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专题02 三角函数的图象与性质综合
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】三角函数的图象与性质
【知能解读02】函数
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】三角函数的图象
【重难点突破02】根据三角函数图象求解析式
【重难点突破03】三角函数的周期性
【重难点突破04】三角函数的单调性
【重难点突破05】三角函数的最值与值域
【重难点突破06】三角函数的零点问题
【重难点突破07】三角函数的极值点问题
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】利用图象求三角函数解析式时选点不当
【易混易错02】函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢
【易混易错03】单调性概念理解不准确
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】＂w＂的求解
【方法技巧02】整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心
【方法技巧03】代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心
【方法技巧04】图像法求三角函数最值或值域
【方法技巧05】换元法求三角函数最值或值域
【方法技巧06】利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值
【方法技巧07】五点法求三角函数解析式
【方法技巧08】利用图像平移求函数解析式或参数值
1
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01 三角函数的图象与性质
1.正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做正弦曲线
2
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由诱导公式一可知，函数
且
的图象与
的图
象形状完全一致．因此将函数
的图象不断向左、向右平移（每次移动
个单位长
度），就可以得到正弦函数
的图象（如图）．
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条＂波浪起伏＂的连续光滑曲线．
1．作正弦函数的图象时，自变量的取值要用弧度制，以保证自变量的取值与函数值都为实数。
2．不能说函数
，
的图象就是正弦曲线，它是正弦曲线的一部分．
2.五点法作正弦函数
的图像
在精确度要求不高时,常常先找出五个关键点(0,0),(
π
2 ,1),(π,0),(
3 π
2 ,−1),(2π,0).再用光滑的曲线将它们连
接起来,得到正弦函数
的简图
1．关键的五个点可以分为两类记忆：
1）图象与
轴的交点：
，
;
3
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2）图象的最高点
和最低点
．
2．五个关键点最后要用平滑的曲线连接，而不能用折线连接。
3．被这五个点分隔的区间上函数值变化情况，在
附近函数值增加或下降快一些，曲线
“陡”一些，在
附近，函数值变化慢一些，曲线变得＂平缓＂．
【真题实战1】（24-25 高三上·江西赣州·期末）当
时，曲线
与
的交点
个数为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【真题实战2】（2025·河南郑州·二模）函数
与函数
的图象交点个数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.余弦函数的图象
将正弦函数的图象向左平移
个单位长度可以得到余弦函数的图象
余弦函数y=cos x，x∈R 的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状，但位置不同的＂波浪起
4
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伏＂的连续光滑曲线．
类似于正弦函数图象的作法，要作出
在
上的图象，起关键作用的五个点是（ 0 ，
，
．描出这五个点，然后用光滑的曲线连接就得到了
在
上的简图，再通过向左、向右平移（每次移动
个单位长度）即可得到余弦函数
的图象．
4.函数的周期性
（1）周期函数
一般地，设函数
的定义域为
，如果存在一个非零常数
，使得对每一个
都有
，且
，那么函数
就叫做周期函数．非零常数
叫做这个函数的周
期．
（2）最小正周期
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周
期．今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期。
（3）正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期都是
且
，最小正周期都是
．
（4）函数
及
（其中
为常数，且
的最小正周期为
．
5
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不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数
（
为常数）没有最小正周期．
【真题实战1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，A，B 是直线
与函数
图象的两
个交点，若
，则
（ ）
函数
y=sin x
y=cos x
图象
定义域
R
R
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
Z）上单调递增；
上单调递减
在
上单调递
增；
在
上单调递减
最值
对称性
对称轴：直线
；对
称中心：
对称轴：直线
；
对称中心：
最小正周期
2 π
2 π
6
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A．
B．
C．
D．
【真题实战2】（2025·重庆·二模）若函数
在
上有且仅有 1 个零点和 1 个
极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.正弦函数和余弦函数的图象与性质
1．正、余弦函数的周期是
，因此，只要记住它们在
内的图象形状，就可
以画出正弦曲线和余弦曲线。
2．由图象可看出对称性与周期性具有如下关系：
1）两相邻对称轴（对称中心）之间的水平距离为半个周期；
2）对称轴与相邻对称中心之间的水平距离为
个周期．
3．对称轴过最高点或最低点．
4．单调性与周期的关系：单调增区间（减区间）的长度占所在周期的一半，反之不成立．
【真题实战1】（2025·北京·三模）已知函数
，则函数
（ ）
A．值域为
B．在区间
上单调递增
C．最小正周期为
D．图象关于点
成中心对称
【真题实战2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数
在区间
上单调，则
的
取值范围为 .
