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专题02 函数的基本性质(单调性+奇偶性+周期性+对称性）
及其综合应用
目录
一、函数的基本性质（基础特训）......................................1
1 单调性..........................................................1
2 奇偶性..........................................................6
3 周期性..........................................................8
4 对称性.........................................................10
二、函数的基本性质综合应用（精选高考模拟题）.......................13
三、函数的基本性质中的数学文化.....................................20
一、函数的基本性质（基础特训）
1 单调性
1．（2023 秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知定义在
上的函数
满足
，在区间
上满足
，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知函数
同时满足性质：①
1
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；②当
，
时，
，则函数
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 秋·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知
，且
，函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 秋·高一课时练习）已知
为
上的减函数，则满足
的实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）设函数
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）（2023 秋·高一课时练习）（多选）如果函数
在
上是增函数，那么对于任意的
、
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
7．（多选）（2023 春·福建福州·高一校联考期中）下列函数中满足“对任意
，都有
2
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”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 秋·福建厦门·高三厦门市松柏中学校考阶段练习）已知函数
在
上是增函数，则实数
的取值范围是 .
2 奇偶性
1．（2023 秋·河北衡水·高三河北武强中学校考开学考试）设奇函数
在
上为增函数，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 秋·广东·高三校联考阶段练习）已知
，若
，则
.
4．（2023 秋·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知函数
是奇函数，则
．
5．（2023 秋·新疆·高三八一中学校考阶段练习）若
为偶函数，则实数
.
3 周期性
1．（2023 春·广西玉林·高二统考期末）若函数
满足
，且当
时，
3
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，则
（ ）
A．10
B．4
C．2
D．
2．（2023 秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则
.
3．（2023 春·河南开封·高二校联考期末）已知定义在
上的函数
的周期为2，当
时，
，则
.
4．（2023 春·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）定义在R 上的函数
满足
，则
．
5．（2023 秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数
是奇函数，
是偶函数，当
时，
，则
.
【答案】0
【分析】由已知奇偶性得出对称性，从而又得出周期性，然后由对称性计算
，由周期性计算和．
【详解】函数
是奇函数，则
的图象关于点
对称，即
，函数
是偶
函数，则
的图象关于直线
对称，即
，
∴
，从而
，∴
，
所以
是周期函数，其中4 是它的一个周期，
由已知
，
，则
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：0.
6．（2023 秋·陕西咸阳·高三校考开学考试）已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，则
．
【答案】0
【分析】根据题意结合奇函数的定义分析可得
是意为周期的周期函数，且
，
，利用周期性运算求解即可.
【详解】因为
，即
，
又因为
是定义域为
的奇函数，则
，
4
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可得
，
所以
是以4 为周期的周期函数，
且
，
，
，
可得
，
因为
，
所以
.
故答案为：0.
4 对称性
1．（2023 秋·河南·高三校联考开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
图象关于
中心对称
D．
图象关于
轴对称
【答案】C
【分析】对于选项AB：根据函数的奇偶性定义对其判断；对于选项CD：根据函数中心对称或轴对称定义
对其判断.
【详解】对于选项A：
，则
不是奇函数，故A 错误；
对于选项B：
，则
不是偶函数，故B 错误；
对于选项C：
，
故
的图象关于点
中心对称，故C 正确；
对于选项D：
，则
的图象不关于直线
轴对称，故D 错误；
故选：C.
2．（2023 春·河南郑州·高二统考期末）对于三次函数
，现给出定义：设
5
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是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三
次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
，则
（ ）
A．
B．
C．17
D．34
【答案】C
【分析】根据题意求得函数
的对称中心为
，得到
，结合计算规律，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，所以
，
令
，可得
，
又由
，即函数
的对称中心为
，
所以
，
则
.
故选：C.
3．（多选）（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知函数
的图象的对称轴方程为
，则函
数
的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】依次验证各选项中的函数是否满足
即可.
【详解】若
的图象的对称轴方程为
，则
；
对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 正确；
6
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对于C，
，
，
，
即
不恒成立，C 错误；
对于D，
，D 正确.
故选：BD.
4．（2023 秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考开学考试）若函数
的值域为
，且满足
，则
的解析式可以是
.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】取
，求出函数
的值域，验证
成立，即可得出结果.
【详解】取函数
，因为
，则
，即函数
的值域为
，
因为
，
，则
，
所以，函数
的解析式可以为
.
故答案为：
（答案不唯一）.
