文档文本内容
第 04 讲 三角函数的伸缩平移变换
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
三角函数图象的综合应用
2023年全国甲卷理数，第10题,5分 无
求图象变化前 (后)的解析式
由正弦(型)函数的奇偶性求参数
2022年全国甲卷文数，第5题,5分 无
求图象变化前(后)的解析式
2022年浙江卷，第6题,5分 描述正(余)弦型函数图象的变换过程 无
2021年全国乙卷理数，第7题,5分 求图象变化前(后)的解析式 无
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
2020年江苏卷，第10题,5分 无
求图象变化前 (后)的解析式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1理解并掌握三角函数的图象与性质
2会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换
【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸
缩平移变换，需加强复习备考
知识讲解
1. 三角函数的伸缩平移变换（1）伸缩变换（ ， 是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为 ；
若 ↗，纵坐标伸长；若 ↘，纵坐标缩短； 与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若 ↗， ↘，横坐标缩短；若 ↘， ↗，横坐标伸长； 与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（ ， 是平移量）
平移法则：左 右 ，上 下
（3）伸缩平移变换
①先平移后伸缩
向左平移 个单位→ ，横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的 倍→
②先伸缩后平移
横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的 倍→ ，向左平移 个单位→
2. 三角函数图象的变换3. 常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与
对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
考点一、 同名三角函数伸缩平移变换的基本应用
1．（北京·高考真题）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 图象，则函数的解析式
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有
的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
3．（江苏·高考真题）为了得到函数 ， 的图象，只需把函数 ， 的图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
B．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
1．（2021·全国·统考高考真题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（四川·高考真题）将函数 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A． B．
C． D．
3．（天津·高考真题）把函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图像上所
有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是
A． B．
C． D．
考点 二 、 异名三角函数伸缩平移变换的基本应用1．（全国·高考真题）为得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
2．（天津·高考真题）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点的
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
C．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
D．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
3．（全国·高考真题）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
1．（山东·高考真题）要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
2．（全国·高考真题）已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
1 2
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
考点 三 、 三角函数伸缩平移变换的综合应用
1．（2022·全国·统考高考真题）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线
C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津·统考高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（山东·高考真题）将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则
的一个可能取值为
A． B． C． D．4．（2023·浙江·校联考二模）函数 的图象向左平移 个单位长度后对应的函
数是奇函数，函数 ．若关于x的方程 在 内有两个不同的解α，
β，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）已知函数 ，且
所有的正零点构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，横坐标
伸长到原来的2倍得到函数 的图象，则下列关于函数 的结论正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B． 的图象关于点 对称
C． 在 上是增函数
D．当 时，函数 的值域是
6．（2023·福建漳州·统考模拟预测）（多选）把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上有2个零点
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上的值域为
1．（天津·统考高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数 的图象上的点横坐标变为原来的 （纵坐
标变）得到函数 的图象，若存在 ，使得 对任意 恒成立，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）（多选）已知函数 ，把函
数的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 时，方程 有实根，则实
数 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数 ，则要得到函数 的图象，只需将
函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
2．（2023·全国·模拟预测）将函数 的图象上各点向右平移 个单位长度得函数
的图象，则 的单调递增区间为（ ）A． B．
C． D．
3．（2023·山东青岛·统考三模）将函数 图象向左平移 后，得到 的图象，
若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数 的图像向右平移 个单位长度，可
得函数 的图像，则 的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可
得函数 的图象，则 的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）函数 的部分图象如图所示，将函
数 的图象向左平移1个单位长度后得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．1
7．（2023·重庆·统考三模）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图
象，则“ ”是“函数 为偶函数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
8．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．点 是 的一个对称中心
D．函数 的图象向左平移 个单位得到的图象关于 轴对称
9．（2023·广东广州·统考三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为
C．函数 的图象的对称轴方程为
D．函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
10．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象，则（ ）
A．
B． 是 图象的一个对称中心
C．当 时， 取得最大值D．函数 在区间 上单调递增
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 的部分
图象如图，则（ ）
A．
B．
C．点 为曲线 的一个对称中心
D．将曲线 向右平移 个单位长度得到曲线
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知曲线 ，则下面结
论正确的是（ ）
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度C
1 2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2二、多选题
3．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数 （ ， ），
若函数 的部分图象如图所示，则关于函数 下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
4．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 的图象关于 对称，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 是偶函数
C． 在 上单调递增
D．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于点 对称
5．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）定义在 上的函数 满足
在区间 内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称C． 图象的一个对称中心为
D． 在区间 上单调递增
6．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数 的初相为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B．函数 的一个单调递减区间为
C．若把函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则 为偶函数
D．若函数 在区间 上的值域为
7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）函数 的图像关于点 中心对
称，且在区间 内恰有三个极值点，则（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 内有3个零点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．将 图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数为奇函数
8．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数 ，其图象相邻
对称轴间的距离为 ，点 是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 图象的一条对称轴方程是
C．函数 在区间 上单调递增
D．将函数 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到正弦函数 的图象
9．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知 是
的导函数（ ）
A． 是由 图象上的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 得
到的
B． 是由 图象上的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 得
到的
C． 的对称中心坐标是
D． 是 的一条切线方程.
三、填空题
10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 ，把
的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 ．
【真题感知】
1．（全国·高考真题）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
2．（全国·高考真题）设函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象
与原图象重合，则 的最小值等于
A． B． C． D．
3．（天津·高考真题）已知函数 是奇函数，将 的图像上所
有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ，则
A． B． C． D．
4．（全国·高考真题）若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数
的图像重合，则 的最小值为
A． B． C． D．
5．（2023·全国·统考高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度
得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2020·江苏·统考高考真题）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中
与y轴最近的对称轴的方程是 .
7．（安徽·高考真题）若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则
的最小正值是________.
8．（全国·高考真题）函数 的图象向右平移 个单位后，与函数
的图象重合，则 = .