6.正切函数的图象与性质
函数
y=tan x
7
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定义域
{x|x≠π
2 +k π ,k ∈Z}
值域
R
图象
最小正周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
对称性
对称中心：
没有对称轴
1．
无单调递减区间．
2．
在每段开区间
内单调递增，不能写成闭区间，也不能说在整个
定义域内单调递增。
3．直线
为
的图象的渐近线，
的图象与直线
无限接近，但不相交．
【真题实战】（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线
的一个对称中心为
，则
的最小值为 ．
02 函数
1.探索
对函数
的图像的影响
函数
的图象可以看作是把正弦曲线
上的所有点向左（当
时）
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或向右 （当
时）平移
个单位长度而得到的（可简记为＂左加右减＂）．如图：
1．
与
的图象形状是完全一样的，
的图象可由
的图
象左右平移得到，此变换称为左右平移变换。
2．左右平移是对
本身而言的，如果
前面有系数，那么应提取系数，然后进行左右平移．
2.探索
对函数
的图像的影响
一般地，函数
，且
的周期是
，把
图象上所有点
的横坐标缩短（当
时）或伸长
.
：所有点的纵坐标不变,横坐标缩短
或伸长
到原来的
倍
y=
的图像
1．
影响函数
的周期．
2．
与
的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换。
3．推广到一般：函数
的图象可以由函数
的图象上所有点的横坐标缩短
或伸长
到原来的
倍（纵坐标不变）而得到．
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3.探索A( A>0)对函数
的图象的影响
一般地，函数
，且
的图象，可以看作是把
图象上所
有点的纵坐标伸长（当
时）或缩短（当
时）到原来的
倍（横坐标不变）而得到．
从而，函数
的值域是
，最大值是
，最小值是
．
的图像：所有点的横坐标不变,纵坐标伸长
（A>1)
或缩短(0< A<1)
到原来的A 倍
的图像.
1 .|A| 的大小反映了曲线
波动幅度的大小．
2．
与
的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换．
3．推广到一般：函数
，且
的图象可以由函数
的图象上所有点的
纵坐标伸长
或缩短
到原来的
倍（横坐标不变）而得到．
4.由
的图象得到
的图象的过程
途径1 先平移后伸缩
的图像：各点向左或向右平移
个单位长度
的图像
各点的横坐标伸长或缩短为原来的
倍,纵坐标不变
的图像
各点的纵坐标伸长或缩短为原来的A
倍,横坐标不变
的图像
途径2 先伸缩后平移
的图像：各点的横坐标伸长或缩短为原来的
倍,纵坐标不变
的图像
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各点向左或向右平移
个单位长度
的图像
各点的纵坐标伸长或缩短为原来的A
倍,横坐标不变
的图像
两种途径的区别
这两种途径的关键差别在＂相位变换＂这一步骤上，其实质是要看自变量
的变化情况．
第一种途径，在相位变换这一步中是由
变到
，故应为 ＂将函数
的图象上
所有点向左（当
时）或向右（当
时）平移
个单位长度得到函数
的图象＂；
第二种途径，在相位变换这一步中是由
变到
，实质是
变到
，故
应为＂将函数
）的图象上所有点向左（当
0 时）或向右（当
时）平移
个单位长度得到函数
的图象＂．
【真题实战】（2025·天津·二模）已知函数
，对任意
，恒有
，
且
在
上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．函数
图像向左平移
个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的
得到函数
，函数
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的对称轴方程为
，
D．
在
上的最小值为
5.函数
和
的性质
函数
定义域
R
R
值域
单调性
当
且
时，将
视为一个整体，利用
或
相应的单调区间求解；当
或
时，注意单调区间的变化
奇偶性
当
时为奇函数；
当
时为偶函数
当
时为偶函数；
当
时为奇函数
周期性
对称性
将
视为一个整体，利用
或
图象的对称轴、对称中心
求解
函数
图象的对称问题