5．（2023 春·上海黄浦·高一统考期末）函数
图像的对称中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】将函数解析式分离常数变形后，利用反比例函数的对称性，结合函数图像的平移变换即可得答
案．
【详解】
，
它的图像是由函数
的图像向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到的，
因为函数
的图像对称中心的坐标为
，
所以函数
图像的对称中心的坐标为
．
故答案为：
．
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二、函数的基本性质综合应用（精选高考模拟题）
1．（2023·河南开封·统考三模）已知
是定义在R 上的奇函数，
的图象关于
对称，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】首先根据函数对称性可以得到
，利用函数为奇函数可求出函数的周期，利用周期
进一步计算即可求出函数值.
【详解】因为
的图象关于
对称，
所以
，于是
，
又
是定义在
上的奇函数，所以
，
则
，即
，
所以
的周期为4，
所以
，
又因为
是定义在
上的奇函数，所以
.
故选：
.
2．（2023·西藏昌都·校考模拟预测）已知函数f（x）的图象关于原点对称，满足
．若
，则
等于（ ）
A．－50
B．50
C．
D．2
【答案】D
【分析】运用函数奇偶性、对称性可得函数周期为4，运用赋值法可得
、
、
的值进而运用周
期性可求得结果.
【详解】因为
图象关于原点对称，
所以
且
又因为
，①
所以
，
所以
， ②
所以
，
所以
，③
8
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即
的周期为4，
将
代入①得：
，
将
代入②得：
，
又因为
，
所以
，
将
代入③得：
，
所以
，
所以
，
故选：D.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知
，
分别为定义在R 上的
，
的导函数，
且
，
，若
是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．3 是
的一个周期
D．
【答案】B
【分析】根据求导法则，利用函数的对称性、奇偶性、周期性，即可求出
、
、
、
的
性质，进而判断各选项的正误.
【详解】因为
，
，所以
，
所以函数
的对称中心为点
，又
，
所以函数
的图象关于点
对称，A 不正确；
是偶函数，所以
，所以
，
即
为奇函数，对称中心为
，函数
的另一个对称中心为点
，
所以
的周期为2，C 不一定正确；
函数
及
的周期与
相同，周期为2．
的图象关于点
对称，
，所以
，函数
的图象关于直线
对称，则
的图象关
于直线
对称，B 正确；
因为
，
，故
，D 不正确．
故选：B.
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4．（2023·广西梧州·统考一模）已知定义在R 上的函数
在
上单调递增，若函数
为偶函
数，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知，函数
关于
对称，作出函数的图象，数形结合可求解.
【详解】由函数
为偶函数，知函数
关于
对称，
又函数
在
上单调递增，知函数
在
上单调递减，
由
，知
，作出函数的图象，如下：
由图可知，当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
所以不等式
的解集为：
或
，
故选：C
5．（2023·云南曲靖·校考三模）已知定义在R 上的函数
在
上单调递增，且
为偶函数，
则不等式
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，可得
对称轴为
，且在
上单调递减.根据函数的对称性与单调性，
可得只需
即可，解出不等式即可.
【详解】由题意可得，
对称轴为
，且在
上单调递减.则由
，可得出
，即
，
即
，解得
或
.
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所以，不等式
的解集为
.
故选：B.
6．（2023·陕西渭南·统考一模）已知函数
满足：①定义域为
，②
为偶函数，③
为
奇函数，④对任意的
，且
，都有
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由②得
关于x=1 对称，由③得
关于
对称，由④得
在
上单增，根据得出的信
息得
的周期并画出
的草图，将其都转化到同一个单调区间上看图即可得结果.
【详解】∵
在R 上为偶函数，
∴
，
∴
关于x=1 对称.
∵
在R 上为奇函数，
∴
，
∴
关于
对称，且
∵
，∴
（将上式中的x 换成x-1）①
又∵
，∴
②
∴由①②得：
③
∴由③得：
④ （将③中的x 换成x+2）
∴由③④得：
∴
的一个周期为
，且
，
关于
对称
又∵对任意的
，且
，都有
，
∴
在
上单调递增.
∴
在一个周期内的草图为：
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∴
，
，
∴如图所示：
，
即：
，
故选：C.
7．（多选）（2023·江西·校联考模拟预测）设函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶
函数，当
时，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】由
为奇函数与
为偶函数，得到函数
的对称性与周期性，先由特值待定
，
再根据性质求值即可， CD 选项结合周期特点进行数列求和，使用并项求和法.
【详解】由
为奇函数，
得
关于
对称，且满足
；
由
为偶函数，
得
关于直线
对称，且满足
.
故
，
所以
是周期函数，且周期
.
