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专题 03 函数图象综合问题（精选高考模拟题）
目录
一、函数图象的识别..................................................1
二、根据实际问题作函数图象..........................................7
三、函数图象的应用.................................................14
四、根据函数图象选择解析式.........................................19
一、函数图象的识别
1．（2023·甘肃陇南·统考一模）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.
【详解】 的定义域为 且 ，
因为 ，所以 为奇函数，排除A，D，当 时， ，B错误，
故选：C.
2．（2023·四川成都·校联考二模）函数 的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可
【详解】因为 ， ，
所以 为偶函数，所以函数图象关于 轴对称，所以排除A，C选项；
又 ，所以排除B选项，
故选：D．
3．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的定义域以及特殊值检验即可求解.
【详解】由已知得函数 的定义域为 ，由此排除选项 ,由于 ，由此排除选项 和 ,
故选： .
4．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到函数 的函数值的正负，可排除A、C项；求得 ，得出函数
的单调区间，可排除B项，即可求解.
【详解】由函数 ，令 ，即 ，解得 或 ，
所以当 或 时， ；当 时， ，可排除A、C项；
又由 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
则可排除B项，选项D符合题意.
故选：D.
5．（2023·河北·统考模拟预测）将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的
图像，则 的部分图像大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用条件，变形化简得到 ，再逐一对各个选项图形分析判断即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
选项A，因为 ，又 ，所以 ，故 ，根据图形知，选项A错误；
选项B，因为 ，所以 ，即 不是偶函数，选项B错误；
选项C，因为 ，又 ，所以 ，故 ，根据图
形知，选项C错误；综上可知选项D符合题意.
故选：D.
6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】求函数 的定义域，证明函数 为偶函数，排除CD，再证明当 时， ，
排除B，由此可得结论.
【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，
所以 为偶函数，排除选项C，D；
当 时， ，所以 ，则 ，
所以 ，排除B．
故选：A.
7．（2023·全国·模拟预测）函数 的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD，再由 可排除C，即可得到结果.
【详解】因为 ，其定义域为 ，所以 ，
所以 为偶函数，排除选项A，D，
又因为 ，因为 ，所以 ，所以 ，排除选项C.
故选：B.8．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）函数 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，令 ，可以排除AD，然后求导得 ，即可排除C.
【详解】因为 ，令 ，则 ，
即 ，解得 ，或 ，解得 ，
所以当 时，函数有1个零点，当 时，函数有2个零点，
所以排除AD；
当 时， ，
则 ，当 时， ，
所以当 时， ，函数单调递增，所以B正确；
故选：B.
9．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）函数 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解.
【详解】设 ，则有 ，
是奇函数，排除D；
，排除B；
当 时， ，排除C；
故选：A.
10．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）函数 在区间 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察A、B两项，发现图像在
处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值 代入导函数中判断即可.
【详解】因为 ，所以 是奇函数，排除C、D两项；
当 时， ，则 ，所以 ，
所以 在 处的切线斜率为负数，故排除A项；
故选：B.
二、根据实际问题作函数图象
1．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度
（单位：米/分钟）与时间 （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” 为无人机在时间段
内的最大速度与最小速度的差，则 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据速度差函数的定义，分 四种情况，分别求得函数解析
式，从而得到函数图像.
【详解】由题意可得，当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差函数”
；
当 时，无人机做匀速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀减速运动，“速度差函数” ，结合选项C满足“速度差函数”解析式，
故选：C.
2．（2021·重庆·统考模拟预测）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水
时间t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出圆锥底面圆半径r，高H，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h与注水时间
t的函数关系式即可判断得解.
【详解】设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点 ，水面半径 ，此时
水面高度 ，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知， ，即 ，则注入水的体积为
，
令水匀速注入的速度为 ，则注水时间为t时的水的体积为 ，
于是得 ，
而 都是常数，即 是常数，所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是 ， ， ，函
数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
3．（2020·安徽阜阳·校考模拟预测）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，
后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.
【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是
下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时
间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选C．
4．（2017·吉林·统考二模）如图所示，点 从点 出发，按逆时针方向沿边长为 的正三角形 运动一
周， 为△ 的中心，设点 走过的路程为 ，△ 的面积为 （当 、 、 三点共线时，记面
积为0），则函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时, ，为一次递增函数,去掉B；当 (BC中点) 时
为一次递减函数，去掉C,D；所以选A.
点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)
在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关
系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可
实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大小关系
5．（2019·安徽马鞍山·统考二模）某饲料厂原有陈粮10吨，又购进新粮x吨，现将粮食总库存量的一半精
加工为饲料.若被精加工的新粮最多可用 吨，被精加工的陈粮最多可用y 吨，记 ，则函数
2
的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用特殊值分别验证当 ，10，20时，函数图象的对应值，利用排除法进行求解
即可.