1．过函数图象中的波峰或波谷且与
轴垂直的直线为图象的对称轴．
2．函数图象与
轴的交点是图象的对称中心，即平衡位置点．
【真题实战】（2025·北京海淀·三模）已知函数
（
，
）．在区间
上单调递增，且
是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三
个条件中选择一个作为已知，使函数
存在，并求解下列问题．
条件①：
；
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条件②：当
时，
取到最小值；
条件③：
．
(1)求
、
的值；
(2)若函数
在区间
上单调递减，求实数
的最大值．
01 三角函数的图象
由
的图象变换得到
的图象的方法：
变换方法一
1．画出
的图象
2．向左（右）平移
个单位长度，得到
的图象
3．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到
的图象
4．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变），得到
的图象
变换方法二
1．画出
的图象
2．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到
的图象
3．向左（右）平移
个单位长度，得到
的图象
4．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变），得到
的图象
两种方法核心都是通过＂平移、伸缩＂变换，依据三角函数图象变换规律，分步实现从
到
的图象推导，实际应用中可根据
等参数特点灵活选择。
【典例1】（24-25 高三上·甘肃白银·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单位
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长度后得到曲线C，若C 关于y 轴对称，则
的最小值是
【典例2】（2025·江苏南通·三模）已知函数
，将
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，若
与
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·山东·二模）将函数
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象．
若
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
B．
02 根据三角函数图象求解析式
1、已知函数图象求解析式
中的参数的步骤：
（1）$A, k$由最值确定，在一个周期内（或者从最高点到相邻的最低点），若最大值为
，最小值为
，
则
。特别地，当
时，
。
（2）
由最小正周期
确定，即由
求出，
的值的判断：（1）当
时，相邻的零点与极值
点横坐标之差的绝对值为
；（2）当
时，相邻的两个零点之间的距离为
；（3）相邻的最高点与
最低点的横坐标之差的绝对值为
；（4）相邻的两个最高（低）点之间的距离为
。典例见主书$P 59
T 5$
（3）
可由五点法确定，可以利用最高点或最低点，也可以利用零点。利用零点时，通常把＂五点法＂
中的第一个点
（初始点）作为突破口，由＂第一个点＂（图象上升时与
轴的交点）可得等式
；由＂第三个点＂（图象下降时与
轴的交点）可得等式
。再由已知条件中
的具体范围确定相应的
值.
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【典例1】（2025·福建泉州模拟）已知函数
的部分图象如图所示，
的图象与
轴交于点C，且
，
，
，则
．
【典例2】（2025·河北邢台模拟）若函数
的部分图象如图所示，且
，则
的最小正周期为 ，
在
上的零点个数为 ．
【典例3】（2025·黑龙江大庆模拟）函数
的部分图象如图所示，已知
，若其
解析式为
，则
（ ）
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A．
B．
C．0
D．1
【典例4】（2025·安徽·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，将
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
03 三角函数的周期性
核心方法：求三角函数周期的方法
（1）定义法．
（2）公式法：
和
的最小正周期
的最小
正周期
.
（3）图象法：作出函数图象，通过观察图象得到最小正周期.