对选项A，由
，
令
，解得
，故A 错误；
对选项B，已知当
时，
，
则
，
12
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故当
时，
.
则
，故B 错误；
对选项C，
，
，
，
，且
周期
.
则
，故C 正确．
对选项D，
，故D 正确．
故选：CD．
8．（2023·广东·统考一模）已知
是定义在
上的奇函数，且
在
上单调递减，
为偶
函数，若
在
上恰好有4 个不同的实数根
，则
.
【答案】24
【分析】由题设可得
的周期为8，且关于
对称的奇函数，结合区间单调性判断
上单调情
况，根据
与
有4 个交点，及函数的对称性求根的和.
【详解】由
为偶函数，则
，故
，
又
是定义在
上的奇函数，则
，
所以
，故
，即有
，
综上，
的周期为8，且关于
对称的奇函数，
由
在
上单调递减，结合上述分析知：在
上递增，
上递减，
上递增，
所以
在
的大致草图如下：
要使
在
上恰好有4 个不同的实数根，即
与
有4 个交点，
所以，必有两对交点分别关于
对称，则
.
故答案为：24
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9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在R 上的函数
满足：
．且当
时，
，给出下列命题，①
是奇
函数；②
是周期函数；③
的值域为
；④
在区间
内无零点．其中真命题
是 （写出所有真命题的序号）
【答案】①②④
【分析】根据
可判断①；
，可判断②；根据
时
，再由
的对称性，周期性可判断③；当
时
．再由
的图象关于直线
对称可判断
④．
【详解】因为
，即
，故
是奇函数，故①正确；
，即
，故
是以4 为周
期的周期函数，故②正确；
当
时，
，再由
的对称性，周期性，可知1 不是
的最大值，故③
错误；
当
时，
，则
．再由
的图象关于直线
对称，知
在
内恒
正．又
，故
在区间
内无零点，故④正确．故真命题有
①②④．
故答案为：①②④．
10．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先判断
的奇偶性，令
，利用导数说明
的单调性，即可得到
的单调性，结合函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为
，定义域为
，
由
，可知函数
为偶函数，
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函数图象关于
轴对称，又由
，
令
，由
可知函数
为奇函数，
又由
，
（当且仅当
时取等号），
可得函数
单调递增，且当
时
，
由一次函数
在区间
单调递增且函数值恒为正，可知函数
在区间
单调递增，
又由函数
为偶函数，可得函数
的增区间为
，减区间为
，
不等式
可化为
，
必有
，平方后整理为
，解得
或
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
三、函数的基本性质中的数学文化
1．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于
计算机科学､经济和金融领域．若双曲正切函数为
，则
（ ）
A．是偶函数，且在
上单调递减
B．是偶函数，且在
上单调递增
C．是奇函数，且在
上单调递减
D．是奇函数，且在
上单调递增
【答案】D
【分析】令
，定义域为
，根据奇偶函数的定义判断奇偶性，根据导数的正负判断单调
性，即可得出答案．
【详解】令
，定义域为
，
因为
，
为奇函数，
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又
，
在
上单调递增，
故选：D．
2．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知定义在R 上的函数
，其中
表示不超过
的最大
整数，
，给出下列三种说法：
①
，
是一个增函数；
②
，
是一个奇函数；
③
，
在区间
上有唯一零点．
其中正确的说法个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【分析】根据
的定义分别取特殊值即可判断①②，根据
时的解析式及
，即可判断③.
【详解】解：因为
，而
，
所以
，故
不是一个增函数，即①错误，
若
是一个奇函数，则
且
，
即
且
，即
且
，
故m 不存在，即②错误；
当
，当
，
若
在区间
上有唯一零点，则
，
即
，故③正确.
故选：C
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在R 上的函数
满足：
．且当
时，
，给出下列命题，①
是奇
函数；②
是周期函数；③
的值域为
；④
在区间
内无零点．其中真命题
是 （写出所有真命题的序号）
【答案】①②④
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【分析】根据
可判断①；
，可判断②；根据
时
，再由
的对称性，周期性可判断③；当
时
．再由
的图象关于直线
对称可判断
④．
【详解】因为
，即
，故
是奇函数，故①正确；
，即
，故
是以4 为周
期的周期函数，故②正确；
当
时，
，再由
的对称性，周期性，可知1 不是
的最大值，故③
错误；
当
时，
，则
．再由
的图象关于直线
对称，知
在
内恒
正．又
，故
在区间
内无零点，故④正确．故真命题有
①②④．
故答案为：①②④．
17
