文档文本内容
第 04 讲 三角函数的伸缩平移变换
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
三角函数图象的综合应用
2023年全国甲卷理数，第10题,5分 无
求图象变化前 (后)的解析式
由正弦(型)函数的奇偶性求参数
2022年全国甲卷文数，第5题,5分 无
求图象变化前(后)的解析式
2022年浙江卷，第6题,5分 描述正(余)弦型函数图象的变换过程 无
2021年全国乙卷理数，第7题,5分 求图象变化前(后)的解析式 无
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
2020年江苏卷，第10题,5分 无
求图象变化前 (后)的解析式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1理解并掌握三角函数的图象与性质
2会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换
【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸
缩平移变换，需加强复习备考
知识讲解
1. 三角函数的伸缩平移变换（1）伸缩变换（ ， 是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为 ；
若 ↗，纵坐标伸长；若 ↘，纵坐标缩短； 与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若 ↗， ↘，横坐标缩短；若 ↘， ↗，横坐标伸长； 与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（ ， 是平移量）
平移法则：左 右 ，上 下
（3）伸缩平移变换
①先平移后伸缩
向左平移 个单位→ ，横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的 倍→
②先伸缩后平移
横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的 倍→ ，向左平移 个单位→
2. 三角函数图象的变换3. 常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与
对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
考点一、 同名三角函数伸缩平移变换的基本应用
1．（北京·高考真题）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 图象，则函数的解析式
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．
【详解】由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
可得 .
故选 ．
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.
C2．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有
的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
3．（江苏·高考真题）为了得到函数 ， 的图象，只需把函数 ， 的图象
上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
B．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
【答案】C
【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则依次判断各个选项即可.
【详解】记 ，变换后所得函数为 ，
对于A， ，A错误；
对于B， ，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D， ，D错误.
故选：C.1．（2021·全国·统考高考真题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，
即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达
式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的
图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .故选：B.
2．（四川·高考真题）将函数 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将函数 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝
sin(x－ );
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
.故选C.
3．（天津·高考真题）把函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图像上所
有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.
【详解】 向左平移 个单位得：
将 横坐标缩短为原来的 得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.
考点 二 、 异名三角函数伸缩平移变换的基本应用1．（全国·高考真题）为得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
【答案】A
【分析】设出向左平移 个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】 ，
将函数 向左平移 个长度单位，得到 ，
故 ，解得 ，
即向左平移 个长度单位.
故选：A
2．（天津·高考真题）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点的
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
C．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
D．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
【答案】A
【详解】令 ，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
时，函数为 ，若图象再向左平行移动 个单位长度，则函数为
，于是选A.
3．（全国·高考真题）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】B
【分析】由三角函数的诱导公式可得 ，再结合三角函数图
像的平移变换即可得解.
【详解】解：由 ，
即为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象向右平移 个单位长度，
故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.
1．（山东·高考真题）要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
【答案】A
【分析】用诱导公式化为同名函数，同时 的系数不变，然后再由平移变换得结论．
【详解】 ，
∴只要把 的图像向右平移 个单位即得．
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数图象变换，解题时应用诱导公式化函数为同名函数（不改变自变量 的系数），
然后再由平移变换求得结论．也可以对各选项进行代入验证．
2．（全国·高考真题）已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
1 2
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
【答案】D
【详解】把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把
1
得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）
的图象，即曲线C ，
2
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以
也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函
数 ；函数 是偶函数 ；函数
是奇函数 ；函数 是偶函数
.
考点 三 、 三角函数伸缩平移变换的综合应用
1．（2022·全国·统考高考真题）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线
C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
2．（2022·天津·统考高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为
， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单
位长度得到，④不正确．
故选：A．
3．（山东·高考真题）将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则
的一个可能取值为
A． B． C． D．
【答案】B【详解】得到的偶函数解析式为 ，显然
【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别， 选择
合适的 值通过诱导公式把 转化为余弦函数是考查的最终目的.
4．（2023·浙江·校联考二模）函数 的图象向左平移 个单位长度后对应的函
数是奇函数，函数 ．若关于x的方程 在 内有两个不同的解α，
β，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的图象性质、图象变换和三角恒等变换公式，以及诱导公式求解.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度后，
所得函数的解析式为 ，
因为所得函数为奇函数，所以 ，
则有 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以由 ，
可得 ，
所以 ，且 ，则 ，
所以 ，
故选:B.