【典例1】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（多选）（2025·四川雅安·二模）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
16
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B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调递增
D．将
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象，则
【典例3】（多选）（24-25 高三下·山西大同·期末）关于函数
，下列说法正确的是
（ ）
A．
的图象关于y 轴对称
B．
在区间
上单调递减
C．
的最小正周期为
D．
的图象关于点
对称
【典例4】（2025·广东·一模）已知函数
，其中
．
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)若
时，
的最小值为4，求
的值．
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04 三角函数的单调性
核心方法：求三角函数单调区间的方法
（1）求形如
的函数的单调区间时，一般利用复合函数的单调性原理＂同
增异减＂.
①先观察解析式，分清内函数
，外函数
，其中内函数
为增函数；
②在
中，若
，则此函数的增区间可通过
求得
减区间可通过
求得；若
，增区间可通过
求得，减区间可通过
求得
注意两者的不同之处.
（2 ）在函数
中，若
，则需要利用诱导公式将函数解析式转化为
，则
的增区间为原相应函数的减区间，减区间为原相
应函数的增区间.
（3）对于函数
和
，其单调区间的讨论与（1）（2）类似.
【典例1】（2025·广东佛山·三模）将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上的值域为
D．
在
上单调递增
【典例2】（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为
，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
在区间
上单调
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递增，在区间
上单调递减，且
.若将
的图象向左平移
个单位长度后所得函
数的图象关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】（2025·陕西汉中·二模）已知函数
，若
在区间
上单调递增，
则
的最大值为 .
05 三角函数的最值与值域
核心方法：求三角函数的值域（最值）的方法
求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：
（1）形如
的函数，使用换元法，设
，根据
的范围确定的范围，然后
再利用三角函数的图象或单位圆求出
的三角函数值，进而得到值域（最值）．
（2）形如
的函数，化为
的形式，此时可设
，
根据自变量
的范围确定的范围，然后再利用三角函数的图象或单位圆求出
的三角函数值，进而
得到值域 （最值）。
（3）形如
的函数，即
与
的复合函数，通常可先将解析式化简为一个角
的同名三角函数的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元将解析式转变为熟悉的函数，再
求出值域即可，如求形如函数
的值域（最值）。
（4）形如
的三角函数，可先设
，转化为关于的
二次函数求值域（最值）．
（5）一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
【典例1】（2025·山西·模拟预测）设函数
在区间
的最小值和最大值分别为
和
，
则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
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【典例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位，得
到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【典例3】（2025·四川三模）将函数
的图象向右平移
个单位长度（
为常数，且
），得到函数
的图象，若
在区间
上单调递增，
在
区间
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】（2025·上海闵行·二模）已知函数
在区间
上既有最大值1 又有最小值
，则关于实数
的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
06 三角函数的零点问题
求三角函数的零点问题的三种方法：
1．利用三角函数图象
步骤：先将三角函数化为
（或余弦、正切等形式）的标准式，确定其振幅
、周
期
（正切函数周期
）、相位
等特征，画出函数大致图象，根据图象与
轴交点
确定零点。
2．利用三角函数性质转化方程
步骤：对于
，令
，即
（余弦、正切类似），然后利用三
角函数的周期性、单调性等性质求解
。先确定
的取值范围，再结合正弦函数
（
的图象与性质，求解，进而得到
。
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3．结合导数（针对涉及极限、切线斜率等情况）
步骤：导数的定义为
，所以典例1 中B 选项就是求
。先求出
函数
的导数
，再代入
计算。这需要先根据函数图象求出
的解
析式 （确定
等），再求导计算。
【典例1】（多选）（2025·浙江·二模）已知函数
（
，
，
）的部
分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
图象的一个对称中心为
D．函数
在
上恰有5 个零点，则实数
的取值范围为
【典例2】（2025·上海·三模）函数
的零点个数为
【典例3】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最小值为
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C．
在
内有3 个零点
D．
在
内有3 个零点
07 三角函数的极值点问题
三角函数用导数确定极值点的解题步骤
1．求导化简：根据求导公式
，复合函数求导法则
，计算
，并利用三角恒等变换（如二倍角、两角和差公式）化简导
数表达式.
