文档文本内容
第 04 讲 第四章 三角函数（章节综合检测）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1．（2023春·安徽芜湖·高一统考期末）已知角 的终边与单位圆的交点为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意直接求解即可
【详解】因为角 的终边与单位圆的交点为 ，
所以 ，
故选：B
2．（2023春·新疆·高一校考期中） 化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角度数与弧度数的互化公式可求出结果.
【详解】因为 弧度，所以 弧度，
所以 弧度.
故选：B.
3．（2023春·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习） 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用诱导公式，逆用两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】 ，
故选：A
4．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系，由齐次式的求解方法求解．
【详解】 .
故选：D.
5．（2023秋·黑龙江大庆·高二大庆市东风中学校考开学考试）已知 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平方关系求得 ，再由商数关系求得 ，最后由二倍角公式求得答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
由同角三角函数的关系，得 ．
因此 ．
故选：D.
6．（2023秋·江西·高三统考开学考试）《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似
计算公式： .如图，公式中“弦”是指扇形中 所对弦 的长，“矢”是指 所在圆
的半径与圆心 到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆 的直径.若扇形的面积为 ，扇形的半径为
4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】先求得扇形的圆心角，然后求得 ，再利用扇形弧长的近似计算公式求得正确答案.
【详解】设该扇形的圆心角为 ，由扇形面积公式得 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，交 于点 ，
则 ，则 ，
， ，
所以扇形的弧长的近似值为 .
故选：D
7．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）若定义在 上的函数 的图象在区
间 上恰有5条对称轴，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的对称轴方程为 ， ，原题等价于 有5个整数k符合，
解不等式 即得解.
【详解】由已知， ，
令 ， ，得 ， ，
依题意知，有5个整数k满足 ，即 ，
所以 ，则 ，故 ，
故选：A．
8．（2023春·辽宁大连·高一统考期末）已知函数 （ ， ， ）在区间
上单调，且 ，则不等式 的解集是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将 化成 的形式，根据单调性及周期性得到 的取值范围，根据等式关系
得到各参数的关系，最后利用辅助角公式中的关系得到关于 的不等式，解出不等式即可.
【详解】 ，
， ，
在区间 单调，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，.
故选：A.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023秋·河北衡水·高三河北武强中学校考开学考试）已知函数 （ ），下
列结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上是减函数
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】BC
【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为 ，
所以 的最小正周期为 ，故A正确；
当 时， ，
的图象不关于点 对称，故B错误；
当 时， ，因为 在 上不单调，
所以函数 在区间 上不是减函数，故C错误；
当 时， 为最大值，
的图象关于 对称，故D正确．
故选：BC．
10．（2023秋·高一课时练习）（多选）如果由函数 的图象变换得到函数
的图象，那么下列变换正确的是（ ）A．图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍
B．图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半
C．向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变
D．将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位长度
【答案】CD
【分析】根据三角函数图像的变换关系求解即可.
【详解】函数 ,
函数 ,
函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
得到 的图象，故A不正确；
函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，
得到 的图象，故B不正确；
将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，
得到函数 的图象，故C正确；
将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，
得到函数 的图象，再将图象向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，故D正确；
故选:D.
11．（2023春·福建漳州·高一校考期中）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济
又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒
到水面的距离为 （单位：m）（ 在水下则 为负数）、 与时间 （单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（ ）
A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30s
B．筒车的轴心 距离水面的高度为
C． 时，盛水筒 处于向上运动状态
D．盛水筒 出水后至少经过20s才可以达到最高点
【答案】BD
【分析】根据振幅和最小正周期可确定A错误；利用 可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断方
法可知C错误；令 ，由正弦型函数的值可构造方程求得 ，进而得到 ，知D正确.
【详解】对于A， 的振幅为筒车的半径， 筒车的半径为 ；
的最小正周期 ， 旋转一周用时 ，A错误；
对于B， ，筒车的半径 ， 筒车的轴心 距离水面的高度为 ，B正
确；
对于C，当 时， ，此时 单调递减，
盛水筒 处于处于向下运动的状态，C错误；
对于D，令 ， ，
，解得： ，
又 ， 当 时， ，即盛水筒 出水后至少经过 才可以达到最高点，D正确.
故选：BD.12．（2023春·湖南邵阳·高一统考期末）黄金三角形有两种，一种是顶角为 的等腰三角形，另一种是顶
角为 的等腰三角形.已知在顶角为 的黄金三角形中， 角对应边与 角对应边的比值为
，这个值被称为黄金比例.若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】依题意可得 ，再利用二倍角公式及诱导公式一一计算可得.
【详解】依题意，得 ，故D正确；
对于A：
，故A正确；
对于B：由 ，所以 ，
所以 ，故B错误；
对于C：由 ，解得 或 （舍去），故C正确；
对于D：
故选：ACD．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3
分.）
13．（2023秋·高一课时练习）不等式 ， 的解集为 .
【答案】
【分析】结合正弦函数图象可得结果.
【详解】作出 在 上的图象如图所示，由图象可知：不等式 的解集为 .
故答案为： .
14．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）写出函数 ， 的一
个单调递增区间为 .