【详解】若 ，则此时库存为10吨，则库存的一半为5吨加工成饲料，则 ， ，此时 ，排除A，
若 ，则此时库存为 吨，则库存的一半为10吨加工成饲料，
若全部被加工的是陈粮，则 ，若全部被加工的是新粮，则 ，
此时 ，
若 ，则此时库存为 吨，则库存的一半为15吨加工成饲料，
若全部被加工的是陈粮，则y=10，若全部被加工的是新粮，则 ，
2
此时 ，排除D，
因为 ， ， 三点不共线，所以不可能是直线，故排除C，
故选：B.
6．（2020·全国·校联考模拟预测）（5分）函数 的图象大致为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可得函数 的定义域为 ，因为 ，所以函数
为奇函数，排除选项B；又 ， ，所以排除选项A、C，故选D．
7．（2011·广东·统考一模）如图所示，设点 是单位圆上的一定点，动点 从点 出发在圆上按逆时针方
向旋转一周，点 所旋转过的 的长为 ，弦 的长为 ，则函数 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点为 ，设 ，在直角三角形求出 的表达式，根据弧长公式求出 的表达
式，再用 表示 ，再根据解析式得答案.
【详解】取 的中点为 ，设 ，
则 ， ，
所以 ，即 ，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式.
故选：C.
8．（2011·江苏·统考一模）如图放置的边长为 的正三角形 沿 轴滚动.设顶点 的纵坐标与横坐
标的函数关系式是 ，记 的最小正周期为 ； 在其两个相邻零点间的图象与 轴所围
区域的面积记为 ，则 ．【答案】
【分析】由图象我们易分析出f（x）的最小正周期T的值，；
由其点P的轨迹图象可以得出其轨迹与x轴所围成的图形是一个个相邻的圆弧，
即两零点之间的图象与x轴围成的图形是2个 圆，由公式计算出面积即可．
【详解】由已知中边长为1的正三角形PAB沿 x轴滚动，则滚动二次后，P点的纵坐标和起始位置一样，
第三次滚动时以点P为圆心，故点P不动，故函数y＝f（x）是以3为周期的周期函数，即T＝3，
两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积如下图所示：
由图可知，其两个零点之间所围成的面积为以1为半径的2个 圆再加上一个边长为1的正三角形的面
积，
故其面积是 ，即S＝ ，所以S×T＝2π+ .
故答案为：2π+ .
三、函数图象的应用
1．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教
室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立
方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分
钟）之间的函数关系为 ，函数的图像如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那
么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
【答案】A
【分析】函数的图像过点 ，代入函数的解析式求得未知系数a，解函数不等式即可.
【详解】根据函数的图像，可得函数的图像过点 ，
由函数图像连续，代入函数的解析式，可得 ，解得 ，
所以 ，
令 ，可得 或 ，
解得 或 ．
所以如果7：30学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00．
故选：A．
2．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数 ， ， ，
，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置， 即可求解.
【详解】画出 的图象如下图：
由题意可知 ， ，由图象可知 关于直线 对
称，所以 ，因此 ，
当 时， ，此时 ，当 时， ，此时 ，
当存在 ， ， ， 使得 时，此时
，
故选：C
3．（2023·四川成都·校考模拟预测）定义：设不等式 的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M
是最优解．若关于x的不等式 有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为 .设 ， ，根据 的取值范围分
类，作出 的图象，结合图象，即可求得 的取值范围.
【详解】 可转化为 .
设 ， ，则原不等式化为 .
易知m＝0时不满足题意.
当m>0时，要存在唯一的整数 ，满足 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数 ， 的图象，如图1所示则 ，即 ，解得 .
当m<0时，要存在唯一的整数 ，满足 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数 ， 的图象，如图2所示
则 ，即 ，解得 .
综上，实数m的取值范围是 .
故选：D
4．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 ，则函数 的零点个数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令 ，可知 ；结合函数图像及解析式可求得
的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数.
【详解】函数 ，对 ，令 ，令 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 趋向负无穷时， ， 时， ，
故结合对数函数图象，可画出函数 图像如下图所示：
函数 的零点，即 ，令 ，代入可得 ，
由图像可知 ，即 ，
结合函数图像可知， 有1个解，
综合可知，函数 的零点有1个，
故选：A.
5．（多选）（2023·湖南岳阳·统考二模）设函数 在 上的最小值为 ，函数
在 上的最大值为 ，若 ，则满足条件的实数 可以是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】BD
【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数 和 的图象，如图，
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，解得 ；
当 时，函数 在 上单调递增，所以 ，
由图可知，函数 在 上，有 ，得
所以 ，解得 ，
结合选项，实数a可以是 和 .
