，前
项和
满足
．
(1)求
及
；
(2)求使
的最小整数
（取
）．
4．（23-24 高三上·湖南长沙·月考）已知正项数列
满足：
，且
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
，并确定最小正整数
，使得
为整数.
5．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）记等差数列
的公差为
，前
项和为
，已知
，
且
．
(1)求：
；
(2)设
，其中
为不超过
的最大整数，求
的前
项和
．
6．（23-24 高三上·江苏·月考）设数列
的前n 项和为
，已知
，
.
(1)证明数列
为等比数列；
(2)设数列
的前n 项积为
，若
对任意
恒成立，求整数
的最大值.
7．（2025·河南·模拟预测）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的递增
数列，若
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的前
项和；
(3)求使得
成立的最大整数
.
题型六 存在项数列
1．已知数列
满足
，
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)是否存在正整数m、n （m<n），使得
？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请
说明理由.
2．已知数列
满足
．
(1)若
，求数列
的通项公式；
(2)在（1）的条件下，是否存在
，使得
成等比数列？
3．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列
的前
项和
满足
（
为不等于0 的常
数），且
.
(1)证明：
为等比数列；
(2)设
且
，若
，求正整数
的值；
(3)是否存在
，使得
依次成等差数列？若存在，给出符合题意的
的个数；若不存在，说明
理由.
4．已知数列
中，
，
，
对任意
都成立，数列
的前n 项和为
．
(1)若
是等差数列，求k 的值；
(2)若
，
，求
；
(3)是否存在实数k，使数列
是公比不为1 的等比数列，且任意相邻三项
，
，
按某顺序排列
后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．
5．若无穷正整数数列
满足递推关系
，则称数列
为好数列．
(1)若
为好数列，且
，请写出
所有可能的取值；
(2)若
为好数列，且
，求
最大的可能值；
(3)证明：对任意的好数列
，存在
，使得对
，都有
．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25 高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列
所有项之和为所有奇数项之和的3 倍，
前2 项之积为8，则
（ ）
A．2
B．-2
C．-1
D．2 或-2
2．（24-25 高三上·黑龙江·月考）已知等比数列
的前n 项和为
，且
，其中
．若在
与
之间插入3 个数，使这5 个数组成一个公差为d 的等差数列，则d＝（ ）
A．2
B．3
C．
D．
3．（2025·山东济南·模拟预测）将数列
与数列
的公共项从小到大排列得到新数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东青岛·一模）已知数列
，
，且
，将
与
的公共项按
从大到小的顺序排列组成一个新数列
，则
的前10 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知数列
满足
，
．数列
满足
，
，且数列
是等比数列．设
数列
的前n 项和为
，则满足不等式
成立的整数n 的最小值为（ ）
A．99
B．100
C．199
D．200
6．（24-25 高三上·江苏·月考）（多选题）数列
、
的通项公式分别为
、
，它们
的公共项按从小到大排列组成数列
，数列
、
、
的前
项之和分别为
、
、
，则
（ ）
A．
B．
C．数列
的第
项最小
D．数列
是递减数列
7．在等差数列
中，
，记
，则数列
的前30 项和为 ．
8．已知等差数列
的项数为
，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列
的项数是 .
9．（2025·北京·三模）已知等比数列
的前
项和为
，满足
，
.则
为 ；满
足
的最小的整数
为 .
10．（2025·北京·二模）在数列
中，
，且任意连续三项的和均为7，则
；记
数列
的前
项和为
，则使得
成立的最大整数
．
11．（24-25 高三上·重庆·月考）已知等差数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求数列
的前
项和
.
12．（2024·四川泸州·二模）已知数列
的前
项和
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
，与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，若
，求数列
的前
项和
．
13．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知
为数列
的前
项和，若
.
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)令
，若
，求满足条件的最大整数
.
14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列
是各项均不为0 的等差数列，
为其前
项和，且满足
，数列
的前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式及数列
的前
项和
．
(2)是否存在正整数
，使得
成等比数列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，请
说明理由．
15．（2024·四川巴中·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
，求满足条件的最大整数n．
16．（24-25 高三下·福建福州·月考）已知
为数列
的前
项和，
为数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的最大值；
17．（23-24 高三上·广西玉林·开学考试）已知正项数列
，其中
，且
.
(1)设
，证明：数列
是等比数列，并求其通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
，并判断是否存在正整数
，使得
为整数，若存在，请求出
最小正整数
；若不存在，请说明理由.
18．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列
是递减数列，
的前
项和为
，且
、
、
成等
差数列，
，数列
满足
，
，
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列
的前项和为
，
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前项和；
(3)在（2）的条件下，
中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说
明理由．
20．（23-24 高三上·河北石家庄·月考）已知正项数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求证：
(2)在
与
间插入n 个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3 项
，（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由．
21．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且数列
是等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，试问是否存在正整数
（其中
），使得
成等比数列？若存在，求出所
有满足条件的数组
；若不存在，请说明理由.
22．（24-25 高三上·辽宁·月考）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的
递增数列，若
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)求使得
成立的最大整数
．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25 高三上·安徽六安·月考）（多选题）已知数列
是各项为正数的等比数列，公比为q，在
之间插入1 个数，使这3 个数成等差数列，记公差为
，在
之间插入2 个数，使这4 个数成等差
数列，公差为
，在
之间插入n 个数，使这
个数成等差数列，公差为
，则下列说法错误
的是（ ）
A．当
时，数列
单调递减
B．当
时，数列
单调递增
C．当
时，数列
单调递减
D．当
时，数列
单调递增
2．已知数列
的前
项和为
，
，
，
为等差数列，
，
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和；
(3)
，求数列
的前
项和
.
3．（23-24 高三上·海南海口·月考）已知等比数列
是递增数列，且
，
.
(1)求
通项公式；
(2)在
和
之间插入1 个数
，使
、
、
成等差数列；在
和
之间插入2 个数
、
，使
、
、
、
成等差数列；…；在
和
之间插入
个数
、
、…、
，使
、
、
、…、
、
成等差数列.若
，且
对
恒成立，求
实数
的取值范围.
4．（24-25 高三上·河南·月考）设数列
的前
项和为
，且
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)若
恒成立，求
的取值范围；
(3)判断是否存在正整数
，满足
，若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
5．（24-25 高三下·天津·月考）设数列
是公差不为零的等差数列，满足
，
；数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)求
值；
(3)在
和
之间插入1 个数
，使
成等差数列；在
和
之间插入2 个数
，使
成等差数列；……；在
和
之间插入n 个数
，使
，
成等差数列．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）写出所有使
成立的正整数对
．