2．找导数零点：令
，求解方程的根
（即可能的极值点）.
3．判断极值类型：
若在
左侧
，右侧
，则
是极大值点；
若在
左侧
，右侧
，则
是极小值点.
4．求极值：将极值点
代入原函数
，计算
即为极值.
【典例1】（2025·河北·模拟预测）函数
在区间
上所有极值点的和为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数
在
上单调递减，在
上单调
递增，且圆
内恰好包含
的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·安徽·模拟预测）已知函数
为其导函数．
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(1)求
在
上极值点的个数；
(2)若
对
恒成立，求
的值．
【典例3】（2025·湖北荆州·二模）已知函数
，且
相邻两
个极值点的差的绝对值为
．
(1)当
时，求函数
的单调减区间；
(2)若
，求
的值．
01 利用图象求三角函数解析式时选点不当
在利用图象求三角函数的解析式时，选点不当是一个常见的易错点。为了避免这个问题，我们应该优
先选择图象上的最高点或最低点，若无法选取最高点或最低点，则选取函数零点求解，此时务必注意
零点所在的单调区间，如果忽视其所在的单调区间，直接根据公式求
，则容易错选．
【典例1】（2025·广东佛山·期中）已知函数
的图象如图所示，则
的表达式可以
为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【典例2】（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
的解析式可以为
B．将
图象上的所有点的横坐标变为原来的2 倍，再向左平移
个单位，得到
的图象，则
C．
的对称中心为
D．若
，则
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【典例3】（2025·广东广州·三模）已知函数
的部分图象如图所示，若
A，B，C 是直线
与函数
图象的从左至右相邻的三个交点，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
02 函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢
三角函数图象平移时，确定平移方向和单位长度遵循以下核心规则：
①水平平移：遵循＂左加右减＂原则，针对
进行操作。但要注意，若
有系数
，需先将
提取，
保证
的系数为 1 ，此时平移单位为
，向左平移则
加
，向右平移则
减
。水平平移的本质
是根据
与
（或
）的关系，通过调整
的取值，实现图象在水
平方向的移动，平移方向由＂加＂（左）或＂减＂（右）决定，单位长度由
确定。
②垂直平移：按照＂上加下减＂原则，直接对函数整体进行操作，向上平移则函数值加平移量，向下
平移则函数值减平移量，平移方向和单位长度直观对应＂加＂＂减＂及所加减的数值。
【典例1】（24-25 高三上·江西·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单位
长度后得到奇函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·云南红河·模拟预测）将函数
的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的
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，然后再向左平移
个单位长度后，得到的图象关于
轴对称，则
的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·湖南长沙·三模）将函数
的图象向左平移
个单位得到的函数
图象关于
轴对称，则
的值可以为（ ）
A．
B．1
C．2
D．5
03 单调性概念理解不准确
三角函数单调区间解题方法（核心：整体代换法）
1．化形：用辅助角公式将＂和角型＂（如
）化为
或
（单一三角函数可直接用）。
2．代换：令
，转化为
或
的单调区间问题。
3．套公式：依据正弦、余弦的单调区间列不等式：
①若为
，递减区间满足
；
②若为
，递减区间满足
。
4．限范围：解不等式得
通式，结合题目定义域或选项筛选有效区间。
【典例1】（2025·天津滨海区模拟）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·陕西汉中·三模）函数
的一个单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·广西柳州·一模）已知函数
，其中
，
，
．若
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对一切的
恒成立，且
，则函数
的一个单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
一、＂w＂的求解
1．正弦型函数的性质
对于正弦型函数
是常数，
来说：
（1）函数的零点（图象的对称中心）：
满足
，因此可得：
①函数
的零点为
；②函数图象的对称中心为
.