5．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）已知函数 ，且
所有的正零点构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，横坐标
伸长到原来的2倍得到函数 的图象，则下列关于函数 的结论正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B． 的图象关于点 对称
C． 在 上是增函数
D．当 时，函数 的值域是
【答案】BD
【分析】化简可得 ，进而根据已知求出 ， .根据图象变换可
得 .求出 即可判断A项；代入检验，结合正弦函数的性质，即可判断B、C、D.
【详解】因为 .
由 可得， .
由已知可得， ，所以 ， .
将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，
可得 的图象，
横坐标伸长到原来的2倍得到函数的 的图象，所以 .
对于A项，因为 ，所以函数 不是偶函数，故A项错误；对于B项，因为 ，所以 的图象关于点 对称，故B项正确；
对于C项，因为 ，所以 .
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故C项错误；
对于D项，因为 ，所以 .
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以， ，故D项正确.
故选：BD.
6．（2023·福建漳州·统考模拟预测）（多选）把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上有2个零点
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上的值域为
【答案】BC
【分析】由题意，由函数 的图象变换规律，求得 的解析式，再根据正弦函数的图
象和性质，逐一判断各选项得出结论.
【详解】把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
可得到 的图象；
再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
时， ，则 在 单调递减，在 单调递增，故A错误；
令 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 或 ，所以 在 上有2个零点，故B正确；
因为 ，为 的最大值，
所以直线 是 的图象的一条对称轴，故C正确；
当 时， ， ，故D错误.
故选：BC
1．（天津·统考高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故选：B.
【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数 的图象上的点横坐标变为原来的 （纵坐
标变）得到函数 的图象，若存在 ，使得 对任意 恒成立，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的变换规则求出 的解析式，依题意可得 关于点 对称，即可得到
， ，即可得解.
【详解】将函数 的图象上的点横坐标变为原来的 （纵坐标变）得到
，
若存在 ，使得 对任意 恒成立，
所以 关于点 对称，
则 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 .
故选：C
3．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）（多选）已知函数 ，把函
数的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 时，方程 有实根，则实
数 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数 的解析式，由
可得出 ，求出函数 在 上的值域，即可得出实数 的不等式，解之即
可.【详解】因为
，
将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
则 ，
当 时， ，则 ，
由 得 ，可得 ，所以， ，解得 ，
故选：CD.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数 ，则要得到函数 的图象，只需将
函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】C
【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.
【详解】因为 ，
所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位即可，
故选：C.
2．（2023·全国·模拟预测）将函数 的图象上各点向右平移 个单位长度得函数的图象，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由图象平移变换得到 ，再由正弦函数的性质求出 的单调递增区间.
【详解】将 的图象向右平移 个单位长度后，
得到 ，即 的图象，
令 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
故选：C.
3．（2023·山东青岛·统考三模）将函数 图象向左平移 后，得到 的图象，
若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图像变换及单调性计算即可.
【详解】 向左平移 ，
得 ，
时， ， 在 上单调递减，
即 ，故 .
故选：C4．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数 的图像向右平移 个单位长度，可
得函数 的图像，则 的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把 的解析式化成 的形式，然后根据平移求出 解析式，从而根据
正弦函数的对称中心求出 的对称中心，进而可得答案.
【详解】 ，
因为 的图像向右平移 个单位长度得函数 的图像，
所以 ，
因为 的对称中心为 ，
所以当 时， ，
即函数 的对称中心为 ，
当 时，对称中心为 .
故选：A.
5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可
得函数 的图象，则 的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变换得到 ，得到平移后的解析式，结合三角函数诱导公
式求出 ， ，得到最小正值.
【详解】 ，故图象向右平移 个单位长度得到 ，
又 ，
令 ， ，解得 ， ，
当 时， 取得最小正值，最小正值为 .
故选：A
6．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）函数 的部分图象如图所示，将函
数 的图象向左平移1个单位长度后得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先根据函数的图象求出函数 的解析式，然后再根据平移得到 ，最后求出 的值.
【详解】由图象可知， ，得 ，所以 ，
所以， ，
又因为 在函数 的图象上，
所以 ，
所以 ， ，即 ， ，
又 ，所以 ，即 .
又 在函数 的图象上，所以 ，即 ，
即 .
所以 ，
所以 .
故选：D.