故选：BD.
6．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）设函数 ，则满足条件“方程
有三个实数解”的实数a的一个值为 .
【答案】3（答案不唯一，只要满足 均可）．
【分析】作出函数 的图象，结合图象即可得解．
【详解】由于函数 为对勾函数，且 ，当且仅当 取等号，
函数 为单调递增函数，且 ，
作出函数 的图象如下图所示，
由图象可知，要使方程 有三个实数解，则需 ，
则符合题意的一个 的值为3．
故答案为：3（答案不唯一，只要满足 均可）．
四、根据函数图象选择解析式
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知 的图象如图，则 的解析式可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象确定函数 的定义域，奇偶性，以及函数值的大小即可求解.
【详解】由函数的图象可知函数的定义域为 ，
而选项B， 的定义域为 ，由此即可排除选项 ；
函数图象关于原点对称，即为奇函数，
而选项A, ， ，
所以 为偶函数，由此可排除选项A；
根据图象可知 ，而选项D, ，
, 由此可排除D，选项C满足图象特征.
故选：C.
2．（2023·浙江温州·统考二模）某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性可判断C，根据 和 即可排除AD.
【详解】4个选项函数定义域均为R，对于A, ，故 为
奇函数，且
对于B, 故 为奇函数， ，
对于C, ,故 为偶函数，
对于D， 故 为奇函数， ，
由图知为奇函数，故排除C；由 ，排除A,由 ，排除D,
故选：B．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据图象的对称性排除C D；根据函数的最值排除B，从而可得答案.
【详解】由图象关于 轴对称可知，函数 为偶函数，
因为 与 为奇函数，所以排除C D；
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 在 时取得最小值 ，由图可知 在 时取得最大值，故排除B.
故选：A4．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）已知函数 的局部图象如图所示，则 的解析式可以是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根据奇偶性和 在 时的函数值正负可排除.
【详解】由图可得 的图象关于 轴对称，即 为偶函数，
其中A选项， ，故 为奇函数，与图象不符，故排除A；
C选项， ，故 为奇函数，与图象不符，故排除C；
B选项，当 时， ， ，则 ，与图象不符，故排除B.
故选：D.
5．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数 ， ，如图是下列四个函数中某个函
数的大致图象，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象得到对应的函数的定义域为 和当 时， ，再一一判断各
个选项即可.
【详解】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为 ，对于A选项： 的定义域为 ，所以A选项错误；
对于B选项： 的定义域为 ，所以B选项错误；
又知当 时， ，
对于C选项， 的定义域为 ，
当 时， ，所以C选项错误；
对于D选项， 的定义域为 ，
当 时， ，所以D选项符合题意.
故选：D.
6．（2023·广东惠州·统考一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图
是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个
图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得 ，知A错误；由 时， 可知B错
误；根据 、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知
D错误.
【详解】对于A， （当且仅当 ，即 时
取等号），在 上的最大值为 ，与图象不符，A错误；
对于B，当 时， ，与图象不符，B错误；
对于C， ， 当 时， ；
又 过点 ；
由 得： ，解得： ，即函数定义域为 ；
又 ，
为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称；
当 时， ，则函数在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述： 与图象相符，C正确；
对于D，由 得： ， 不存在 部分的图象，D错误.
故选：C.
7．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不
简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线LOGO，以下4个函数中最能拟合该曲线
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别从函数奇偶性、单调性、及函数值的符号来逐项判断即可.
【详解】对于A项，设 ，定义域为 ，
又因为 ，所以 为奇函数，
当 时， ，则 ，
， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
当x趋近于0时， 趋近于0；当x趋近于 时， 趋近于 ；
又因为 ，故符合图象，故A项正确；
对于B项，设 ，定义域为 ，
又因为 ，所以 为偶函数，而图象曲线是一个奇函数，故B项不符
合；
对于C项，设 ，定义域为 ，
当 时， ，则 ，
， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，这与图象不符，故C项不符合；
对于D项，设 ，定义域为 ，
因为 ，这与图象中 相矛盾，故D项不符合.
故选：A.
8．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）若某函数在区间 上的大致图像如图所示，则该函数的解析
式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过函数在区间内的正负性，范围及零点情况排除选项.
【详解】A选项，设 ，则当 时， ，
则 ，不符合图像，排除A；C选项，设 ，当 时， ，且 ， ，
，所以 ．
所以 ，不符合图像，排除C；
D选项，设 ，令 ，解得 或 ，与图像不符，排除D.
故选：B．