（2）函数图象的对称轴（最值点或极值点）
满足
，因此可得函数
图象的 对称轴方程（最值点或极值点）为：
.
（3）函数的最（极）大值点
满足
，因此可得函数
的 最（极）大值点 为：
（4）函数的最（极）小值点：满足
，因此可得函数
的最（极）小值
点为
2．＂
＂的求解问题的通法
对于三角函数中＂
＂的求解问题，我们一般采用以下方法进行处理：
第一步：根据题目的条件，将
看作整体，得到函数
图象的对称轴、对称中心（零点）或
函数的最 （极）值点所满足的关系，从而建立方程（组）或不等式（组）。
第二步：解这些方程（组）或不等式（组），得到答案。
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【注意】当不等式（组）有些复杂时，我们可以先去压缩不等式中整数
的取值范围，进而对整数
的取值进行分类讨论，从而求得
的取值范围.
【典例1】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数
，若集合
恰有3 个元素，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·辽宁·二模）将函数
的图像先向右平移
个单位长度，再把所得函数图像上
的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的
倍，得到函数
的图像．已知函数
在
上有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2025·内蒙古包头·二模）已知
在
上单调递增，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心
这类题型围绕三角函数（正切、正弦、余弦型）的对称中心、单调区间、图象变换及零点展开，核心
方法是整体代换 + 性质复用，按以下步骤解题：
1．函数化简：用辅助角公式，将＂和角型＂（如
）化为单一正弦／余弦型（
或
，简化分析。
2．整体代换：把
看作整体，套正弦、余弦、正切的对称中心、单调区间、零点性质，转化为
含
的方程／不等式。
3．结合条件求解：依据题目给的
范围、参数限制（如
），代入
）筛选，解出对称
中心、单调区间等；涉及图象变换，用＂左加右减＂（注意提取
）验证；零点问题转化为三角函数
方程解的个数，结合区间列不等式求参数。
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【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）若点
是函数
的图像的一个对称中心，
则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（24-25 高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数
的部分图象如
图所示，则下列选项不正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
中心对称
B．函数
的单调增区间为
C．函数
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到
D．函数
在
上有2 个零点，则实数t 的取值范围为
【典例3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数
和
，下列说法中正确的
有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【典例4】（2025·湖北武汉·二模）函数
，则下列关于
的说法中正确
的是（ ）
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A．最小正周期是
B．最大值是2
C．是区间
上的减函数
D．图象关于点
中心对称
三、代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心
代入检验法判断三角函数对称轴和对称中心的特殊值
1．对称轴关键值
对于
，对称轴处函数取最值
。代入
，若
，则
是对称轴。
比如
，代入
，得
（取到最大值 2 ），可判断
是对称轴.
从＂整体代换＂看，令
（余弦对称轴条件），常用
时的
值（如
），
结合题目区间找特殊值验证.
2．对称中心关键值
对于
，对称中心处函数值为 0 . 代入
，若
，再结合＂
（中心对称性质）验证.比如验证
是否为对称中心，可代入算
，
再取
看
与
是否互为相反数.
利用＂
＂（余弦对称中心条件），取
时的
，作为优先验证的
特殊值，快速判断对称中心.
3．周期性关联值
三角函数周期
，常用周期的
倍。比如验证对称轴，可代入
，看函数值是否
对称；验证对称中心，代入
，利用周期性简化计算。像
时，
，代入后
结合函数值快速判断对称性质.
4．区间端点／中点值
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题目给
区间（如
）时，区间中点、端点 是特殊值。比如判断区间内单调性，代入端点
和
，看函数值变化；验证对称轴，若区间中点代入后取最值，大概率是对称轴。这些
特殊值围绕＂三角函数性质（最值、零点、周期性）＂和＂题目区间限制＂设计，记住它们，代入检
验时能直接抓关键，不用盲目试值，大幅提升解题效率，遇到余弦、正弦型函数对称问题，直接套这
些值验证，又快又准.