7．（2023·重庆·统考三模）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图
象，则“ ”是“函数 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意求出函数 的解析式，然后通过函数 是偶函数求出 的取值范围，最后与
进行对比，即可得出“ ”与“ 为偶函数”之间的关系．
【详解】因为函数 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像，
所以 ，
因为 为偶函数，
所以 ，即 ，
当 时， 可以推导出函数 为偶函数，
而函数 为偶函数不能推导出 ，
所以“ ”是“ 为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
二、多选题
8．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A．
B．
C．点 是 的一个对称中心
D．函数 的图象向左平移 个单位得到的图象关于 轴对称
【答案】AC
【分析】根据函数图象可得 、 ，即可求出 ，再根据函数过点 求出 ，即可求出函数
解析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.
【详解】由图可知 ， ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以 ，故A正确，B错误；
，所以点 是 的一个对称中心，故C正确；
将函数 的图象向左平移 个单位得到 ，
显然函数 不是偶函数，故D错误；
故选：AC
9．（2023·广东广州·统考三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为C．函数 的图象的对称轴方程为
D．函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】AB
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数 ，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.
【详解】
，故A正确；
函数 的最小正周期为 ，故B正确；
由 ，得 ，故C错误；
由 的图象向左平移 个单位长度，
得
，故D错误.
故选：AB
10．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象，则（ ）
A．
B． 是 图象的一个对称中心
C．当 时， 取得最大值
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】BD
【分析】利用三角函数图象变换求出函数 的解析式，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断
B选项；代值计算可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，
则 ，A错；
对于B选项， ，则 是 图象的一个对称中心，B对；
对于C选项， ，C错；
对于D选项，当 时， ，
所以，函数 在区间 上单调递增，D对.
故选：BD.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 的部分
图象如图，则（ ）
A．
B．
C．点 为曲线 的一个对称中心
D．将曲线 向右平移 个单位长度得到曲线
【答案】D
【分析】由函数图象求出 ，将点 的坐标代入 求出 可判断A；求出的解析式，求 可判断B；令 ，求出 ，可判断C；由图象的平移变换可判断
D.
【详解】由图象知： ，解得 ，
将点 的坐标代入 得 ，
由图象可知，点 在 的下降部分上，且 ，
所以 ，所以A不正确；
将点 的坐标代入 ，得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以B不正确；
令 ，解得 ，
取 ，则 ,所以对称中心为 ，所以C不正确；
将曲线向右平移 个单位长度得到曲线
，所以D正确；
故选：D.
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知曲线 ，则下面结
论正确的是（ ）
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度C
1 2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1曲线C
2
【答案】C
【分析】结合选项按照先伸缩，再平移的过程，结合诱导公式，即可判断选项.
【详解】曲线 ，
把 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可得 的图象；
再把得到的曲线向左平移 个单位长度，可以得到曲线 的图象.
故选：C.
二、多选题
3．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数 （ ， ），
若函数 的部分图象如图所示，则关于函数 下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】AC
【分析】根据函数图象，求解参数 ，代入 的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判
断各项正误.
【详解】由题意结合函数图象可得 ，解得 ，
故 ，
由 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，
对于A，因为 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故A正确；
对于B，因为 ，
所以点 不是函数 的图象的对称中心，故B错误；
对于C，由 ，得 ，
所以函数 在区间 上单调递增，故C正确；
对于D，将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得 ，故D错误.
故选：AC.
4．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 的图象关于 对称，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 是偶函数
C． 在 上单调递增
D．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于点 对称
【答案】AB
【分析】依题意可求出 ，从而可得 ，结合函数的图象性质逐一判断即可.
【详解】因为函数 的图象关于 对称，
所以 ，解得 ，所以 ，其最大值为2，故A正确；
令 ，
定义域为 ， ，
所以 即 是偶函数，故B正确；
时， ， 在 单调递增，
在 单调递减，故C错误；
把 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，
因为 ，
所以 的图象不关于点 对称，故D错误.
故选：AB
5．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）定义在 上的函数 满足
在区间 内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
C． 图象的一个对称中心为
D． 在区间 上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据题意可求出 的值，从而可得到 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知 ，于是 ，于是 ，
∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，
对于A，由 ，则 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B，因为 ，
所以将 的图象向右平移 个单位长度后得 ，
则 ，所以 不关于原点对称，故B错误；
对于C，由 ，所以 不是 图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，故D正确．
故选：ABC．
6．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数 的初相为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B．函数 的一个单调递减区间为
C．若把函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则 为偶函数
D．若函数 在区间 上的值域为
【答案】AB
【分析】根据已知条件求出函数 的解析式，然后计算 的值即可判断A项；利用整体思想及正
弦函数的单调性求函数 的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数的解析式即可判断C项；由x范围求得 的范围，进而求得 在区间 上的值域即可判断D
项．
【详解】由题意知 ，所以 ．
对于选项A， ，所以 的图象关于直线 对称，故A项正确；
对于选项B，由 ， ，得 ， ，
则当 时，函数 的一个单调递减区间为 ，故B项正确；
对于选项C， 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，
所以 为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即： 在区间 上的值域为 ，故D项错误．
故选：AB.