【答案】 ， 或 ， 等
【分析】根据函数的奇偶性以及正弦型函数的单调区间公式得出结果.
【详解】因为 ，所以 为偶函数，
由 ， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
由对称性可知在 上单调递增.
故答案为： ， 或 ， 等.
15．（2023·全国·高三专题练习）函数 在区间 上的最大值是 ．
【答案】
【分析】由辅助角公式及角的范围即可求解.
【详解】 ,当 时, ,当 时,
有最大值,且最大值为 .
故答案为:
16．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）若函数 对定义域内任意实数x均满
足 ，其中 ，则称 是“ 等值函数”．若函数 （a＞0）是“2等值函数”，则实数a＝ ，函数 在区间 上零点个数为
【答案】 2
【分析】根据 是“2等值函数”，则 对 恒成立，列式可求得
， 的最小正周期为8，结合图象确定 与 的交点个数，即可得出答案.
【详解】 是“2等值函数”， 对 恒成立，
，
不恒为 ，又 .
的最小正周期为8，把 视为第一个周期，
则区间 包含 个周期，且每个周期内 与 的交点均在前半个周期内，如图，
故函数 在区间 上共有253×2＝506个零点．
故答案为：2，506．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考开学考试）已知函数
(1)求函数 的最小正周期；
(2)当 时，求函数 的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）将 和 用和差角公式展开，化简后， 可用辅助角公式合成
形式的函数，即可利用周期公式求解周期
（2）利用整体法即可求解单调区间．
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，所以 的最小正周期是 ；
（2）令 ,解得 ，
令 ，则
由于 ，所以 的减区间为
18．（2023秋·浙江·高二校联考开学考试）已知函数 的部分图像
如图所示.
(1)求 的单调递增区间；
(2)设 ，且方程 有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先根据图像求出函数解析式，然后按求单调区间的步骤求解即可；
（2）利用函数与方程的有关知识即可求解.
【详解】（1）由题图知 ， ， ， ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，则 ，
故 .
令 ， ，
解得 ， ，
故函数 的单调递增区间为 ， .
（2）因为 ，所以 ，
设 ， ，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：当 时，满足题意.
19．（2023春·陕西渭南·高一校考期中）已知函数 .
(1)作出 在 上的图象（先列表格，再画图）；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到 的图象，求 的单调递减区间.
【答案】(1)图象见解析
(2) ，
【分析】（1）利用五点法进行列表作图即可．
（2）根据三角函数图象平移变换求出 的解析式，利用单调性进行求解即可．【详解】（1）列表如下：
0
1 2 0 0 1
作出 在 上的图象，如图所示：
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到 的图象，
即 ，
由 ， ，
得 ， ，
即 ， ，
即 的单调递减区间为 ， ．
20．（2023秋·高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度 （米）是时间 （ ，单位：时）的函
数，记作： ，下表是某日各时的浪高数据：
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
（米）
经长期观察， 的曲线可近似地看成是函数 的图象.
(1)根据以上数据，求函数 的最小正周期 ，振幅 及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00
至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【答案】(1) ， ，
(2)5个小时
【分析】（1）由表中数据知 ，然后利用周期公式可求出 ，再由 ， 和 ， ，可
求出 ，从而可求出解析式，
（2）利用余弦函数的性质解 即可得答案.
【详解】（1）由表中数据知 ，所以 .
由 ， ，得 .
由 ， ，得 ，故 ， ，
所以函数解析式为： .
（2）由题意知，当 时才可对冲浪者开放，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
即 ， .
又因为 ，故可令
得 ，或 ，或 .
所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00.
21．（2023春·山东淄博·高一校联考期中）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期；
(2)当 时，求 的最大值和最小值，以及相应 的值；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 时， ， 时 ．
(3)【分析】（1）根据三角恒等变换化简 ，即可由周期公式求解，
（2）根据 得 ，即可由正弦函数的性质求解，
（3）根据同角关系以及和差角公式即可求解.
【详解】（1）
故周期为
（2）
当 即 时， ，此时
当 即 时， 此时 ．
（3） ，
故
22．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数
.从下面的两个条件中任选其中一个：①将函数 图象上的点横坐标
不变，纵坐标变为原来的一半，再向左平移 个单位，可以得到函数 的图
象；②若 ，且 的最小值为 .求解下列问题：
(1)求 的表达式并求 的单调递增区间；(2)已知 ，求 的值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）若选条件①，根据降幂公式结合三角函数图象变换性质求解即可；若选条件②，根据题意
可得 的最值与零点，进而可得 的周期，结合 求解即可.得出 后再根
据正弦函数的单调增区间求解.
（2）根据 结合角度范围可得 ，根据 与角度范围可得 ，
再根据 求解即可.
【详解】（1）若选条件①， ，又函数
图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，再向左平移 个单位可得
，因为 ，故 ， .
又 ，故 ， ，则 .
若选条件②， ，即 是 的最大值点， 是 的零点，且 的最小值为
，设 的周期为 ，由此可得 ，即 ， .
故 ，又 ，则 ，又 ，故 ，则 .
故选①②均有 ，由 ，得
，即 ，所以 的单调递增区间为
（2）由 ，可得 ，因为 ，故 ，从而得到 ，即 .