【典例1】已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
在
单调递增
C．
的一条对称轴为
D．
在
存在唯一零点
【典例2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
的部分图像如图
所示，则（ ）
A．
B．
C．直线
是函数
图象的一条对称轴D．
在
的值域为
【典例3】（25-26 高三上·云南·阶段练习）已知函数
，则下列正确的是
（ ）
A．
在
上的值域为
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B．
是
图象的一条对称轴
C．将
图象上的所有点向右平移
个长度单位后，得到的函数图象关于y 轴对称
D．
在区间
上有6 个零点
【典例4】（24-25 高三上·天津·期中）已知函数
的部分图象如图
所示，下列说法正确的是 ．（写出下列选项的序号即可）
①．函数
的图象关于直线
对称
②．函数
的图象关于对称
③．该图象向右平移
个单位长度可得
的图象
④．函数
在
上单调递增
四、图像法求三角函数最值或值域
1.化简函数：用辅助角公式将函数化为
或
形式，明确振幅、周期等.
2．绘制或分析图像：根据三角函数性质（周期、最值、单调性），结合给定区间，确定关键点（零点、
最值点）.
3．求最值／值域：利用图像的最高点、最低点确定最值；结合区间内函数单调性，判断值域范围，验
证选项时代入特殊值（如区间端点、极值点）快速判断.
【典例1】函数
在
上的最大值是 ．
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【典例2】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数
（
）的图像是由函数
的图象向右平移
个单位长度得到，则（ ）
A．
B．函数
的最大值为
C．
在区间
内只有一个极值点
D．曲线
与直线
，
，
，（
）所围成的封闭图形的面积为
【典例3】（2025·河北衡水·阶段练习）已知函数
的部分图象
如图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．当
时，
的最大值为3
C．函数
在区间
上有2 个极值点
D．函数
在点
处的切线方程为
五、换元法求三角函数最值或值域
换元法求三角函数最值／值域解题策略
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1．换元转化：观察函数，令
等（结合
等倍角，利用
关联），将
原函数化为关于的代数函数.
2．确定新元范围：由
范围（如
），求的取值区间（利用三角函数值域或单调性）.
3．求函数值域：将新函数（如分式、二次函数）结合范围，用单调性、不等式法求值域；验证选项
时，代特殊值（如对称轴、区间端点）快速判断.
【典例1】已知函数
，
，求函数的值域.
【典例2】（2025·山东泰安·模拟预测）将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．函数
为偶函数
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．若
，则
的值域为
D．
是函数
的一个单调递减区间
【典例3】（2025·山东青岛·一模）已知
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
一个周期是
C．
的最大值是2
D．
的最小值是0
【典例4】（2025·广东·一模）已知函数
，其中
．
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
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(2)若
时，
的最小值为4，求
的值．
六、利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值
利用三角函数性质求参数解题策略
1．性质与参数的关联：
周期性：
，最值点间距（如相邻最大、最小值点距为
）、对称轴与对称中心间距
（为
奇数倍）可构建
与
的关系。
单调性：单调区间长度不超
，结合已知单调区间范围，列不等式限制
。
对称性：对称轴满足
，对称中心满足
，联立方程解
、
。
2．解题步骤：
第一步：分析条件，关联性质：判断题目涉及的性质（周期、对称、单调），从最值点、对称点间距
找
，或从单调区间长度限制
。
第二步：列方程（组）求解：用周期公式、对称条件列关于
、
的方程（组），结合
、
范
围 （如
），代入
筛选。
第三步：验证参数：将求得参数代回原函数，验证单调性、对称性是否符合题意，确保解的准确性。
通过＂抓性质－列方程－验参数＂，利用三角函数特殊点、间距与周期的关联，精准求解
、
等参
数。
【典例1】（2024·北京·高考真题）设函数
.已知
，
，且
的
最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【典例2】（2025·天津·高考真题）
，在
上单调递增，且
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为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【典例3】（2025·四川广安·模拟预测）已知函数
为偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
，其中
，若将其图象向
左平移
个单位，此时图象正好关于坐标原点对称，则以下结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上的最小值为
C．函数
的一个对称中心为
D．若
时，方程
有两个不同的解，则
七、五点法求三角函数解析式
五点法求三角函数解析式解题方法
1．明确＂五点＂：正弦型函数
的＂五点＂为：
零点（与
轴交点）：
（对应图象上升、下降过
轴的点）；
最值点：
（对应图象最高点、最低点）。
2．步骤拆解：
第一步：求
、
: A 是振幅（最高点与最低点纵坐标差的一半），
是平衡位置（最高点与最低点纵
坐标和的一半）。
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第二步：求
：通过图象中＂五点＂的间距算周期
（如相邻零点间距为
），再由
计算。
第三步：求
：选一个＂关键点＂（如已知零点、最值点）代入
对应角度（
等），解出
，优先取
最小的解。
3．验证调整：将求得的
代入函数，用另一＂关键点＂验证（如用最高点验证
），
确保解析式准确。
通过＂定振幅一算周期
代点求相位＂，利用＂五点＂的特殊角度对应关系，可精准求出三角函数解
析式。
【典例1】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数
图像如
图所示，
分别为图像的最高点和最低点，过
作
轴的垂线，交
轴于
，且
，
，
与
轴的交点为
．则下列说法正确的有（ ）．
A．函数
的解析式为
B．函数
的一个极大值点为
C．函数
的对称中心为
D．函数
在区间
上单调递增
【典例2】（2025·山东泰安·模拟预测）函数
在一个周期内的图象如图所示，
为图
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象的最高点，
为图象与
轴的交点，点
，且
为正三角形，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．当
，函数
的值域为
C．将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．若
，且
，则
【典例3】（2025·湖北武汉·三模）已知函数
，
0
0
0
0
(1)若
，
（ⅰ）根据如上表格，直接写出
的值；
（ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数
在
的图象；
(2)若函数
在
上恰有两个最值点，求
的取值范围.
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八、利用图像平移求函数解析式或参数值
寻找三角函数图像平移的关键点的方法
1．抓＂特殊点＂
最值点：正弦、余弦型函数的最高点（值为
）、最低点（值为
）是关键。比如
平移，
最高点
平移后坐标易算，能快速对应新函数的最值位置。
零点：函数与
轴交点（如
的
），平移后零点位置变化规律清晰，代入平移公式
（左加右减）可快速定位。
对称中心／对称轴点：若已知原函数对称中心
、对称轴
，平移后用＂
替换为
（
为平移量）＂，能直接关联新函数的对称性质。
2．用＂整体代换＂
把平移后的函数
看作整体，找原函数中对应特殊角度的
值。比如
是
左移
，将
视为原函数的
，则
，原函数零点
对应新函数
，快速找到平移后零点。
3．结合＂周期＂辅助
先算函数周期
，平移量若为
等特殊比例，对应特殊点平移。比如周期
，平移
就
是半个周期，原函数零点平移后会对应新函数的最值点，利用周期规律快速匹配。
像
周期
，平移
（半周期），原最高点
会移到
，变成新函数的最低点，结合
周期特性辅助找关键点。
【典例1】（24-25 高三上·浙江·阶段练习）将函数
的图象上所有点的横坐标变
为原来的
，纵坐标变为原来的2 倍，得到函数
的图象，若
在
上只有一个极大值点，则ω
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
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【典例2】将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象.若
在
上恰有三个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
的一个对称中心为
B．
的图象向右平移
个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．
在区间
上单调递增
D．若
在区间
上与
有且只有6 个交点，则
【典例4】（23-24 高三上·安徽·阶段练习）函数
的部分图象如图
所示．
(1)求函数
的解析式；
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(2)将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标
不变，得到函数
的图象，求函数
在
上的值域．
41