7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）函数 的图像关于点 中心对
称，且在区间 内恰有三个极值点，则（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 内有3个零点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．将 图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数为奇函数
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出 的值并代入函数式，再结合三角函数的性质逐项分析判断作答.【详解】因函数 的图象关于点 中心对称，
则 ，即 ，
当 时， ，依题意， ，解得 ，
因此 ， ，
对于A，当 时， ，
而正弦函数 在 上不单调，A不正确；
对于B，当 时， ，
则 时 ，
即函数 在区间 内有3个零点，B正确；
对于C，因 ，
即直线 是曲线 的对称轴，C正确；
对于D， 图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数 ，
因为 ，所以函数 不是奇函数，D不正确.
故选：BC
8．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数 ，其图象相邻
对称轴间的距离为 ，点 是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 图象的一条对称轴方程是
C．函数 在区间 上单调递增
D．将函数 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到正弦函数 的图象
【答案】ACD
【分析】根据相邻对称轴间的距离为 ，可得 ，可求 ，根据点 是其中的一个对称中心及
可求 ，从而可得 的解析式，再逐项判断即可.
【详解】因为函数 图象相邻对称轴间的距离为 ，则 ，即 ，所以 正确；
因为 ，则 ，即 ，且点 是对称中心，
当 时， ，即 ，
又 ，所以 ，即 .
令 ,解得 ，
所以函数 的对称轴为 ，所以 错误；
令 ,解得 ，
函数 的单调增区间为： ，所以C正确；
函数 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，得到 的图象，
再把得到的图象向左平移 个单位长度，得函数 ，所以 正确.
故选:ACD.
9．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知 是
的导函数（ ）
A． 是由 图象上的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 得
到的
B． 是由 图象上的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 得
到的C． 的对称中心坐标是
D． 是 的一条切线方程.
【答案】BC
【分析】由三角函数的平移和伸缩变换可判断A，B；由三角函数的性质可判断C；由导数的几何意义可判
断D.
【详解】 ，
是由 横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移 ，故A错误；
函数 图象将横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），得 ，
再向右平移 个长度单位，得 ，即 ，故B正确；
因为 ，令 ，
则 ，则 的对称中心坐标是 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
由导数的几何意义令 ，可得： ，
即 ，解得:
，所以切点为 ，
而 不在 上，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 ，把
的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换化简函数 的解析式，利用三角函数图象变换可得出 的解析式，代值计算可得出 的值.
【详解】因为
，
将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
则 ，
因此， .
故答案为： .
【真题感知】
1．（全国·高考真题）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
【答案】B
【详解】试题分析：记函数 ，则函数 ∵
函数f（x）图象向右平移 单位，可得函数 的图象∴把函数 的图象右平移 单位，
得到函数 的图象,故选B.
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
2．（全国·高考真题）设函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象
与原图象重合，则 的最小值等于
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意将 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了 是此函数周期的整数倍,得 ,解得 ,又 ,令 ,得 .
3．（天津·高考真题）已知函数 是奇函数，将 的图像上所
有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，
且 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】只需根据函数性质逐步得出 值即可．
【详解】因为 为奇函数，∴ ；
又
， ，又
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 ．
4．（全国·高考真题）若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数
的图像重合，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 的图像向右平移 个单位得 ，
所以
，所以 得最小值为 ．
5．（2023·全国·统考高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度
得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考
虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
6．（2020·江苏·统考高考真题）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中
与y轴最近的对称轴的方程是 .
【答案】 /
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】
当 时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．（安徽·高考真题）若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则
的最小正值是________.
【答案】
【详解】试题分析：由题意 ，将其图象向右平移 个单位，得
，要使图象关于 轴对称，则 ，解得 ，
当 时， 取最小正值 .
考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质.
8．（全国·高考真题）函数 的图象向右平移 个单位后，与函数
的图象重合，则 = .
【答案】
【详解】因为y＝cos(2x＋φ)＝cos(－2x－φ)＝sin ＝sin ，图象向右平移 个单位
后为y＝sin ，与y＝sin 重合，所以φ－ ＝ ，解得φ＝ .
